【文档说明】四川省泸县第四中学2022-2023学年高二下学期5月期中文科数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.061 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-c5311a6ec318c3c5a7837cf8dba2da58.html

以下为本文档部分文字说明：

泸县第四中学2023年春期高二期中考试数学（文史类）第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某地区小学，初中，高中三个学段的学生人数分别

为4800人，4000人，2400人．现采用分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况，在抽取的样本中，初中学生人数为70人，则该样本中高中学生人数为（）A.42人B.84人C.126人D.196人【答案】A【解析】【分析】设高中抽取人数为x，根据条件

，建立比例关系进行求解即可．【详解】解：设高中抽取人数为x则7040002400x=，得42x=故选：A【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用，属于基础题.2.已知复数52iz=+（i为虚数单位），则z的虚部为（）A.1−B.2C.i−D.i【答案】A【解析】【分析】根据

复数的概念及复数的除法即可求解.【详解】()()()()52i52i52i2i2i2i5z−−====−++−，所以z的虚部为1−.故选：A.3.若椭圆221xmy+=的焦距为2，则m的值是（）A.12B.1C.2D.4【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的性质求解．【详解】椭圆221x

my+=的焦距为2，其标准方程为2211yxm+=，则该椭圆的焦点不可能在x轴上，1212m−=，解得12m=．故选：A．【点睛】本题考查利用椭圆的焦距求参数，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆的性质的合理运用．4.已知命题“xR，210axax−+”是假命题，则实数a的取值范围是（）

A.()),04,−+B.（0，4）C.)0,4D.((),04,−+【答案】C【解析】【分析】根据命题与它的否定命题真假性相反，写出该命题的否定命题，再求实数a的取值范围．【详解】解：命题“xR，210axax−+”是假命题，则它的否定命题“xR，210axa

x−+”是真命题，当0a=时，不等式为10，显然成立；所以0a时，应满足20Δ40aaa=−，解得04a，所以实数a的取值范围是)0,4．故选：C．5.执行如图所示的程序框图，输出的S=（）A.30−B.20−C.1

0−D.0【答案】B【解析】【分析】根据给定的程序框图，依次计算直到条件被满足即可作答.【详解】由程序框图知，第一次循环，判断10S不成立，40S=，2n=；第二次循环，判断10S不成立，20S=，3n=；第三次循环，判断10S不成立，10S=，4n=

；第四次循环，判断10S成立，0S=，5n=；第五次循环，判断10S成立，10S=−，6n=；第六次循环，判断10S成立，20S=−，7n=，跳出循环，输出20S=−．故选：B6.下表是某厂1~4

月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x1234用水量y4.5432.5由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是0.7yxa=−+，则=aA5.25B.5.15C.5.2D.1

0.5【答案】A.【解析】【详解】分析：先求出样本中心点(),xy，将该点的坐标代入回归方程可求得a的值．详解：由题意得()()1112342.5,4.5432.53.544xy=+++==+++=．∴样本中心为()2.5,3.5．∵回归

直线过样本中心，∴3.50.72.5a=−+，解得5.25a=．故选A．点睛：回归直线过样本中心是一个重要的结论，利用此结论可求回归直线中的参数，也可求样本数据中的参数．由于此类问题常涉及到大量的运算，所以在解题是要注意计算的

准确性．7.已知命题p：若函数()()2lg1fxxax=++的定义域为R，则实数()0,4a；命题q：“220xx−”是“()0,2x”的充分不必要条件，则下列命题正确的是（）A.()pqB.pqC.()pqD.()()pq【答案】D【解析】【分析】

先判断p、q的真假，然后对A、B、C、D分别判断复合命题的真假.【详解】若函数()()2lg1fxxax=++的定义域为R，则210xax++恒成立，则240a=−，解得22a−，所以命题p为假命题；由220xx−得0,2x，所以“220xx−”是“()0,2x”的必

要不充分条件，所以命题q为假命题.所以()pq为假，pq为假，()pq为假，()()pq为真，故选：D.【点睛】复合命题真假的判定:(1)判断简单命题的真假;(2)根据真值表判断复合命题的真假.8.某医疗研究所为了

检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用22列联表计算得23.918，则下列表述中正确的是（）A.有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”B.若有人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒C

.这种血清预防感冒的有效率为95%D.这种血清预防感冒的有效率为5%【答案】A【解析】【分析】利用独立性检验的基本思想即可得出选项.【详解】因为23.9183.841，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”，故选：A.9.已知

函数3()12fxxx=−，若()fx在区间(2,1)mm+上单调递减，则实数m的取值范围是（）A.[1,1]−B.(1,1−C.()1,1−D.)1,1−【答案】D【解析】【分析】首先求得导函数，由原函数单调递增求得函数的单调递增区间，结合题意将原问题转

化为子区间的问题，得到关于m的不等式组，求解不等式组即可求得实数m的取值范围.【详解】详解：因为()()()2312322fxxxx==+−−，令()0fx可得-2≤x≤2，所以要使函数f(x）在区间()2,1mm+上单调递减，则区间（2m，m+1）是区间

22−,的子区间，所以221212mmmm−++，求解不等式组可得：111mmm−，解得-1≤m<1，所以实数m的取值范围是)1,1−.故选：D10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不

断减少，这种现象称为衰变．假设、在放射性同位素铯137衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：30()6002tMt−=，则铯137含量M在30t＝时瞬间变化率为（）A.102ln﹣（太贝克/年）B.3

002ln（太贝克/年）的C.3002ln﹣（太贝克/年）D.300（太贝克/年）【答案】A【解析】【分析】求出函数()Mt的导函数，令30t=即可得到含量M在30t=时的瞬间变化率．【详解】解：依题意，30()6002tMt−=30301()600222022

30ttMtlnln−−=−=−，所以铯137含量M在30t=时的瞬间变化率为：1(30)2022102Mlnln−=−=−（太贝克/年），故选：A．【点睛】本题考查了复合函数的导数的计算，对数函数的导数，导数与瞬时变化率，属于基础题．11.在三棱锥−PABC中，PA⊥平面,4,2

5ABCPAACABBC====，则三棱锥−PABC外接球的表面积是（）A.414B.413C.41D.41416【答案】C【解析】【分析】由题意画出图形，求出底面三角形ABC的外接圆的半径，进一步求得三棱锥−PABC的外接球的半径，再由球的表面积公式求解.【详解】解

：如图，设O为三棱锥−PABC外接球的球心，O为ABC外接圆的圆心，连接,,OOOBOB.在ABC中，4,25ACABBC===，则由余弦定理可得222(25)(25)43cos522525ABC+−==，从而4sin5ABC=，故ABC的外接圆半径52sin2A

CrOBABC===.因为4PA=，所以2OO=，所以外接球半径22412ROBOBOO==+=，故三棱锥−PABC的外接球的表面积为2441R=.故选：C.【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的

解题思想方法，属于中档题型；解题方法是根据几何关系求出底面三角形ABC的外接圆的半径，再由勾股定理求得三棱锥−PABC的外接球的半径，进而求解；解题的关键点是三棱锥−PABC的外接球的半径的求解或者说是直角三角形'OOB的构造.1

2.设函数()22lnfxxxaxx=−−，若不等式()0fx仅有1个正整数解，则实数a的取值范围是A.11,ln22−−B.11,ln22−−C.11ln2,ln323−−D.11ln2,ln323−−【答案】B【解析】【分析】由不等式(

)0fx，即22ln0xxaxx−−，两边除以x，则ln1xxax+，转化函数lnyxx=图象上仅有1个横坐标为整数点落在直线;1lyax=+的下方，结合图象，即可求解．【详解】由函数()fx的定义域为0xx，不等式()0fx，即22ln0xxaxx−−，两边除以x，则ln

1xxax+，注意到直线;1lyax=+恒过点()0,1，不等式()0fx仅有1个正整数解，即函数lnyxx=图象上仅有1个横坐标为整数的点落在直线;1lyax=+的下方，的由图象可知，这个点()

1,0，可得()()10,20ff，即11ln22a−−，故选B．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，其中解答中转化函数lnyxx=图象上仅有1个横坐标为整数的点落在直线;1lyax=+的下方，结合图象

求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若命题*:N,e1xpxx+，则命题:p__________.【答案】*N,e1xxx+【解析】【分析】根据

全称量词的否定的结构特征可得正确的选项.【详解】由全称命题的否定可得命题“*:,e1xpxx+N”的否定为“*N,e1xxx+”．故答案为：*N,e1xxx+．14.若1，2，3，x的平均数是5，而1，3，3，x，y的平均数是6

，则1，2，3，x，y的方差是________.【答案】24.56【解析】【分析】先求出x和y,再求出1，2，3，x，y的方差.【详解】由题得12345,14xx+++==，所以1+3+3+14+56

,9yy==.所以1，2，3，x，y的平均数为1291+2+3+14+9)=55（，所以1，2，3，x，y的方差为2222212929292929[(1)(2)(3)(9)(14)24.56555555−+−+−+−+−=.故答案为：24.56【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，意在考查

学生对这些知识的理解掌握水平.15.已知直线l与函数ln()xfxx=的图象相切于()1,0P，则直线l的方程是___________.【答案】1yx=−【解析】【分析】求出函数()fx的导数，借助导数的几何

意义即可求出直线l的方程.【详解】函数ln()xfxx=的定义域为(0,)+，求导得：21ln()xfxx−=，则()11f=，直线l的斜率为1，所以直线l的方程是：1yx=−.故答案为：1yx=−16.已知过点(1

,2)T−作抛物线2:2(0)Cypxp=的两条切线,切点分别为A、B,直线AB经过抛物线C的焦点F,则22||||TATB+=___________．【答案】64【解析】【分析】用字母进行一般化研究,先求出切点弦方程,再联立化简,最后代入数据计算【详解】设

()()1122,,,AxyBxy,点A处的切线方程为()11yykxx−=−联立()1122yykxxypx−=−=,得2112220pypyypxkk−+−=由21122420pyppxkk=−−−=,得22112240pyp

ykk−+=即2140pyk−=,解得1pky=所以点A处的切线方程为()111pyyxxy−=−,整理得()11yypxx=+同理,点B处的切线方程为()22yypxx=+设()00,Txy为两切线的交点,则()1010y

ypxx=+()2020yypxx=+所以()()1122,,,AxyBxy在直线()00yypxx=+上即直线AB的方程为()00yypxx=+又直线AB经过焦点,02p所以002ppx=+

,即02px=−联立()2000042yxxyyxxx=−=−+得()22223240000000240,48440yyyxxxxxyxx−−=+−+=所以222012012012012002,4,2,yyyyyyxxxxxxxx+

==−+=−=所以()()()()22222210102020||||TATBxxyyxxyy+=−+−+−+−()()2222221201212012002222xxxxxyyyyyxy=+−+++−+++()()()()22221

212012121201200222222xxxxxxxyyyyyyyxy=+−−+++−−+++222000022yxxx=−−42200020168yxyx=++本题中001,2xy=−=所以4222200

020||||16816163264yTATBxyx+=++=++=故答案为:64【点睛】结论点睛:过点()00,Txy作抛物线2:2(0)Cypxp=的两条切线,切点弦的方程为()00yypxx=+三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为

必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17.已知函数()3239fxxxxa=−−+（其中aR）.（1）求函数()fx的极值点；（2）若函数(

)fx有三个零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）极大值点为1−，极小值点为3；（2）()5,27−.【解析】【分析】（1）对()fx求导，利用导数求出函数()fx的单调性，进而求得极值点；（2）函数()fx有三个零点，等价于()fx的图象与x轴有三个交点，求出函数()fx的极值，列不等式即

可求得a的范围．【详解】解：（1）因为函数32()39fxxxxa=−−+，则定义域为R，且()()2()369313fxxxxx=−−=+−，令()0fx=，解得=1x−或3x=.当x变化时，()fx，()fx变化情况如下表

：x(),1−−1−()1,3−3()3,+()fx+0−0+()fx极大值极小值因此函数()fx=1x−处取得极大值；在3x=处取得极小值，所以函数()fx的极大值点为1−，极小值点为3（2）函数()fx有三个零点，等价于()fx的图象与x轴有三个交点由（1）可知，()

fx在=1x−处取得极大值()15fa−=+；在3x=处取得极小值()327fa=−+，因为()fx的图象与x轴有三个交点则50270aa+−+，解得527a−在故实数a的取值范围为()5,27−18.为推行“新课堂”教学法,某化学老师分别用传

统教学和“新课堂”两种不同的教学方式,在甲、乙两个平行班进行教学实验,为了解教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出的茎叶图如下图,记成绩不低于70分者为“成绩优良”

.（1）分别计算甲、乙两班20个样本中,化学成绩前十的平均分,并据此判断哪种教学方式的教学效果更佳;（2）由以上统计数据填写下面2×2列联表,是否有95%的把握认为“成绩优良与教学方式关”?甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计()20PKk0.0500100k3.8416.635()()

()()()22nadbcKabcdacbd−=++++【答案】（1）80.9，89.4，使用“高效教学法”的乙班教学效果更佳.（2）有95%的把握认为“成绩优良”与“教学方式”有关.【解析】【分析】

（1）先求出甲班、乙班的平均分，然后再作出判断．（2）根据列联表中的数据求出2K，再结合临界值表得到结论．【小问1详解】甲班化学成绩前10名学生的平均分为.()117274747979808185899

680.910x=+++++++++=乙班化学成绩前10名学生的平均分为()217880818586939697999989.410x=+++++++++=由于12xx，所以可判断使用“高效教学法”的乙班教学效果更佳.【小问2详解】根据茎叶图中的数据，列出列联表如下：甲班乙

班总计成绩优良101626成绩不优良10414总计202040由表中的数据可得()224010416103.9563.84126142020K−=，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前

提下，即有95%的把握认为“成绩优良”与“教学方式”有关.19.如图，在三棱柱111ABCABC-中，11122AABAAC===，2ABAC==，90BAC=.（1）证明：平面1ABC⊥平面111ABC；（2）求四棱锥111ABCCB−的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）463

.【解析】【分析】（1）取BC的中点M，连AM，1AM，证明1AM与底面ABC垂直，得面面垂直，再由棱柱上下底面平行得证结论；（2）由棱柱、棱锥体积得11112ABCCBAABCVV−−=，计算三棱锥体积可得结论．【详解】（1）如图，取BC的中点M，连AM

，1AM，因为2ABAC==，90BAC=，所以22BC=，2AM=，又因为1122==ABAC，所以16AM=，在1AAM中，由122AA=，满足22211AAAMAM=+，所以1AMAM⊥，且1AMBC⊥，BCAMM=，,BCAM

平面ABC，所以1AM⊥平面ABC，又1AM平面1ABC，所以平面1ABC⊥平面ABC，又平面//ABC平面111ABC，所以平面1ABC⊥平面111ABC.（2）由（1）可知1AM⊥平面ABC，111113

AABCABCABCVV−−=，所以四棱锥111ABCCB−的体积1111146222633ABCCBAABCVV−−===.20.已知椭圆E:()222210xyabab+=的左、右焦点分别为()13,0F−,()23,0F,过点1F且斜

率为k的直线l与椭圆E交于A,B两点.当A为椭圆E的上顶点时,117AFFB=.（1）求椭圆E的标准方程;（2）当12k=时,试判断以AB为直径的圆是否经过点2F,并说明理由.【答案】（1）2214xy+=（2）以AB为直径的圆不经过点2

F,理由见解析【解析】【分析】(1)将直线方程求出来,再带入向量等式即可求出椭圆方程;(2)联立计算出22AFBFkk的值,即可判断是否经过2F.【小问1详解】由题意,得椭圆E的半焦距3c=,当A为椭圆E的上顶点时,()0,Ab,设()00,Bxy,则()13,

AFb=−−,()1003,FBxy=+.由117AFFB=,得0837x=−,07by=−,∴83,77bB−−,将点B的坐标代入椭圆E的方程,得2643114949a+=，解得24a=.又23c=,∴2221bac=−=,∴椭圆E的标准方程是2214xy+=.【小问2

详解】以AB为直径的圆不经过点2F,理由如下:依题意,知直线l的方程为()132yx=+.联立()2214132xyyx+==+,消去y,并整理得222310xx+−=.设()11,Axy,()22,B

xy,则由根与系数的关系,得123xx+=−,1212xx=−.易知,直线2AF,2BF的斜率都存在且不为0.若以AB为直径的圆经过点2F,则22AFBF⊥，所以直线2AF,2BF的斜率之积为-1,即221AFBFkk=−,而()()()()221212121233143333AFBFxxy

ykkxxxx++==−−−−()()()()121212121333331112114444333332xxxxxxxx−+−++++===−−−++−−−+,所以以AB为直径的圆不经过点2F.21.已知函数()2ln2fxxxax=+−（4a）.（1）当5a=时

，求函数()fx的单调区间；（2）若1x，2x是函数的两个极值点，且1x，(20,1x，求证：()()12152ln28fxfx−−.【答案】（1）()fx的单调递增区间为1(0,)4和(1,)

+，单调减区间为(1,14)，（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出原函数的导函数，把5a=代入，由'()0fx，'()0fx可得函数的单调区间；（2）由于函数()fx有两个极值点1x，2x，则1

x，2x是2410xax−+=的两个不等实根，利用根与系数的关系把a与2x用含有1x的代数式表示，可得212111211()()2ln22ln2(01)8fxfxxxxx−=−++，设221()2ln22ln2(01)8Fxxxxx=−++，利用导数求

出其最小值即可【详解】（1）解：由()2ln2fxxxax=+−，得2'141()4(0)xaxfxxaxxx−+=+−=，当5a=时，2'451()(0)xxfxxx−+=，由'()0fx，得245

10xx−+，解得104x或1x，由'()0fx，得24510xx−+，解得114x，所以()fx的单调递增区间为1(0,)4和(1,)+，单调减区间为(1,14)，（2）证明：由函数()fx有两个极值点1x，2x，所以1x，2x是方程2410xax−+=

的两个不等实根，所以121211,(01)44axxxxx+==，则122114(),4axxxx=+=，所以2212111222()()ln2ln2fxfxxxaxxxax−=+−−−+，21112112ln22ln2(01)8xxxx=−++，令221()2ln22ln2(01

)8Fxxxxx=−++，则22'3321(41)()4044xFxxxxx−−=−−=，所以()Fx在(0,1]上单调递减，则15()(1)2ln28FxF=−，所以()()12152ln28fxfx−−【点睛】此题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的最值，考查数学转化

思想，属于难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．（选修4-4极坐标与参数方程）22.已知曲线C的方程为2cos22sinxy=+=（为参数），以坐标

原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）过()1,1M作直线l交曲线C于P、Q两点，且:2:3PMPQ=，求直线l的斜率.【答案】（1）4cos=（2）473+或473−【解析】【分析】（1）将曲线C的参数方程化为普通方程，再转化为极坐标

方程即可；（2）设直线l的倾斜角为，写出直线l的参数方程，代入曲线C的普通方程，可得出关于t的二次方程，列出韦达定理，设点P对应的参数为1t，点Q对应的参数为2t，由已知可得出122tt=，代入韦达定理可得

出关于tan的二次方程，解出tan的值，即可得出直线l的斜率.【小问1详解】因为曲线C的参数方程为2cos22sinxy=+=（为参数），所以22cos2sinxy−==，消去参数，可得()2224xy−+=，故

曲线C的普通方程为2240xyx+−=.又cosx=，siny=，故曲线C的极坐标方程为24cos0−=，即4cos=.【小问2详解】设直线l的倾斜角为，则直线l的参数方程为1cos1sinxtyt=+=+（t为参

数），代入()2224xy−+=，得()22sincos20tt+−−=.()24sincos80=−+，设点P对应的参数为1t，点Q对应的参数为2t，则()12122sincos2tttt+=−−=−（*），因为:2:3PMPQ=，所以122tt=，所以1

22tt=−，代入（*）式整理，可得()2224sincos1sincos−==+，可得223sin8sincos3cos0−+=，若cos0=，则sin0=，与22sincos1+=矛盾，故cos0，可得23tan8tan30−+=，解得47tan3

=，所以直线l的斜率为473+或473−.选修4-5：不等式选讲23.选修4-5：不等式选讲设函数()211fxxx=++−.（1）解不等式()4fx；（2）若1,2x−，()27fxtt+成立，求实数t的取值范围.【答案】（1）44,33−；（2）()1,6.【解析】

【分析】（1）通过分类讨论去掉绝对值，然后解不等式取并集即可；（2）结合x的范围去掉绝对值，可得到()fx的单调性，令()2max7fxtt−即可．【详解】（1）依题意1234xx−−或11224xx−+或134xx

解得44,33x−（2）()13,1212,123,12xxfxxxxx−−−=+−()fx在11,2−−上是减函数，在1,22−上是增函数()13f−=，()26f=，(

)max6fx=，267tt−+，2760tt−+，解得()1,6t.【点睛】绝对值不等式的解法：(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法，数形

结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com