【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修二）专题6.7 平面向量基本定理及坐标表示（重难点题型精讲） Word版含解析.docx，共(20)页，733.549 KB，由小赞的店铺上传

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专题6.7平面向量基本定理及坐标表示（重难点题型精讲）1．平面向量基本定理(1)平面向量基本定理如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.(2)定理的实质由平面向量基本定理知

，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.2．平面向量的正交分解及坐标表示(1)正交分解不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直

的向量，叫做把向量作正交分解.(2)向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对

(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示.显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).(3)点的坐标与向量的坐标的关系3．平面向量线性运算的坐标表示(1)两个向

量和（差）的坐标表示由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(+)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-).这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).(2)向量数乘的坐标表示由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y

，即=(x,y).这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.4．平面向量数量积的坐标表示(1)平面向量数量积的坐标表示由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)=+++.又=1，

=1，==0，所以=+.这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.(2)平面向量长度（模）的坐标表示若=(x,y)，则或.其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||=.5．

平面向量位置关系的坐标表示(1)共线的坐标表示①两向量共线的坐标表示设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量，(≠0)共线的充要条件是-=

0.②三点共线的坐标表示若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=，从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)，或由=得到(-)(-)=(-)(-)，或由=得到(-)(-)=(-)(-).由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线.(2)夹角的

坐标表示设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==.(3)垂直的坐标表示设=(,)，=(,)，则+=0.即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.【题型1用基底表示向量】【方法点拨

】用基底表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基底表示向量的唯一性求解.【例1】（2022春·湖南株洲·高一期中）在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷交于点𝑂，𝐸为𝐶𝐷中点，𝐴

𝐸与𝐵𝐷交于点𝐹，若𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎，𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，则𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=（）A．112𝑎+14𝑏⃗B．34𝑎+14𝑏⃗C．14𝑎+112𝑏⃗D．14𝑎+34𝑏⃗【解题思路】根据给定条件，结合平行四边形性质，用𝑎,𝑏⃗表示出𝐹𝐷⃗⃗⃗⃗⃗

,𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗即可求解作答.【解答过程】平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷交于点𝑂，如图，则𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=12𝑎,𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12�

�𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝑏⃗，而点𝐸为𝐶𝐷的中点，有𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=14𝑎−14𝑏⃗，由𝐷𝐸//𝐴𝐵得：|𝐹𝐷⃗⃗⃗⃗⃗||𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗||

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=12，则有𝐹𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13𝑏⃗，所以𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐹𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=13𝑏⃗+14𝑎−14𝑏⃗=14𝑎+112𝑏⃗.故选：C.【变式1-1】（2022·浙江

·模拟预测）在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，设𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎，𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，则𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=（）A．67𝑎+37𝑏⃗B．37𝑎+67�

�⃗C．34𝑎+13𝑏⃗D．13𝑎+34𝑏⃗【解题思路】结合平行四边形的性质及平面向量的基本定理即可求解.【解答过程】因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为平行四边形，所以𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗

⃗⃗⃗，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗，𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，因为𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐵�

�⃗⃗⃗⃗⃗，𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗所以𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗

⃗⃗⃗+𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,因为𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎，𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，所以{𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗

⃗=𝑏⃗，解得{𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=97𝑎−37𝑏⃗𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=97𝑏⃗−67𝑎，所以𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=97𝑎−37𝑏⃗+97𝑏⃗−67𝑎=37𝑎+67𝑏⃗，故选：B

.【变式1-2】（2022春·四川绵阳·高一期末）在△𝐴𝐵𝐶中，点D在BC边上，且𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗可用基底𝑎，𝑏⃗表示为（）A．12(𝑎+�

�⃗)B．23𝑎+13𝑏⃗C．13𝑎+23𝑏⃗D．13(𝑎+𝑏⃗)【解题思路】根据向量的加减运算法则、数乘运算即可求解.【解答过程】因为𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.所以𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+23(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=13𝑎+23𝑏⃗，故选：C.【变式1-

3】（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸是边𝐶𝐷的中点，𝐴𝐸与𝐵𝐷交于点𝐹．若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，则𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=（）A．14𝑎+34�

�⃗B．23𝑎+13𝑏⃗C．34𝑎+14𝑏⃗D．13𝑎+23𝑏⃗【解题思路】设𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗(0<𝜆<1)，根据𝐵,𝐹,𝐷三点共线，即𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗共线，可设𝐵�

�⃗⃗⃗⃗⃗=𝜇𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，用𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗表示出关系，即可解出结果.【解答过程】𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗.设𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗(0<𝜆<1)

，则𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+(𝜆2−1)𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,又𝐵𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，且𝐵,𝐹,𝐷三点共线，则𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗共线，即∃𝜇∈R，使得𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝜇𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，即𝜆𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+(𝜆2−1)𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝜇𝐴𝐷⃗⃗

⃗⃗⃗−𝜇𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，又𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗不共线，则有{𝜆=𝜇𝜆2−1=−𝜇，解得{𝜆=23𝜇=23，所以，𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=23(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

+23𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=13𝑎+23𝑏⃗.故选：D.【题型2平面向量基本定理的应用】【方法点拨】结合题目条件，利用平面向量基本定理进行转化求解即可.【例2】（2022春·山东·高一阶段练习）已知G是△𝐴𝐵𝐶的

重心，点D满足𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，若𝐺𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，则𝑥+𝑦为（）A．13B．12C．23D．1【解题思路】由𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，可得𝐷为𝐵

𝐶中点，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，又由G是△𝐴𝐵𝐶的重心，可得𝐺𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗，代入，求得𝑥=𝑦=16，即可得答案.【解答过程】解：因为

𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝐷为𝐵𝐶中点，又因为G是△𝐴𝐵𝐶的重心，所以𝐺𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗，又因为𝐷为𝐵𝐶中点，所以𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝐺𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=13(12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=16𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+16𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝑥=𝑦=16，所以𝑥+𝑦=13.故选：A.【变式2-1】（2022秋·河南·高三阶段练习）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为边�

�𝐶的中点，𝐸在边𝐴𝐶上，且𝐸𝐶=2𝐴𝐸，𝐴𝐷与𝐵𝐸交于点𝐹，若𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，则𝜆+𝜇=（）A．−12B．−34C．12D．34【解题思路】根据三点共线的结论：𝐴,𝐵,𝐶三点共线，则𝑂𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝜆+𝜇=1，结合平面向量基本定理、向量的线性运算求解.【解答过程】以{𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗}为基底向量，则有：∵𝐵,𝐸,𝐹三点共线，则𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+(1−𝑥)�

�𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13(1−𝑥)𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，又∵𝐴,𝐹,𝐷三点共线，且𝐷为边𝐵𝐶的中点，则𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝑦𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=12𝑦𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+

12𝑦𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，∴{𝑥=12𝑦13(1−𝑥)=12𝑦，解得{𝑥=14𝑦=12，即𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=14𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+14𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.∵𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗=(14𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+14𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=14𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−34𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，∴𝜆=14,𝜇=−34，则𝜆+𝜇=−12.故选：A.【变式2-2】（2022春·内蒙古赤峰·高一期末）如图，

平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗(𝑥,𝑦∈𝑅)，则𝑥−𝑦等于（）A．1B．−1C．12D．−12【解题思路】根据向量的加减法运算及平面向量基本定理求解即可.【解答过程】由题意知𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗

=𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=−14𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=−14(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=−14𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+34𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗，因为𝐸𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗(𝑥,𝑦∈𝑅)，所以𝑥=−14，𝑦=34，𝑥−𝑦=−1.故选：B.【变式2-3】（2022秋•安徽期末）已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，E为AO的中点，若𝐴𝐸→=

𝜆𝐴𝐵→+𝜇𝐴𝐷→，则λ+μ＝（）A．12B．13C．14D．1【解题思路】在平行四边形ABCD中，点O为AC的中点，又E为AO的中点，则𝐴𝐸→=12𝐴𝑂→，然后利用平面向量基本定理即可求解．【解答过程】解：在平行四边形ABCD中，点O为

AC的中点，又E为AO的中点，则𝐴𝐸→=12𝐴𝑂→=12×12𝐴𝐶→=12×12(𝐴𝐵→+𝐴𝐷→)=14𝐴𝐵→+14𝐴𝐷→，所以𝜆=𝜇=14，则𝜆+𝜇=12，故选：A．【题型3平面向量的坐标运算】【方法点拨】(1)向量的线性运算的坐标表示主要是利用

加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用.(2)利用向量线性运算的坐标表示解题，主要根据相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解.【例3】（2022秋·新疆喀什·高一阶段练习

）若𝑎=(3,2),𝑏⃗=(0,−1)，则4𝑎+3𝑏⃗的坐标为（）A．(5,12)B．(12,6)C．(12,5)D．(−12,−5)【解题思路】根据题意和平面向量运算的坐标表示直接得出结果.【解答过程】因为𝑎=

(3,2),𝑏⃗=(0,−1)，所以4𝑎+3𝑏⃗=(12,5).故选：C.【变式3-1】（2022·高二课时练习）在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶为一条对角线.若𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(2,4)，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(1,3)，则𝐵𝐷⃗⃗

⃗⃗⃗⃗=（）A．(−2,4)B．(−3,−5)C．(3,5)D．(−3,−7)【解题思路】在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，由𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(2,4)，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(1,3)，利用减法得到𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，然后利

用减法求𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗.【解答过程】在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(2,4)，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(1,3)，所以𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,−1)，所以𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗=(2,4)−(−1,−1)=(3,5).故选：C.【变式3-2】（2022春·广西南宁·高一期末）已知向量𝑎=(−1,2),𝑏⃗=(3,−5)，则3𝑎+2𝑏⃗等于（）A．(3,−4)B．(0,−4)C．(3,6)D．

(0,6)【解题思路】由向量坐标运算直接求解即可.【解答过程】3𝑎+2𝑏⃗=3(−1,2)+2(3,−5)=(3,−4).故选：A.【变式3-3】（2022春·河南平顶山·高一期末）已知向量𝑎=(2,−1)，𝑏⃗=(1,6)，𝑐=(7,3)，则𝑐可用𝑎与𝑏⃗表示为

（）A．3𝑎+𝑏⃗B．𝑎+3𝑏⃗C．3𝑎+2𝑏⃗D．3𝑎−𝑏⃗【解题思路】设𝑐=𝑥𝑎+𝑦𝑏⃗，根据坐标关系建立方程可求出.【解答过程】设𝑐=𝑥𝑎+𝑦𝑏⃗，x，𝑦∈𝑅，则(7,3)=(2𝑥+𝑦,−𝑥+6𝑦)，即{2𝑥+𝑦=7−𝑥+6𝑦=3

，解得{𝑥=3𝑦=1，∴𝑐=3𝑎+𝑏⃗.故选：A.【题型4向量共线、垂直的坐标表示】【方法点拨】向量共线、垂直的坐标表示的应用有两类：一是判断向量的共线（平行）、垂直；二是根据向量共线、垂直来求参数的值；根据题目条件，结合具体问题进行求解即可.【例4】（2022秋·河南

南阳·高二开学考试）在平面直角坐标系中，已知𝑎=(1,−2),𝑏⃗=(3,4)．(1)若(3𝑎−𝑏⃗)∥(𝑎+𝑘𝑏⃗)，求实数k的值；(2)若(𝑎−𝑡𝑏⃗)⊥𝑏⃗，求实数t的值．【解题思路】（1）由共线向量的坐标公式，可得答案；（

2）由垂直向量的数量积为零，根据坐标公式，可得答案.【解答过程】（1）因为𝑎=(1,−2),𝑏⃗=(3,4)．所以3𝑎−𝑏⃗=3(1,−2)−(3,4)=(0,−10)，𝑎+𝑘𝑏⃗=(1,−2)+𝑘(3,4)=(3𝑘+1,4𝑘−2)，因为(3

𝑎−𝑏⃗)∥(𝑎+𝑏⃗)所以−10(3𝑘+1)=0，解得𝑘=−13．（2）𝑎−𝑡𝑏⃗=(1,−2)−𝑡(3,4)=(1−3,−2−4𝑡)，因为(𝑎−𝑡𝑏⃗)⊥𝑏⃗，所以(𝑎−𝑡𝑏⃗)⋅𝑏⃗=3×(1−3𝑡)+4×(−2−4𝑡)=−25𝑡−5

=0，解得𝑡=−15．【变式4-1】（2022春·广东潮州·高一期中）已知𝑎=(1,0),𝑏⃗=(2,1)（1）当𝑘为何值时，𝑘𝑎−𝑏⃗与𝑎+2𝑏⃗垂直（2）若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑎+3𝑏⃗,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎+𝑚𝑏⃗，且𝐴､𝐵､𝐶三点共线，求𝑚的值．

【解题思路】（1）𝑘𝑎−𝑏⃗与𝑎+2𝑏⃗垂直，即𝑘𝑎−𝑏⃗与𝑎+2𝑏⃗的数量积为0，利用坐标计算可得𝑘值；（2）因为𝐴,𝐵,𝐶三点共线，所以𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗∥𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，利用平面向量共线的坐标公式计算可得𝑚的值．【解

答过程】解：（1）𝑘𝑎−𝑏⃗=𝑘(1,0)−(2,1)=(𝑘−2,−1)，𝑎+2𝑏⃗=(1,0)+2(2,1)=(5,2)，因为𝑘𝑎−𝑏⃗与𝑎+2𝑏⃗垂直，所以5(𝑘−2)+(−1)×2=0，即5𝑘−10−2=0，得�

�=125.（2）𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑎+3𝑏⃗=2(1,0)+3(2,1)=(8,3)𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎+𝑚𝑏⃗=(1,0)+𝑚(2,1)=(2𝑚+1,𝑚)，因为𝐴,𝐵,𝐶三点共线，所以𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗∥𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗

⃗．所以8𝑚−3(2𝑚+1)=0，即2𝑚−3=0，所以𝑚=32.【变式4-2】（2023·高一单元测试）已知𝑎=(1,2)，𝑏⃗=(−3,2)．(1)当k为何值时，𝑘𝑎+𝑏⃗与𝑎−3𝑏⃗垂直？(2)当k为何值时，𝑘𝑎+𝑏⃗与𝑎−3𝑏⃗平行

？【解题思路】（1）根据向量数量积的坐标表示可得(𝑘𝑎+𝑏⃗)⋅(𝑎−3𝑏⃗)=0，即可求出k的值；（2）根据平行向量的定义可知需满足−3𝑘=1即可得出k的值.【解答过程】（1）𝑎⋅𝑏⃗=1×(−3)+2×2=1，(𝑘𝑎+𝑏⃗)⋅(𝑎−3

𝑏⃗)=𝑘|𝑎|2+(1−3𝑘)𝑎⋅𝑏⃗−3|𝑏⃗|2=2𝑘−38．若(𝑘𝑎+𝑏⃗)⊥(𝑎−3𝑏⃗)可得(𝑘𝑎+𝑏⃗)⋅(𝑎−3𝑏⃗)=0，即2𝑘−38=0，得𝑘=19，即𝑘=19时，𝑘𝑎+�

�⃗与𝑎−3𝑏⃗垂直；（2）因为𝑎，𝑏⃗不平行，由平行向量的定义可知，需满足−3𝑘=1时，即𝑘=−13时，𝑘𝑎+𝑏⃗与𝑎−3𝑏⃗平行.【变式4-3】（2022秋·河南开封·高三阶段练习）已知向量𝑎=(3,2)，𝑏⃗=(𝑥,-1)(1)当(2𝑎-𝑏⃗)

⊥𝑏⃗，求𝑥的值；(2)当𝑐=(-8,-1)，𝑎∥(𝑏⃗+𝑐)，求向量𝑎与𝑏⃗的夹角𝛼【解题思路】（1）根据向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示即可求解，（2）根据向量平行的坐标关系可求𝑥=5，进而根据向量夹角公式即可求解．【解答过程】（1）因为向量𝑎=(3,2)

，𝑏⃗=(𝑥,-1)，所以2𝑎-𝑏⃗=(6,4)-(𝑥,-1)=(6-𝑥,5)，由(2𝑎-𝑏⃗)⊥𝑏⃗得(2𝑎-𝑏⃗)⋅𝑏⃗=0，即(6-𝑥,5)⋅(𝑥,-1)=0，即𝑥(

6-𝑥)-5=0，整理得𝑥2-6𝑥+5=0，解得𝑥=1或𝑥=5，所以𝑥=1或𝑥=5.（2）因为𝑐=(-8,-1),𝑏⃗=(𝑥,-1)，𝑎=(3,2)，所以𝑏⃗+𝑐=(𝑥-8,-2)，由𝑎//(𝑏⃗+𝑐)，可得3×(-2)-2×(𝑥-8)=0，解得𝑥=5，

所以|𝑎|=√9+4=√13,|𝑏⃗|=√25+1=√26，𝑎⋅𝑏⃗=3×5+2×(-1)=13，所以cos𝛼=𝑎⃗⋅𝑏⃗|𝑎⃗|⋅|𝑏⃗|=13√13×√26=√22，又𝛼∈[0,π]，所以�

�=π4．【题型5向量坐标运算与平面几何的交汇】【方法点拨】利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.常用方法是建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算转

化为代数问题来解决.【例5】（2022春·吉林长春·高一阶段练习）如图，已知𝑂是平面直角坐标系的原点，∠𝑂𝐴𝐵=∠𝐴𝐵𝐶=120∘，|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=2|𝐴𝐵⃗⃗

⃗⃗⃗|=4．(1)求𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗坐标；(2)若四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为平行四边形，求点𝐷坐标．【解题思路】（1）过点𝐵作𝐵𝐸垂直𝑥轴于点𝐸，在Rt△𝐴𝐵𝐸中，即可求出𝐴𝐸,𝐵𝐸

的值，进而求得点𝐵坐标，再根据|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=4，求出点𝐴坐标，由此即可求出𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗坐标.（2）如下图作出辅助线，根据直角三角形的特点，可求出点𝐶的坐标，再设点𝐷(𝑥,𝑦)，根据题意可知𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷

𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，由此即可求出点𝐷坐标．【解答过程】（1）解：过点𝐵作𝐵𝐸垂直𝑥轴于点𝐸，如下图所示：因为∠𝑂𝐴𝐵=120°，所以∠𝐸𝐴𝐵=60°，又|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=2，所以在

Rt△𝐴𝐵𝐸中，𝐴𝐸=1,𝐵𝐸=√3，又|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=4，所以𝐴(4,0),𝐵(5,√3)，所以𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1,√3)（2）解：过点𝐶作𝐶𝐹垂直𝑥轴于点𝐹，过点𝐵作𝐵𝑀垂直𝐶𝐹轴于点𝑀，过点𝐴作𝐴𝑁垂直𝐵𝑀轴于点𝑁，

如下图所示：在𝑅𝑡△𝐶𝑀𝐵中，|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=4，∠𝐶𝐵𝑀=60°，所以𝐵𝑀=2,𝐶𝑀=2√3，在𝑅𝑡△𝐴𝑁𝐵中，|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=2，∠𝐴𝐵𝑁=60°，所以𝐵𝑁=1,𝐴𝑁=√3，即𝑀𝑁=𝐴𝐹=1,𝑀𝐹=√3所以�

�𝐹=3√3,𝑂𝐹=3，即𝐶(3,3√3)，设点𝐷(𝑥,𝑦)，因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为平行四边形，所以𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，又𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1,√3),𝐷�

�⃗⃗⃗⃗⃗=(3−𝑥,3√3−𝑦)所以{3−𝑥=13√3−𝑦=√3，解得{𝑥=2𝑦=2√3，所以点𝐷坐标为(2,2√3).【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD中，𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗，𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗，�

�𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐺𝐸⃗⃗⃗⃗⃗.(1)用𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗表示𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗；(2)若|𝐴𝐵|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=6，|𝐴𝐷|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3√2，∠𝐵𝐴𝐷=45°，如图建立直角坐标系，求𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗和𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗的坐

标.【解题思路】（1）根据向量的加法及数乘运算求解；（2）建立平面直角坐标系，利用坐标运算求解即可.【解答过程】(1)𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，又𝐹�

�⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐺𝐸⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=2(𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗)，所以𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=59𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+79𝐴𝐷⃗⃗⃗

⃗⃗；(2)过点D作AB的垂线交AB于点𝐷′，如图，于是在Rt△𝐴𝐷𝐷′中，由∠𝐵𝐴𝐷=45°可知，𝐴𝐷′=3，根据题意得各点坐标：𝐴(0,0)，𝐵(6,0)，𝐶(9,3)，𝐷(3,3)，𝐸(5,3)，𝐹(7,1)，�

�𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=59𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+79𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=59(6，0)+79(3,3)=(173,73)，所以𝐺(173,73)，所以𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(6,0)，𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=(173,73)，𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(

4,−2),𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=(13,−73).【变式5-2】（2022春·浙江杭州·高一期中）已知半圆圆心为O点，直径𝐴𝐵=2，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．(1)求点A、B、C

的坐标；(2)若𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=34𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−14𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，求𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗与𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗夹角的大小；(3)试求点P的坐标，使𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗取得最小值，并求此最小值．【解题思路】（1）利用任意角三角函数的定义易求𝐴、𝐵、

𝐶的坐标；（2）利用平面向量的夹角公式求解即可；（3）设𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑡𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗(0≤𝑡≤1)，用𝑡表示𝑃点坐标，代数量积的坐标计算公式即可求解【解答过程】（1）因为半圆的直径𝐴𝐵=2，由题易知：又𝐴(−1,0)，�

�(1,0).又𝑂𝐶=1，∠𝐵𝑂𝐶=2π3，则𝑥𝐶=cos2π3=−12，𝑦𝐶=sin2π3=√32，即𝐶(−12,√32).（2）由（1）知，𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(−12,−√32)，𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(32,−

√32)，所以𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=34𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−14𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(−34,−√34).设𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗与𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗夹角为𝛼，则cos𝛼=𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|

=−34√32×√3=−12，又因为𝛼∈[0,𝜋]，所以𝛼=2π3，即𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗与𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗的夹角为2π3.（3）设𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑡𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗(0≤𝑡≤1)，由（1）知，𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑡(−12,√32)=(−12𝑡,√32𝑡)，𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗

⃗=(12𝑡,−√32𝑡)，𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(12𝑡−1,−√32𝑡)，所以𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=12𝑡(12𝑡−1)+34𝑡2=𝑡2−12𝑡=(𝑡−14)2−116，又因为0≤𝑡≤1，所以当𝑡=14时，𝑃

𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗有最小值为−116，此时点𝑃的坐标为(−18,√38).【变式5-3】（2022春·江苏镇江·高一期中）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，𝐴(6,0),𝐶(1,√3)，点M满足

𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，点P在线段BC上运动（包括端点），如图所示．(1)求与𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗共线的单位向量𝑎的坐标；(2)求∠OCM的余弦值；(3)是否存在实数λ，使(𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−𝜆𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗)⊥𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗?若存在，求出实数λ的取值范围；

若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据向量的坐标运算和单位向量的定义可求得答案；（2）根据向量的夹角运算公式可求得答案；（3）设𝑃(𝑡,√3)，根据向量垂直的坐标表示可求得(2𝑡−3)𝜆=12．分𝑡=32，𝑡≠32讨论可求得𝜆的范围.【解答过程】（1）解：因为点𝐶(

1,√3)，所以𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(1,√3)，所以𝑎=(12,√32)或(−12,−√32)；（2）解：由题意可得𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(6,0),𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(1,√3),𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗

⃗=(3,0),𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,−√3),𝐶𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,−√3)，故cos∠𝑂𝐶𝑀=cos⟨𝐶𝑂⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⟩=𝐶𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝐶�

�⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√714．（3）解：设𝑃(𝑡,√3)，其中1⩽𝑡⩽5,𝜆𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(𝜆𝑡,√3𝜆),𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−𝜆𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(6−𝜆𝑡,−√3𝜆),𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,−√3)．若(𝑂𝐴⃗⃗

⃗⃗⃗−𝜆𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗)⊥𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则(𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−𝜆𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗)⋅𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，即12−2𝜆𝑡+3𝜆=0，可得(2𝑡−3)𝜆=12．若𝑡=32

，则𝜆不存在，若𝑡≠32，则𝜆=122𝑡−3,∵𝑡∈[1,32)∪(32,5]，故𝜆∈(−∞,−12]∪[127,+∞)．【题型6向量坐标运算与三角函数的交汇】【方法点拨】先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识(平面向量数量积的

坐标表示、平面向量模与夹角的坐标表示、平面向量平行与垂直的坐标表示等)将问题转化为与三角函数有关的问题(如化简、求值、证明等)，再利用三角函数的相关知识求解即可.【例6】（2022秋·江苏盐城·高三期中）已知O为坐标原点，𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(1,√3),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

=(cos𝛼,sin𝛼)．(1)若𝛼=𝜋3，求|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|；(2)若𝛼∈[0,𝜋2]，求𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围．【解题思路】（1）利用�

�=𝜋3，求出𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，利用向量的模长公式，即可求解.（2）利用𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=√3sin𝛼+cos𝛼=2sin(𝛼+𝜋6)，再根据𝛼∈[0,𝜋2]，即可求出𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗的取值

范围.【解答过程】（1）𝛼=𝜋3时，𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(12,√32)，∴𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(32,3√32)∴|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=√94+274=3（2）𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=√3sin𝛼+cos𝛼=

2sin(𝛼+𝜋6)∵0≤𝛼≤𝜋2，∴𝜋6≤𝛼+𝜋6≤2𝜋3，∴∴𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围为[1,2]．【变式6-1】（2022秋·河南信阳·高三阶段练习）已知向量𝑎=(2,1),𝑏⃗=(cos𝜃,sin𝜃).(1)若𝑎⊥𝑏⃗，求3cos�

�+sin𝜃cos𝜃−sin𝜃的值；(2)求𝑎⋅𝑏⃗的最大值及𝑎⋅𝑏⃗取得最大值时角𝜃的余弦值.【解题思路】（1）利用向量𝑎⊥𝑏⃗得到tan𝜃=−2，对所求的式子进行弦化切代入tan𝜃=−2

可得答案；（2）由数量积的坐标运算和辅助角公式化简可得𝑎⋅𝑏⃗=√5sin(𝜃+𝜑)，再根据三角函数的有界性可得最大值及cos𝜃.【解答过程】（1）因为向量𝑎=(2,1),𝑏⃗=(cos𝜃,sin𝜃),𝑎⊥𝑏⃗，所以𝑎⋅

𝑏⃗=2cos𝜃+sin𝜃=0，所以tan𝜃=−2，3cos𝜃+sin𝜃cos𝜃−sin𝜃=3+tan𝜃1−tan𝜃=3−21+2=13；（2）𝑎⋅𝑏⃗=2cos𝜃+sin𝜃=√5sin(𝜃+𝜑)，其中sin𝜑=2√5,cos

𝜑=1√5，当𝜃+𝜑=2𝑘π+π2(𝑘∈Z)时，取得最大值√5，此时cos𝜃=cos(2𝑘π+π2−𝜑)=cos(π2−𝜑)=sin𝜑=2√55(𝑘∈Z)，即cos𝜃=2√55时，𝑎⋅𝑏⃗取得最大值√5.【变式6-2】（2022秋·甘肃张掖

·高三阶段练习）已知𝑎=(sin𝑥+cos𝑥,2cos𝜃)，𝑏⃗=(2sin𝜃,12sin2𝑥)．(1)若𝑐=(−3，4)，且𝑥=𝜋4，𝜃∈(0,𝜋)时，𝑎与𝑐的夹角为钝角，求cos𝜃

的取值范围；(2)若𝜃=𝜋3，函数𝑓(𝑥)=𝑎⋅𝑏⃗，求𝑓(𝑥)的最小值．【解题思路】(1)又𝑎与𝑐的夹角为钝角，可得𝑎⋅𝑐<0且𝑎与𝑐不能共线，列不等式求cos𝜃的范围；(2)化简得𝑓(𝑥)=√3sin𝑥+

√3cos𝑥+sin𝑥cos𝑥，利用(sin𝑥+cos𝑥)2−12=sin𝑥cos𝑥将𝑓(𝑥)转化为关于sin𝑥+cos𝑥的二次函数，利用二次函数性质求值域.【解答过程】（1）当𝑥=𝜋4时，𝑎=(√2,2cos𝜃)，若𝑎与𝑐的夹角为钝角，则𝑎⋅𝑐<

0且𝑎与𝑐不能共线，𝑎⋅𝑐=(√2,2cos𝜃)⋅(−3,4)=−3√2+8cos𝜃<0，所以cos𝜃<3√28，又𝜃∈(0,𝜋)，所以cos𝜃∈(−1,1)，所以−1<cos𝜃<3√28，当𝑎与𝑐

共线时，4√2+6cos𝜃=0，故cos𝜃=−2√23，所以𝑎与𝑐不共线时，cos𝜃≠−2√23.综上：cos𝜃∈(−1,−2√23)∪(−2√23,3√28).（2）𝑓(𝑥)=𝑎⋅𝑏⃗=

(sin𝑥+cos𝑥,1)⋅(√3,12sin2𝑥)=√3sin𝑥+√3cos𝑥+12sin2𝑥=√3sin𝑥+√3cos𝑥+sin𝑥cos𝑥，令𝑡=sin𝑥+cos𝑥=√2sin(𝑥+𝜋4)∈[−√2,√2]，则sin𝑥cos𝑥=𝑡

2−12，𝑓(𝑥)=√3𝑡+𝑡2−12=12(𝑡+√3)2−2，而函数𝑦=12(𝑡+√3)2−2在𝑡∈[−√2,√2]上为增函数，故当𝑡=−√2时有最小值12−√6.故𝑓(𝑥)的最

小值为12−√6.【变式6-3】（2022秋·江苏镇江·高三期中）已知向量𝑎=(cos𝑥,sin𝑥),𝑏⃗=(3,−√3),𝑥∈[0,π].(1)若(𝑎+𝑏⃗)∥𝑏⃗，求𝑥的值；(2)记𝑓(𝑥)=𝑎⋅𝑏⃗，求函数𝑓(

𝑥)的图象向右平移π3个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，得到函数𝑔(𝑥)的图象，求函数𝑔(𝑥)的值域.【解题思路】（1）利用向量坐标的线性运算得𝑎+𝑏⃗的坐标，根据(𝑎+𝑏⃗)∥𝑏⃗的坐标关系可得si

n𝑥=−√33cos𝑥，从而可得tan𝑥=−√33，𝑥∈[0,π]，即可求解𝑥的值；（2）求解𝑓(𝑥)=𝑎⋅𝑏⃗化成余弦型函数，再由三角函数图象变化得𝑔(𝑥)，根据余弦函数图象性质求函数𝑔(𝑥)的值

域即可.【解答过程】（1）解：∵𝑎=(cos𝑥,sin𝑥),𝑏⃗=(3,−√3)，∴𝑎+𝑏⃗=(cos𝑥+3,sin𝑥−√3)，∵(𝑎+𝑏⃗)∥𝑏⃗，∴(cos𝑥+3)⋅(−√3)−

(sin𝑥−√3)⋅3=0，∴sin𝑥=−√33cos𝑥，即tan𝑥=−√33，∵𝑥∈[0,π]，∴𝑥=5π6.（2）解：𝑓(𝑥)=𝑎⋅𝑏⃗=3cos𝑥−√3sin𝑥=2√3cos(𝑥+π6)，由𝑓(𝑥)图象向

右平移π3，横坐标变为2倍得𝑔(𝑥)=2√3cos(12𝑥−π6)，∵𝑥∈[0,π]，∴12𝑥−π6∈[−π6,π3]，∵𝑦=cos𝑥在[−π6,0]单调递增，[0,π3]单调递减，∴cos(12𝑥−π6)∈[12,1]，∴2√3cos(12𝑥

−π6)∈[√3,2√3]，即𝑔(𝑥)值域为[√3,2√3].