【文档说明】山西省晋城市2021届高三下学期5月第三次模拟考试数学（理）试题含答案.docx，共(15)页，442.297 KB，由小赞的店铺上传

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试卷类型：A卷晋城市2021年高三第三次模拟考试试题数学（理科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。2.请将各题答案填写在答题卡上。3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共

60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数x＝（1－2i）（1－5i）的实部等于A.﹣9B.﹣7C.9D.72.已知集合A＝{x∈Z|－3＜x＜5}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∩B的元素个数

为A.6B.5C.4D.33.函数f（x）＝x3－7x2＋sin（x－4）的图象在点（4，f（4））处的切线斜率为A.﹣5B.﹣6C.﹣7D.﹣84.跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦

体质。小林最近给自己制定了一个200千米的跑步健身计划，他第一天跑了8千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要A.19天B.18天C.17天D.16天5.明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘

如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆。已知图（1），（2），（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为139，5645，107，设图（1），（2），（3）中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，则A.e2＞e1＞e3B.e2＞e3＞e1C.e1＞e2＞

e3D.e1＞e3＞e26.已知函数()11g2xfxx=−，f（m）＝1，且O＜p＜m＜n，则A.f（n）＜1且f（p）＞1B.f（n）＞1且f（p）＜1C.f（n）＞1且f（p）＞1D.f（n）＜l且f（p）＜17.下列各项中，是6yx

yx−的展开式的项为A.15y4B.﹣20x2C.15D.9220y−8.执行如图所示的程序框图，则输出的i＝A.10B.20C.15D.259.在三棱柱ABC－A1B1C1中，D为侧棱CC1的中点，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，则这两条棱所在直线至少有一条与直线BD异

面的概率是A.56B.23C.79D.131810.已知双曲线C：22221xyab−=（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为C左支上一点，N为线段MF2上一点，且|MN|＝|MF1|，P为线段NF1的中点。若|F1F2|＝4

|OP|（O为坐标原点），则C的渐近线方程为A.3yx=B.2yx=C.yx=D.2yx=11.已知函数f（x）＝tanx－sinxcosx，现有下列四个命题：①f（x）的最小正周期为π；②f（x）的图象关于原点对称；③f（x）的图象关于（2，

0）对称；④f（x）的图象关于（π，0）对称。其中所有真命题的序号是A.①②③B.②③④C.①②③④D.①②④12.如图，函数f（x）的图象由一条射线和抛物线的一部分构成，f（x）的零点为12−，若不等式f（x＋a2）≥f（x）（a≠0）对x∈R恒成立，则α的取值范

围是A.434355−−+，，B.535366−−+，，C.()33−−+，，D.232333−−+，，第Ⅱ卷二.填空题：本大题共4小题，每小题5分

，共20分.把答案填在答题卡的相应位置。13.在△ABC中，若AB＝1，AC＝5，3sin5A=，则ABAC=。14.若x，y满足约束条件23326xxyxy++≤，≤，≥，则x－y的最大值为，x2＋y2的最小值为.（本题第

一空2分，第二空3分）15.在数列{an}中，a1＝2，（n2十1）an＋1＝2（n2－2n＋2）an，则an＝。16.如图，正四棱锥P－ABCD的每个顶点都在球M的球面上，侧面PAB是等边三角形.若半球О的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球О的体积与球M的体积的比值

为。三.解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。7～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分.17.（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。已知3a=，b＝2.（1

）若6A=，求cos2B；（2）当A取得最大值时，求△ABC的面积.18.（12分）某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会”，每晚举行一场，但若遇到风雨天气，则暂停举行。根据气象部门的天气预报得知，在周一到周五这

五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为p1，后两天每天出现风雨天气的概率均为p2，每天晚上是否出现风雨天气相互独立。已知前两天的晚上均出现风雨天气的概率为14，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为199200。（1）求该社区能举行4场音乐会的概率；（

2）求该社区举行音乐会场数X的数学期望.19.（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，以BC为直径的圆O（O为圆心）过点A，且AO＝AC＝AP＝2，PA上底面ABCD，M为PC的中点。（1）证明：平面OAM⊥上平面PCD.（2）求二面角O－MD－C的余弦值.20

.（12分）已知F为抛物线C∶x2＝2py（p＞0）的焦点，直线l∶y＝2x＋1与C交于A，B两点，且|AF|＋|BF|＝20。（1）求C的方程.（2）若直线m∶y＝2x＋t（t≠1）与C交于M，N两点，且AM与BN相交于点T，证明：点T在定直线上.21.（12分）已知

函数f（x）＝m（x十1）2－1－2lnx.（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x∈[1，2]时，f（x）≤0，求m的取值范围.（二）选考题：共10分。请考生从第22，23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22.[选修4—4；坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中

，曲线C的方程为223xyy=−++.（1）写出曲线C的一个参数方程；（2）若A（1，0），B（﹣1，0），点P为曲线C上的动点，求2PAPBOAOP+的取值范围.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f（x）＝|x十a|＋|x＋b|。（1）若a＝b2＋3b＋2

，证明：Rx，b∈R，f（x）≥1。（2）若关于x的不等式f（x）≤7的解集为[﹣6，1]，求a，b的一组值，并说明你的理由。晋城市2021年高三第三次模拟考试试题数学参考答案（理科）1.A【解析】本题考查复数的四则运算与实部，考查运算求解能力。因为z＝﹣9－7i，所以z

的实部为﹣9。2.C【解析】本题考查集合的交集，考查运算求解能力。因为A＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4），B＝{﹣4，﹣2，0，2，4，6，8），所以A∩B＝{﹣2，0，2，4）。3.C【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力。因为f＇（x）＝3

x2－14x＋cos（x－4），所以所求切线的斜率为f＇（4）＝3×16－14×4＋1＝﹣7。4.C【解析】本题考查等差数列的应用，考查数学建模与逻辑推理的核心素养。依题意可得，他从第一天开始每天跑步的路程（单位：千米）依次成等差数列，且首项为

8，公差为0.5。设经过n天后他完成健身计划，则()11820022nnn−+≥，整理得n2＋3ln－800≥0.因为函数f（x）＝x2＋3lx－800在[1，﹢∞）上为增函数，且f（16）＜0，f（17）＞0，所以n≥17。5.D【解析】本题考查椭圆的离心率与中国古代数学文化，考查数据

处理能力与推理论证能力。因为椭圆的离心率2222112bbeaa=−=−，所以长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大。因为131.449，561.2445，101.437，所以132>>eee。6.B【解析】本题考查基本初等函数的单调性，考查推理

论证能力。因为y＝1gx在（0，﹢∞）上单调递增，12xy=在（﹣∞，﹢∞）上单调递减，所以f（x）在（0，﹢∞）上单调递增。又f（m）＝1，且0＜p＜m＜n，所以f（n）＞1且f（p）＜1.7.A【解析】本题

考查二项式定理，考查运算求解能力与推理论证能力。6yxyx−展开式中的第3项为()24246C15yxyyx−=。8.B【解析】本题考查程序框图，考查运算求解能力。a＝1＋10＝11，i

＝5；a＝5＋22＝27，i＝10；a＝21＋54＝75，i＝15；a＝69＋150＞100，i＝20。故输出的i＝20。9.D【解析】本题考查异面直线的判定、排列组合的应用、古典概型，考查直观想象、推理论证的核心素养。如图，这九条

棱中，与BD共面的是BC，BB1，CC1，B1C1，AB，共五条，故所求概率2529C131C18P=−=。10.A【解析】本题考查双曲线的性质与定义的应用，考查数形结合的数学思想。因为|F1F2|＝4|OP|，所以2cOP=

，所以|NF2|＝2|OP|＝c，又|MF2|－|MF1|＝|NF2|＝2a，所以c＝2a，所以a2＋b2＝4a2，则3ba=。故C的渐近线方程为。3yx=11.C【解析】本题考查三角函数的对称性与周期，考查逻辑推理的核心素养。因为y

＝tanx与y＝sinxcosx的最小正周期均为π，所以f（x）的最小正周期是π。因为f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数，其图象关于原点对称。因为f（π－x）＝﹣tanx＋sinxcosx＝﹣f（x），所以f（x）的图象关于（2，0）对称。因为f（2π-x）＝﹣tanx＋sin

xcosx＝－f（x），所以f（x）的图象关于（π，0）对称。12.B【解析】本题考查函数与不等式的综合应用，考查化归与转化的数学思想。由题可知射线经过点（12−，0），（1，2），则射线的方程为。()42133yxx=+≤。当x≥1时，设f（x）＝m

（x－2）2＋1（m＞0），因为f（1）＝m＋1＝2，所以m＝1。令f（x）＝t（1≤t≤2），则该方程的解为1324tx−=，221xt=−−，321xt=+−，3132214txxt−−=+−−，令()101tll−=≤≤则()223131232252

524431212lxxll+−−=+−=−−+≤。依题意可得22512a≥，解得5353+66a−−，，13.±4【解析】本题考查平面向量的数量积，考查运算求解能力。在△ABC中，因为3sin5A=，所以4cos5A=，

所以cos4ABACABACA==.14.2；3613【解析】本题考查线性规划，考查推理论证能力与运算求解能力。作出约束条件表示的可行域（图略），由图可知当直线z＝x－y经过（2，0）时，z有最大值2。x2＋

y2表示可行域中的点P（x，y）到原点距离的平方。因为原点到直线3x＋2y＝6的距离为613，所以x2＋y2的最小值为2636=1313。15.()22222211nnnnn−+−+

或【解析】本题考查等比数列的定义与通项公式，考查抽象概括能力。因为（n2＋1）an＋1＝2[（n－1）2＋1]an，a1＝2，所以数列{[（n－1）2＋1]an}是首项为2，公比为2的等比数列，则()2112nnna−+=，所以()22222211nnnannn==−

+−+。16.318【解析】本题考查四棱锥的外接球与内切球，考查空间想象能力与运算求解能力。如图，连接PO，BD，取CD的中点E，连接PE，OE，过O作OH⊥PE于H。易知PO⊥底面ABCD，设AB＝4，则2242BDBABC=+

=，1222BOBD==，2222POBPBO=−=。设球M的半径为R，半球O的半径为R0.则22R=.易知R0＝OH.则013ROHOERPOPE===，故30303411323=42183OMRVRRVR=

=半球球。17.解：(l)由正弦定理sinsinabAB=，得32=1sin2B，解得3sin3B=，所以21cos212sin3BB=−=(2)由余弦定理得22221cos24bcacAbcc+−+==。因为2121=442cccc+≥当且仅当c＝1时，等号成立，所以

1cos2A≥，则03A≤，即A的最大值为3。此时，△ABC的面积113sin21sin2232SbcA===。评分细则：【1】第(⑴问解析第一行未写sinsinabAB=不扣分，得出3sin3B=，直接写1co

s23B=，没有写倍角公式扣1分.【2】第(2)问中，得到03A≤，但未写A的最大值为3﹐不扣分。18.解：(1)因为前两天的晚上均为风雨天气的概率为14，所以2114p=，则112p=。因为这五天至少有一天出现风雨天气的概率为199200。所以()

()3212199111200pp−−−=，又112p=，所以245p=。设“该社区能举行4场音乐会”为事件A，则()223113211414411C111C1225255200PA=−−+−−=。(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，5。(

)3214202525PX===，()22311321141417122525525PXCC==+=，()22232211332114114114732111225225525200PXCCC==

−+−+−=，()322222113231411411144331111252255225200PXCCC==−+−+−−=

，()114200PX==，()199151200200PX==−=。所以()7734311119123452520020020020010EX=++++=。评分细则：【1】第(l)问中，只要得到112p=即得1分，得到2

45p=即得2分。【2】第(2)问中，E(X)的最后结果写为1.9不扣分.19.(1)证明：由题意点A为圆O上一点，则AB⊥AC。由PA⊥底面ABCD，知PA⊥AB。又PA∩AC＝A，因此AB⊥平面PAC，则AB⊥AM，又AB//CD，则AM⊥CD。因为AC＝AP，M为PC的中点

，所以AM⊥PC。又CD∩PC＝C，所以AM⊥平面PCD。因为AM平面OAM，所以平面OAM⊥平面PCD。(2)解：如图，以A为原点，AB的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系A—xyz则C(0，2，0)，D(23−，2，0)，M(0，1

，1)，O(3，1，0)，()301OM=−，，，()3310OD=−，，设n＝(x，y，z)为平面OMD的法向量，则00nOMnOD==，，即30,330xzxy−+=−+=，

令x＝1，得()1,33,3n=。由(1)可知，AM⊥平面PCD，则平面CDM的一个法向量m＝(0，1，1)，所以2186cos,=31mnmnmn=。由图可知二面角O—MD—C为锐角，故二面角O—MD—C的余弦值为218631

。评分细则：【1】第(1)问严格按步骤给分。【2】第（2）问中，平面OMD的一个法向量只要与n＝(1，33，3)共线即可得分。20.(1)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由221,2,yxxpy

=+=得()28210ypy−++=，则y1＋y2＝8p＋2，从而12922022ppAFBFyyp+=+++=+=，解得p＝2，故C的方程为24xy=。（2）证明：设()33,Mxy，()44,Nxy，()00,Txy，()1TMTA=。

因为AB∥MN，所以TNTB=，根据2112224,4,xyxy==得()()()1212124xxxxyy+−=−，则()12121248yyxxxx−+==−，同理得348xx+=。又()()30104020,,xxxxxxxx−=−−

=−两式相加得()34012022xxxxxx+−=+−，即()()0410x−−=，由于1，所以04x=。故点T在定直线4x=上。评分细则：【1】第（1）问还可以通过联立消去y，其步骤及给分如下：由221,2,yxxpy=+=得2420xpxp−−=，则124x

xp+=，()12122282yyxxp+=++=+，从而12922022ppAFBFyyp+=+++=+=，解得2p=，故C的方程为24xy=。【2】第（2）问若用其他方法解答，请按照步骤给分。21.解：（1）()()(

)221221mxmxfxmxxx+−=+−=，>0x。①当0m≤时，显然()0fx，此时()fx在（0，﹢∞）上单调递减。②当>0m时，令()0fx，得241022mmxm+−；令()>0fx，得241>22mmxm+−。所以()fx在2410,22mm

m+−上单调递减，在241+22mmm+−，上单调递增。（2）由于对一切1,2x，()0fx≤恒成立，所以1,2x，()212ln1xmx++≤，构造函数()()2

12ln1xFxx+=+，1,2x，所以()()324ln1xxfxx−=+，再令()24lngxxx=−，1,2x，所以()2240gxxx=−−，()gx在［1，2］上单调递减。因为()12>0

g=，()214ln20g=−，所以存在唯一的()01,2x，使()00gx=，且当)01,xx时，()>0gx；当(0,2xx时，()0gx，所以()Fx在)01x，上单调递增，在(02x，上单调递减。因为5585=lnln3ln28ln2e=，所以()()8ln2

521>036FF−−=，则()()1min1=4FxF=，从而14m≤，即m的取值范围是1-4，。评分细则：【1】第（1）问中，未写定义域或未说明x＞0，但求导正确，不扣分.【2】第（2）问中，解法二如下：由于

对一切1,2x，()0fx≤恒成立，所以()1410fm=−≤，得14m≤，下面证明当14m≤时，()0fx≤对一切1,2x恒成立，要证此结论成立，只需证明当14m=时，()0fx≤一切1,2x恒成立，此时()()21112ln4fxxx=+

−−，()0fx=，得()1711,22x−=，且()fx在17112−，上单调递减，在17122−，上单调递增。因为5585=lnln3ln28ln2e=，所以()522ln204f=−。又()10f=，所以当14m=时，结论成立。综上，m的取值范围

是1,4−。22.解：（1）由223xyy=−++，得2223xyy=−++，整理得()2214xy+−=。又2230xyy=−++≥，所以曲线C的一个参数方程为2cos,12sinxy==+（

为参数，且22−≤≤）。（2）由（1）可设点P的坐标为()2cos12sin+，，22−≤≤。因为()=12cos12sinPA−−−，，()12cos12sinPB=−−−−，，所以()()()212cos12co

s12sin44sinPAPB=−−−+−−=+。又2cosOAOP=，所以()244sincos442sin4PAPBOAOP+=++=++。因为22−≤≤，所以2sin124−+≤≤，故2PAPBOAOP

+D的取值范围是0442+，。评分细则：【l】第(⑴问中，得到()2214xy+−=后直接得出曲线C的一个参数方程为2cos,12sinxy==+（为参数），扣2分。【2】第（1）问的参数方程不唯一，只要参数方程对应的曲线为圆()2

214xy+−=的右半部分均可得分。【3】第（2）问中设点P的坐标为(2cos，1＋2sin)，后面没有写明的取值范围，扣1分。23.(1)证明：f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|≥|x＋a－(x＋b)|

＝|a－b|。因为a＝b2＋3b＋2，所以|a－b|＝|b2＋2b＋2|＝(b＋1)2＋1≥1，当b＝﹣l时，|a－b|取得最小值1，故xR，bR，()1fx≥。(2)解：依题意可得f（﹣6）＝f(1)＝7，即|a－6|＋|b－6|＝|1＋a

|＋|1＋b|＝7，不妨取α＝0，则b＝5。下面证明|x|＋|x＋5|≤7的解集为[﹣6，1]。证明：当x≤﹣5时，﹣2x－5≤7，则x≥﹣6，又x≤﹣5，所以﹣6≤x≤﹣5。当－5＜x＜0时，5≤7显然成

立，所以﹣5＜x＜0。当x≥0时，2x＋5≤7，则x≤1，又x≥0，所以0≤x≤1。所以|x|＋|x＋5|≤7的解集为[﹣6，1]，故a，b的一组值为0，5。评分细则：【1】第(1)问中，未写b＝﹣1不扣分.【2】第(2)问中

，a，b的一组值不唯一，但a＋b＝5，且a，b∈[﹣1，6]。