【文档说明】浙江省宁波中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析.docx，共(18)页，938.020 KB，由小赞的店铺上传

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浙江省宁波中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{||11},{14}AxxBxx=−=∣∣，则AB

=（）A.{12}xx∣B.{12}xx∣C{04}xx∣D.{04}xx∣【答案】B【解析】分析】先求集合A，再根据交集运算求解即可.【详解】由题意，因为集合{|02},{|14}A

xxBxx==所以{|12}ABxx=.故选：B.2.已知命题2000:1,0pxxx−，则命题p的否定为（）A.200010x,xx−B.200010x,xx−C.210x,xx−D.210x,xx−【答案】D【

解析】【分析】根据存在量词命题的否定方法对命题p否定即可.【详解】由命题否定的定义可知，命题2000:1,0pxxx−的否定是：210x,xx−．故选：D.3.对于实数a，b，c，下列结论中正确的是（）A.若ab

，则22>acbcB.若>>0ab，则11>abC.若<<0ab，则<abbaD.若ab，11>ab，则<0ab【答案】D【解析】【分析】由不等式的性质逐一判断．.【【详解】解：对于A：0c=时，不成立，A错误；对于B：若>>0ab，则11<ab，B错误；对

于C：令2,a=−1b=−，代入不成立，C错误；对于D：若ab，11>ab，则0a，0b，则<0ab，D正确；故选：D．4.已知0x是函数1()33xfxx=−+的一个零点，则0x（）A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)【答案】C【解析】【

分析】根据题意，由条件可得函数单调递减，再由零点存在定理即可得到结果.【详解】根据题意知函数1()3xfx=在区间(1,+∞)上单调递减，函数()3fxx=−+在区间()1,+单调递减，故函数1()33xfxx=−+在区

间(1,+∞)上单调递减，又因𝑓(1)>𝑓(2)>𝑓(3)>0,𝑓(4)<0，又因()133xfxx=−+在()1,+上是连续不中断的，所以根据零点存在定理即可得知存在()03,4x使得()00fx=.故选：C5.“2a”是“函数()2()ln1fxxax=−+在

区间)2,+上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据复合函数的单调性求函数()2()ln1fxxax=−+在区间)2,+上单调递增的等价条件，在结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】二次函数

21yxax=−+图象的对称轴为2ax=，若函数()2()ln1fxxax=−+在区间)2,+上单调递增，根据复合函数的单调性可得{𝑎2≤24−2𝑎+1>0，即52a，若2a，则52a，但是52a，2a不一定成立，故“2a”是“函数

()2()ln1fxxax=−+在区间)2,+上单调递增”的充分不必要条件．故选：A6.函数22()1xfxx=+的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，即可判断A、B，再根据0

x时函数值的特征排除C.【详解】函数22()1xfxx=+的定义域为R，且()()2222()11xxfxfxxx−−==−=−+−+，所以22()1xfxx=+为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B；又当0x时()0fx，故排除C.故选：D7.已

知42log3x=，9log16y=，5log4z=，则x，y，z的大小关系为（）A.yxzB.zxyC.xyzD.yzx【答案】C【解析】【分析】利用对数运算法则以及对数函数单调性可限定出x，y

，z的取自范围，即可得出结论.【详解】根据题意可得2222log3log3x==，2233log4log4y==，5log4z=利用对数函数单调性可知3222223log3log9log8log22x====>，即32x；又323333331log3log4log16lo

g27log32y=====<<，可得312y；而55log4log51z==<，即1z；综上可得xyz.故选：C8.已知函数323log,03()1024,3xxfxxxx=−+，若方程()fxm=有四个不同的实

根()12341234,,,xxxxxxxx，则()()3412344xxxxx−−的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,0)−C.(4,2)−D.(2,0]−【答案】B【解析】【分析】根据图象分析可得121xx=，()()3

43410,3,4,6,7xxxx+=，整理得3431233(4)(4)2410xxxxxxx−−=−++，结合对勾函数运算求解.【详解】因为𝑓(𝑥)={3|log3𝑥|,0<𝑥≤3𝑥2−10𝑥+24,𝑥>3，当3x时()22()10

2451fxxxx=−+=−−，可知其对称轴为5x=，令210240xx−+=，解得4x=或6x=；令210243xx−+=，解得3x=或7x=；当03x时3()3logfxx=，令33log3x=，解得13x=或3x=，作出函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象，如图所示，若方程()fxm=

有四个不同的实根12341234,,,()xxxxxxxx，即()yfx=与ym=有四个不同的交点，交点横坐标依次为12341234,,,()xxxxxxxx，则12341134673xxxx，对于12,xx，则3132loglogxx=，可得313231

2logloglog0xxxx+==，所以121xx=；对于34,xx，则()()343410,3,4,6,7xxxx+=，可得4310xx=−；所以()()3434333431233334161024

(4)(4)2410xxxxxxxxxxxxxxx−++−−−−===−++，由对勾函数可知332410yxx=−++在()3,4上单调递增，得()3324101,0xx−++−，所以34123(4)(4)xxxxx−−的取值范围是()1,0−.故选

：B.【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是画出函数图象，结合函数图象分析出121xx=，()()343410,3,4,6,7xxxx+=，从而转化为关于3x的函数；二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小

题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.函数1()21xfx−=+恒过定点(1,1)B.函数3xy=与3logyx=的图象关于直线yx=对称C.0xR，当0xx时，恒有

32xxD.若幂函数()fxx=(0,)+单调递减，则0【答案】BCD【解析】【分析】由指数函数的性质可判断A；由反函数的性质可判断B；由指数函数的增长速度远远快于幂函数，可判断C；由幂函数的性质可判断D.在【详解

】对于A，函数1()21xfx−=+恒过定点(1,2)，故A错误；对于B，函数3xy=与3logyx=的图象关于直线yx=对称，故B正确；对于C，因为指数函数的增长速度远远快于幂函数，所以0xx时，恒有32xx，故C正确；对于D，当0时，幂函数()

fxx=在(0,)+单调递减，故D正确；故选：BCD.10.已知函数e1()e1xxfx+=−，则下列结论正确的是（）A.函数()fx的定义域为RB.函数()fx的值域为(,1)(1,)−−+C.()()0fxfx+−=D.函数()fx为减函数【答案】BC【解析】【分析】根据分母不

为0求出函数的定义域，即可判断A；再将函数解析式变形为2()1e1xfx=+−，即可求出函数的值域，从而判断B；根据指数幂的运算判断C，根据函数值的特征判断D.【详解】对于函数e1()e1xxfx+=−，则e10x−，解得

0x，所以函数的定义域为|0xx，故A错误；因为e1e122()1e1e1e1xxxxxfx+−+===+−−−，又e0x，当e10x−时20e1x−，则()1fx，当1e10x−−时22e1x−−，则()1fx−，所以函数()fx的值域为(,1)(1,

)−−+，故B正确；又11e1e1e1e1e1e()()01e1e1e11ee11exxxxxxxxxxxxfxfx−−++++++−+=+=+=+=−−−−−−，故C正确；当0x时()0fx，当0x时()0fx，所以()fx不是减函数，故D错误.故选：BC11.已知0

,0ab，且1ab+=，则（）A.22loglog2ab+−B.2222ab+C.149ab+D.33114ab+【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式求出ab的范围，即可判断A；利用基本不等式

及指数的运算法则判断B；利用乘“1”法及基本不等式判断C；利用立方和公式及ab的范围判断D.【详解】因为0,0ab，且1ab+=，所以2124abab+=，当且仅当12ab==时取等号，所以()22221loglogloglog

24abab+==−，当且仅当12ab==时取等号，故A错误；222222222ababab++==，当且仅当22ab=，即12ab==时取等号，故B正确；()1414445529babaababab

abab+=++=+++=，当且仅当4baab=，即13a=，23b=时取等号，故C正确；()()()2332222313ababaabbaabbababab+=+−+=−+=+−=−，因为104ab，所以3034ab，所以11314ab−，即33114ab+，故

D正确.故选：BCD12.对于定义在0,1上的函数()fx如果同时满足以下三个条件：①()11f=；②对任意()0,1,0xfx成立；③当12120,0,1xxxx+时，总有()()()1212fxfxfxx++成立，则称()fx为“天一函数”

.若()fx为“天一函数”，则下列选项正确的是（）A.()00f=B.()0.50.5fC.()fx为增函数D.对任意[0,1]x，都有()2fxx成立【答案】ABD【解析】【分析】对于A，令120xx==，结合题中条件即可求解；对于B，令120.5xx==，结合

题中条件即可求解；对于C，令2121101XxxxX+==，结合性质②③可得()()21fXfX，因此有()fx在0,1x上有递增趋势的函数(不一定严格递增)，即可判断；对于D，应用反证法：若存在

00,1x，使𝑓(𝑥0)>2𝑥0成立，讨论1,12x，10,2x，结合递归思想判断0x的存在性.【详解】对于A，令120xx==，则()()()000fff+，即()00f，又对任意()0,1,0

xfx成立，因此可得()00f=，故A正确；对于B，令120.5xx==，则()()()0.50.51fff+，又()11f=，则()0.50.5f，故B正确；对于C，令2121101XxxxX+

==，则221(0,1]xXX−=，所以()()()()()()12122121fXfXXfXfXfXfXX+−−−，又对任意()0,1,0xfx成立，则()221()0fxfXX=−，即()()210fXfX−，所以()()21fXfX

，即对任意1201xx，都有()()12fxfx，所以()fx在0,1x上非递减，有递增趋势的函数(不一定严格递增)，故C错误；对于D，由对任意1201xx，都有()()12fxfx，又()

00f=，()11f=，故()0,1fx，反证法：若存在00,1x，使𝑓(𝑥0)>2𝑥0成立，对于1,12x，()1fx，而21x，此时不存在01,12x使𝑓(𝑥0)>2𝑥0成立；对于10,2x

，若存在010,2x使𝑓(𝑥0)>2𝑥0成立，则()()()002ffxfx，而)020,1x，则()()()()000022fxfxfxfx+=，即𝑓(𝑓(𝑥0))≥2𝑓(𝑥0)>4𝑥0，由()

)00,1fx，依次类推，必有)0,1t，0()2nftx且*nN趋向于无穷大，此时()[0,1)ft，而02nx必然会出现大于1的情况，与𝑓(𝑡)>2𝑛𝑥0矛盾，所以在10,2x上也不存在010,

2x使𝑓(𝑥0)>2𝑥0成立，综上，对任意0,1x，都有()2fxx成立，故D正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：对于D，应用反证及递归思想推出1,12x，10,2x情况下与假设矛盾的

结论.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若23(1)()log(1)xxfxxx=，则(0)(8)ff+=______.【答案】4【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为23(1)()log(1)xxfxxx=，

所以()0031f==，()32228log8log23log23f====，所以(0)(8)4ff+=.故答案为：414.已知()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，()22xfxx=−，则()()10ff

−+＝__________．【答案】1−【解析】【分析】根据()fx是定义在R上的奇函数，可得(1)(1)ff−=−，(0)0f=，只需将1x=代入表达式，即可求出(1)f的值，进而求出(1)(0)ff−+的值．【详

解】因为()fx是定义在R上的奇函数，可得(1)(1)ff−=−，(0)0f=，又当0x时，()22xfxx=−，所以12(1)211f=−=，所以(1)(0)101ff−+=−+=−．故答案为：1−【点睛】本题主要考查利用奇函数的性质转化求函数值，关

键是定义的灵活运用，属于基础题．15.定义在R上的偶函数()fx满足：在)0,+上单调递减，则满足()()211fxf−的解集________.【答案】()0,1【解析】【分析】利用偶函数，单调性解抽象不等式【详解】因为()fx为定义在R上

的偶函数，且在)0,+上单调递减，所以()()()()211211fxffxf−−，所以2111211xx−−−，即01x，故答案为：()0,116.设函数31()221xfx=−+，正实数,ab满足

()(1)2fafb+−=，则2212baab+++的最小值为______.【答案】14##0.25【解析】【分析】首先推导出()()2fxfx+−=，再说明()fx的单调性，即可得到1ab+=，再由乘“1”法及基本不等式计

算可得.【详解】因为31()221xfx=−+，所以3132()221221xxxfx−−=−=−++，所以331()()22221221xxxfxfx+−=−+−=++，又21xy=+在定义域R上单调递增

，且值域为()1,+，1yx=−在()1,+上单调递增，所以31()221xfx=−+在定义域R上单调递增，因为正实数,ab满足()(1)2fafb+−=，所以10ab+−=，即1ab+=，所以()()222211212412babaababab+=

++++++++()()2222211412bbaabaab++=+++++()()()()222222221111122412444bbaababaababab++++=++=+=++，当且仅当()()222112bbaaab++=++，即3

5a=，25b=时取等号，所以2212baab+++最小值为14.故答案为：14四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.计算下列各式的值.（1）20.5023372722(8)9643−+−+（2）2log

3223(lg5)lg2lg50log3log22+++【答案】（1）229（2）5【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；（2）根据对数的运算性质及换底公式计算可得.【小问1详解】20.5023372722(8)9643−

+−+2223333212139245−=+−+2323332521334−=+−+的5162221399=+−+=.【小问2详解】2log3223(lg5)lg2lg50log3lo

g22+++()210lg3lg2(lg5)lglg10535lg2lg3=+++()()2(lg5)1lg51lg513=+−+++()()22lg51lg5135=+−++=.18.设全集为R，已知集合2|280AxRxx=−−，

()2|550BxRxmxm=−++.（1）若3m=，求AB，RAð；（2）若RBAð，求实数m的取值范围.【答案】（1）25ABxRx=−；2RAxx=−ð或4x；（2）4m.【解析】【分析】（1）先解不等式求出集合A，B，根据

补集的概念，以及并集的概念，即可得出结果；（2）由（1）得出RAð，再对m分类讨论，即可得出结果.【详解】（1）因为228024AxRxxxRx=−−=−，则2RAxx=−ð或4x；若3m=，则281503

5BxRxxxRx=−+=，所以25ABxRx=−.（2）由（1）2RAxx=−ð或4x，()()|50BxRxxm=−−，当5m=时，则{5}B=，满足RBAð；当5m时，则[5,

]Bm=，满足RBAð；当5m时，则[,5]Bm=，为使RBAð，只需4m，所以45m.综上，4m.19.为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年旳太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C

（单位：万元）与太阳能电池面积x（单位：平方米）之间的函数关系为4,0105(),10mxxCxmxx−=，（m为常数），已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为0.5x

（单位：1万元），记()Fx为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和（1）写出()Fx的解析式；（2）当x为多少平方米时，()Fx取得最小值？最小值是多少万元？【答案】（1）160

7.5,010()8000.5,10xxFxxxx−=+；（2）40平方米，最小值40万元.【解析】【分析】（1）根据给定的条件，求出m值及()Cx的解析式，进而求出()Fx的解析式作答.（2）结合均值不等式，分段求出()Fx的最小值，再比较

大小作答.【小问1详解】依题意，当5x=时，()12Cx=，即有45125m−=，解得80m=，则804,0105()80,10xxCxxx−=，于是得1607.5,010()10()0.580

00.5,10xxFxCxxxxx−=+=+，所以()Fx的解析式是1607.5,010()8000.5,10xxFxxxx−=+.【小问2详解】由（1）知，当010x时，()1607.5Fxx=−在[0,10]上递减，min()(10)85FxF==，当10x

时，800800()24022xxFxxx=+=，当且仅当8002xx=，即40x=时取等号，显然4085，所以当x为40平方米时，()Fx取得最小值40万元.【点睛】方法点睛：在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．20.已知

函数1()2(R)2xxmfxm−=−是定义在R上的奇函数.（1）求m的值；（2）根据函数单调性的定义证明()fx在R上单调递增；（3）设关于x的函数()()()9143xxgxfmf=++−有零点，求实数m的取值范围.【答案】（1）2m=（2）证明见解析（

3）(,3−【解析】【分析】（1）由奇函数性质(0)0f=求得参数值，再验证符合题意即可；（2）根据单调性的定义证明；（3）令()0gx=，结合()fx的单调性得到9431xxm+=−，参变分离可得1943xxm=−+−，依题意可得关于x

的方程1943xxm=−+−有解，令()1943xxhx=−+−，则ym=与()yhx=有交点，利用换元法求出()hx的值域，即可得解.【小问1详解】因为1()2(R)2xxmfxm−=−是定义在R上的奇函数，所以(0)1(1)0fm=−−=，解得2m=，当2m=时，1()222

2xxxxfx−=−=−，满足()()fxfx−=−，()fx是奇函数，所以2m=；【小问2详解】由（1）可得1()22xxfx=−，设任意两个实数12,Rxx满足12xx，则1212121212111()()22(22)(1)2

222xxxxxxxxfxfx−=−−+=−+，∵12xx，∴12022xx，1211022xx+，∴12())0(fxfx−，即12()()fxfx，所以()fx在R上为单调递增；【小问3详解】令()0gx=，则()()9143xxfmf+

=−−，又()fx是定义在R上的奇函数且单调递增，所以()()1943xxfmf+=−，则9431xxm+=−，则1943xxm=−+−，因为关于x的函数()()()9143xxgxfmf=++−有零点，所以关于x方

程1943xxm=−+−有解，令()1943xxhx=−+−，则ym=与()yhx=有交点，令3xt=，则()0,t+，令()214Httt+−−=，()0,t+，则()()222314Htttt+−==−−−+，所以()Ht在()0,2上单调递增，在()2,+上单调递减，所

以()(,3Ht−，所以()(,3hx−，则(,3m−，即实数m的取值范围为(,3−.21.设Ra，已知函数()yfx=的表达式为21()logfxax=+.（1）当3a=时，求不等式()1fx的解

集；（2）设0a，若存在1,12t，使得函数()yfx=在区间[],2tt+上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a的取值范围.【答案】（1）(,1)(0,)−−+（2）1,3+【解析】【分析】（1）根据函

数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可；（2）根据函数的单调性求出最值，根据不等式有解分离参数求取值范围.【小问1详解】的当3a=时，21()log3fxx=+，不等式()1fx，即21log31x+，所以132x+，即10xx+，等价于(

)10xx+，解得1x−或0x；所以不等式()1fx的解集为(,1)(0,)−−+；【小问2详解】因为0a，1[,1]2t，所以当[,2]xtt+时，函数1yax=+为减函数，所以函数()21logfxax=+在区间[],2tt+上单调递减，又函数()yfx=在区间

,2tt+上最大值和最小值的差不超过1，所以()()21ftft−+，即2211log()log()12aatt+−++，即222111log()1log()log2()22aaattt+++=+++所以112()2aatt+++，即

存在1[,1]2t使122att−+成立，只需min122att−+即可，考虑函数121,[,1]22yttt=−+，221,[,1]22tyttt−=+，令321,2rt=−

，213,1,86826ryrrrrr==−++−，设()8grrr=+，其中31,2r，任取123,1,2rr，且12rr，则()()()212121212121888r

rgrgrrrrrrrrr−−=+−−=−，因为12rr，所以210rr−，因为123,1,2rr，所以2180rr−，所以()()21grgr，所以函数()gr在31,2上单调递减，

所以86yrr=+−在31,2r单调递减，所以856,36rr+−，116,8356rr+−，所以13a，所以a的取值范围为1,3+.22.已知函数43()21xxfx+=+，函数

2()||1gxxax=−+−.（1）若[0,)x+，求函数()fx的最小值；（2）若对1[1,1]x−，都存在2[0,)x+，使得()()21fxgx=，求a的取值范围.【答案】（1）2（2）1313,,44−−+【解析】【分析】（1

）首先利用指数运算，化简函数()()421221xxfx=++−+，再利用换元，结合对勾函数的单调性，即可求解函数的最值；（2）首先将函数()fx和()gx在定义域的值域设为,AB，由题意可知BA，()02g，确定a的

取值范围，再讨论去绝对值，求集合B，根据子集关系，比较端点值，即可求解.【小问1详解】若)0,x+，()()()()221221442122121xxxxxfx+−++==++−++，因为)0,x

+，令212xt=+，则()42,2yttt=+−，又因为42ytt=+−在)2,+上单调递增，当2t=，即0x=时，函数取得最小值2；【小问2详解】设()fx在)0,+上的值域为A，()gx在1,1−上的值域为B，由题意可知，BA，由（1）知)2,A=+，因为

()012ga=−，解得：3a或3a−，当3a时，且11,1x−，则10xa−，可得()222111111151124gxxaxxxaxa=−+−=−+−=−+−，可得()1g

x的最大值为()11ga−=+，最小值为1524ga=−，即5,14Baa=−+，可得524a−，解得：134a，当3a−时，且11,1x−，10xa−，可得()222111111151124gxxaxxxaxa=−+−=+−−=+−

−，可知，()1gx的最大值为()11ga=−，最小值为1524ga−=−−，即5,14Baa=−−−，可得524a−−，解得：134a−，综上可知，a的取值范围是1313,,44−−+.【点睛】关键点

点睛：本题第二问的关键是求函数()gx的值域，根据()02g，缩小a的取值范围，再讨论去绝对值.