【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修二）专题6.7 平面向量基本定理及坐标表示（重难点题型精讲）（学生版）.docx，共(10)页，603.286 KB，由小赞的店铺上传

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专题6.7平面向量基本定理及坐标表示（重难点题型精讲）1．平面向量基本定理(1)平面向量基本定理如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.(2)定理的实质

由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.2．平面向量的正交分解及坐标表示(1)正交分解不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直

的向量，叫做把向量作正交分解.(2)向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一

确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示.显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).(3)点的坐标与向量的坐标的关系3．平面向量线性运算的坐标表示(1)两个向

量和（差）的坐标表示由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(+)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-).这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).

(2)向量数乘的坐标表示由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y).这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.4．平面向量数量积的坐标表示(1)平面向量数量积的坐标表示由于向量=(,)，=(,)等价于

=+，=+，所以=(+)(+)=+++.又=1，=1，==0，所以=+.这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.(2)平面向量长度（模）的坐标表示若=(x,y)，则或.其含义是：向量的长度(模)等于向量的

横、纵坐标平方和的算术平方根.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||=.5．平面向量位置关系的坐标表示(1)共线的坐标表示①两向量共线的坐标表示设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用坐标表示

，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量，(≠0)共线的充要条件是-=0.②三点共线的坐标表示若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=，从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)，或由=得到(-)(-)=(-)(-)，或由=

得到(-)(-)=(-)(-).由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线.(2)夹角的坐标表示设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==.(3)垂直的坐标表示设=(,)，=(,)，则+=0.即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的

和为0.【题型1用基底表示向量】【方法点拨】用基底表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基底表示向量的唯一性求解.【例1】（2022春·湖南株洲·高一期中）在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷

中，对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷交于点𝑂，𝐸为𝐶𝐷中点，𝐴𝐸与𝐵𝐷交于点𝐹，若𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎，𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，则𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=（）A．112𝑎+14𝑏⃗B．34𝑎+14𝑏⃗C．14𝑎+112𝑏⃗D．14𝑎+34𝑏⃗【

变式1-1】（2022·浙江·模拟预测）在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，设𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎，𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，则𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=（）A．67𝑎+37𝑏⃗B．3

7𝑎+67𝑏⃗C．34𝑎+13𝑏⃗D．13𝑎+34𝑏⃗【变式1-2】（2022春·四川绵阳·高一期末）在△𝐴𝐵𝐶中，点D在BC边上，且𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.设𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗可用基底𝑎，𝑏⃗表示为（）A．12(𝑎+𝑏⃗)B．23𝑎+13𝑏⃗C．13𝑎+23𝑏⃗D．13(𝑎+𝑏⃗)【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形�

�𝐵𝐶𝐷中，𝐸是边𝐶𝐷的中点，𝐴𝐸与𝐵𝐷交于点𝐹．若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，则𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=（）A．14𝑎+34𝑏⃗B．23𝑎+13𝑏⃗C．34𝑎+14𝑏⃗D．13𝑎+23𝑏⃗【

题型2平面向量基本定理的应用】【方法点拨】结合题目条件，利用平面向量基本定理进行转化求解即可.【例2】（2022春·山东·高一阶段练习）已知G是△𝐴𝐵𝐶的重心，点D满足𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷�

�⃗⃗⃗⃗⃗，若𝐺𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，则𝑥+𝑦为（）A．13B．12C．23D．1【变式2-1】（2022秋·河南·高三阶段练习）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为边𝐵𝐶的中点，𝐸在边𝐴𝐶上，且𝐸

𝐶=2𝐴𝐸，𝐴𝐷与𝐵𝐸交于点𝐹，若𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，则𝜆+𝜇=（）A．−12B．−34C．12D．34【变式2-2】（2022春·内蒙古赤峰·高一期末）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O

，E为AO的中点，若𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗(𝑥,𝑦∈𝑅)，则𝑥−𝑦等于（）A．1B．−1C．12D．−12【变式2-3】（2022秋•安徽期末）已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，E为AO的中点，若𝐴𝐸→

=𝜆𝐴𝐵→+𝜇𝐴𝐷→，则λ+μ＝（）A．12B．13C．14D．1【题型3平面向量的坐标运算】【方法点拨】(1)向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的

坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用.(2)利用向量线性运算的坐标表示解题，主要根据相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解.【例3】（2022秋·新疆喀什·高一阶段练习）若𝑎=(3,2),𝑏⃗=(0,−1)，则4𝑎+3𝑏⃗的坐标为（）A．(5,12

)B．(12,6)C．(12,5)D．(−12,−5)【变式3-1】（2022·高二课时练习）在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶为一条对角线.若𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(2,4)，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(1,3)，则𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（

）A．(−2,4)B．(−3,−5)C．(3,5)D．(−3,−7)【变式3-2】（2022春·广西南宁·高一期末）已知向量𝑎=(−1,2),𝑏⃗=(3,−5)，则3𝑎+2𝑏⃗等于（）A．(3,−4)B．(0

,−4)C．(3,6)D．(0,6)【变式3-3】（2022春·河南平顶山·高一期末）已知向量𝑎=(2,−1)，𝑏⃗=(1,6)，𝑐=(7,3)，则𝑐可用𝑎与𝑏⃗表示为（）A．3𝑎+𝑏⃗B．𝑎+3𝑏⃗C．3𝑎+2𝑏⃗D．3𝑎−𝑏⃗【题型4向

量共线、垂直的坐标表示】【方法点拨】向量共线、垂直的坐标表示的应用有两类：一是判断向量的共线（平行）、垂直；二是根据向量共线、垂直来求参数的值；根据题目条件，结合具体问题进行求解即可.【例4】（2022秋·河南南阳·高二开学考试）在平面直角坐标系中，已知𝑎=(1,−2),𝑏⃗=

(3,4)．(1)若(3𝑎−𝑏⃗)∥(𝑎+𝑘𝑏⃗)，求实数k的值；(2)若(𝑎−𝑡𝑏⃗)⊥𝑏⃗，求实数t的值．【变式4-1】（2022春·广东潮州·高一期中）已知𝑎=(1,0),𝑏⃗=

(2,1)（1）当𝑘为何值时，𝑘𝑎−𝑏⃗与𝑎+2𝑏⃗垂直（2）若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑎+3𝑏⃗,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎+𝑚𝑏⃗，且𝐴､𝐵､𝐶三点共线，求𝑚的值．【变式4-2】（2023·高一单元测试）已知𝑎=(1,2)，𝑏⃗=(−3,2)．(1

)当k为何值时，𝑘𝑎+𝑏⃗与𝑎−3𝑏⃗垂直？(2)当k为何值时，𝑘𝑎+𝑏⃗与𝑎−3𝑏⃗平行？【变式4-3】（2022秋·河南开封·高三阶段练习）已知向量𝑎=(3,2)，𝑏⃗=(𝑥,-1)(1)当(2𝑎-𝑏⃗)⊥𝑏⃗，求

𝑥的值；(2)当𝑐=(-8,-1)，𝑎∥(𝑏⃗+𝑐)，求向量𝑎与𝑏⃗的夹角𝛼【题型5向量坐标运算与平面几何的交汇】【方法点拨】利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转

化为向量问题.常用方法是建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算转化为代数问题来解决.【例5】（2022春·吉林长春·高一阶段练习）如图，已知𝑂是平面直角坐标系的原点，∠𝑂𝐴𝐵=∠𝐴𝐵𝐶=120∘，|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=2|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=4．(1)

求𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗坐标；(2)若四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为平行四边形，求点𝐷坐标．【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD中，𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗，𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗，𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐺𝐸⃗⃗⃗

⃗⃗.(1)用𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗表示𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗；(2)若|𝐴𝐵|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=6，|𝐴𝐷|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3√2，∠𝐵𝐴𝐷=45°，如图建立直角坐标系，求

𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗和𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗的坐标.【变式5-2】（2022春·浙江杭州·高一期中）已知半圆圆心为O点，直径𝐴𝐵=2，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．(1)求点A、B、C的

坐标；(2)若𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=34𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−14𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，求𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗与𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗夹角的大小；(3)试求点P的坐标，使𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗取得最小值，并求此最小值．【变式5-3】（2022春·江

苏镇江·高一期中）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，𝐴(6,0),𝐶(1,√3)，点M满足𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，点P在线段BC上运动（包括端点），如图所示．(1)求与𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗共线的单位向量𝑎的坐标；(2)求∠OCM的余

弦值；(3)是否存在实数λ，使(𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−𝜆𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗)⊥𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗?若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．【题型6向量坐标运算与三角函数的交汇】【方法点拨】先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识(平面向量数量积的坐标表示、平面向量

模与夹角的坐标表示、平面向量平行与垂直的坐标表示等)将问题转化为与三角函数有关的问题(如化简、求值、证明等)，再利用三角函数的相关知识求解即可.【例6】（2022秋·江苏盐城·高三期中）已知O为坐标原点，𝑂

𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(1,√3),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(cos𝛼,sin𝛼)．(1)若𝛼=𝜋3，求|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|；(2)若𝛼∈[0,𝜋2]，求𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围．【变式6

-1】（2022秋·河南信阳·高三阶段练习）已知向量𝑎=(2,1),𝑏⃗=(cos𝜃,sin𝜃).(1)若𝑎⊥𝑏⃗，求3cos𝜃+sin𝜃cos𝜃−sin𝜃的值；(2)求𝑎⋅𝑏⃗的最大值及𝑎⋅𝑏⃗取得最大值时角𝜃的余弦值.【变式6-2】（2022秋·甘肃

张掖·高三阶段练习）已知𝑎=(sin𝑥+cos𝑥,2cos𝜃)，𝑏⃗=(2sin𝜃,12sin2𝑥)．(1)若𝑐=(−3，4)，且𝑥=𝜋4，𝜃∈(0,𝜋)时，𝑎与𝑐的夹角为钝角，求cos𝜃的取值范围；(2)若𝜃=𝜋3，函数𝑓(𝑥)=𝑎⋅𝑏⃗

，求𝑓(𝑥)的最小值．【变式6-3】（2022秋·江苏镇江·高三期中）已知向量𝑎=(cos𝑥,sin𝑥),𝑏⃗=(3,−√3),𝑥∈[0,π].(1)若(𝑎+𝑏⃗)∥𝑏⃗，求𝑥的值；(2)记𝑓(𝑥)=𝑎⋅𝑏⃗，求函数𝑓(𝑥)的图象向右平移π3个单位，纵

坐标不变横坐标变为原来的2倍，得到函数𝑔(𝑥)的图象，求函数𝑔(𝑥)的值域.