【文档说明】湖南省宁乡市三校（宁乡七中、九中、十中）2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题 含解析.docx，共(18)页，1.652 MB，由小赞的店铺上传

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2022年上学期宁乡三校联考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数13i−的虚部为（）A.3iB.1C.3D.3−【答案】D【解析】【分析】依据复数的虚部的定义去求复数13i−的虚部【详解】复数13i−的虚部

为3−．故选：D2.设D为ABC所在平面内一点，3BCDC=，则（）A.1233ADABAC=−+B.1233ADABAC=−C.1233ADABAC=+D.1233ADABAC=−−【答案】C【解析】【分

析】利用向量加法减法及数乘向量去表示向量AD【详解】3BCDCD=为线段BC靠近C点的三等分点222333BDBCACAB==−，1233ADABBDABAC=+=+．故选：C．3.已知3a=，2b=，()()231abab+−=−，则a与b的夹角为（）A.π3B

.π4C.2π3D.3π4【答案】D【解析】【分析】由题意结合数量积的运算性质可得2cos2=−，即可得出夹角【详解】()()222222cos2ababaabbaabb+−=−−=−−332cos416cos31=−−=−−

=−2cos2=−，则a与b的夹角为3π4，故选：D4.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个半圆，则与该圆锥同底等高的圆柱的侧面积为（）A.43B.8C.42πD.4【答案】A【解析】【分析】计算出圆锥的母线长，可求出圆锥的高，

进而可得出圆柱的母线长和底面半径，由此可求出圆柱的侧面积.【详解】设圆锥的母线长为l，由于圆锥的侧面展开图是一个半圆，则22l=，得22l=，所以，圆锥的高为()()222226h=−=，所以，圆柱的母线长为6，底面半

径为2，因此，圆柱的侧面积为22643S==.故选：A.5.某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示加里一张石凳的体积是30.35m，那么原正方体石料的体积是（）A.30.25mB.30.216mC.30.36mD.30.42m【答

案】D,【解析】【分析】根据正方体、正四棱锥的体积公式，结合已知进行求解即可.【详解】设正方体的棱长为a，则正方体的体积为3a，每一个正四面体的体积为：3113222248aaaa=，由题意可知：33380.350.4248aaa−=

=，故选：D6.“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五中“商功”中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺（1丈=10尺）”，则该问题中“城”的体积等

于（）A.61.897510立方尺B.63.795010立方尺C.52.530010立方尺D.51.897510立方尺【答案】A【解析】【分析】求出棱柱底边梯形的面积，利用棱柱的体积公式即可求解.【详

解】()6402050126518975001.8975102V+===（立方尺），故选：A【点睛】本题考查了棱柱的体积公式，需熟记柱体的体积公式，属于基础题.7.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线

AB与平面MNQ平行的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】利用线面平行判定定理逐项判断可得答案．【详解】对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，故A错误；对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知A

B∥平面MNQ，故B正确；对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正确；对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正确；故选：BCD8.已知一圆锥的侧面展开图是一个中心角为直角的扇形，若

该圆锥的侧面积为4π，则该圆锥的体积为（）A.153B.4π3C.3πD.15【答案】A【解析】【分析】先求得圆锥的底面半径r、母线长l，再去求圆锥的体积．【详解】设底面圆半径为r，圆锥母线长为l，因为圆锥侧

面展开图是一个圆心角为90的扇形，所以π2π2rl=，解得4lr=，因为该圆锥的侧面积为4π，所以244rlr==，解得1r=，则4l=，即底面圆的面积为2Sr==，则圆锥的高2215hlr=−=，故圆锥的体积

为11533VSh==，故选：A．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列说法中正确的是（）A.若//ab，//bc，则//acB.两个非零向量a，b，若abab−=+，则a与b共线且反向C.若//abrr，则存在唯一实数使得λa

b=D.若P是三角形ABC的重心，则0PAPBPC++=【答案】BD【解析】【分析】若0b=可判断A；根据向量减法几何意义可判断B；若0b=可判断C；根据重心特点可判断D．详解】若0b=可满足“//ab，//bc”，但//ac不一定成立，A错；根据向量减法几何意义，当abab−=+，则

a与b共线且反向，B对；若0b=可满足//ab，但不满足存在唯一实数使得ab=，C错；如图所示：22111111()()033222222PAPBPCADBECFABACBABCCBCA++=−++=−+++++=，【D对．故选：BD．10.为了测量B，C之间距离

，在河的南岸A，C处测量（测量工具：量角器、卷尺），如图所示.下面是四位同学所测得的数据记录，你认为不合理的有（）A.c与B.c与bC.b，c与D.b，与【答案】ABC【解析】【分析】由A，C在河的同一侧，故可以测

量b，与，由此即可得答案【详解】因为A，C在河的同一侧，所以可以测量b，与，故选：ABC11.设m、n表示不同直线，、表示不同平面，则下列结论中正确的是（）．A.若//m，//mn，则//nB.若m，n，//m，//n，则

//C.m、n是两条异面直线，若//m，//m，//n，//n．则//．D.若//，//m，//nm，n，则//n【答案】CD【解析】【分析】对选项逐一分析：A项，有可能n.B项，当与相交，且直线,mn都平行于与的交线时，也符合条件.C项，设

直线'//nn，且'nmO=，直线'n与m确定的平面为，可证//,//，故//.D项，易知m//或m.分m//或m两种情况判断n与的位置关系，即得答案.【详解】A项，若//m，//mn，则//n或n，故A错误.B项，当与相交，且直线,

mn都平行于与的交线时，也符合条件，故B错误.的C项，设直线'//nn，且'nmO=，直线'n与m确定的平面为.由题意'n.'''//,//,,//nnnnn，又'',,,////,nmOnmm=.同理//，//.故C正确.D项，//,

//,//mm或m.若m//，过m作平面交于直线l，则m//l//,//nmnlQ，又//,,nnl.若m，////,,nnmnQ.故D正确.故选：CD.【点睛

】本题考查空间线面、面面的位置关系，属于中档题.12.已知两非零复数1z，2z，若120zz+=，则下列说法一定成立的是（）A.12=zzB.12zz=C.12zzR−D.12zzR【答案】ACD【解析】【分析】设1izab=+，则2izab=−−，根据复数性质依次判断即可.【详解

】设1izab=+，则2izab=−−，对A，221zab=+，222zab=+，所以12=zz，故A正确；对B，2=izab−+，只有当0a=时，12zz=，故12zz=不一定成立，故B错误；对C，122z

zaR−=，故C正确；对D，()()2212iizzabababR=+−+=−−，故D正确.故选：ACD.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知2iz=−（i是虚数单位），在复平面上，()izz+对应的点在

第______象限.【答案】一【解析】.【分析】由题意先求出z，进而求出()62iizz+=+，从而得到点的坐标，即可得到答案【详解】2iz=−，2i,i2ii22izz=++=++=+，()()()2i22ii6i2zz−++==+，所以()izz+对应的点为()6,2，在第一象限，故答案为

：一14.已知ABC外接圆的圆心为O，半径为1，且2,AOABACOAAB=+=，则向量BA在BC方向上的投影为________.【答案】12【解析】【分析】由2AOABAC=+化简可以知道OBOC=−，即,,OBC三点共线，所以BC为外接圆的直径

，即||2BC=，又||||1OAAB==，AOB为正三角形，即可得出答案。【详解】由2AOABAC=+得2AOOBOAOCOA=−+−，所以OBOC=−，所以,,OBC三点共线，所以ABAC⊥.又因为||||1OAAB==，所以||2BC=，所以()1BABCBAACA

B=−=，故向量BA在BC方向上的投影为12.【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题。15.正方形ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，现将ADEV，EBF△，FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、

B、C三点重合于一点A.若四面体AEFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为______.【答案】24.【解析】【分析】将四面体补全为共外接球的长方体，长方体的对角线为外接球的直径可得到答案.【详解】由题意可知AFAE⊥，ADAE⊥

，ADAF⊥，可以将四面体1AEDF补形为以1AD、1AE、1AF为棱的长方体，如图：4,2,2ADAEAF===，此长方体与四面体1AEDF有相同的外接球，且长方体的体对角线就是四面体1AEDF的外接球的直

径，为22222426++=，故球的半径为6，所以该球的表面积为()24624=.故答案为：24.16.已知复数z满足()1+22izi=+，则z=________，z=_________.【答案】①.4355i−②.1【解析】【分析】运用复数的除法运算法

则求出z，利用复数模公式求出z.【详解】因为()1+22izi=+，所以2(2)(12)4343,12(12)(12)555iiiiziiii++−−====−++−2243()()155z=+−=.【点睛】本题

考查了复数的除法运算、求模公式，考查了数学运算能力.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.平面向量()1,2a=，()1,1b=−.（1）若32c=且()()//acba−−，求c的坐标；（2）若c满足（1）且c的横坐标为正，试求使()()2akcab+⊥+成立的实数k的值

.【答案】（1）()3,3或213,55−−；（2）79−【解析】【分析】（1）设(),cxy=，求出−ac与ba−的坐标，再由平面向量共线的坐标运算即可求解；（2）先确定c的坐标，求出akc+与2ab+的坐标，再由平面向量垂直的坐标运算即可求解；【详解】（1）设

(),cxy=，则()1,2acxy−=−−，()2,1ba−=−−，由32c=且()()//acba−−可得，()()()()22181122xyxy+=−−=−−，解得33xy=

=或21535xy=−=−，c的坐标为()3,3或213,55−−（2）根据题意取()3,3c=，则()13,23akckk+=++，()21,4ab+=−，又()()2akcab+

⊥+，则()()()1312340kk+−++=，解得：79k=−18.若ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且2a=，4cos5B=.（1）若4b=，求sinA的值；（2）若ABC的面积6S=，求b、c的值.【答案】（1）310；（2）62b=，

10c=【解析】【分析】（1）由平方关系以及正弦定理，即可得出sinA的值；（2）由三角形面积公式以及余弦定理，即可得出b，c的值.【详解】（1）∵4cos05B=，且0B，∴23sin1cos5BB=−=.由正弦定理得sinsinabAB=，∴sin23sin53410aBAb=

==.（2）∵11sin262253ABCSacBc===，所以10c=由余弦定理得222222cos21042210725bacacB=+−=+−=，∴62b=19.已知m，，是实数，i是虚数单位.（1）若1cos2

isin2z=+，2cosθisinθz=+，求212zzz=−的模；（2）若()214izmm=+−，()22cos3siniz=++且12zz=，试求的取值范围.【答案】（1）0z=；（2）9,716−【解析】【分析】（1）根据题意

，求出22z，进而计算212zzz=−，再由复数模的定义计算即可；（2）根据题意，由复数相等得22cos43sinmm=−=+，进而有2244cos3sin4sin3sin=−−=−，

结合二次函数的性质以及1sin1−，分析可得答案【详解】（1）2cosθisinθz=+，则()222cosθisinθcos2θisin2θz=+=+，则()()212cos2isin2cos2isin20zzz−++==−=，则0z=（2）若12zz=，则2

2cos43sinmm=−=+，变形可得：2223944cos3sin4sin3sin4sin816=−−=−=−−，又1sin1−，则sin1=−时，max7=，3sin8=时，min916

=−，故的取值范围为9,716−20.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，ABBC⊥，1222AAABBC===，M，N，D分别为AB，1BB，1CC的中点，E为线段MN上的动点.（1）证明：//CE平面1ADB；（2）若将直三棱柱111ABCABC-沿平

面1ADB截开，求四棱锥1ABCDB−的表面积.【答案】（1）证明见解析；（2）2632++.【解析】【分析】（1）连接CM，CN，可证四边形1NCDB为平行四边形，从而得到1//NCDB，再可得1//MN

AB，即可得到平面//MCN平面1ADB，从而得证；（2）连接BD即可证明AB⊥平面11BCCB，得到ABBD⊥，再根据面积公式求出锥体的表面积即可；【详解】解：（1）证明：连接CM，CN，因为N，D分别为1BB，1CC中点

，所以1112NBBB=，1112CDCC=，又因为11//BBCC，11BBCC=，所以1//NBCD，1NBCD=，所以四边形1NCDB为平行四边形，所以1//NCDB，又M为AB中点，所以1//MNAB，又CMCNC=，111ABDBB=，所以平面//MCN平面1ADB，又CE平

面MCN，所以//CE平面1ADB.（2）连接BD，因为ABBC⊥，1BBAB⊥，1BCBBB=，BC平面11BCCB，1BB平面11BCCB，所以AB⊥平面11BCCB，所以ABBD⊥，11122ABCS==△，12112A

BBS==△，12222ACDS==△，1(12)1322BCDBS+==梯形，在1ADB中，3AD=，15AB=，12DB=，所以22211ADDBAB+=，所以1ADDB⊥，123622ADBS==△，所以四棱锥1ABCDB−的表面积1236261322222S+=++++=+.【

点睛】本题考查面面平行，线面平行的证明，锥体的表面积的计算，属于中档题.21.如图，边长为2的等边ABC所在平面与菱形11AACC所在平面互相垂直，且11//BCBC，112BCBC=，113ACAC=.（1）求证：11//AB平面ABC；（2）求多面体111ABCABC-的体积V.【答案】（1

）证明见详解；（2）52.【解析】【分析】（1）先利用已知条件得到线面平行，再证面//ABC面111ABC，即可得出结论；（2）利用已知条件分别求出三棱锥111BABC−和四棱锥11BAACC−的体积，相加即为多面体111AB

CABC-的体积.【详解】（1）四边形11AACC是菱形，11//ACAC，又AC面ABC，11AC面ABC，11//AC面ABC，同理得，11//BC面ABC，11AC，11BC面111ABC，且11111ACBCC=，面//ABC面111ABC，

又11AB面111ABC，11//AB平面ABC；（2）11//ACAC，11//BCBC，11160ACBACB==，112ACAC==，1122BCBC==，111BC=，11113312222ABCS=

=，在菱形11AACC中，113ACAC=，160ACC=，11322232AACCS==菱形，面ABC⊥面1ACC，取AC的中点M，连接BM，1CM，BM⊥面1ACC，1CM⊥面ABC，由（1）知，面//ABC面111ABC，点B到面111ABC的距离为13CM=，又

点B到面11AACC的距离为3BM=，连接1BC，则11111135233322BABCBAACCVVV−−=+=+=.【点睛】本题考查线面平行的判定，考查几何体体积的求法，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查空间想象能力，属于常考题.22.已知五面体

ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，ABCD∥,CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC=25，45EAD=o．（1）求证：AB⊥平面ADE；（2）求平面EBC与平面BCF所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）33.【解析】【分析】（1）根据勾股定理得ADDC⊥，再根据线面垂

直判定定理得结果,（2）先根据条件证得直线DE,DA,DC两两互相垂直，再建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面EBC和平面BCF法向量，利用向量数量积得法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详

解】（1）因为24CDAD==，25AC=，所以222ACADCDADDC=+⊥因为四边形CDEF为矩形，所以CDDE⊥，因,,DEDCADE平面,DEDCD=所以CDADE⊥平面，因为//AB

CD，所以ABADE⊥平面(2)因为45EAD=o，DEAD=，所以45AED=，ADDE⊥由（1）得CDADE⊥平面，所以直线DE,DA,DC两两互相垂直，故以点D为坐标原点，分别以,,DADCDEuuuruu

uruuur正方向为,,xyz轴正方向建立空间直角坐标系，则E（0,0,2）A（2,0,0），C（0,4,0），B（2,2,0），F（0,4,2）(2,2,0),(2,2,2),(0,0,2)BCBECF=−=−−=uuuruuruuur，设平面EBC和平面BCF法向量分别为111(,,)

mxyz=，222(,,)nxyz=，则111112202220mBCxymBExyz=−+==−−+=,所以1112zxy==，取11x=得(1,1,2)m=，同理，22222020nBCxynCFz=−+===所以222,0xyz==取21x=得(1,1,0

)n=设所求角为，则23cos362mnmn•==urrurr=，即所求锐二面角的余弦值为33.【点睛】本题考查线面垂直判定定理以及利用空间向量求二面角，考查基本论证能力与分析求解能力，属中档题.为