【文档说明】湖北省武汉市第二中学2024-2025学年高一上学期9月检测数学试题（解析版）.docx，共(19)页，930.363 KB，由小赞的店铺上传

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武汉二中2024级高一数学A卷命题人：张鹄审题人：左建华2024.09.14一、单选题（40分）1.下列关系中：①00，②0，③()0,10,1，④()(),,abba=正确的个数为（）A

.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据元素和集合之间的关系、集合与集合的关系判断即可.【详解】对于①：因为0是0的元素，所以00，故①正确；对于②：因为空集是任何集合的子集，所以0，故②正确；对于③：

因为集合0,1的元素为0，1，集合()0,1的元素为(0,1)，两个集合的元素全不相同，所以()0,1,0,1之间不存在包含关系，故③错误；对于④：因为集合(),ab的元素为(),ab，集合(

),ba的元素为(),ba，两个集合的元素不一定相同，所以()(),,,abba不一定相等，故④错误；综上所述：正确个数为2.故选：B.2.若集合21,9,Aa=，9,3Ba=，则满足ABB=的实数a的个数为（）

A1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】利用ABB=，知BA，求出a的值，根据集合元素的互异性舍去不合题意的值，可得答案．【详解】因为ABB=，所以BA，即31a=或者23aa=，解之可得13a=或0a=或3a=，当13a=时，11,9,9A=

，9,1B=符合题意；的.当0a=时，1,9,0A=，9,0B=符合题意；当3a=时，1,9,9A=，9,9B=根据集合元素互异性可判断不成立。所以实数a的个数为2个.故选：B3.已知正实数a，b，设甲：11aabb++；乙：

11ab，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质以及作差法结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为0a，0b，若11aabb++，则()10

11aaabbbbb+−−=++，可得0ab，则110ab，所以11ab成立，即甲是乙的充分条件；若11ab，可知110ab，则0ba，即0ab−，可得()1011aaabbbbb+−−=++，即11aabb++，即甲是乙的必要条件．综上可知：甲是乙的充要条件．故选

：C．4.已知14ab+，12ab−−，则42ab−的取值范围是（）A.410xx−B.36xx−C.214xx−D.210xx−【答案】D【解析】【分析】利用ab+和ab

−范围求出026a，然后利用不等式的性质求解即可【详解】由12ab−−，14ab+，得()()06abab−++，即026a，()224ab−−，所以()22210aba−−+，即24210ab−−，故选：D5.已知条件:|1|2px

+，条件:qxa，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A.1aB.1aC.1a−D.3a−【答案】B【解析】【分析】解不等式得到:p3x−或1x，根据题意得到q是p的充分

不必要条件，从而得到两不等式的包含关系，求出答案.【详解】由条件:12px+，解得3x−或1x；因为p是q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，故Axxa=是3Bxx=−或𝑥>1}的真子集，则a的取值范围是1a，故选：B．

6.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为k，即5Z,0,1,2,3,4knknk=+=，则下面选项正确的为（）A.20253B.22−C.Z01234=D

.整数ab、属于同一“类”的充分不必要条件是“0ab−”【答案】C【解析】【分析】求2025被5除的余数，判断A，求2−被5除的余数，判断B，根据新定义及集合相等的定义判断C，结合新定义及充分条件，必要条件的定义判断D.【详解】对于A，202540550=，A错误；对于B

，21533−=−+，B错误；对于C，每个整数除以5后的余数只有0,1,2,3,4，没有其他余数，所以Z01234，又01234Z，故Z[0

][1][2][3][4]=，C正确；对于D，若,,0,1,2,3,4abmm=，则11225,Z,5,Zanmnbnmn=+=+，()1250abnn−=−若0ab−，则5,Zabpp−=，不妨设,0,1,2,3,4att=，则335,Zantn

=+，所以()35bnpt=−+，3Znt−，所以,ab除以5后余数相同，所以,ab属于同一“类”所以整数ab、属于同一“类”的充要条件是“0ab−”，D错误；故选：C.7.在ABCV中，角,,ABC的对边分别为,,abc，已知ABCV周长为3，则41abc++的最

小值为（）A.32B.94C.3D.103【答案】C【解析】【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式求最值.【详解】由题意得3abc++=，0,0,0abc，所以0,0abc+，则41()()41414152433333333

abcabccabcababcabcabcabc+++++++=+=++++=++++，当且仅当4cababc+=+时，即21abc+==等号成立，故当2,,1abc+==时，41abc++取到最小值3.故4

1abc++的最小值为3.故选：C.8.记max,,xyz表示,,xyz中最大的数．已知,xy均为正实数，则2221max,,4xyxy+的最小值为（）A.12B.1C.2D.4【答案】C【解析】【分析】设2221max,,4Mx

yxy=+，可得222134Mxyxy+++，利用基本不等式运算求解，注意等号成立的条件.【详解】由题意可知：,xy均为正实数，设2221max,,4Mxyxy=+，则210,0MMxy，2240Mxy+，则222221212134244M

xyxyxyxyxyxy+++++=++，当且仅当224xy=，即2xy=时，等号成立，又因为321214346xyxyxyxy++=，当且仅当214xyxy==，即21xy==时，等号成立，可得36M，即2M，所以2221max,,4Mxyxy=+

的最小值为2.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据定义得出210,0MMxy，2240Mxy+，再结合基本不等式求得2M.二、多选题（18分）9.下列说法正确的是（）．A.ab的一个必要条件是1ab−B.若集合210Axaxx=++=中只有一个元素，则4a=C.“

0ac”是“一元二次方程20axbxc++=有一正一负根”的充要条件D.已知集合0,1M=，则满足条件MNM=的集合N的个数为4【答案】CD【解析】【分析】对于A，举例ab时1ab−不成立，进而由充分条件和必要条件的定义得ab不是1ab−的充分条件，1ab

−也不是ab的必要条件；对于B，按0a=和0a两种情况去探究方程210axx++=的解即可；对于C，先由一元二次方程20axbxc++=有一正一负根得212Δ400baccxxa=−=，该不等式组的解即为方程20axbxc++=有

一正一负根的充要条件；对于D，先由MNM=得NM，再由0,1M=结合子集个数公式即可得解.【详解】对于A，当21.5ab==,时满足ab，但1ab−不成立，所以ab不是1ab−的充分条件，1ab−不是ab的

必要条件，故A错误；对于B，当0a=时，方程210axx++=的解为1x=−，此时集合A中只有一个元素，满足题意，当0a时，210axx++=为一元二次方程，则由集合A中只有一个元素得140a=−=，故14a=，所以符合题意的a有两个，0a=或14a=，故B错误；对于C，一元二次方程20axb

xc++=有一正一负根，则2212Δ400400bacbacaccxxaca=−=，所以“0ac”是“一元二次方程20axbxc++=有一正一负根”的充要条件，故C正确；对于D，因为MNM=，所以NM，又

0,1M=，故集合N的个数为224=个，故D正确.故选：CD.10.下列说法正确的是（）A.若ab，则22acbcB.命题“Rx，()12fx”的否定是“Rx，()1fx≤或()2fx”C.若Rx，则函数22144yxx=+++的最小值为2D.当Rx时，不等式210kxk

x−+恒成立，则k的取值范围是)0,4【答案】BD【解析】【分析】特殊值法判断A,特称命题的否定判断B,应用基本不等式判断C,应用恒成立得出判别式即可求参判断D.【详解】对于A，当0c=时，220acbc==，故A错误；对于B，

命题“R,1()2xfx”的否定是“R,()1xfx或()2fx”，故B正确；对于C，则222211424244yxxxx=+++=++，当且仅当22144xx+=+，此时无解，故取不到等号

，所以221424yxx=+++，故C错误；对于D，当0k=时，10恒成立，当0k时，则20Δ40kkk=−，解得04k，综上所述，[0,4)k，故D正确.故选：BD.11.定义全集U的子集A的

特征函数()1,0,AUxAfxxA=ð,这里UAð表示A在全集U中的补集,那么对于集合A、BU,下列所有正确说法是（）A.()()ABABfxfxB.()()1UAAfxfx=−ðC.()()()ABABfxfxfx=+D.()()()AB

ABfxfxfx=【答案】ABD【解析】【分析】利用特征函数的定义知,由AB,对x与A、B关系分类讨论,可得A正确;利用特征函数的定义可判断B的正误;取特殊值情况AB,利用定义可判断C的正误;利用集合运

算与函数运算进行分类讨论可判断D的正误,综合可得出结论.【详解】对于A:AB,分类讨论:①当xA,则xB,此时()()1ABfxfx==;②当xA,且xB,即UxBð,此时()()0ABfxfx==;③当xA,且

xB,即()UxABð时,()0Afx=,()1Bfx=,此时()()ABfxfx.综上有()()ABfxfx,故A正确;对于B:()()1,10,UUAAxAfxfxxA==−ðð,故B正确;对于C:假设AB,任取xAB,则xAB,则(

)1ABfx=,()()2ABfxfx+=,则()()()ABABfxfxfx+,故C不正确;对于D:(1)若AB=,则()0ABfx=,有三种情况:①当xA时,()()01,ABfxfx==;②当xB时,()()10,ABfxfx==;③当xA且xB

时,()()00,ABfxfx==,以上均满足()()()ABABfxfxfx=.(2)若AB时,有以下4中情况,①当xA且xB时,()()01,ABfxfx==,()0ABfx=;②当xA

且xB时,()()10,ABfxfx==,()0ABfx=;③当xAB时,()()()1ABABfxxfxf===;④当()UxABð时,()()()0ABABfxxfxf===,以上均满足()()(

)ABABfxfxfx=.综上所述,()()()ABABfxfxfx=,故D正确.故选:ABD三、填空题（15分）12.已知集合2{|280}Axxx=+−=，2{|560}Bxxx=−+=，22{|130}Cxxmxm=−+−=，

若BC，AC=，则m=__________．【答案】4【解析】【分析】求出集合,AB，根据集合关系可得3C，求出m的值，然后验证可得.【详解】2{|280}4,2Axxx=+−==−，2{|

560}2,3Bxxx=−+==，因为BC，AC=，所以3C，2,4CC−，由3C得293130mm−+−=，即2340mm−−=，解得1m=−或4m=，当1m=−时，解2120xx+−=得4,3C=−，此时

4AC=−，不满足题意；当4m=时，解2430xx−+=得1,3C=，满足题意.所以4m=.故答案为：413.设集合12345,,,,Aaaaaa=，2222212345,,,,Baaaaa=，其中1a、

2a、3a、4a、5a是五个不同的正整数，且12345aaaaa，已知14,ABaa=，1410aa+=，AB中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A：__________________.【答案】1,3,4,9,11或1,3,6,9,10【解析】【分析】由题

意可得211aa=，所以141,9aa==，分类讨论当33a=和23a=时情况，即可得出结果.【详解】由题意，得211aa=，所以141,9aa==.由于B中有9，因此A中有3，此时集合,AB有共同元素1，若33a=，则22a=，于是255

1239481246aa+++++++=；此时255146aa+=且59a，无正整数解；.若23a=，集合,AB有共同元素1和9，则22353513981246aaaa+++++++=，所以223355152aaaa

+++=，且3539aa，而21212156152+=，所以51011a，当510a=时，36a=；当511a=时，34a=；因此满足条件的A共有2个，分别为1,3,4,9,11,1,3,6,9,10.故答案为:1,3,4,9,1

1或1,3,6,9,1014.对于一个由整数组成的集合A，A中所有元素之和称为A的“小和数”，A的所有非空子集的“小和数”之和称为A的“大和数”．已知集合7,3,1,1,2,3,4,5,6,7,13B=−−−

，则B的“小和数”为__________，B的“大和数”为__________．【答案】①.30②.30720【解析】【分析】根据题意，求出集合中所有元素之和即为“小和数”；将集合B的112个子集，分为M与M，其中MMB=

，MM=，且无重复，则M与M的“小和数”之和为B的“小和数”，即可求解.【详解】根据题意，B的“小和数”为()()73112345671330−+−+−++++++++=，集合B共有11个元素，则一共有112个子集，对于任意一个子集M，总能找到一个子集M，使得MMB=，MM=

，且无重复，则M与M“小和数”之和为B的“小和数”，这样的子集对共有1110222=个，其中当=MB时，M=，则子集对有1021−，则B的“大和数”为()1021303030720−+=.故答案为：30

；30720四、解答题（77分）15.已知集合()234812AxaxaaBxx=+−=R，.的（1）若AB=RRð，求a的取值范围；（2）若AB=，求a的取值范围.【答案】（1）16,63；（2）4a或10a．【解析】【分析】

(1)根据AB=RRð可知BA，列出不等式组即可求解．(2)分A=和A两种情况讨论即可．【小问1详解】∵AB=RRð，∴BA，∴62816,616341233aaaaa+−

……，∴a的范围是16,63．【小问2详解】(i)若A=，则234aa+−，即3a，此时满足AB=；(ii)若A，则3a，若AB=，则348a−或212a+，解得4a或10a，∴34a或10a；综上，4a或10a．16.已知非空集合{123}Axa

xa=−+∣，{24}Bxx=−∣，全集RU=．（1）当2a=时，求()()UUAB痧；（2）若xA是xB成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）()(){1UUABxx=∣痧或4}x（2）11,2

−【解析】【分析】（1）方法一，根据条件，直接利用补集、并集的运算法则，即可求出结果；方法二，利用()()()UUUABAB=痧?，利用交集运算，求出AB，即可求出结果.（2）根据条件得出A是B的真子集，再根据集合间的包含关系即可求出结果.【小问1详解】方法一：当2a

=时，{17}Axx=∣，所以{1UAxx=∣ð或7}x．因为{24}Bxx=−∣，所以{2UBxx=−∣ð或4}x，所以()(){1UUABxx=∣痧或4}x．方法二：当2a=时，{17}Axx=∣，故{14}ABxx=∣，所以()()(){1

UUUABABxx==∣痧?或4}x．【小问2详解】因为xA是xB成立的充分不必要条件，所以A是B的真子集，当A时，12,234,123aaaa−−+−+或12,234,12

3,aaaa−−+−+解得112a−或112a−，综上，实数a的取值范围是11,2−．17.已知p:关于x的方程22210xaxaa−++−=有实数根，:13qmam−+．（1）若命题p是假命题，求实数a

的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】（1）(,1−（2）(,2−−【解析】【分析】（1）由命题p是假命题，可得命题p是真命题，则由0，求出a的取值范围；（2）由p是q的必要不充分条件，可

得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解即可.【小问1详解】因为命题p是假命题，则命题p是真命题，即关于x的方程22210xaxaa−++−=有实数根，因此2244(1)0aaa=−+−，解得1a，所以实数a的取值范

围是(,1−.【小问2详解】由（1）知，命题p是真命题，即:1paa，因为命题p是命题q的必要不充分条件，则{|13}1amamaa−+，因此31m+，解得2m−，所以实数m的取值范围是(,2−−.18.对于二次函数()20ymxnxtm=++

，若存在0xR，使得2000mxnxtx++=成立，则称0x为二次函数()20ymxnxtm=++的不动点.（1）求二次函数23yxx=−−的不动点；（2）若二次函数()2213yxxaa−+=+−有两个不相等的不动点1x、2x，且1x、20x，求1221xxxx+的最小

值.（3）若对任意实数b，二次函数()()()2110yaxbxba=+++−恒有不动点，求a的取值范围.【答案】（1）1−和3（2）8（3）(0,1【解析】【分析】（1）根据不动点定义列方程，解二次方程即可；（2）根据不动点定义得方程()22104xxaa+−+=−有两个不相等的

正实数根，列不等式求得1a，结合根与系数的关系以及基本不等式求得最值即可；（3）根据不动点定义得()210axbxb++−=，结合判别式即可求解.【小问1详解】由题意知23xxx−−=，即2230xx−−=，则()()310xx−+

=，解得11x=−，23x=，所以不动点为1−和3.【小问2详解】依题意，()2231xxaax++−−=有两个不相等的正实数根，即方程()22104xxaa+−+=−有两个不相等的正实数根，所以()()24810402102aaaa+−−+−

，解得1a，所以()()222212121212122112121222xxxxxxxxxxxxxxxxxx+−+++===−()()()222441524222112122aaaaaa++−+=−=−=−=−−−()()()()21101251252321

221aaaaa−+−+−−=++−−，因为1a，所以10a−，所以()()1251253238221221aaaa−−+++=−−，当且仅当()125221aa−=−，即6a=时等号成立，所以1221xxxx+的最小值为8.【小问

3详解】由题知：()()()2110axbxbxa+++−=，所以()210axbxb++−=，由于函数()()()2110yaxbxba=+++−恒有不动点，所以()2410bab=−−≥，即2440baba−+，

又因为b是任意实数，所以()24160aa=−−≤，即()()100aaa−，解得01a，所以a的取值范围是(0,1.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了新定义，解题关键是把握不动点的定义，转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数、判别式来求解.19.给定

整数3n，由n元实数集合S定义其相伴数集,TababSab=−∣､，如果()min1T=，则称集合S为一个n元规范数集，并定义S的范数f为其中所有元素绝对值之和.（1）判断0.1,1.1,2,2.5A=−−、1.5,

0.5,0.5,1.5B=−−哪个是规范数集，并说明理由；（2）任取一个n元规范数集S，记m、M分别为其中最小数与最大数，求证：()()minmax1SSn+−；（3）当122023,,,Saaa=L遍历所有2023元规范数集时，求范数f的最小值.注：(

)minX、()maxX分别表示数集X中的最小数与最大数.【答案】（1）集合A不是规范数集；集合B是规范数集；（2）证明见详解；（3）10121011.【解析】【分析】（1）根据n元规范数集的定义，只需判断集合,AB中的元素两两相减的差的绝对

值，是否都大于等于1即可；（2）利用n元规范数集的定义，得到11iixx+−，从而分类讨论10x、0nx与10,0nxx三种情况，结合去绝对值的方法即可证明；（3）法一：当10a时，证得()11nana−+，从而得到1011

2023f；当20230a时，证得20232023nana−−−，从而得到10112023f；当10mmaa+时，分类讨论1011m与1012m两种情况，推得10121011f，由此得解；法二：利用规范数集的性质与（2）中结

论即可得解.小问1详解】对于集合A：因为2.520.51−=，所以集合A不是规范数集；对于集合B：因为1.5,0.5,0.5,1.5B=−−，又1.5(0.5)1−−−=，1.50.52−−=，1.51.53−−=，0

.50.51−−=，0.51.52−−=，0.51.51−=，所以B相伴数集1,2,3T=，即()min1T=，故集合B是规范数集.【【小问2详解】不妨设集合S中的元素为12nxxx，即()()1min,maxnSxSx==，因为S为规范数集，则,11iin−N，则11ii

xx+−，且00,11iin−N，使得0011iixx+−=，当10x时，则()()()()()11213211minmax2nnnnSSxxxxxxxxxxx−+=+=+=−+−+−+L1121nxn−+−，当且仅当11iixx+−=且10x=时，等

号成立；当0nx时，则()()()()()1121321minmax2nnnnnSSxxxxxxxxxxx−+=+=−−=−+−++−−L121nnxn−−−，当且仅当11iixx+−=且0nx=时，等号成立；当

10,0nxx时，则()()()()11211minmax1nnnnSSxxxxxxxxn−+=+=−+=−++−−L，当且仅当11iixx+−=时，等号成立；综上所述：()()minmax1SSn+−.【

小问3详解】法一：不妨设122023aaaL，因为S为规范数集，则,12022iiN，则11iiaa+−，且00,12022iiN，使得0011iiaa+−=，当10a时，则当22023n时，可得()

()()()11221111nnnnnaaaaaaaana−−−=−+−++−+−+L，当且仅当11,,11iiaaiin+−=−N时，等号成立，则范数12202312202311112022faaaaaaaaa=+++=+++++

+++LLL，当且仅当11,,12022iiaaii+−=N时，等号成立，又()111112022120221202220231011202320232aaaaa++++++=+=+L10

112023，当且仅当10a=时，等号成立，故10112023f，即范数f的最小值10112023；当20230a时，则当12022n时，可得()()()()2023202220222

0211202320232023nnnaaaaaaaana+=−−+−++−+−−+L，当且仅当11,,2022iiaaini+−=N时，等号成立，则20232023nana−−−，则范数122023122023faaaaa

a=+++=−−−−LL()2023202320232023202220211aaaa−+−++−+−L，当且仅当11,,2022iiaaini+−=N时，等号成立，又()()202320232023202320232

0221202220222021120232aaaaa+−+−++−+−=−L202310112023202310112023a=−，当且仅当20230a=时，等号成立，故10112023f，即范数f的最小值10112023；当,12022m

mN，使得10mmaa+，且20230a，当202320m−，即20232m，即1011m时，则当12023mn+时，可得()()()11221111nnnnnmmmmaaaaaaaanma−−−++++=−+−++−+−−+L，当且仅当1,1202,21ii

aiaim++−=N时，等号成立，则当1nm时，可得()()()11111mnmmmmnnaaaaaaaamn++−+−=−+−++−−+L，当且仅当11,,iiaainim+−=N时，等号成立，则范数()()1220231212023mmfaaa

aaaaa+=+++=−−−−+++LLL()()()()111211122023mmmmmmmaaaaaamaaaa++++++=−+−++−−++++LL()()11111112022mmmmmmmaaama+++++−++−+++++−+LL()

()()()11202320222023222mmmmmma++−−=++−()2120221011202320232mmmma+=−++−2202210112023mm−+；对于()22022101120231011ymmm=−+，其开口向上，对称轴为1011m=，所以2m

in1011202210111011202310121011y=−+=，所以范数f的最小值为10121011；当202320m−，即20232m，即1012m时，则当12023mn+时，可得()()()1121nm

nnnnmmaaaaaaaanm−−−+−=−+−++−−L，当且仅当1,1202,21iiaiaim++−=N时，等号成立，则当1nm时，可得()()()1121nmmmmnnmmaaaaaaaamna−−−+−=−+−+

+−−−−L，当且仅当11,,1iiaainim+−=−N时，等号成立，则范数()()1220231212023mmfaaaaaaaa+=+++=−−−−+++LLL()()()()12120232023mmmmma

aaaaaama+=−−−−+−++−+−LL()()()1211220232023mmmmmamma−+−++−++++−+−LL()()()()1202320242023222mmmmmma−−−=++−()220241012202320232mmmma=−++−22024101

22023mm−+；对于()22024101220231012ymmm=−+，其开口向上，对称轴为1012m=，所以2min1012202410121011202310121011y=−+=，所以范数10121011f；综上所述：范数f的最小值10121011.法

二：不妨设122023aaaL，因为S为规范数集，则,12022iiN，则11iiaa+−，且00,12022iiN，使得0011iiaa+−=，所以对于2024,,jjjSaaS−

=L，同样有,11011jjN，则11jjaa+−，由（2）的证明过程与结论()()minmax1SSn+−可得，()()minmax20242jjSSj+−，当且仅当11jjaa+−=时，等号成立，即120232022aa+，220222

020aa+，……101110132aa+，所以范数1220232012202220202faaaa=+++++++LL()2012201220222101110121011101210112aa+=+=

+，当且仅当20120a=时，等号成立，所以范数f的最小值10121011.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解n元规范数集的定义，得到11iixx+−，再将集合中的元素进行从小到大排列，利用分类与整合的思想进行讨论分析，从而得解.