【文档说明】重庆市第十八中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.332 MB，由小赞的店铺上传

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重庆市第十八中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选选项中，只有一项是符合题目要求．1.i为虚数单位，则复数222i3πisin1i2+−−的虚部为（）A.－2iB.－2C.2D.2

i【答案】C【解析】【分析】先化简复数，然后由复数的基本概念求解即可.【详解】222i3πisin1ii=1+2i1i2+−=++−，所以其虚部为：2.故选：C.2.如图，直角三角形ABC绕直角边AC

旋转360，所得的旋转体为（）A.圆锥B.圆柱C.圆台D.球【答案】A【解析】【分析】由圆锥的定义即可求解【详解】由圆锥的定义可得直角三角形ABC绕直角边AC旋转360，所得的旋转体为圆锥故选：A3.如图所示，ABC是AB

C的直观图，其中ACAB=，那么ABC是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形【答案】B【解析】【分析】根据斜二测画法的作图原则即可得到答案.【详解】根据题意，,2ABACACAB⊥=，所以ABC是直角三角形.故选：B.4.已知复数1z和

2z，则“12zz”是“120zz−”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据复数的性质及充分条件、必要条件求解即可.【详解】12zz，复数1z和2z是实数，120zz−成立，当120

zz−时，例如(23i)(53i)70−−−−=，推不出23i53i−−−，所以“12zz”是“120zz−”的充分不必要条件.故选：A5.如图，,AB两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得BC的距离10m,75,60ABCACB==，则

,AB两点间的距离为（）A.52mB.53mC.55mD.56m【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理求解即可【详解】因为75,60ABCACB==，故180756045BAC=−−=，由正弦定理，sinsinBCABBACACB=，故31025622AB==

m故选：D6.已知,ab→→为单位向量，且(4)(3),abab→→→→−⊥+则,ab→→夹角的余弦值为（）A.711−B.111−C.111D.711【答案】B【解析】【分析】根据(4)(3)abab→→→→−⊥+，得到(4)(3)0abab

→→→→−+=，将等式展开由平面向量数量积的定义即可得到答案.【详解】设,ab→→的夹角为，因为(4)(3)abab→→→→−⊥+，,ab→→为单位向量，所以(4)(3)431111cosabab→→→→−+=−+111cos=0=+

，所以1cos=11−.故选：B.7.如图，在矩形ABCD中，2ABAD=，,EF分别为,BCCD的中点，G为EF中点，则=AG（）A.2133+ABADB.1233+ABADC.3344+ABADD.2233+ABAD【答案】C【解析】【分析】根据向量加

法的三角形法则和四边形法则，可得结果.【详解】根据题意：()12AGAEAF=+又12=+=+AEABBEABAD12AFADDFADAB=+=+所以3344AGABAD=+故选：C【点睛】本题主要考查利用向量的加法法则，熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，对向量

用其它向量表示有很大的作用，属基础题.8.在ABC中，9ABAC=，sincossinBAC=，6ABCS=，P为线段AB上的动点，且||||CACBCPxyCACB=+，则21xy+的最小值为（）A.11663+B.116C.116123+D.1112【答案】C【解析】【分析】由已知条件求

得解得b，c，cosA，再求得CB，可得到134xy+=，用基本不等式求21xy+的最小值.【详解】设||ABc=，||ACb=，根据题意得cos9cos1sin62bcAbcAbcA===，解得3b=，5c=，4sin5A=，3cos5A=，()2222232cos532

5345CBABACcbbcA=−=+−=+−=34||||CACBxyCPxyCACBCACB=+=+，又A、P、B三点共线，134xy+=，21211111116()()23412321232123xyxyxyxyxyyxyx+=++=+++=+，当且仅当

13432xyxyyx+==，即()()646542635xy−=−=时，等号成立．故选：C【点睛】关键点睛：解题的关键是由已知条件求出,,abc后，再由,,APB三点共线，得134xy+=，所以212134xyxyxy+=++化简后结合

基本不等式可求出其最小值，二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列命题中正确的是（）A.四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体B.侧面是全等等腰三角形的棱锥是正棱锥C.在ABC中，若0ACAB

，则ABC为锐角三角形D.长方体的长宽高分别为3、2、1，该长方体的外接球表面积为14π【答案】AD【解析】【分析】由六面体定义可判断A的正误，由正棱锥的定义可判断B正误，由0ACAB可知A为锐角，但无法判断另外两个角，可知C正误，根据外

接球的半径公式可求得半径，进而求得外接球的表面积.【详解】四棱柱、四棱台、五棱锥都有六个面，故都为六面体，故A正确；侧面是全等的等腰三角形的棱锥，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，故B错误；在ABC中，若0

ACAB，则cos0ABACA，解得cos0A，则A为锐角，但另两个角不一定为锐角，则ABC不一定为锐角三角形，故C错误；长方体的长宽高分别为3、2、1，该长方体的外接球半径为22211432122R=++=，球表面积为2414SR==，故D正确

.故选：AD.10.欧拉公式icosisinxxxe=+是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正的的确的是（）A.复数

i2e为纯虚数B.ie对应的点位于第二象限C.isinicos2xexx−+=D.i3ixe−−的最大值为3【答案】ACD【解析】【分析】根据欧拉公式，结合复数模的几何意义逐一判断即可.【详解】因为πi2ππcosisini22e=+=，所以复数i2e为纯虚数，因此选项A正确；因为icos1i

sin1e=+，所以复数ie对应的点为(cos1,sin1)，而cos10,sin10，所以ie对应的点位于第一象限，因此选项B不正确；i22sinicoscosisinsinicos(cossin)(sincos)12sincos12sincos2,xexxxxxxxxxxxxxx

−+=+−+=−++=−++=所以选项C正确；i223icosisin3i(cos3)(sin1)xexxxx−−=+−−=−+−，所以i3ixe−−表示单位圆上的点到(3,1)的距离，因此i3ixe−−的最大值为22(3)113++=，所以选项D正确，故选：

ACD11.下列命题中正确的是（）A.若复数2Rz，则RzB.ABC中若4b=，60A=，5a=，则ABC有唯一解C.正四棱台的上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，其体积为2823D.ABC中，点O为外心，H为垂心

，则OHOAOBOC=++【答案】BCD【解析】【分析】对于A，举例不符合即可；对于B，由余弦定理解三角形只有一个解；对于C，先求出高，然后由四棱台体积公式计算即可；对于D，作图证明即可.【详解】对于A，若复数

2Rz，iz=，则Rz，故A错误；对于B，ABC中若4b=，60A=，5a=，由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，所以21251682cc=+−，则2490cc−−=，解得：4522c+=或4522c−=（舍去）.故B正确；对于C，正四棱台的

上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该四棱台的高为()221242224222−−=−=，所以正四棱台的体积为：()()11282416642333SSSSh++=++=下下上上.故C正确；对于D，如图：作直径BD，连接DA，DC，有OBOD=−，DAAB⊥，DCBC⊥，

AHBC⊥，CHAB⊥.故CHDA，∥AHDC，得AHCD是平行四边形，进而AHDC=，又DCOCODOCOB=−=+，得OHOAAHOADCOAOBOC=+=+=++.故D正确；故选：BCD.12.已知ABC的内角分别为,,ABC，满足sin:si

n:sinln2:ln4:ln(0)ABCtt=，且2CACBmAB=()mR，则以下说法中正确的有（）A.若ABC为直角三角形，则52t=；B.若18m=，则ABC为等腰三角形；C.若4t=，则ABC的面积为215ln24；D.若2C，则209m−．【答案】BD【解析】【分

析】利用正弦定理边角互化设a＝kln2，b＝kln4＝2kln2，c＝klnt，结合两边和大于第三边求得2＜t＜8，讨论t.判断选项A,利用余弦定理得m的式子判断BD;利用面积公式判断C【详解】根据题意，依次分析4个结论：对于

A，根据题意，若sinA：sinB：sinC＝ln2：ln4：lnt，则a：b：c＝ln2：ln4：lnt，故可设a＝kln2，b＝kln4＝2kln2，c＝klnt，k＞0．则有b﹣a＜c＜b+a，则kln2＜c＜3kln2，变形可得2＜t＜8，当48t

时；c最大，若ABC为直角三角形，则2220abc+−=，即2222520klnklnt−=，解得52t=；当24t时；若ABC为直角三角形，则2220acb+−=，即2222320klnklnt−=，

解得32t=综上：52t=或32t=，故A错；由题意，CACB=abcosC＝ab22222222252222abcabcklncab+−+−−===mc2，∴m2222222252521222CACBklncklnccc−===−．若18m=，则2225212

2klnc−=18解得t=4，故bc=，ABC为等腰三角形；B正确；对于C，当t＝4，a＝kln2时，则b＝kln4，c＝klnt＝kln4，则有b＝c＝2a，此时等腰△ABC底边上高为2215ln242ahbk=−=，三角形面积为22115ln224ahk=，C错；对于D，

当2C,则有a2+b2﹣c2＜0，即222520klnc−，解得2222105klnc由选项A,B的解析知kln2＜c＜3kln2综合两式得22212195klnc，故m222222252521222klncklncc−==−2,

09−选项D正确；的综合可得BD正确；故选：BD．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知方程210xx−+=的一个根z在复平面上对应点的坐标为13,22−，则3z的

值为______．【答案】-1【解析】【分析】先计算出213i22z−−=，从而计算出3z的值.【详解】由题意得13i22z=−，则2213313iii42422z=−+=−−，则32131331iii1222244z=−−−=−=−

.故答案为：-114.已知圆锥的表面积为216m，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高是______m．【答案】4ππ【解析】【分析】利用圆锥表面积公式和扇形弧长公式解出圆锥底面圆半径和母线长，然后依据母线长、底面圆半径、圆锥高三者之间的勾股关系解出高.【详解】设圆锥底面

圆半径为r,母线长为l,圆锥高为h.由题意有2ππ162ππrrlrl+==,解得83π3π43π3πlr==.则224ππhlr=−=故答案为：4ππ.15.在ABC中，角,,ABC所对的边

分别为,,abc，且222332cab=+，当()tanCA−取最大值时，tanC=___________..【答案】5【解析】【分析】根据题意及余弦定理、正弦定理、两角和的正弦公式，化简整理，可得tan5

tanCA=，根据两角差的正切公式，结合基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意得22223cab−=，所以2222555sin3cos2266sinbbcabBAbcbccC+−====，所以6cossin5sin5(sincoscossin)ACBACAC==+整理

得cossin5sincosACAC=，即tan5tanCA=，tan0C，所以()2tantan4tan4tan51tantan5tantantanCACCACACCC−−===+++，因为tan0C，所以55tan2tan25tan

tanCCCC+=，当且仅当5tantanCC=，即tan5C=时等号成立，所以()4425tan5525tantanCACC−==+取得最大值，所以当()tanCA−取最大值时，tan5C=.故答案为：516.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原

文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒

等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，4BD=，且△ACD为正三角形，则△ABC面积的最大值为___________，四边形ABCD的面积为________________.（注：圆内接凸四边形对角

互补）【答案】①.3②.43【解析】【分析】先利用托勒密定理得出AB与BC的关系，然后利用基本不等式求解出ABBC的最值，得出△ABC面积最值，再利用11sinsin22ABCDABDBCDSSSABADABDBCBDCBD=+=

+求解四边形的面积.【详解】如图所示，设△ACD边长为a，则根据托勒密定理可得：4aaABaBC=+，得4ABBC+=，根据基本不等式得()244ABBCABBC+=，当且仅当2ACBC==时等号成立.又△ACD为等边三角形，则3ADC=，根据

圆内接凸四边形对角互补得23ABC=.所以△ABC的面积1213sin432322SACBC==;又因为3ABDACD==，3CBDCAD==，所以11sinsin22ABCDABDBCDSSSABADAB

DBCBDCBD=+=+()1sin4323BDABBC=+=.故答案为：3；43.【点睛】解答的关键在于根据托勒密定理得出4ABBC+=，然后利用基本不等式求出ABBC的最大值.四、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.如图，

己知正三棱锥SABC−的底面边长为2，正三棱锥的高1SO=，E为BC的中点，根据正棱锥信息知道SOCE⊥，O为ABC中心.的（1）求正三棱锥SABC−表面积；（2）求正三棱锥SABC−的体积．【答案】（1）33（2）33【解析】【分析】（1）计算出SE的长，可求得SAB△的面积，再计算出等边ABC

的面积，即可求得三棱锥SABC−的表面积；（2）求出等边ABC的面积，利用锥体的体积公式可求得正三棱锥SABC−体积；【小问1详解】解：由题意可知，ABC是边长为2的等边三角形，且E为BC的中点，则CEAB⊥，且2222213CEACAE=−=−=，则1123322ABCSABCE==

=△，因为O为等边ABC的中心，则1333OECE==，因为SOCE⊥，则22123133SESOOE=+=+=，因为SASB=，E为AB的中点，则SEAB⊥，故11232322233SABSABSE===△，因此，三棱锥SABC−的表面积为2333333+=.【小问

2详解】解：在正三棱锥SABC−中，O为ABC的中心，则SO⊥平面ABC，又因为1SO=，因此，11331333SABCABCVSSO−===△.18.已知向量()1,2a=r，()3,bx=，()

2,2c=−，b与a夹角为90°．（1）若()()2abkac+−∥rrrr，求k的值；（2）设复数()()0izabcb=+且复数z满足01zz−=．在z最大时，求此时2z的值．【答案】（1）45k=

−（2）-100【解析】【分析】（1）先求出向量b的坐标，然后由向量共线的坐标表示计算即可；（2）先求出数量积得到复数0z，根据复数的几何意义求解即可.【小问1详解】∵()1,2a=r，()3,bx=

，且b与a夹角为90°，∴0ab=，∴330x+=，∴32x=−，∴33,2b=−，∵()27,1ab+=−，()2,22kackk−=−+，且()()2abkac+−∥rrrr，∴()()72220kk++−=，∴45k=−．【小问2详解】∵0ab=，9cb=，∴09iz=

设izxy=+，(),Rxy，∵01zz−=，∴()2291xy+−=，即()2291xy+−=又∵22zxy=+可看作(),xy到原点()0,0的距离，∴圆()2291xy+−=上的点(),xy到原点的距离最大值为圆心到原点的距离加1，即9110+=，∴z的最大值为10，此时10y=，0x=，

∴10iz=，()2210i100z==−．19.已知ππcos,sin262axx=−+，()4sin,2bx=其中0记()fxab=且()fx的最小正周期为π．（1）求()fx的单调递增区间．（注意是写成区间）（2）在AB

C中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若()2fA=，且23sinABCaSA=△求coscosBC的值，【答案】（1）πππ,π36kk−++，Zk（2）1coscos6BC=【解析】【分析】（1）化简得到()π2sin

216fxwx=++，根据最小正周期得到1w=，利用整体法求出单调递增区间；（2）根据()2fA=求出π1sin262A+=，从而得到π3A=，根据三角形面积得到289bca=，由正弦定理

得到282sinsinsin93BCA==，结合()1coscos2BCA+=−=−得到答案.【小问1详解】()ππcos4sin2sin262fxabwxwxwx==−++223cossin2sin2cos2wxwxwx

wx=++3sin21cos22cos2wxwxwx=+−+π3sin2cos212sin216wxwxwx=++=++，又∵2ππ2Tw==，∴1w=，∴()π2sin216fxx=++，令πππ2π22π262kxk−+++，Zk，

∴ππππ36kxk−++，Zk，∴()fx的单调递增区间为πππ,π36kk−++，Zk．【小问2详解】∵()π2sin2126fAA=++=，∴π1sin262A+=，∵()0,

πA，∴π3A=．∵23sinABCaSA=△，∴21sin23sinabcAA=，∴289bca=，由正弦定理得：282sinsinsin93BCA==，又∵()1coscos2BCA+=−=−，∴1coscossinsin2BCBC−=−，∴1coscos6BC=．20.在①sin3co

s3bAaBc+=，②函数()22cos23sincos1fxxxx=−−的最小值为()fA，③()costantan2sinBABC+=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，___________.（

1）求A；（2）若3ABAC=，且BAC的平分线上的点D满足BDCD=，求BDC.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）3A=（2）23BDC=【解析】【分析】（1）选条件①时，利用正弦定理及两角和的正弦公式等化简求解即

可；选条件②时，先利用二倍角公式与辅助角公式将函数化为“一角一函数”的形式，再结合最小值进行求解；选条件③时，利用同角三角函数的基本关系及诱导公式等化简求解即可.（2）设1AC=，先根据已知条件求出BC，然后结合DA平分BAC及余弦定理求出BD和CD，最后利用余

弦定理即可得解.【小问1详解】方案一：选条件①.由sin3cos3bAaBc+=及正弦定理可得，sinsin3sincos3sinBAABC+=，得()sinsin3sincos3sin3sincos3cossinBAA

BABABAB+=+=+，因为sin0B，得sin3cosAA=，所以tan3A=.又()0,A，所以3A=.方案二：选条件②.()22cos23sincos1cos23sin22cos23fxxxxxxx=−−=−=+，易知

()2fA=−，所以cos213A+=−，得3Ak=+，kZ，因为0A，所以3A=.方案三：选条件③.由()costantan2sinBABC+=可得sinsincos2sincoscosABBCAB+=，得cos

sinsin2sincosBABCA+=，即cossinsincos2sincoscosBABACAA+=，可得sin2sincosCCA=，易知sin0C，所以1cos2A=，结合0A可得3A=.【小问2

详解】在ABC中，设1AC=，则3AB=，结合余弦定理可得，219121372BC=+−=，得7BC=.设BDCDx==，ADy=，在ABD△中，由余弦定理可得，22933xyy=+−，在ACD中，由余弦定理可得，2213xyy=+−，解得433y=，213x=，所以在BCD△中，7BC=，

213BDCD==，可得()22221217331cos22121233BDC+−==−，所以23BDC=.21.如图直线DE与ABC的边ABAC，分别相交于点D，E．设ABc=，BCa=，=CAb，ADE=．（1）若24ADDE

==，F为ADEV的外心，求DFAE的值，（2）求证：()()coscoscosaBbAc−++=．【答案】（1）6−（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设ADEV外接圆的半径为R，利用平面向量的数量积和正弦定理推导出()2212DFAEDEAD==−，求值即可．（2）根据图形易

得BABCCA=+，结合数量积可得DEBADEBCDECA=+，根据数量积的定义代入运算整理，即可得出结论．【小问1详解】ADEV中，24ADDE==，F为ADEV的外心，设ADEV外接的半径为R，所以()DFAEDFAFFE=+DFAFDFFE=

+()22coscosπRAFDRDFE=+−22cos2cos2RAEDRDAE=−()()222212sin12sinRAEDRDAE=−−−22222sin2sinRDAERAED=

−()()2212sin2sin2RDAERAED=−()()22221124622DEAD=−=−=−【小问2详解】证明：因为BABCCA=+，所以()DEBADEBCCA=+，即DEBADEBCDECA=+

．又因为coscosDEBADEBAEDAcDE==，()()coscosDEBCDEBCBaDEB=−=−，()()coscosDECADECAAbDEA=+=+所以()()coscoscoscDEaDEBbDEA=−++即()()coscos

cosaBbAc−++=.22.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，sin3sin3cosbCCC=+，3A=（1）求边c的值（2）若BC，AC边上的两条中线AM，BN，相交于点P，3AM=，以P为圆心，()01rr为半径的

圆上有一个动点T，求3TATBTC++的最大值．【答案】（1）23c=（2）9【解析】【分析】（1）由正弦定理可得sinsinbCcB=，进而有sin3sin3coscBCC=+，化简即可得sin23sin33cCC+=+，从而23c=；（2）以

A为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立直角坐标系，设()(),00Ctt，3AM=，可得23t=，进而可得重心()3,1P，由题意，设()cos3,sin1Trr++，利用向量的坐标运算及模长公式即可求解.【小问1详解】解：由正弦

定理可得sinsinbCcB=，所以sin3sin3coscBCC=+，因为3A=，所以2sinsinsin333cCcCcC−=−+=+，又3sin3cos23sin3CCC+=+，所以sin2

3sin33cCC+=+，因为203C，所以33C+，所以sin03C+，所以23c=；【小问2详解】解：由题意，以A为坐标原点，AC所在直线为

x轴，建立如图所示的直角坐标系，则()0,0A，()3,3B，设()(),00Ctt，所以33,22tM+，因为3AM=，所以22233322t++=，解得23t=，所以()

23,0C，又P为三角形ABC的重心，所以()3,1P，所以圆P：()()()2223101xyrr−+−=，设()cos3,sin1Trr++，则()cos3,sin1TArr=−−−−，()

cos,2sinTBrr=−−，()3cos,1sinTCrr=−−−，所以()35cos23,5sin2TATBTCrr++=−+−−，所以()()22235cos235sin2TATBTCrr++=−++−−()22221625sincos20sin203cos

162540sin3rrrrr=+++−=++−222540162514011681rr++++=，所以3TATBTC++的最大值为9.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com