【文档说明】2024届高考二轮复习文科数学试题（老高考旧教材） 专题检测1　三角函数与解三角形 Word版含答案.docx，共(8)页，195.137 KB，由小赞的店铺上传

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专题检测一三角函数与解三角形一、选择题:本题共12题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.(2023山东日照一模)在平面直角坐标系xOy中,角θ的大小如图所示,则tanθ=()A.32B.43C.1D.

232.(2022北京,5)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则()A.f(x)在-π2,-π6内单调递减B.f(x)在-π4,π12内单调递增C.f(x)在0,π3内单调递减D.f(x)在π4,7π12内单调递增3.(2023北京

西城一模)函数f(x)=sin2x·tanx是()A.奇函数,且最小值为0B.奇函数,且最大值为2C.偶函数,且最小值为0D.偶函数,且最大值为24.(2023陕西安康一模)若sin(π+α)=-45,cos(π-2α)=()A.35B.-35C.72

5D.-7255.(2023陕西榆林一模)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若asinA+(b+λa)sinB=csinC,则λ的取值范围为()A.(-2,2)B.(0,2)C.[-2,2]D.[0,2]6.(2023黑龙江哈尔滨三中一

模)若sin2α+π6+cos2α=√3,则tanα=()A.√33B.1C.2-√3D.2+√37.(2023陕西安康二模)已知sinπ3+θ=14,-π2<θ<π6,则sin5π6+θ=()A.-14B.-√154C.√154D.148.(2023四川成都七中二模)已知在△ABC中,角A,B,

C的对边分别为a,b,c.若已知𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=4,且△ABC的面积为6,则sin𝐵cos𝐶+cos𝐵sin𝐶sin𝐴+3cos𝐴=()A.110B.-110C.12D.-129.(2023福建漳州二模)在△ABC中,若sinA,

cosB分别是方程6x2-x-1=0的两个根,则sinC=()A.1-2√66B.2√6-16C.-1+2√66D.1+2√6610.某港口一天24h内潮水的高度S(单位:m)随时间t(单位:h,0≤t≤24)的变化近似满足关系式S(t)=3sinπ6t+5

π3,则下列说法正确的有()A.相邻两次潮水高度最高的时间间距为24hB.4时潮水起落的速度为π6m/hC.当t=6时潮水的高度会达到一天中最低D.S(t)在[0,2]上的平均变化率为3√34m/h11.(2023广

东深圳名校联考)若tanα=(1-√3tan20°)·sin80°,则下列可能是α的值的是()A.20°B.40°C.50°D.70°12.(2023江西上饶一模)设函数f(x)=Acosωx(A>0,ω>0),若对∀x∈[6,7],f(x)≤0,则ω的最大值为()A.3π14

B.π2C.9π14D.11π14二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2023广东梅州一模)在平面直角坐标系中,点A(2,1)绕着原点O顺时针旋转60°得到点B,点B的横坐标为.14.(2023广

西南宁一模)已知函数f(x)=12cos(3x+φ)的图象关于点4π3,0对称,那么|φ|的最小值为.15.(2023陕西安康一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶

𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=35|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|2,则𝑎cos𝐵𝑏cos𝐴=.16.(2023陕西安康二模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足c=√22,a=2,acosC=b-12,则△ABC的面积

为.三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2022浙江,18)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=√5c,cosC=35.(1)

求sinA的值;(2)若b=11,求△ABC的面积.18.(12分)(2023四川成都玉林中学模拟)设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=π8.(1)

求φ;(2)求函数y=f(x)的单调递增区间;(3)画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象.19.(12分)(2023天津,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=√39,b=2,∠A=120°.(1)求sinB的值;(2)求c的

值;(3)求sin(B-C)的值.20.(12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2acsinBcosC=(2sinA-sinC)(a2+c2-b2).(1)求角B;(2)若a+c=6,a<b,△

ABC外接圆的面积为16π3,求cosA.21.(12分)(2023山东济南一模)已知在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)(sinA-sinB)=bsinC.(1)证明:A=2B;(2)若a=3,b=2,求△ABC的面积.22.(12分)(2023河南郑州统考一模

)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且b+c=acosB+√3asinB.(1)求角A的大小;(2)若D是BC边上一点,且CD=2DB,AD=2,求△ABC面积的最大值.专题检测一三角函数与解三

角形1.D解析过P作PQ⊥x轴,垂足为Q(图略),根据正切值的定义tanθ+π4=|𝑃𝑄||𝑂𝑄|=5,则tanθ+π4=tan𝜃+11-tan𝜃=5,解得tanθ=23.2.C解析f(x)=cos2x-sin2x=cos2x,对于选项A,当x∈-π2,-π6时,2x∈-π

,-π3,f(x)单调递增,故A错误;对于选项B,当x∈-π4,π12时,2x∈-π2,π6,f(x)不单调,故B错误;对于选项C,当x∈0,π3时,2x∈0,2π3,f(x)单调递减,故C正确;对于选项D,x∈π4,7π12时,2x∈π2,7π6,

f(x)不单调,故D错误.故选C.3.C解析∵f(x)=sin2x·tanx的定义域为xx≠kπ+π2,k∈Z,∴f(x)的定义域关于原点对称,且f(x)=sin2x·tanx=2sinxcosx·sin𝑥cos𝑥=2sin2x,而f(-x)=2sin

2(-x)=2sin2x=f(x),∴函数f(x)为偶函数;又f(x)=2sin2x=1-cos2x,x≠π2+kπ,k∈Z,∴cos2x∈(-1,1],即f(x)=1-cos2x∈[0,2),可得函数f(x)最小值为0,无最大值.故选C.4.C解析∵sin(π+α)=-

45,则sinα=45,所以cos(π-2α)=-cos2α=2sin2α-1=725.5.A解析因为asinA+(b+λa)sinB=csinC,由正弦定理得c2=a2+b2+λab.又因为c2=a2+b2-2abcosC,所以λ=-2cosC.因为C∈(0,π),所以cosC

∈(-1,1),故λ∈(-2,2).故选A.6.C解析由sin2α+π6+cos2α=√3,得sin2αcosπ6+cos2αsinπ6+cos2α=√3,所以√312sin2α+√32cos2α=√3,所以√3sin2α+π3=√3,即s

in2α+π3=1,解得2α+π3=π2+2kπ,k∈Z,即α=π12+kπ,k∈Z;tanα=tanπ12+kπ=tanπ12,k∈Z,因为tanπ12=tanπ3−π4=tanπ3-tanπ41+tanπ3·tanπ4,所以tanπ12=√3-11+√3=2

-√3.故选C.7.C解析sin5π6+θ=sinπ3+θ+π2=cosπ3+θ,∵-π2<θ<π6,∴-π6<π3+θ<π2,且sinπ3+θ=14>0,∴cosπ3+θ=√1-(14)2=√154,故选C.8.C解

析由题意,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=bccosA=4,△ABC的面积为12bcsinA=6,两式相除得到tanA=3,所以sin𝐵cos𝐶+cos𝐵sin𝐶sin𝐴+3cos𝐴=sin(𝐵+𝐶)sin𝐴+3cos𝐴=sin𝐴sin𝐴

+3cos𝐴=tan𝐴tan𝐴+3=12.故选C.9.B解析由6x2-x-1=0,解得x=12或x=-13,所以sinA=12,cosB=-13,所以0<A<π2,π2<B<π,所以cosA=√32,sinB=2√23,所以sinC=sin(A

+B)=sinAcosB+cosAsinB=12×-13+√32×2√23=2√6-16,故选B.10.D解析对于A,相邻两次潮水高度最高的时间间距为1个周期T=2ππ6=12(h),故A错误;对于B,S'(x)=3×π6cosπ6t+5π3,则S'(4)=π2cos2π3+

5π3=π4,故B错误;对于C,S(6)=3sinπ6×6+5π3=3√32,没有达到最低,故C错误;对于D,S(t)在[0,2]上的平均变化率为𝑆(2)-𝑆(0)2-0=3sin2π-3sin5π32=3√34(m/h),故D正确.故选D.11.A解析(1-√3tan

20°)·sin80°=(1-√3tan20°)·(sin60°cos20°+cos60°sin20°)=√32cos20°-32sin20°+12sin20°-√32·sin220°cos20°=√32cos20°-sin20°-√32·sin220

°cos20°=√32·cos220°cos20°−√32·sin220°cos20°-sin20°=√32·cos40°cos20°-sin20°=√3cos40°-sin40°2cos20°=2sin(60°-40°)2cos20°=tan20°,则有tanα=tan20°,所以α的可能取

值为20°,故选A.12.D解析由x∈[6,7],得ωx∈[6ω,7ω].由{6𝜔≥π2,7𝜔≤3π2,得π12≤ω≤3π14.由{6𝜔≥5π2,7𝜔≤7π2,得5π12≤ω≤π2.由{6𝜔≥9π2,7𝜔≤11π2

,得3π4≤ω≤11π14.由{6𝜔≥13π2,7𝜔≤15π2,无解.经检验,后面区间都无解.∴ωmax=11π14.13.1+√32解析由题意得|OA|=√22+12=√5,设OA与x轴非负半轴的夹角

为α,则sinα=1√5,cosα=2√5,则OB与x轴非负半轴的夹角为α-60°,设B(x,y),则|OB|=|OA|=√5,所以cos(α-60°)=𝑥√5,所以x=√5cos(α-60°)=√5×2√5×12+1√5×√32=1+√32.14.π2解析由f

(x)=12cos(3x+φ)的图象关于点4π3,0对称,得3×4π3+φ=kπ+π2,k∈Z,于是得φ=kπ-7π2,当k=3或4时,|φ|=π2,所以|φ|的最小值为π2.15.4解析由(𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=35|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|2,得𝐶𝐴⃗

⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=35|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|2,即-𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=35|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|2,所以-bc·cosA+

ac·cosB=35c2,即-bcosA+acosB=35c,由正弦定理得sinAcosB-sinBcosA=35sinC=35sin(A+B),化简得sinAcosB=4sinBcosA,𝑎cos𝐵𝑏cos𝐴=sin𝐴cos𝐵sin𝐵cos𝐴

=4.16.1+√158解析∵c=√22,acosC=b-12=b-√22c,∴sinAcosC=sinB-√22sinC,∴sinAcosC=sin(A+C)-√22sinC,化简得sinC·cosA-√22=0,解得cosA=√22,∴A=π4,∴cosA=𝑏

2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐,∴b2-b-72=0,解得b=1-√152(舍去)或b=1+√152.∴△ABC的面积S=12bcsinA=12×1+√152×√22×√22=1+√158.17.解(1)∵cosC=35且0<C

<π,∴sinC=45.又4a=√5c,∴𝑎𝑐=√54.由正弦定理得𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶,∴sin𝐴sin𝐶=𝑎𝑐=√54,∴sinA=√54×sinC=√54×45=√55.(2)∵b=11,∴由余弦定理可知c2=b2+a2-2abcosC,c2=112+√

54c2-2×√54c×11×35,c2=112+516c2-33√510c,即1116c2+33√510c-112=0,整理得5c2+24√5c-880=0,解得c=-24√5+64√52×5=4√5(负值舍去),∴a=√5

4×4√5=5.∴S△ABC=12absinC=12×5×11×45=22.18.解(1)∵x=π8是函数y=f(x)图象的一条对称轴,∴sin2×π8+φ=±1,即π4+φ=kπ+π2,k∈Z,φ=kπ+π4,k∈Z.∵-π<φ<0,∴φ=-3π4

.(2)由(1)知f(x)=sin2x-3π4,由题意得2kπ-π2≤2x-3π4≤2kπ+π2,k∈Z,∴kπ+π8≤2x≤kπ+5π8,k∈Z,∴f(x)=sin2x-3π4的单调递增区间为kπ+π8,kπ+5π8,k∈Z.(3)由函数y=sin2x-3π4列表如下,2x-3𝜋4-3𝜋4-

𝜋20𝜋2π5𝜋4x0𝜋83𝜋85𝜋87𝜋8πy-√22-1010-√22故函数f(x)=sin2x-3π4在区间[0,π]上的图象为19.解(1)由已知及正弦定理,得𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,∵a=√39,b=2,∠A=120°,∴sinB=𝑏sin𝐴�

�=2×√32√39=√1313.(2)(方法一)由(1)及已知,得cosB=√1-sin2𝐵=2√3913,sinC=sin(180°-120°-B)=sin(60°-B)=√32cosB-12sinB=5√1326.由正弦定理,得c=𝑎sin𝐶sin𝐴=√3

9×5√1326√32=5.(方法二)由余弦定理,得b2+c2-2bccosA=a2,即4+c2-2×2c×-12=39,整理,得c2+2c-35=0,解得c=5或c=-7(舍去).(3)∵C为锐角,∴cosC=√1-sin2𝐶=√1-2552

=3√3926.∴sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=√1313×3√3926−2√3913×5√1326=-7√326.20.解(1)∵2acsinBcosC=(2sinA-sinC)(a2+c2-b2),

∴sinBcosC=(2sinA-sinC)𝑎2+𝑐2-𝑏22𝑎𝑐,由余弦定理得sinBcosC=(2sinA-sinC)cosB,则sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB,∴sin(B+C)=2sinAcosB,又sin(B+C)=sin(π-A)=sinA,则s

inA=2sinAcosB,且A∈(0,π),则sinA≠0,可得cosB=12,∵0<B<π,∴B=π3.(2)设△ABC外接圆的半径为R,则△ABC外接圆的面积为S=πR2=16π3,解得R=4√33,由正弦定理𝑎si

n𝐴=𝑐sin𝐶=2R=8√33,可得a=8√33sinA,c=8√33sinC,a+c=8√33sinA+8√33sinC=8√33sinA+sin2π3-A=8√33sinA+√32cosA+12sinA=8√

3332sinA+√32cosA=8sinA+π6=6,整理得sinA+π6=34.因为a<b,B=π3,则0<A<π3,可得π6<A+π6<π2,所以cosA+π6=√1-(34)2=√74,故cosA=cosA+π6-π6=cosA+π6cos

π6+sinA+π6sinπ6=√74×√32+34×12=√21+38.21.(1)证明∵(a+b)(sinA-sinB)=bsinC,由正弦定理得a2-b2=bc,∴cosA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=𝑐2-𝑏𝑐2𝑏𝑐=𝑐-𝑏2𝑏=sin𝐶-sin𝐵2sin𝐵,

∴2cosAsinB=sinC-sinB=sin(A+B)-sinB=sinAcosB+cosAsinB-sinB,∴sinB=sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B).∵A,B∈(0,π),∴A-B∈(-π,π),∴B=

A-B,或B+(A-B)=π(不合题意),∴A=2B.(2)解由正弦定理得2sin𝐵=3sin𝐴,又sinA=sin2B=2sinBcosB,∴2sin𝐵=32sin𝐵cos𝐵,解得cosB=34,∴sinB=√74.∵

a=3,b=2,由a2-b2=bc可得c=52,∴△ABC的面积为12acsinB=15√716.22.解(1)因为b+c=acosB+√3asinB,所以sinB+sinC=sinAcosB+√3sinAsinB,又因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsin

B,所以sinB+cosAsinB=√3sinAsinB,而B∈(0,π),sinB≠0,所以√3sinA-cosA=1,即sinA-π6=12,又因为0<A<π,所以-π6<A-π6<5π6,故A-π6=π6,解得A=π3.(2)如图,因为C

D=2DB,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,