【文档说明】山东省德州市第一中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题 word版含解析.docx，共(21)页，959.066 KB，由小赞的店铺上传

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高三年级10月份阶段性测试数学试题考试时间：120分钟2023.10一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2650Mxxx=

−+Z，则M的真子集个数为（）A.3B.5C.7D.8【答案】C【解析】【分析】解不等式可求得集合M，由集合M的元素个数可求得结果.【详解】由2650xx−+得：15x，又xZ，2,3,4M=，共3个元素，M的真子集个数

为3217−=个.故选：C.2.已知向量13,22AB=−，31,22BC=−，则ABC=（）A.30°B.150°C.60°D.120°【答案】B【解析】【分析】根据向量夹角的坐标表示求出向量夹角，进而求解几何角.【详解】因为向量13,22AB=−

，31,22BC=−，所以2222133122223cos,213312222ABBCABBCABBC+−−===+−+−

，又0,180ABBC，所以,30ABBC=，所以,18030150BABC=−=，所以150ABC=o.故选：B.3.已知π5sin35−=，则πsin26−=（）A.45B.45−C.3

5D.35-【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式，结合余弦二倍角公式进行求解即可.【详解】πππ2π2ππsin2cos2cos2cos2cos2626333−=−−=−=−=−

22π5312sin12355=−−=−=，故选：C4.如果不等式30xm−的正整数解是1，2，3，那么m的取值范围是（）A.12mB.9mC.912mD.

912m【答案】C【解析】【分析】根据一元一次不等式的解法，结合题意进行求解即可.【详解】303mxmx−，因为不等式30xm−的正整数解是1，2，3，所以349123mm，故选：C5.垃圾分类是指按一定规定或标

准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，减少垃圾处理量和处理设备的使用，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等方面的效益．已知某种垃圾的分解率v与时间t（月）满足函数关系式()tvtab

=（其中a，b为非零常数）．若经过12个月，这种垃圾的分解率为20%，经过24个月，这种垃圾的分解率为40%，那么这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过（）（参考数据lg20.3）A.64个月B.40个月C.

52个月D.48个月【答案】B【解析】【分析】根据已知条件求得a以及lgb，根据题目要求列方程，化简求得正确答案.【详解】依题意，()()1224120.2240.4vabvab====，两式相除得122b=，则0.1a=，由122b=

两边取以10为底的对数得lg212lglg2,lg12bb==，由()0.11ttvtabb===，得10tb=，两边取以10为底的对数得11212lg1,40lglg20.3tbtb====个月.故选：B6.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著

作《孙子算经》，卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成

一列，构成数列na，记数列na的前n项和为nS，则30nSn+的最小值为（）A.30B.612C.653D.41【答案】B【解析】【分析】由题意数列na是以首先为18a=，公差为3515d==的等差数列

，由此可以求出数列的通项公式以及前n项和为nS，进而结合基本不等式即可求解.【详解】被3除余2的正整数按照从小到大的顺序排列为：2,5,8,11，该数列即为()23131nbnn=+−=−，被5除余3的正

整数按照从小到大的顺序排列为：3,8,13,18，该数列即为()35152ncnn=+−=−，数列nnbc、的第一个公共项为18a=，由题意被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列所构成的数列也是等差数列，其首项即为数

列nnbc、的第一个公共项18a=，其公差为数列nnbc、的公差的最小公倍数3515d==，所以数列na的通项公式为()()118151157naandnn=+−=+−=−，由等差数列前n项公式得()()815715122nnnnnS+−+==

，所以()151303015301222nnnSnnnn+++==++，由基本不等式得30153011153061222222nSnnnnn+=+++=，当且仅当*1530,N2nnn=，即2n=时，等号成立，所以30nSn+的最小值为612.故选：B.7.方程2yxxyxyx

=（x，y+N，2xy）解的组数为（）A.0B.1C.2D.无数组【答案】C【解析】【分析】将方程2yxxyxyx=整理为lnln22xyxy=，构造函数()lnxfxx=，利用导数研究函数的单调性得到()fx的图象，然后结合2xy且,xy+N求解即可.【详解】由题意得()22xyxy

=，即2lnln2yxxy=，即lnln22xyxy=，令()lnxfxx=，则()21lnxfxx−=，令()0fx¢>，解得0ex，令()0fx，解得ex，所以()fx在()0,e上单调递增，()e,+上单调递减，图象如下所示：因为2xy，

()()2fxfy=，所以当()()120,fxfy=e时成立，又,xy+N，()()ln2ln42424ff===，所以224xy==或422xy==，即22xy==或41xy==，所以方程l

nln22xyxy=的解的组数为2组.故选：C.8.已知圆O的半径为2，,PQ是圆O上任意两点，且60,POQAB=是圆O的一条直径，若点C满足(1)OCOPOQ=−+（R），则CACB的最小值为（）A.-1B.-2C.-3D.-4【答案】C

【解析】【分析】根据向量的运算法和向量的数量积的运算，得到224[(1)]4CACBCOOPOQ=−=−+−2134[3()]24=−−,结合二次函数的性质，即可求解.【详解】因为2()()()CACBCOOACOO

BCOCOOAOBOAOB=++=+++,由于圆O的半径为2，AB是圆O的一条直径，所以0OAOB+=，22(1)4OAOB=−=−，又60POQ=，所以224[(1)]4CACBCOOPOQ=−=−

+−()()2222121?4OPOPOQOQ=−+−+−222134(331)44(33)4[3()]24=−+−=−=−−,所以当12=时，2133[3()]244−−=−，所以CACB的最小值为34()34−=−.故选：C.【点睛】

本题主要考查向量的线性运算，以及向量的数量积的运算及其应用，其中解答中熟记向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算公式，准确化简是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选

错的得0分，部分选对的得2分．9.下列结论正确的是（）A.“1x”是“1x”的充分不必要条件B.“aP”是“aPQ”的必要不充分条件C.“xR，有210xx++”的否定是“xR，使210xx++”D.“1x=是方程2

0axbxc++=的实数根”的充要条件是“0abc++=”【答案】ABD【解析】【分析】根据充分条件与必要条件，逐一检验，可得答案.【详解】对于A，由不等式1x，则1x−或1x，所以11xx，但11xx¿，所以“1x

”是“1x”的充分不必要条件，故A正确；对于B，由aPQ，则aP且aQ；当,Pab=，,Qbc=时，则PQb=，显然aP，aPQ，所以“aP”是“aPQ”的必要不充分条件，故B正确；对于C，“xR，有210xx++”的否定是“xR，使210xx

++”，故C错误；对于D，根据方程实数根的定义，故D正确.故选：ABD10.设()fx是R上的奇函数，且()()2fxfx+=−，当01x时，()lg1fxx=+，则（）A.()31f=B.()fx的图象关于点()2,0

−对称C.()fx的周期为4D.()fx在1,4−上有7个零点【答案】BC【解析】【分析】根据函数的奇偶性、对称性、周期性的定义以及函数的零点判断各选项.【详解】对于A，()()2fxfx+=−，

所以()()()l31111gff=−+−==−，故A错误；对于C，因为()()2fxfx+=−，则()()()42fxfxfx+=−+=，所以()fx的一个周期为4，故C正确；对于B，因为()fx是R上的奇函数，则()()()2fxfxfx+=

−=−，即()fx图象关于1x=对称，因为()fx关于点()0,0对称，所以()fx的图象关于点()2,0对称，又()fx的周期为4，所以()fx的图象关于点()2,0−对称，故B正确；对于D，由()fx是R上的奇函数，关于1x=对称，周期为4，又当01x时，()lg1

fxx=+，令lg10x+=，得110x=，从而作出()fx在1,4−上的大致图象，.注意到()()400ff==，()()200ff==，所以()fx在1,4−上有8个零点，故D错误.故选：BC.11.已知函数()()π

sin0,0,02fxAxA=+的图像过点0,2AM和()π,0N，()fx的最小正周期为T，则（）A.T可能取12π7B.()fx在()0,4π上至少有3个零点C.若函数()f

x的图像在0,2π上的最高点和最低点共有4个，则116=D.直线8π11x=可能是曲线()yfx=的一条对称轴【答案】BCD【解析】【分析】根据题意可知，()0sin2AfA==，()()πs

inπ0fA=+=，即可求出,，从而根据函数的性质即可判断各选项的真假．【详解】由图可知，()0sin2AfA==，即1sin2=，而π02，所以π6=，又()()πsinπ0fA=+=，所以πππ6k+=，即106k=−，Zk，所以()πsin6fxA

x=+．对A，若12π2π7T==，则，76=，显然1766k=−=，无整数解，A错误；对B，由()0,4πx可得，πππ,4π666x++，因为1566k=−，所以π5π74π4ππ6662

++=，故ππ,2π,3π6x+=有解，即()fx在()0,4π上至少有3个零点，B正确；对C，因为0,2πx，所以πππ,2π666x++，若函数()fx的图象在0,2π上的

最高点和最低点共有4个，则792226ππππ+，解得：53136，而106k=−，Zk，所以，当2k=时，116=符合，C正确．对D，若直线8π11x=可能是曲线()yfx=的一个对称轴，则8ππππZ1162tt+=+，，即1118

3t=+，Zt，又16k=−，Zk，所以，1,2tk==，116=符合，D正确；故选：BCD．12.已知集合*|21,Axxnn==−N，*|2,nBxxn==N，集

合CAB=，将集合C中所有元素从小到大依次排列为一个数列na，nS为数列na的前n项和，则（）A.839S=B.211nnaa++−=或2C.12212222nnnnS−−++=+−D.若存在*nN使112nnSa+，则n的最小值为26【答案】ABC【解析】【分析】由集合A和集合

B中元素的特征，判断集合C中元素特征和顺序，验证各选项中结论.【详解】对于选项A，由题意na的前8项为1，2，3，4，5，7，8，9，839S=，故A正确；对于选项B，集合A为奇数集，集合B中的元素都是偶数，按照从

小到大排列，若连续的两个数是奇数，则212nnaa++−=，若连续的两个数是一个奇数，一个偶数，则211nnaa++−=，故B正确；对于选项C，令12nkn−=+，∵1221n−−比2n小1，∴na的前k项中，来自集合A的有12n−个，来自集合B的有n个，∴111232(1221)2(

12)13(221)2222212nnnnnkS−−−+−−=+++−+++++=+−221222nn−+=+−，即12212222nnnnS−−++=+−，故C正确；对于选项D，na的前26项包括A集合

的1，3，5，…，41共21个，B集合的2，4，8，16，32共5个，∴52621(141)2(12)13412432503212S+−=+++++++=+=−，∵2743a=，2712516a=，

262712Sa，不符合条件，故D错误．故选:ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知236mn==，则mnmn+=______．【答案】1【解析】【分析】由指对互化可表示出,mn，根据对数换底公式可得11,mn，加和即可求得结果.【详解】由236mn==得：2log6

m=，3log6n=，61log2m=，61log3n=，66611log3log2log61mnmnnm+=+=+==.故答案为：114.已知正实数a，b满足1ab+=，则14aab+的最小值为_____

_．【答案】541.25【解析】【分析】根据基本不等式求解即可.【详解】因为正实数a，b满足1ab+=，所以1115=24444444aabababaabababab+++=+++=，当且仅当4baab=，即13a=，23b=时

，等号成立，所以14aab+的最小值为54.故答案为：54.15.若对任意的10,1x，总存在唯一的21,1x−，使得32122230xxxa+−−=成立，则实数a的取值范围是______．【答案】)4,1−−【解析】【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数求出

函数在区间上取值集合，再借助集合的包含关系列式求解作答.【详解】由32122230xxxa+−−=，得3222123xxax−=−，令32(),[2,131]xxfxx−−=，2()666(1)fxxxxx=−=−，当[1,0)x−时，()0fx，函数(

)fx在[1,0)−上单调递增，当()0,1x时，()0fx，函数()fx在()0,1上单调递减，当0x=时，()fx取最大值，最大值为0；又(1)5f−=−，(1)1f=−，如下图，令(),[0,1]gxaxx=−，显然函数()gxax=−在[0,1]上单调递减

，函数()gx的值域为[1]aa−,，的由对任意的10,1x，总存在唯一的21,1x−，使得32122230xxxa+−−=成立，得)[1,]5,1aa−−−，因此151aa−−−，解得41a−−.所以实数a的取值范围是)4,1−−.故答案为：)

4,1−−.16.在ABC中，点D是BC上的点，AD平分BAC，ABD△面积是ADC△面积的3倍，且ADAC=，则实数的取值范围为______；若ABC的面积为1，当BC最短时，=______．【答案】①.30,

2②.355【解析】【分析】根据题意，求得3cb=，结合1344ADABAC=+，求得229(1cos)8ADbA==+，进而求得2229(0,)4ADb=，得到3(0,)2，再由ABC的面积为1，求得可得223s

inbA=，根据由余弦定理得22012cos3sinAaA−=，令tan2At=，化简得到214(16)3att=+，结合基本不等式，得到12t=时，BC取得最小值，进而求得2295ADb=，即可求得的值.【详解】设ABC的三

个角,,ABC对的边分别为,,abc，因为3ABDADCSS=且AD平分BAC，可得11sin3sin22cADBADbADCAD=，可得3cb=，由三角形的内角平分线定理，可得3BDABDCAC==，

又由3313()4444ADABBCABACABABAC=+=+−=+，则222222191399922cos161644161616ADABACABACbbbA=++=++29(1cos)8bA=+，因为(0,π)A，可得cos(

1,1)A−，所以2299(1cos)(0,)84bAb+，则222229(0,)4ADADACb==，所以3(0,)2，由ABC的面积为1，可得13sin12bbA=，可得223sinbA=，又由余弦定理得222222cos106co

sabcbcAbbA=+−=−222012cos106cos3sin3sin3sinAAAAA−=−=，令tan2At=，可得22221sin,cos11ttAAtt−==++，所以222221201214161414161(16)

2162333331tttattttttt−−++===+=+，当且仅当416tt=时，即12t=时，等号成立，此时2213cos15tAt−==+，则22229939(1cos)(1)8855ADbAbb=+=+=，

所以222229955bADACb===，可得355=，即当BC最短时，355=.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量1,32a=，1,02b=−.（1）求向量a与b的夹角的余弦值；（2）若向量()1,3

c=−，求向量c在向量ab−上的投影向量（用坐标表示）.【答案】（1）1313−；（2）13,22【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式、平面向量模的坐标表示公式进行求解即可；（2）根据平面向量减法的坐标表示公式，结合投影向量的定义

进行求解即可.【小问1详解】132a=，12b=，14ab=−，则13cos13=−；【小问2详解】()1,3c=−，()1,3ab−=，与ab−同向的单位向量13,22abeab−==−.∴c在ab

−上的投影向量cosdcc=，()13,22cababeeab−−==−.18.已知集合R015Axax=+，1R14Bxx=−．（1）是否存在正实数a使集合A，B相等？若能，求出a的值

，若不能，试说明理由；（2）若命题p：xA，命题q：xB且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）存在；4a=（2）4a或16a−【解析】【分析】（1）化简集合A，根据集合相等

列方程即可求解，（2）根据充分不必要条件转化为真子集的关系，即可对a分类讨论求解.【小问1详解】∵0a，∴14Axxaa=−，.若使AB=，则11441aa−=−=，解得4a=，故存在4a=使集合A，B相等．【小问2详解】依题意，有pq，qp

¿，故A是B的真子集，由015ax+得14ax−，当0a=时，A=R，不满足题意；当0a时，14Axxaa=−，则11441aa−−或11441aa−−

，解得4a，当a<0时，41Axxaa=−，则41411aa−−，解得16a−，所以实数a的取值范围是4a或16a−．19.数列na满足116nnnaa+=，()12Nan=．（1）求na的通项公式；（2

）设1,,nnnanbbnn−=+为奇数为偶数，求数列nb的前2n项和2nS．【答案】（1）212nna−=（2）()()4161115nnn−++【解析】【分析】（1）根据递推公式作商得216nnaa+=，再分类讨论结合累乘法计算即可；（2）结合（1）的结论，及分组求和法计算即可.【

小问1详解】∵116nnnaa+=，12a=，则28a=，∴11216nnnaa+++=，两式相除得：216nnaa+=，当21nk=−时，1357211352316kkkaaaaaaaa−−−=，∴324112162kkka−−−==，即212nna−=，当2nk=时，16824

2462216kkkaaaaaaaa−−=，∴12412816kkka−−==，即212nna−=，综上所述，na的通项公式为：212nna−=；【小问2详解】由题设及（1）可知：2112,,nnnnbbnn−−=+为奇数为偶数，()()212342121352

1242nnnnnSbbbbbbbbbbbbb−−=++++++=++++++++LLL()()13521135212462nnbbbbbbbbn−−=+++++++++++++()()1352122462nbbbbn−=++

+++++++()()15943222222462nn−=+++++++++()()()()211641612221116215nnnnnn−−+=+=++−20.已知函数()11124xxfxa=+−，()121log1axgxx−=+

．（1）若()gx为奇函数，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，当3,2x−时，函数()yfxm=+存在零点，求实数m的取值范围；（3）定义在D上的函数()fx，如果满足：对任意xD，存在常数0M≥，都有

()fxM成立，则称()fx是D上的有界函数，其中M称为函数()fx的一个上界．若函数()fx在)0,+上是以54为上界的有界函数，求实数a的取值范围．【答案】（1）1a=（2）5,554−（3）5,14−【解析】【分析】（1）根据奇函数的定

义即可化简求解，（2）利用换元法以及二次函数的性质即可求解最值，（3）利用对勾函数的单调性，分别利用函数单调性求解()Ft，()Gt的最值即可求解.【小问1详解】因为()gx为奇函数，所以对定义域内的x，有()()

gxgx−=−恒成立，即112211loglog11axaxxx−−−=−−++，即1111axxxax−−+=−+−，解得1a=，经检验，1a=−不合题意，故1a=；【小问2详解】由（1）得()11124xxfx=+−

，令12xt=，则()21httt=−++，由3,2x−，所以1,84t，当12t=时，()max1524hth==，当8t=时，()()min855hth==−，所以()fx值域为555,4−

，又因为函数()yfxm=+存在零点，等价于方程()mfx=−有解，所以实数m取值范围是5,554−；【小问3详解】的由已知，()54fx在)0,+上恒成立，即()5544fx−在)

0,+上恒成立，令12xt=，由)0,x+，所以(0,1t，得255144tat−−++，即9144tattt−+在(0,1t上恒成立，记()94Fttt=−，()14Gttt=+，易得()Ft在(0,1上单调递增，所以()()max514F

tF==−，由于()114Gttt=+，当且仅当12t=时取等号，故()min1Gt=，因此实数a的取值范围是5,14−．21.如图，四边形ABCD中，已知1BC=，221ACABAB=++.（1）若ABC的面积为3，求ABC的周长；（2）若3AB=，60AD

B=o，120BCD=，求∠BDC的值.【答案】（1）521+（2）o30BDC=【解析】【分析】（1）由1BC=，221ACABAB=++结合余弦定理可得ABC，由ABC的面积为3可得4AB=，

后由余弦定理可得AC即可得周长；（2）由（1）结合60ADB=o，120BCD=，可设()060ooBDCθθ=，则60oBADθ=−，后由正弦定理可得()1604osinsinθθ−=，即可得答案.【小问1详解】由余弦定理，在ABC中，2222cosACABBCABBCABC

=+−.又1BC=，221ACABAB=++，则11211202ocoscosABABCABABCABC−=+=−=.又ABC的面积为3，则1120342osinABBCAB==.则2222cos

2121ACABBCABBCABCAC=+−==，则ABC的周长为521ABBCAC++=+.【小问2详解】由（1）可知o120ABC=，又60ADB=o，120BCD=，四边形内角和为o360，则60oBADBDC+

=.设()060ooBDCθθ=，则60oBADθ=−.在ABD△中，由正弦定理，()36032osinsinsinABBDBDADBBADθ==−.在CBD△中，由正弦定理，132sinsin

sinBCBDBDBDCBCDθ==.消去BD，得()1311604224osinsincossinsinθθθθθ−=−=()()3111122230230144222oosincossinsinθθθθ+=+=+=.因060ooθ，则30230150o

ooθ+，则2309030oooθθ+==.则o30BDC=.22.已知函数()()lnfxxxxaa=−+R，且()0fx．（1）求实数a的取值范围；（2）已知*nN，证明：111sinsinsi

nln2122nnn+++++L．【答案】（1）)1,+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数求函数()fx最小值，通过最小值，即可得出答案；（2）利用小问（1）构造函数，利用累加法，即可得出答案.【小问1详解】()lnfxx=，由()0fx¢>解得1x，故()fx在区间()

1,+上单调递增，由()0fx解得01x，故()fx在区间()0,1上单调递减，故()fx的最小值是()110fa=−，解得1a，所以实数a的取值范围为)1,+．【小问2详解】由（1）得，ln10xxx−+，即1ln1xx−，当且仅当1

x=时等号成立，令1nkxnk+=+−，则1ln1nknknk++−+，所以，()()1lnlnln11nknknknknk+=+−+−++−，0,1,2,,kn，令()()sin0gxxxx=−，则()1cos0gxx=−

，所以，函数()gx在)0,+上单调递增，故0x时，()()00gxg=，即sinxx．所以()()11sinlnln1nknknknk+−+−++，0,1,2,,kn，所以111sinsin

sin122nnn+++++()()()()()ln1lnln2ln1ln2ln21nnnnnn+−++−+++−−()2ln2lnlnln2nnnn=−==．【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是借助1ln1xx−得出()()1sinlnl

n1nknknk+−+−+，结合累加求和可证结论.的获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com