【文档说明】2024届高考二轮复习文科数学试题（老高考旧教材） 专题检测5　解析几何 Word版含答案.docx，共(11)页，440.251 KB，由小赞的店铺上传

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专题检测五解析几何一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2023四川凉山期末)设直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay-1=0,若l1⊥l2,则a=

()A.0B.0或-1C.1D.-12.直线x+y=2与圆(x-2)2+(y-3)2=6交于A,B两点,则|AB|=()A.3√2B.√6C.√62D.2√33.(2023江西南昌一模)数学探究课上,某同学用拋物线C1:y2=-2px(p>0)

和C2:y2=2px(p>0)构造了一个类似“米”字形的图案,如图所示,若抛物线C1,C2的焦点分别为F1,F2,点P在拋物线C1上,过点P作x轴的平行线交抛物线C2于点Q,若|PF1|=2|PQ|=4,则p=()A.2B.3C.4D.64.(2023全国甲,文9)已知双

曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的离心率为√5,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|=()A.√55B.2√55C.3√55D.4√555.若点P(-3,1)为圆x2+y2=16的弦AB的中点,则弦AB所在直

线方程为()A.x+3y-10=0B.3x+y+8=0C.x-3y+10=0D.3x-y+10=06.(2023河南郑州一模)设F1,F2为双曲线C:𝑥23-y2=1的左、右焦点,Q为双曲线右支上一点,点P(0,2).当|QF1|+|PQ|取最小值时,|QF2|的值为()A.√3−√2

B.√3+√2C.√6-2D.√6+27.(2023宁夏吴忠一模)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,交其准线于点C,若点F是AC的中点,且|AF|=4,则线段AB的长为()A.5B.6C.1

63D.2038.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点A为C上一点,以F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点,若∠FBD=30°,△ABD的面积为2√3,则p=()A.1B.√2C.√3D.29.(2023

陕西安康二模)过抛物线x2=6y的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,且𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,则直线l的方程为()A.y=±√612x+32B.y=2√6x+32C.y=±2√6x-32D.y=√612x+3210.(2023江西吉安一模)椭圆E:

𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点P(1,1),满足𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,若直线AB的斜率为-14,则椭圆的离心率等于()A.14B.√32

C.12D.1311.(2023山东潍坊二模)已知双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,过F1作C的一条渐近线的垂线,垂足为点D,且|DF2|=2√2|OD|,则C的

离心率为()A.√2B.2C.√5D.312.已知椭圆C:𝑥24+𝑦23=1,过其左焦点F1作直线l交椭圆C于P,A两点,取P点关于x轴的对称点B.若G点为△PAB的外心,则|𝑃𝐴||𝐺𝐹1|=()A.2B.3C.4D.以上都不对二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分

.13.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点P在抛物线C上,PQ垂直l于点Q,QF与y轴交于点T,O为坐标原点,且|OT|=2,则|PF|=.14.(2022新高考Ⅱ,15)设点A(-2,3),B(0,a),直线AB关于直线y=a的对称直线为l,已知l与圆C:(

x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围为.15.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线C上的两个动点,且AF⊥AB,∠ABF=30°,设线段AB的中点M在准线l上的投影为点N,则|𝑀𝑁||𝐴𝐵|的值是.16.(20

23陕西西安一模)在生活中,可以利用如下图的工具绘制椭圆,已知O是滑竿上的一个定点,D可以在滑竿上自由移动,线段|OA|=|AD|=3,点E满足𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,则点E所形成的椭圆的离心率为.三、解答题

:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2023天津,18)设椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,右焦点为F,已知|A1F|=3,|A2F|=1.(1)求椭圆方程及其离心率;(2)已知点P是椭圆

上一动点(不与顶点重合),直线A2P交y轴于点Q,若△A1PQ的面积是△A2FP面积的二倍,求直线A2P的方程.18.(12分)(2023陕西铜川二模)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点P(-3,2),|PF|=2√5,若过点P作

直线与抛物线E顺次交于A,B两点,过点A作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为点C.(1)求抛物线E的标准方程;(2)求证:直线BC过定点.19.(12分)(2023陕西渭南二模)在直角坐标系xOy中,已知椭圆E:

𝑥22+y2=1的右顶点、下顶点、右焦点分别为点A,B,F.(1)若直线BF与椭圆E的另一个交点为C,求四边形ABOC的面积.(2)设M,N是椭圆E上的两个动点,直线OM与ON的斜率之积为-12,若点P满足𝑂�

�⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗,问:是否存在两个定点G,H,使得|PG|+|PH|为定值?若存在,求出G,H的坐标;若不存在,请说明理由.20.(12分)已知O为坐标原点,椭圆Γ:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=

1(a>b>0)的右顶点为A,离心率为√32.动直线l:y=1𝑚(x-1)与Γ相交于B,C两点,点B关于x轴的对称点为B',点B'到Γ的两焦点的距离之和为4.(1)求Γ的标准方程.(2)若直线B'C与x轴交于点M,△OAC,△AMC的面积分别为S1,S2,问𝑆1𝑆2是否为定值?若是,求出

该定值;若不是,请说明理由.21.(12分)如图,已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0),A1,A2分别是C的左、右端点,F2是右焦点.椭圆C过点(0,√3),离心率为12.(1)求椭圆C的方程;(2)若

直线x=4上有两个点M,N,且𝑀𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑁𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,①求△MNF2面积的最小值;②连接MA1交椭圆C于另一点P,证明:P,A2,N三点共线.22.(12分)(2023江西上饶二模)已知

抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,2).(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;(2)如图,点P(x0,y0)(x0>4)是抛物线C上的动点,点B,C在y轴上,圆Γ:(x-2)2+y2=4内切于△PBC

,求△PBC面积的最小值.专题检测五解析几何1.A解析由直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay-1=0,因为l1⊥l2,可得a×1+1×a=0,解得a=0.故选A.2.B解析圆心(2,3)到直线x+y=2的距离为d=|2+3

-2|√12+12=3√22,又|𝐴𝐵|2=√𝑟2-𝑑2=√6-92=√62,故|AB|=√6.故选B.3.D解析因为2|PQ|=4,即|PQ|=2,由抛物线的对称性知点P的横坐标xP=-1,由抛物线定义可知,|PF1|=𝑝2-xP,即4=𝑝2-(-1),解得p=6,故选D.

4.D解析由e=𝑐𝑎=√5,得c=√5a,所以b=√𝑐2-𝑎2=2a.所以双曲线的渐近线为y=±𝑏𝑎x=±2x.由题意知,双曲线的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,所以满足条件的渐近线为y=𝑏𝑎x=2x.又圆心(2

,3)到渐近线2x-y=0的距离d=|2×2-3|√22+(-1)2=√55,圆的半径r=1,所以|AB|=2√𝑟2-𝑑2=2√1-15=4√55.故选D.5.D解析圆心为O(0,0),直线OP的斜率为kOP=-13,因为OP⊥AB,所以直线AB的斜率为kAB=3,故直线AB的方程为y-1=3

(x+3),即3x-y+10=0.6.A解析由双曲线定义得|QF1|-|QF2|=2a=2√3,故|QF1|+|PQ|=|PQ|+|QF2|+2√3,如图所示,当P,Q,F2三点共线,即Q在点M位置时,|QF1|+|PQ|取最小

值.∵F2(2,0),P(0,2),故直线PF2的方程为y=-x+2,联立{𝑦=-𝑥+2,𝑥23-𝑦2=1,得点Q3-√62,√62-1,故|QF2|=√(3-√62-2)2+(√62-1)2

=√(√3-√2)2=√3−√2,故选A.7.C解析设A,B在准线上的射影分别为点M,N,准线与横轴交于点H,则FH=p,由于点F是AC的中点,|AF|=4,∴AM=4=2p,∴p=2.设BF=BN=x,则𝐵𝑁𝐹𝐻=𝐵𝐶𝐶𝐹,即𝑥2=4-𝑥4,解

得x=43.∴AB=AF+BF=4+43=163.8.A解析如图,设准线与x轴交点为H,由∠FBD=30°,得圆的半径|FA|=|FB|=2|FH|=2p,|BD|=2|BH|=2×|FB|cos∠FBD=2√3p,点A到准线l的距离d=|FA|=2p,所以S△ABD=12|BD|·d=√3

p·2p=2√3,解得p=1,故选A.9.A解析F0,32,经分析,直线l的斜率必存在.设直线l的方程为y=kx+32,A(x1,y1),B(x2,y2).∴{𝑦=𝑘𝑥+32,𝑥2=6𝑦,消去y,整理得x2-6

kx-9=0,显然Δ>0成立,则x1+x2=6k,x1x2=-9.∵𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,∴-x1=23x2,代入x1+x2=6k,x1x2=-9,消元得k2=124,∴k=±√612,

∴直线l的方程为y=±√612x+32.故选A.10.B解析设点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x,y),∵P(1,1),且𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,∴(1-x1,1-y1)=2(x-1,y-1),即{1-𝑥1=2(𝑥-1),

1-𝑦1=2(𝑦-1),解得C3-𝑥12,3-𝑦12,由A,C两点在椭圆E上,有{𝑥12𝑎2+𝑦12𝑏2=1①,(3-𝑥1)24𝑎2+(3-𝑦1)24𝑏2=1②,①-4×②,得3(2𝑥1-3)𝑎2+3(2𝑦1-3)𝑏2=-3,即2b2x1+2a2y1

+a2b2-3a2-3b2=0,同理可得2b2x2+2a2y2+a2b2-3a2-3b2=0,∴直线AB的方程为2b2x+2a2y+a2b2-3a2-3b2=0,从而直线AB的斜率为-𝑏2𝑎2=-1

4,由e2=1-𝑏2𝑎2=34,可得e=√32.故选B.11.C解析如图所示,双曲线C的左焦点F1(-c,0),渐近线l1的方程为bx-ay=0.由题意|DF1|=𝑏𝑐√𝑏2+(-𝑎)2=𝑏𝑐𝑐=b,|OD|=√|𝑂𝐹1|2-|𝐷𝐹1|2

=√𝑐2-𝑏2=a.在Rt△DOF1中,∠ODF1=π2,∴cos∠DOF1=|𝑂𝐷||𝑂𝐹1|=𝑎𝑐,在△DOF2中,|OD|=a,|DF2|=2√2a,|OF2|=c,cos∠DOF2=cos(π-∠DOF1)=-cos∠DOF1=-𝑎

𝑐.由余弦定理得cos∠DOF2=|𝑂𝐷|2+|𝑂𝐹2|2-|𝐷𝐹2|22|𝑂𝐷|·|𝑂𝐹2|=𝑎2+𝑐2-8𝑎22𝑎𝑐=-𝑎𝑐,化简得c2=5a2,即c=√5a.所以

双曲线C的离心率为e=𝑐𝑎=√5.故选C.12.C解析(方法一)由题意,得F1(-1,0),显然直线PA的斜率存在且不为0,设其方程为y=k(x+1)(k≠0),由{𝑦=𝑘(𝑥+1),𝑥24+𝑦23=1,得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,设P(x1,y1),A(

x2,y2),故x1+x2=-8𝑘23+4𝑘2,x1x2=4𝑘2-123+4𝑘2,y1+y2=k(x1+x2)+2k=6𝑘3+4𝑘2,故|PA|=√1+𝑘2×√(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2=12(𝑘2+1)3+4𝑘2,设P

A的中点为H,则其坐标为𝑥1+𝑥22,𝑦1+𝑦22,即-4𝑘23+4𝑘2,3𝑘3+4𝑘2,显然x轴垂直平分PB,故可设G(x3,0),又GH直线方程为y-3𝑘3+4𝑘2=-1𝑘x+4𝑘23+4𝑘2.令y=0,解得x=

-𝑘23+4𝑘2,故|GF1|=-𝑘23+4𝑘2+1=3+3𝑘23+4𝑘2,故|𝑃𝐴||𝐺𝐹1|=12(𝑘2+1)3+3𝑘2=4.(方法二)设A(x1,y1),P(x2,y2),AP中点

为M(x0,y0),则由中点弦斜率公式得kAP·kOM=-34,又由题设可知kAP·kGM=-1,∴两式相除得kGM=43kOM=4𝑦03𝑥0,则直线MG的方程为y-y0=4𝑦03𝑥0(x-x0),显然x轴垂直平分PB,故G点在x轴上,令y=0,得x=𝑥

04,∴G点坐标为𝑥04,0,易知x0>-1,|GF1|=𝑥04+1,又由焦半径公式|PF左|=a+exP,得|PA|=|AF1|+|F1P|=2+12x1+2+12x2=x0+4,则|𝑃𝐴||𝐺𝐹1|=4.13.5解析不妨设点P在第一象限,PQ与y轴交于点M,则易知△MQT∽△OFT

,则𝑀𝑇𝑂𝑇=𝑀𝑄𝑂𝐹,又OF=MQ=1,OT=2,所以MT=2.所以点P,Q的纵坐标都为4,代入抛物线方程求得P(4,4),故PF=4+1=5.14.13,32解析因为kAB=𝑎-32,所以直线A

B关于直线y=a的对称直线为(3-a)x-2y+2a=0.由题意得|3(𝑎-3)+4+2𝑎|√4+(3-𝑎)2≤1,整理解得13≤a≤32.15.√32解析如图所示,作BE⊥l于点E,AD⊥l于点D,设|AF|=a,|BF|=b,由抛物线定义,

得|AF|=|AD|,|BF|=|BE|,在梯形ABED中,2|MN|=|AD|+|BE|=a+b,由AF⊥AB,∠ABF=30°,得b=2a,则|MN|=3𝑎2,又|AB|=√|𝐵𝐹|2-|𝐴𝐹|2=√𝑏2-𝑎2=√3a,故|𝑀�

�||𝐴𝐵|=√32.16.2√65解析(方法一)由|AD|=3,𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,得|AE|=2,以点O为坐标原点,直线OD为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,过点E作PC⊥OD于点C,交OA的延长线于点P,过点A作AB⊥PE于点B,有AB∥x轴,而|OA|=

|AD|,即∠PAB=∠AOD=∠ADO=∠EAB,则点B是PE的中点,且有|AP|=|AE|=2,因此|OP|=5,|PE|=2|BE|=4|EC|,即|PC|=5|EC|.设E(x,y),有P(x,5y),于是x2+(5y)2=25,整理得点E的轨迹方程为𝑥225

+y2=1,该椭圆长半轴长a=5,短半轴长b=1,所求离心率e=𝑐𝑎=√𝑎2-𝑏2𝑎=2√65.(方法二)如图,以点O为坐标原点,直线OD为x轴建立平面直角坐标系,过点A,E分别作x轴的垂线,垂足

分别为点F,C,设E(x,y),因为𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,所以|FC|=2|CD|,设|CD|=n,则|OF|=|FD|=3n,|OC|=5n,即x=5n,点A的横坐标xA=3n=35x,又𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,所以点A的纵坐标yA=3y,即A35x

,3y,由|OA|=3,得9𝑥225+9y2=9,即点E的轨迹方程为𝑥225+y2=1,所求离心率e=𝑐𝑎=√𝑎2-𝑏2𝑎=2√65.17.解(1)设椭圆的焦距为2c,则{𝑎+𝑐=3,𝑎-𝑐=1,解得{𝑎=2,

𝑐=1,b2=a2-c2=3,e=𝑐𝑎=12,所求椭圆方程为𝑥24+𝑦23=1.(2)设P(x0,y0),x0∈(-2,0)∪(0,2).由(1)及题意可知A1(-2,0),A2(2,0),

F(1,0),所以直线A2P的方程为y-0=𝑦0𝑥0-2(x-2),令x=0,则y=-2𝑦0𝑥0-2,即Q0,-2𝑦0𝑥0-2.所以𝑆△𝐴1𝑃𝑄=|𝑆△𝐴1𝐴2𝑄−𝑆△𝐴1𝐴2𝑃|=|12×4×|-2𝑦0𝑥0-2|-12×4×|𝑦0||

=||4𝑦0𝑥0-2|-2|𝑦0||,𝑆△𝐴2𝐹𝑃=12×1×|y0|=12|y0|.由题意可得||4𝑦0𝑥0-2|-2|𝑦0||=2×12|y0|,所以|x0-2|=4(舍)或|x0-2|=43,所以x0=103(舍)或x0=23,所以P23,±2√63,所以直线A2P

的方程为√3x+√2y-2√3=0或√3x-√2y-2√3=0.18.解(1)由题意可知F𝑝2,0,∴|PF|=√(-3-𝑝2)2+(2-0)2=2√5,又p>0,∴p=2,∴抛物线E的标准方程为y2=4x.(2)显然直线AB斜率存在,设直线AB

的方程为y-2=k(x+3),联立方程{𝑦-2=𝑘(𝑥+3),𝑦2=4𝑥,消去x,整理得ky2-4y+8+12k=0(k≠0),∴Δ=16(-3k2-2k+1)>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),∴y1+y2=4𝑘,y1y2=8𝑘+

12,∴y1y2=2(y1+y2)+12,①直线AC的方程为y-y1=x-𝑦124,联立方程{𝑦-𝑦1=𝑥-𝑦124,𝑦2=4𝑥,消去x,整理得y2-4y+4y1-𝑦12=0,∴Δ=16-4(

4y1-𝑦12)>0,设C(x3,y3),则y1+y3=4,②由①②得(4-y3)y2-12=2(4-y3+y2),即2(y2+y3)=y2y3+20,③(ⅰ)若直线BC的斜率不存在,则y2+y3=0,又2(y2+y3)=y2y3+20,∴𝑦32=20,∴x3=𝑦324=5,∴直

线BC的方程为x=5.(ⅱ)若直线BC的斜率存在,为𝑦2-𝑦3𝑥2-𝑥3=4𝑦2+𝑦3,∴直线BC的方程为y-y2=4𝑦2+𝑦3x-𝑦224,即4x-(y2+y3)y+y2y3=0,将③代入得4x-(y2+y3)y+2(y2+y3)-20=0,∴(y2+y3)(2-y)+

4(x-5)=0,∴直线BC斜率存在时过点(5,2),由(ⅰ)(ⅱ)可知,直线BC过定点(5,2).19.解(1)由题意c=√2-1=1,F(1,0),A(√2,0),B(0,-1),直线BF的方程为x-y=1,由{𝑥-𝑦=1,𝑥

22+𝑦2=1,得{𝑥=0,𝑦=-1或{𝑥=43,𝑦=13,所以C43,13,所以四边形ABOC的面积S=12×√2×1+13=2√23.(2)设P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),

由𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗得(x,y)=(x1,y1)+2(x2,y2),即x=x1+2x2,y=y1+2y2.点M,N在椭圆E上,所以𝑥122+𝑦12=1,𝑥222+𝑦22=1,所

以x2+2y2=(𝑥12+4x1x2+4𝑥22)+2(𝑦12+4y1y2+4𝑦22)=10+4(x1x2+2y1y2).直线OM,ON的斜率之积为kOMkON=𝑦1𝑦2𝑥1𝑥2=-12,即x1x2=-2y1y2,所以x2+2y2

=10,所以点P在椭圆𝑥210+𝑦25=1上,当点G,H分别为该椭圆的左、右焦点时,|PG|+|PH|为定值2√10,又√10-5=√5,因此这两个定点坐标为(-√5,0),(√5,0).20.解(1)因为B点在椭圆上,由椭圆的对称性,点B关于x轴的对称点

B'也在椭圆上,再由点B'到Γ的两焦点的距离之和为4可得2a=4,即a=2,又椭圆的离心率e=𝑐𝑎=√32,所以c=√3,可得b2=a2-c2=4-3=1,所以椭圆的方程为𝑥24+y2=1.(2)𝑆1𝑆2为定值.设B(x

1,y1),C(x2,y2),则B'(x1,-y1),由{𝑦=1𝑚(𝑥-1),𝑥24+𝑦2=1,得(4+m2)y2+2my-3=0,Δ>0显然成立,则y1+y2=-2𝑚4+𝑚2,y1y2=-34+𝑚2,又直线B'C的方程为𝑦+𝑦1𝑦2

+𝑦1=𝑥-𝑥1𝑥2-𝑥1,令y=0,可得x=𝑥2-𝑥1𝑦2+𝑦1y1+x1=𝑚𝑦1(𝑦2-𝑦1)𝑦2+𝑦1+my1+1=𝑚𝑦1𝑦2-𝑚𝑦12+𝑚𝑦12+𝑚𝑦1𝑦2𝑦2+𝑦1

+1=2𝑚𝑦1𝑦2𝑦2+𝑦1+1=2𝑚·-34+𝑚2-24+𝑚2+1=4,所以当m变化时直线B'C与x轴交于定点M(4,0),所以𝑆1𝑆2=12|𝑂𝐴|×|𝑦2|12|𝐴𝑀|×|𝑦2|=|𝑂𝐴||𝐴𝑀|=24-2=1,即𝑆1𝑆2为

定值,且定值为1.21.解(1)将点(0,√3)代入椭圆方程,得b=√3,由e=√1-(𝑏𝑎)2=√1-3𝑎2=12,解得a2=4,∴椭圆C的方程为𝑥24+𝑦23=1.(2)①设M(4,yM

),N(4,yN),由于F2(1,0),因此𝑀𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-3,-yM),𝑁𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-3,-yN),∵𝑀𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑁𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,∴yMyN+9=0,MF

2⊥NF2,∴𝑆△𝑀𝑁𝐹2=12√9+𝑦𝑀2·√9+𝑦𝑁2=12√81+9(𝑦𝑀2+𝑦𝑁2)+(𝑦𝑀𝑦𝑁)2=12√162+9(𝑦𝑀2+𝑦𝑁2)≥12√162+18|𝑦𝑀𝑦𝑁|=12√162+162=9,当且仅当|yM|=|yN|

,即-yM2+9=0,即yM=3,yN=-3时,等号成立,△MNF2面积的最小值为9.②证明:∵A1(-2,0),∴直线A1M的方程为y=yM6(x+2).由{y=yM6(x+2),x24+y23=1,得(27+yM2)x2+4yM2x+4yM2-108=0.设P(x1,y1),∴x

1+(-2)=-4yM227+yM2,∴x1=54-2yM227+yM2,代入直线A1M的方程得y1=18yM27+yM2,∴P(54-2yM227+yM2,18yM27+yM2).∵A2(2,0),∴直线PA2

的斜率为kPA2=18yM27+yM254-2yM227+yM2-2=18yM-4yM2=-92yM,直线NA2的斜率为kNA2=yN-04-2=yN2.∵yMyN+9=0,∴kNA2=-9yM2=-92yM=kPA2,故P,A2,N三

点共线.22.解(1)由题得22=2p,可得p=2,故抛物线C的方程为y2=4x,则准线方程为x=-1.(2)不妨设y0>0,又x0>4,则𝑦02=4x0>16,故y0>4,圆Γ的圆心为D(2,0),半径r=2.设B(0,yB),C(0,yC).令B,C分别在

x轴上方和下方,则yB>0>yC,设∠BCP=2α,则直线PC的倾斜角为π2-2α,且tanπ2-2α=1tan2𝛼=𝑦0-𝑦𝐶𝑥0,又tanα=2-𝑦𝐶,则tan2α=𝑥0𝑦0-𝑦𝐶=2tan𝛼1-ta

n2𝛼=4-𝑦𝐶·𝑦𝐶2𝑦𝐶2-4=-4𝑦𝐶𝑦𝐶2-4,整理得𝑦024(𝑦0-𝑦𝐶)=-4𝑦𝐶𝑦𝐶2-4,则(𝑦02-16)𝑦𝐶2+16y0yC-4𝑦02

=0,即[(y0-4)yC+2y0][(y0+4)yC-2y0]=0,而yC<0,y0>4,得yC=2𝑦04-𝑦0.设∠BDO=β,则直线PB的倾斜角为π2-2β,且tanπ2-2β=1tan2𝛽=𝑦0-𝑦𝐵𝑥0,又tanβ=𝑦𝐵2,则tan2β=𝑥0𝑦0-

𝑦𝐵=2tan𝛽1-tan2𝛽=𝑦𝐵1-𝑦𝐵24,整理得𝑦024(𝑦0-𝑦𝐵)=-4𝑦𝐵𝑦𝐵2-4,则(𝑦02-16)𝑦𝐵2+16y0yB-4𝑦02=0,即[(y0-4)yB+2y0][(y0

+4)yB-2y0]=0,而yB>0,y0>4,得yB=2𝑦04+𝑦0,又过点P与圆Γ的切线长为d=√𝑃𝐷2-𝑟2=√(𝑥0-2)2+𝑦02-4=x0=𝑦024,综上,△PBC周长为l=2(yB+|yC|+d)=2(yB-

yC+d)=22𝑦04+𝑦0+2𝑦0𝑦0-4+𝑦024=16+264𝑦02-16+𝑦02-164≥16+4√64𝑦02-16·𝑦02-164=32,当且仅当64𝑦02-16=𝑦02-164,即y0=4√2时等号成立,所以

△PBC的面积S△PBC=12rl≥32,故P(8,4√2)时△PBC面积的最小值为32,根据对称性P(8,-4√2)也可取到最小面积.综上,△PBC面积的最小值为32.