【文档说明】浙江省杭州市周边重点中学四校2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题 Word版含解析.docx，共(16)页，825.229 KB，由管理员店铺上传

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2024学年第一学期高一年级10月四校联考数学学科试题卷命题人：浦江中学徐德荣校对人：浦江中学于杭君考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场､座位号及准考证号（填涂）；3．所有答案必

须写在答题卷上，写在试卷上无效；一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合1,2,3,4,5,9,ABxxA==，则()AAB=ð（）A.1,4,9B.3,4,9C.1,2

,3D.2,3,5【答案】D【解析】【分析】由集合B的定义求出B，结合交集与补集运算即可求解.【详解】因为1,2,3,4,5,9,ABxxA==，所以1,4,9,16,25,81B=，则1,4,9AB=，()2,3,5AAB=ð故选：D2.

如图，已知全集UR=，集合{1,2,3,4,5},{12}ABxx==−∣，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（）A.3B.4C.7D.8【答案】D【解析】【分析】先求出图中阴影部分表示的集合，再利用集合的子集个数公式即可得解.【详解】由题意得{1,

2}AB=，故图中阴影部分表示的集合为{3,4,5}，所以图中阴影部分表示的集合的子集个数为328=个.故选：D.3.已知,Rxy，则“0xy=”是“220xy+=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【

答案】B【解析】【分析】根据由0xy=能不能推出220xy+=及由220xy+=能不能推出0xy=即可得答案.【详解】解：由0xy=，可得0x=或0y=；由220xy+=可得0x=且0y=，所以由0xy=不能推出220xy+=，但由220xy+=能推出0xy=，

所以“0xy=”是“220xy+=”的必要不充分条件.故选：B4.已知0,0aba+，那么,,,abab−−的大小关系是（）A.baab−−B.abab−−C.baba−−D.abab−

−【答案】A【解析】【分析】利用不等式的性质比较大小即可.【详解】由0ab+可得0ba−，所以0baab−−.故选：A5.命题“230,xxx”的否定是（）A.230,xxxB.2

30,xxxC.230,xxxD.230,xxx【答案】B【解析】【分析】根据存在量词命题的否定即可得解..【详解】命题“230,xxx”的否定是“230,xxx”.故选：B.6.若命题“[1,3]x−，220xxa−−

”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（）A.1−B.0C.1D.3【答案】A【解析】【分析】分析可知22xxa−，根据存在性问题结合配方法分析求解.【详解】因为220xxa−−，即22xxa−，又因为()222111xxx−=−−−，

当且仅当1x=时，等号成立，若[1,3]x−，220xxa−−，即1a−，所以实数a可取的最小整数值是1−.故选：A.7.已知关于x不等式()()20xaxbxc−+−的解集为((,21,2−−，则（）A.2c=B.点

(),ab在第二象限C.22yaxbxa=+−的最大值为3aD.关于x不等式20axaxb+−的解集为2,1−【答案】D【解析】【分析】根据分式不等式与整式不等式的转化，结合解的性质可得1x=和2x=−分别是0xc−=和0axb

+=的实数根，即可得1c=，20ab−+=，进而可求解AB，利用二次函数的性质即可求解C，由一元二次不等式的求解即可判断D.【详解】原不等式等价于(2)()()00xaxbxcxc−+−−，因为解集为((,21,2−−

,所以1x=和2x=−分别是0xc−=和0axb+=的实数根，故0a且1c=，20ab−+=，故A错误；的因为0a，20ba=，所以点(,)ab在第三象限，故B错误；()()22222222213ya

xbxaaxaxaaxxaxa=+−=+−=+−=+−，由于开口向下，故最大值为3a−，故C错误，由20axaxb+−得220axaxa+−即220xx+−解集为2,1−，故D正确．故选：D．8.若数集()1212,,,1,2nnAaaaaaan=

LL具有性质P：对任意的,(1),ijijijnaa与jiaa中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则（）A.“权集”中一定有1B.1,2,3,6为“权集”C.1,2,3,4,6,12为“权集”D.1

,3,4为“权集”【答案】B【解析】【分析】根据集合的新定义，验证选项B,C,D，集合“权集”中不一定有1，判定A错误.【详解】因为23，632=，623=都属于数集{2,3,6},{2,3,6}是“权集”，所以“权集”中不一定有1，所以

A错误；因为6612,13,16,23,,23都属于数集{1,2,3,6}，1,2,3,6为“权集”，所以B正确；因为46与6342=均不属于数集1,2,3,4,6,12，1,2,3,4,6,12不为“权集”，所以C错误；因为34与43均不属于数集1,3,4，1

,3,4不为“权集”，所以D错误；故选：B二､多选题：本题3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分．9.中国古代重要的数学著作《

孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数．三三数之，剩二．五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？”现有如下表示：已知*32,Axxnn==+N∣，**53,,72,BxxnnCxxnn==+==+NN∣∣，若()xABC，则下列选项中

符合题意的整数x为（）A.23B.133C.233D.333.【答案】AC【解析】【分析】直接将各选项的数字变形判断即可.【详解】对A，233722253=+=+，满足,,ABC的描述，所以()23ABC，符合；对B，133719=

，不满足C的描述，则()133ABC，不符合；对C，233731125463=+=+，满足,,ABC的描述，()233ABC，符合；对D，3333111=，不满足A的描述，则()333ABC，不符合.故选：AC10.根据不等式的有关知

识，下列日常生活中的说法正确的是（）A.自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积.B.购买同一种物品，可以用两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品

所花的钱数一定.用第一种方式购买比较经济.C.某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率等于2ab+.D.金店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店内购买20g黄金，店员先将

10g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为gx，则20x.【答案】AD【解析】

【分析】根据题意利用不等式的性质以及作差法、基本不等式逐项分析判断.【详解】对于选项A：设周长为0l，则圆的面积为22π2π4πllS==圆，正方形的面积为22416llS==正方形，因为211,04π16l，可得224π16ll，即SS圆正方形，故A正确；

对于选项B：按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为1p元/kg，购kgn，第二次购物时的价格为2p元/kg，购kgn，两次购物的平均价格为121222pnpnppn++=；若按第二种策略购物，第一次花m元钱，能购1kgmp物品，第二次仍花m元钱，

能购2kgmp物品，两次购物的平均价格为12122211mmmpppp=++.比较两次购的平均价格：()()()()22121212121212121212124220112222pppppppppppppppppppp+−−++−=−=

=++++，当且仅当12pp=时，等号成立，所以第一种策略的平均价格不低于第二种策略的平均价格，因而用第二种策略比较经济，故B错误；对于选项C：设这两年的平均增长率为x，则()()()2111AabAx++=+，可得()()111xab=++−，因为()()()()11111122ab

abxab++++=++=+，即2abx+≤，当且仅当11ab+=+，即ab=时，等号成立，即这两年的平均增长率不大于2ab+，故C错误；对于选项D：设天平左臂长为m，右臂长为n，,0mn且mn，左盘放的黄金为1

x克，右盘放的黄金为2x克，211010mnxmxn==，解得121010,nmxxmn==，1210101010220nmnmxxxmnmn=+=+=，当且仅当mn=时，取到等号，由于mn，所以20x，故D正确；故选

：AD.11.若正实数,xy满足21xy+=，则下列说法正确的是（）A.xy有最大值为18B.14xy+有最小值为642+C.224xy+有最小值为12D.()1xy+有最大值为12【答案】ABC【解析】【分析】直接利用不等式即可求解AC，利用乘“1”法即可求解B，利用不等式成

立的条件即可求解D.【详解】对于A：因为2122xyxy+=，则18xy，当且仅当2xy=，即11,42xy==时取等号，故A正确，对于B，()4214288626642xyxyxyxyxyxyyxyx+++=+=+++=+，当且仅当8xyyx=，

即21,222xy−==−时取等号，故B正确，对于C：因为222422xyxy++，则22142xy+，当且仅当2xy=，即11,42xy==时取等号，故C正确，对于D：因为()()()2211111212222xyxyxy+++=+=

，当且仅当21xy=+，即12x=，0y=时取等号，这与,xy均为正实数矛盾，故D错误，故选：ABC．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某学校举办秋季运动会时，高一某班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛

，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，借助文氏图（Venndiagram），可知同时参加田赛和径赛的有________人．【答案】4【解析】【分析】设同时参加田赛和径赛的学生人数为x，作出韦恩图

，根据题意可得出关于x的等式，即可解出x的值.【详解】设同时参加田赛和径赛的学生人数为x，如下图所示：由韦恩图可的()()126102824xxxx+−++−=−=，解得4x=.因此，同时参加田赛和径赛的有4

人.故答案为：4.13.甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度x（千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元．为使全程运输成本最小，汽车的速度是________千米/时．【答

案】50【解析】【分析】依据题意建立函数关系，再利用基本不等式求解最值即可.【详解】设汽车速度为x千米/时，运输成本为()210005000000500000025000200022000200000yxxxxxx=+=+=，∴当且仅当5

0000002000xx=，即50x=时，运输成本最小．故答案为：5014.若一个三角形的三边长分别为,,abc，记()12pabc=++，则此三角形面积()()()Sppapbpc=−−−，这是著名的海伦公式.已知ABCV的周长为9,2AB=，则ABCV的面积的最大值为__

_________.【答案】352##352【解析】【分析】由条件可得()()9,2,22pcpapb==−+−=，然后利用基本不等式可得()()22papb−−，然后可得答案.【详解】由题意()()9,2,222pcpap

bpabc==−+−=−−==，由0,022bcaacbpapb+−+−−=−=，则()()22,papbab−−=时取等，则()()()()993512222Sppapbpcppc=−−−−=−=.

故答案为：352四､解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为2753m的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底AD，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成60，当等腰梯形的腰长

为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．【答案】当等腰梯形的腰长为10m时，所用篱笆长度最小，其最小值为30m．【解析】【分析】以实际应用问题为情境，建立函数关系，利用函数最值的求法解出结果；【详解】设()()m0ABaa=，上底()()m

0BCbb=，分别过点,BC作下底的垂线，垂足分别为,EF，则32BEa=，2aAEDF==，则下底22aaADbab=++=+，该等腰梯形的面积()()332753224babSaaba++==+=，所以()2300aba+=，则30022aba=−，所用

篱笆长为2lab=+300222aaa=+−300322aa=+3003222aa30=，当且仅当300322aa=，即()10ma=，()10mb=时取等号．所以，当等腰梯形的腰长为10m时，所用篱笆长度最小，其最小值为30m．16.已知集合215Axx=−−∣,集合()

121Bxmxmm=+−R∣．（1）若4m=，求()ABRð；（2）设命题:pxA；命题:qxB，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围【答案】（1）{1xx−∣或7}x．（2）72m【解

析】【分析】（1）根据集合的并集和补集的定义即可求解，（2）根据B是集合A的真子集，讨论B=和B两种情况即可求解.【小问1详解】由题意可知21516Axxxx=−−=−∣∣，若4,57,mBxx==∣故17ABxx=−，

(){1ABxx=−R∣ð或7}x．【小问2详解】命题p是命题q的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集，当B=时，121mm+−，解得2m，当B时，12111216mmmm+−+−−（等号不能同时成立），解得722m

，综上所述，实数m的取值范围为72m17.如图，ABDC为梯形，其中ABa=，CDb=，设O为对角线的交点.GH表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段，EF表示平

行于两底且过点O的线段，MN表示平行于两底且将梯形ABDC分为面积相等的两个梯形的线段.试研究线段GH，KL，EF，MN与代数式2ab+，ab，211ab+，222ab+之间的关系，并据此推测它们之间的一个大小关系.

你能用基本不等式证明所得到的猜测吗？【答案】答案见解析【解析】【分析】根据题中所给的梯形模型，结合平行线分线段成比例定理，相似，面积相等等方式，建立得到几个平均数，再利用基本不等式和作差法比较大小即可【详解】因为GH是梯形ABDC的中位线，所以22ABCDabGH++==；因为梯形AB

LK与梯形KLDC相似，所以ABKLKLCD=，所以KLABCDab==；因为,AEOACDDOFDAB∽∽，所以,OEOAOFODbDAaAD==，所以1OEOFba+=，所以111OEOFab=

=+，所以211EFab=+，设梯形MNDC，ABNMABDC的面积分别为12,,SSS，高分别为12,,hhh，则1212SSS==，()()()1212abhbMNhaMNh+=+=+，所以()()1122abhabhhaMNbMN+=++++，所以()12111aMNbMabN

+=+++，所以222abMN+=；由图可知，EFKLGHMN，即2221122abababab+++；证明：显然2abab+，221112ababab=+，因为222abab+，所以()()2222abab++，所以2

222abab++，所以2221122abababab+++18.已知二次函数22yaxxc=++（1）若0y的解集为23xx−，解关于x的不等式220xaxc+−；（2）若ac

且1ac=，求22acac+−的最小值；（3）若2a，且对任意Rx，不等式0y恒成立，求442aca++−的最小值．【答案】（1）不等式220xaxc+−的解集为26xx−.（2）22acac+−的最小值为22；（

3）442aca++−的最小值为8.【解析】【分析】（1）由条件可得2,3−是方程220axxc++=的解，由此可求,ac，结合一元二次不等式解法求220xaxc+−的解集；（2）由已知可得()222acacac

ac+=−+−−，结合基本不等式求结论；（3）由条件可得1ac，由此可得244144221acaaaa++++−−，换元并结合基本不等式可求其最小值.【小问1详解】由已知220axxc++的解集为23xx−，且0a，所以2,3−是方程220axxc++=的解，所以223a−+=

−，()23ca−=，所以2a=−，12c=，所以不等式220xaxc+−可化为24120xx−−，所以26x−，故不等式220xaxc+−解集为26xx−.【小问2详解】因为1ac=，所以()()22222acacacacacacac−+

+==−+−−−因为ac，所以0ac−，由基本不等式可得()22222acacacac+=−+−−，当且仅当2,1acac−==时等号成立，的即当且仅当622a+=，622c−=时等号成立；所以22acac+−的最小值为22；【小问3详

解】因为对任意xR，不等式220axxc++恒成立，所以0a，440ac−，所以0a，1ac，24444114422211cacaaaaaaa++++++=−−−，令21ta=−，则0t，21ta=+，所以()(

)21211444482ttactatt++++++=++−，当且仅当23a=，1ac=时等号成立，即当且仅当23a=，32c=时等号成立，所以442aca++−的最小值为8.19.已知集合A非空数集，定义：|,,SxxababA==+，|,,Tx

xababA==−（实数a，b可以相同）（1）若集合2,5A=，直接写出集合S、T；（2）若集合1234,,,Axxxx=，1234xxxx，且TA=，求证：1423xxxx+=+；（3）若集合|02021,AxxxN，ST=，记A

为集合A中元素的个数，求A的最大值．【答案】（1）4,7,10S=；0,3T=（2）证明见解析（3）1348【解析】为【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可;（2）根据集合相等的概念，证明即可；（3）通过假设集合,1,2,,2021Ammm=++(N)m，

求出对应的集合S，T，通过ST=，建立不等式关系，求出对应的值即可.【小问1详解】因为集合2,5A=，|,,SxxababA==+，|,,TxxababA==−，所以由224,257,5510+=+=+=，可得4,

7,10S=，220,550,253−=−=−=，可得0,3T=．【小问2详解】由于集合1234,,,Axxxx=，1234xxxx，则T集合的元素在0，21xx−，31xx−，41xx−，32xx−，42xx−，43xx−中，且2131410xxxxxx−−−，434241x

xxxxx−−−，而AT=，故A中最大元素4x必在T中，而41xx−为7个元素中的最大者，故441xxx=−即10x=，故2340,,,Axxx=，故T中的4个元素为0，2x，3x，4x，且32xx−，42xx−，43xx−与2x，3x，4x重复，而

3230xxx−，故322xxx−=即322xx=，而4430xxx−，故4430xxx−，故243xxx−=或343xxx−=，若24324xxx==，则2220,,2,4Axxx=，22243

xxxT−=，与题设矛盾；故243xxx−=即2431xxxx++=.【小问3详解】设12,,kAaaa=满足题意，其中12kaaa，则11213123122kkkkkkaaaaaaaaaaaaaa−++++++，∴21S

k−，1121311kaaaaaaaa−−−−，∴Tk，∵ST=，由容斥原理31STSTk=+−，ST中最小的元素为0，最大的元素为2ka，21kSTa+，∴()312140431,kkakk−+N，即3

14043k−，∴1348k．实际上当674,675,676,2021A=时满足题意，证明如下：设,1,2,,2021Ammm=++，Nm，则2,21,22,,4042Smmm=++，0,1,2,,2021Tm=−，依题意有20212mm−，即26733

m，故m的最小值为674，于是当674m=时，A中元素最多，即674,675,676,,2021A=时满足题意，综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1348．【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后

根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.