【文档说明】北京市昌平区2023-2024学年高一下学期期末质量抽测数学试卷 Word版含解析.docx，共(18)页，1.342 MB，由小赞的店铺上传

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昌平区2023—2024学年第二学期高一年级期末质量抽测数学试卷2024.7本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共1

0小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知角的终边经过点()2,1P−，则cos=（）A.55B.55−C.255D.255−【答案】C【解析】【分析】根据条件，

利用三角函数的定义，即可求出结果.【详解】因为角的终边经过点()2,1P−，所以22225cos52(1)==+−，故选：C.2.若sin0，tan0，则是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】B【解析】【分析】根据s

in0，可判断可能在的象限，根据tan0，可判断可能在的象限，综合分析，即可得答案.【详解】由sin0，可得的终边在第一象限或第二象限或与y轴正半轴重合，由tan0，可得的终边在第二象限或第四象限，因为sin0，tan0

同时成立，所以是第二象限角.故选：B3.如图，在复平面内，复数1z，2z对应的点分别为1Z，2Z，则12zz=（）A.12i+B.12i−C.12i−+D.12i−−【答案】A【解析】【分析】根据条件，利用复数的几何意义，得到122ii,zz−=−=

+，再利用复数的运算，即可求出结果.【详解】由题知12(0,1),(2,1)ZZ−−，所以122ii,zz−=−=+，得到12i(2i)12izz=−−+=+，故选：A.4.已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若m⊥，⊥，则//mB.

若l=，𝑙//𝑚，则//mC.若m，⊥，则m⊥D.若m⊥，𝛼//𝛽，则m⊥【答案】D【解析】【分析】根据线线，线面及面面位置关系判断各个选项即可.【详解】对于A:若,m⊥⊥,则可能m，A错误；对于B:若,//llm

=,则可能m,B错误；对于C:若,,m⊥则m可能不垂直，C错误；对于D:若,//m⊥,则m⊥,D正确.故选：D.5.已知圆锥的母线长为5，侧面展开图扇形的弧长为6，则该圆锥的体积为（）A.12B.15C.36D.45【答案】

A【解析】【分析】先根据侧面展开图的弧长求出底面半径，再应用圆锥的体积计算即可.【详解】因为侧面展开图扇形的弧长为6π=2πr,所以3r=,又因为圆锥的母线长为5，设圆锥的高为h,222,4,hrlh+==所以圆锥的体积为211ππ9412π33Vrh===.故选：A.6.

在ABCV中，3a=，4b=，1cos3B=，则A=（）A.π6B.π4C.π6或5π6D.π4或3π4【答案】B【解析】【分析】根据条件，利用余弦定理得到122c=+，再由222cos2bcaAbc+−=，得到2

cos2A=，即可求出结果.【详解】因为3a=，4b=，1cos3B=，由余弦定理2222cosbacacB=+−，得到21169233cc=+−，即2270cc−−=，解得122c=+，由222co

s2bcaAbc+−=，得到216(122)92cos224(122)A++−==+，又()0,πA，所以π4A=，故选：B.7.已知1z，2z是两个复数，则“1z，2z互为共轭复数”是“1z，2z的差为纯虚数”的（）A.充分而不

必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，结合共轭复数的定义及复数的分类，即可求出结果.【详解】若1z，2z互为共轭复数，设1i(,R)zabab=+，则2i(,R)zabab=−，则12i

(i)2izzababb−=+−−=，若0b=，则120zz−=，所以“1z，2z互为共轭复数”推不出“1z，2z的差为纯虚数，不妨取13iz=，25iz=，则122izz−=−，显然满足1z，2z的差为纯虚数，但1z，2z不互为共轭复数，所以“1z，2z互为共轭复数”是“1z，2z的差

为纯虚数”的既不充分也不必要条件，故选：D.8.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：m）的部分记录表.时间0:003:006:00

9:0012:00水深值5.07.55.02.55.0据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似的用三角函数来描述.试估计13：00的水深值为（）A.3.75B.5.83C.6.25D.6.67【答案】C【解析】【分析】观察表中数据求出周期和最大最小值，然后可得,,Ab，将表中最大值点坐标

代入解析式可得，然后可得所求.【详解】记时间为x，水深值为y，设时间与水深值函数关系式为()()()sin,0,0yfxAxbA==++，由表中数据可知，12T=，()()maxmin7.5,2.5fxfx==所以

2ππ126==，7.52.557.52.5,5222Ab−+====，所以()5πsin526fxx=++，又3x=时，7.5y=，所以5πsin357.526++=，所以ππ2π22k+=+，即2π,kk=Z，所以()5π5πsin2π5sin526

26fxxkx=++=+，的()513π5π5113sin5sin556.25262622f=+=+=+=，即13:00的水深值大约为6.25.故选：C9.函数()()πtan(0)2fxAx=+

，的部分图象如图所示，则13π12f=（）A.1B.3C.3D.33【答案】C【解析】【分析】根据图象，求得()26π3tanfxx=+，即可求出结果.【详解】由图知π5πππ21264=

−=，得到2=，又由图知(0)tan15π5π()tan(2)01212fAfA===+=，由5πtan()06A+=，得到5ππ6k=−+，又π2，所以π6=，由πtan16A=，得到3A=，所以()26π

3tanfxx=+，得到13π13ππ7π3tan(2)3tan()3121263f=+==，故选：C.10.在矩形ABCD中，2AB=，3AD=，P为矩形ABCD所在平面内的动点，且1PA=，则PBPC的最大值是

（）A.9B.10C.11D.12【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设(,)Pxy，根据条件得到)(2,),(2,3PxCxyByP==−−−−，从而得到2239(2)()24xPByPC=−+−−，又221xy+=，结合图形，得223(2)()2PHxyAHAP=−+−+，

即可求出结果.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设(,)Pxy，BC中点为H，因为2AB=，3AD=，所以(0,0)A,(2,0)B，(2,3)C，3(2,)2H，得到)(2,),(2,3PxCxyByP==−−−−，所以222239(2)3(2)()24xyyxyP

BPC=−+−=−+−−，又因为1PA=，所以221xy+=，又222397(2)()21242PHxyAHAP=−+−+=++=，当且仅当,,HAP（P在HA的延长线上）三点共线时取等号，所以222239499(2)3(2)()102444PBPCx

yyxy=−+−=−+−−−=，故选：B.【点睛】关键点点晴：设(,)Pxy，利用向量数量积的坐标运算，得到2239(2)()24xPByPC=−+−−，再利用圆的几何性质，即可求解.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每

小题5分，共25分.11.已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的侧面积为_________________.【答案】8【解析】【分析】利用正四棱锥的性质，结合条件，求出斜高，即可求出结果..【详解】如图，ACBDO=，取BC

的中点H，连接,OHPH，易知PHBC⊥，因为正四棱锥的底面边长为2，高为3，则1OH=，22132PHOPOH=+=+=，所以正四棱锥的侧面积为142282S==，故答案为：8.12.在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对

称.若角的终边与单位圆交于点3,5Pm，则cos=_____________.【答案】35−##0.6−【解析】【分析】先根据角与角的终边关于y轴对称，且角的终边与单位圆交于点3(,)5Pm，得

到角的终边与单位圆的交点，然后利用正弦函数的定义求解.【详解】因为角与角的终边关于y轴对称，且角的终边与单位圆交于点3(,)5Pm，所以223()15m+=，解得45m=，当45m=时，即角的终

边与单位圆的交点34(,)55Q−，所以3cos5=−.当45m=−时，即角的终边与单位圆的交点34(,)55Q−−，所以3cos5=−.综上所述，3cos5=−.故答案为：35-13.已知菱形ABCD

的边长为2，60BAD=，2BCBP=，则APBD=_________________.【答案】1−【解析】【分析】利用向量的线性运算得到12APABAD=+uuuruuuruuur，BDADAB=−，再利用数量积的定义及运算，即可求出结果.【详解】因为2BCBP=，所以12APA

BBPABAD=+=+，又BDADAB=−，所以22111()()222APBDABADADABABADABAD=+−=−+，又菱形ABCD的边长为2，60BAD=，所以1π122cos441232APBD=

−+=−，故答案为：1−.14.已知函数()ππsin,,22π3πcos,,243πtan,,π4xxfxxxxx−=，则函数()fx的值域为__________

______；若关于x的方程()0fxa−=恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围为_________________.【答案】①.1,1−；②.2,02−.【解析】【分析】求出每段函数的值域求并集可得()fx的值域；作出函数()fx的图象，根据直

线ya=与函数()fx的图象有三个交点可得a的取值范围.【详解】当ππ,22x−时，(sin1,1x−；当π3π,24x时，2cos,02x−；当3π,π4x时，)tan1,0x−.综上，函数()fx的值

域为1,1−.作出函数()fx的图象如图：因为关于x的方程()0fxa−=恰有三个不相等的实数根，所以直线ya=与函数()fx的图象有三个交点，由图可知，202a−，即实数a的取值范围为2,02−.故答案为：1,1−；2,02−.15.在棱长为

1的正方体1111ABCDABCD−中，E，F，G分别为棱1AA，11CD，1CC的中点，动点H在平面EFG内，且1DH=.给出下列四个结论：①1//AB平面EFG；②点H轨迹的长度为π；③存在点H，使得直

线DH⊥平面EFG；④平面EFG截正方体所得的截面面积为334.其中所有正确结论的序号是_________________.【答案】①②④【解析】【分析】根据,,EFG都是棱的中点，可以做出过,,EFG的截面，再根据正方体的棱长和DH的长度，可确定H点的轨迹，从而可判断各个结论的

正确性.【详解】如图：因为F，G分别为11CD，1CC中点，所以1//FGCD，又11//CDAB，所以1//ABFG，又FG平面EFG，1AB平面EFG，所以1//AB平面EFG，故①成立；连接1DB，交𝐸𝐺于点O，易证1DB

⊥平面EFG，32OD=，1DH=，所以12OH=，故H点轨迹是平面EFG内以O为圆心，以12为半径的圆，所以H点轨迹长度为：12ππ2=，故②成立；由②可知，DH不可能与平面EFG垂直，故③不成立；做出截面EFG，可知截面是正六边形，且边长为22，其面积为：232

336424=，故④成立.故答案为：①②④【点睛】方法点睛：根据线面平行的判定和性质，可以确定过点,,EFG三点的截面.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知3sin5=，且为第二象限角.（1）求πta

n4+的值；（2）求cos2π2sin4−的值.【答案】（1）17（2）15【解析】【分析】（1）根据条件，利用平方关系得到4cos5=，再利用正切的和角公式，即可求解；（

2）利用倍角公式及正弦的差角公式，得到cos2(cossin)π2sin4=−+−，即可求解.【小问1详解】因为3sin5=，且为第二象限角，所以2234cos1sin1()55=−−=−−=−，得到3tan4

=−，所以31πtan114tan341tan714−+++===−+.【小问2详解】因为22cos2cossin(cossin)πsincos2sin4−==−+−−，由（1

）知3sin5=，4cos5=−，所以cos2431()π5552sin4=−−+=−.17.已知向量()3,1a=−，()1,bm=.（1）若()amab⊥−，求实数m的值；（2）若2m=−，求a与b夹角的大小

.【答案】（1）311（2）π4【解析】【分析】（1）根据坐标运算得到mab−rr，然后根据垂直列方程，解方程即可；（2）利用数量积的公式求夹角即可.【小问1详解】()31,2mabmm−=−−rr，因为()amab⊥−，

所以()()()33120amabmm−=−−−=rrr，解得311m=.【小问2详解】若2m=−，则()1,2b=−，因为()223110a=+−=，()22125b=+−=，5ab=，所以52cos,2105ababab===rrrrrr，因为cos

,0,πab，所以cos,4ab=πrr.18.已知函数()23sincoscos(0)22fxxxx=−，()fx图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.（1）求()fx的解析式；（2）求()fx在区间ππ,46−上最小值；（3）若()fx

在区间0,m上单调递增，求实数m的最大值.【答案】（1）()π2sin(2)6fxx=−（2）2−（3）π3【解析】【分析】（1）根据条件，利用辅助角公式得到()π2sin()6fxx=−，再结合条件，即可得到2=，从的而求出结

果；（2）令π26tx=−，得到2sinyt=，利用sinyx=的图象与性质，即可求出结果；（3）利用sinyx=的图象与性质，求出()π2sin(2)6fxx=−的单调增区间，再结合条件，即可求出结果.【小问1详解】因()π23sincoscos3sincos2sin()2

26fxxxxxxx=−=−=−，又()fx图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且0，所以ππ2=，得到2=，所以()π2sin(2)6fxx=−.【小问2详解】由（1）知()π2sin(2)6fxx=−，令π26tx=−，则2

sinyt=因为ππ,46x−，所以2ππ,36t−，得到22sin1t−，所以()fx在区间ππ,46−上的最小值为2−.【小问3详解】因为()π2sin(2)6fxx=−，由πππ2π22π,Z262kxkk−+−+，得到πππ

π,Z63kxkk−++，令0k=，得到ππ63x−，又()fx在区间0,m上单调递增，所以实数m的最大值为π3.19.ABCV中，222ababc++=.（1）求C；（2）若6a=，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABCV存在.（ⅰ）求sinB的值

；（ⅱ）求ABCV的面积.条件①：2cos2A=；条件②：2c=；为在条件③：32sincA=注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）2π3（2）选择见解析（i）

624−；（ii）9334−【解析】【分析】（1）根据条件，利用余弦定理，即可求出结果；（2）选择①：利用条件得到π4A=，从而π12B=，即可求出sinB，再利用正弦定得到3c=，利用三角形的面积公式，即可求出结果；选择②

：由于ca，2π3C=，此时ABCV不存在；选择③：利用条件及正弦定理得到π4A=，同①即可求解.【小问1详解】因为222ababc++=，又由余弦定理2222coscababC+=−，所以2cos1C=−，即1cos2

C=−，又()0,πC，所以2π3C=.【小问2详解】选择条件①：因为2cos2A=，又()0,πA，所以π4A=，由（1）知2π3C=，所以2ππππ3412B=−−=，（ⅰ）πππ321262sinsinsin()123422224B−==−=

−=.（ⅱ）因为6a=，由正弦定理sinsinacAC=，得到6π2πsinsin43c=，得到3c=，所以ABCV的面积为1162933sin632244SacB−−===.选择条件②：因为2

c=，由（1）知2π3C=，而26ca==，此时ABCV不存在.选择条件③：32sin36sincAA==，又6a=，所以3sincaA=，由正弦定理得2sin3sinCA=，由（1）知2π3C=，所以233sin2A=，

得到21sin2A=，又π0,3A，所以2sin2A=，得到π4A=，所以2ππππ3412B=−−=，（ⅰ）πππ321262sinsinsin()123422224B−==−=−=.（ⅱ）因为6a=，由正弦定理sinsinacAC=，得到6π2πsinsin

43c=，得到3c=，所以ABCV的面积为1162933sin632244SacB−−===.20.如图，在几何体ABCDEF中，侧面ADEF是正方形，平面CDE⊥平面ABCD，//CDAB，90ADC=，2ABCD=.（1）求证：ADCE⊥；（2）求证：//CE平面ABF

；（3）判断直线BE与CF是否相交，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）不相交，理由见解析【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，得到AD⊥面CDE，再利用线面垂直的性质，即可证明结果；（2）取AB中点H，连接,CHFH，根据条件，利用平行四边形的性质

，得到//HFCE，再利用线面平行的判定定理，即可证明结果；（3）利用（2）中的结果，得出BF与CE异面，即可求出结果.【小问1详解】因为平面CDE⊥平面ABCD，平面CDE平面ABCDCD=，又ADDC⊥，AD面ABCD，所以AD⊥面CDE，又CE面CDE

，所以ADCE⊥.【小问2详解】取AB中点H，连接,CHFH，因为2ABCD=，//CDAB，所以//AHDC且AHDC=，所以AHDC为平行四边形，得到//ADHC且ADHC=，所以HCEF为平行四边形，得到//HFCE，又HF面ABF，CE面ABF

，所以//CE平面ABF.【小问3详解】直线BE与CF不相交，理由如下，由（2）知//CE平面ABF，所以CE平面ABF=，又BF面ABF，所以CEBF=，又//HFCE，BFFHF=，所以BF与CE不平行，故BF与CE异

面，从而BE与CF不相交.21.已知函数()sincosfxxx=+，先将()fx图象上所有点向右平移π4个单位，再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()gx的图象.（1）求()gx的解析式和零点；（2）已知关于x的方程()()fxgxm+=在

区间)0,2π内有两个不同的解、.（ⅰ）求实数m的取值范围；（ⅱ）求()cos−的值.（用含m的式子表示）【答案】（1）()2singxx=；π(Z)kk（2）()10,10−；215m−【解析】【分析】（1）用辅助角公式化简(

)fx，由三角函数的图象变换可得()gx，继而可得零点；（2）（ⅰ）由（1）得()()10sin()fxgxx+=+（其中10310sin,cos1010==），从而可得m的取值范围.（ⅱ）由题意可得sin(),sin()1010m

m+=+=，当010m时，可求π2()−=−+；当100m−时，可求3π2()−=−+，由2cos()cos2()2sin()1−=−+=+−，从而可以求解.【小问1详解】()πsincos2sin4fxxxx=+=+，

将()fx图象上所有点向右平移π4个单位得ππ2sin()2sin44xx−+=，再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()gx的图象，则()2singxx=，sinyx=的零点为2πk和π2π(Z)kk+，故()

2singxx=零点为πk(Z)k.【小问2详解】（ⅰ）()()sincos2sin3sincos10sin()fxgxxxxxxx+=++=+=+（其中10310sin,cos1010==），方程()()fxgxm+=在区间)0,2π内有两个不同的解、，即10sin(

)xm+=在区间)0,2π内有两个不同的解、，故1010m−.（ⅱ）、是方程10sin()xm+=（其中10310sin,cos1010==）在区间)0,2π内有两个不同的解，sin(),sin()1010mm+=+=，的当0

10m时，π+++=，即π2=−−，即π2()−=−+；当100m−时，3π+++=，即3π2=−−，即3π2()−=−+；2cos()cos2()2sin()1−=−+=+−22211510mm=

−=−.故2cos()15m−=−.