【文档说明】吉林省长春市东北师大附中2023-2024学年高二上学期期中考试+数学+含解析.docx，共(32)页，1.832 MB，由小赞的店铺上传

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2023—2024学年东北师大附中高二年级数学科试卷上学期期中考试本试卷共3页、22小题，满分120分，考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码粘贴区．2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0

.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域|书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正

带、刮纸刀．一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.直线310xy−−=的倾斜角大小（）A.6B.3C.23D.562.

下列正确结论是A.事件A的概率()PA的值满足()01PAB.如()0.999PA=，则A为必然事件C.灯泡的合格率是99%，从一批灯泡中任取一个，这是合格品的可能性为99%D.如()0.001PA=，则A为不可能事件3.经过点()1,2-并且与直线

210xy+−=垂直的直线方程是（）A.250xy−+=B.230xy−+=C.230xy+−=D.250xy++=4.已知事件A，B，C两两互斥，若1()5PA=，1()3PC=，8()15PAB=，则()PBC=（）．A815B.23C.715D.135.圆心在x轴上，并且过点()

1,3A−和()1,1B的圆的标准方程是（）A.()22418xy++=B.()22310xy++=的.C.()22210xy−+=D.()22210xy++=6.若a是从0123，，，四个数中任取的一个数,b是从012，，三个数中任取的一个数,则关于x的一元二次方程2

220xaxb++=有实根的概率是A.56B.34C.23D.457.在棱长为1的正四面体SABC−中，SG⊥平面ABC于G，O是SG的中点，则下列结论错误的是（）A.0OAOB=B.16SAOC=−C.16OAOS=−D.()13OGOAOBOC=++8.已知圆C：()22416xy

−+=，点A是直线40xy−+=上的一个动点，过点A作圆C的两条切线，切点分别为P，Q，则线段PQ的长度的取值范围是（）A.)4,42B.)22,4C.)42,8D.42,8二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线1l：10xy−−=和直线2l：()()10Rkxkykk+++=，则下列结论正确是（）A.存在实数k，使得直线2l的倾斜角为π2B.对任意的实数k，直线1l与直线2l都有公

共点C.对任意的实数k，直线1l与直线2l都不重合D.对任意的实数k，直线1l与直线2l都不垂直10.已知点()3,0B，点A为直线:1lyx=+上的任意一点，以AB为直径作圆C，则下列说法正确的是（）A.圆C面积的最小值为2πB.圆C恒过定点()1,3C.圆心C的轨迹方程是1y

x=−D.若直线l与圆C相交，且所得弦长为22时，圆C面积为8π11.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件B表示“第二次取出的球的数字

是奇数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件D表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（）A.A与B是互斥事件B.C与D互为对立事件的C.B发生的概率为12D.B与C相互独立12.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，P、Q分别是棱B

C、1CC的中点，动点M满足AMtAB=，0,1t，下列结论正确的是（）A.当0=t时，平面MPQ截正方体所得截面面积是92B.当1t=时，直线1DM与直线PQ所成角为π4C.当12t=时，则点1A到平面MPQ的距离是33D.设直线CD与平面MPQ所成角为，则1sin,13

三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13.已知经过()1,1Aaa−+、()3,2Ba两点的直线l的方向向量为()1,2-，则实数a的值为______．14.在一次投篮比赛中，甲、乙、丙三人投篮命中的概

率分别为23，12，14，若每次投球三人互不影响，则在一次投球中，三人中至少有两人投篮命中的概率为______．15.已知点D是ABC所在平面内的任意一点，O是平面ABC外的一点，满足()1130,0ODOAOBOCxyxy=+−

，则49xy+的最小值是______．16.在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B在圆心为C的圆()()2224−+−=xmy上运动，且23AB=．若直线l：430xy+=上至少存在两个点()1,2iPi=，使得iiOCPAPB=+成立，则实数m的取值范围为______．四、解答题：本大题共6小

题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17已知直线1l过点()1,4A−且与直线2l：20xy+−=垂直．（1）求直线1l的方程；（2）若直线l经过32,2B，且过直线1l与2l的交点，求直线l的方程．18.

在一次支教活动中，甲、乙两校各派出3名教师参与活动，其中甲校派出2名男教师和1名女教师（记两名男教师为A、B，女教师为C），乙校派出1名男教师和2名女教师（记男教师为D，两名女教师为E、.F）．（1）若从两校参加活动的教师中各任选1名

，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；（2）若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名教师来自同一学校的概率．19.如图，在三棱锥−PABC中，PAC△是边长为2的正三角形，BCAC=，2π3ACB=，D为AB上靠近A的三等分点．（1）若22PB=，求证：平面PCD⊥平

面PCB；（2）当三棱锥−PABC的体积最大时，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．20.甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的

概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29．（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．21.已知直线()()():211740lxy+++−−=R和以点C为圆心的圆()2244xy−

+=．（1）求证：直线l恒过定点；（2）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求的值以及最短弦长；（3）设l恒过定点A，点P满足2PAPO=，记以点P、O（坐标原点）、A、C为顶点的四边形为，求四边形面积的最大值，并求取

得最大值时点P的坐标．22.如图，四面体ABCD中，ADCD=，ADCD⊥，2AC=，3AB=，π3CAB=，E为AB上的点，且ACDE⊥，DE与平面ABC所成角为π6．（1）求三棱锥DBCE−的体积；（2）求平面BCD与平面CDE夹角余弦值．的2023—2024学年东北师大附

中高二年级数学科试卷上学期期中考试本试卷共3页、22小题，满分120分，考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码粘贴区．2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非

选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域|书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确

定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.直线310xy−−=的倾

斜角大小（）A.6B.3C.23D.56【答案】B【解析】【分析】化简得到31yx=−，根据tan3k==计算得到答案.【详解】直线310xy−−=，即31yx=−，tan3k==，)0,，故3=.故选：B.【点睛

】本题考查了直线的倾斜角，意在考查学生的计算能力.2.下列正确的结论是A.事件A的概率()PA的值满足()01PAB.如()0.999PA=，则A为必然事件C.灯泡的合格率是99%，从一批灯泡中任取一个，这是合格品的可能性为99%D.如()0.001PA=，

则A为不可能事件【答案】C【解析】【分析】根据必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，利用排除法可得结果.【详解】因为必然事件的概率为1，所以可排除选项,AB；因为不可能事件的概率为0，所以可排除选项D根据概率的定义可知，灯泡的合格率是99%，从一批灯泡中任取一个是合格

品的可能性为99%，故选C【点睛】本题主要考查必然事件与不可得事件的概率，考查了概率的性质，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，属于基础题.3.经过点()1,2-并且与直线210xy+−=垂直的直线方程是（）A.250xy−+=B.230xy−+=C.230xy+−=D.2

50xy++=【答案】A【解析】【分析】求出直线210xy+−=的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】直线210xy+−=的方程可化为21yx=−+，其斜率为2−，故经过点()1,2-并且与直线210xy+−=垂直的直线方程是()1212yx−=+，即250xy

−+=.故选：A.4.已知事件A，B，C两两互斥，若1()5PA=，1()3PC=，8()15PAB=，则()PBC=（）．A.815B.23C.715D.13【答案】B【解析】【分析】根据事件A，B，C两两互斥，求出()13PB=，进而利用()()

()PBCPBPC=+求出答案.【详解】因为事件A，B，C两两互斥，所以()()()8111553PBPABPA=−=−=，所以()()()112333PBCPBPC=+=+=.故选：B．5.圆心在x轴上，并

且过点()1,3A−和()1,1B的圆的标准方程是（）A.()22418xy++=B.()22310xy++=C.()22210xy−+=D.()22210xy++=【答案】D【解析】【分析】设圆心为(),0Ea，由EA

EB=可求出a的值，可得出圆心的坐标，再求出圆的半径，即可得出所求圆的标准方程.【详解】设圆心为(),0Ea，由EAEB=可得()()()()2222103101aa++−=−+−，解得2a=−，所以，圆心为()2,0E−，圆的半径为()()22210110EA=−−+−=，故所求圆

的标准方程为()22210xy++=.故选：D.6.若a是从0123，，，四个数中任取的一个数,b是从012，，三个数中任取的一个数,则关于x的一元二次方程2220xaxb++=有实根的概率是A.56B.34C.23D.45【答案】B【解析】【分析】，

根据题意先做出方程没有实根的充要条件，列举出试验发生的所有事件，看出符合条件的事件，根据古典概型公式得到结果．【详解】由题意知本题是一个古典概型，设事件A为“2220xaxb++=有实根”当00ab＞，＞

时，方程2220xaxb++=有实根的充要条件为()22224440abab=−=−，即ab，基本事件共12个：000102101112（，）（，），（，），（，）（，），（，），202122303132（，），（，），（，），（，），（，），（，）．其中第一个数表示a的

取值，第二个数表示b的取值．事件A包含9个基本事件00,1011（，）（，）（，），202122303132（，），（，），（，），（，），（，），（，）．∴事件A发生的概率为93124PA==（）．故选B.【点睛】本题考查古典概型的概率计算，属基础题.7.在棱长为1的正四

面体SABC−中，SG⊥平面ABC于G，O是SG的中点，则下列结论错误的是（）A.0OAOB=B.16SAOC=−C.16OAOS=−D.()13OGOAOBOC=++【答案】B【解析】【分析】以点G为坐标原点，CB、AG、

GS的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算逐项判断，可得出合适的选项.【详解】如下图所示：在正四面体SABC中，SG⊥平面ABC于G，则G为等边三角形ABC的中心，且113π332sin3AG===，AGBC⊥，因为SG⊥平面ABC，AG

平面ABC，所以，SGAG⊥，则22236133SGSAAG=−=−=，以点G为坐标原点，CB、AG、GS的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如上图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0G、30,,

03A−、13,,026B、13,,026C−、60,0,3S、60,0,6O，对于A选项，360,,36OA=−−，136,,26

6OB=−，所以，233600366OAOB=−+−=，所以，OAOB⊥，A对；对于B选项，360,,33SA=−−，136,,266OC=−−

，所以，33661036366SAOC=−−−=，B错；对于C选项，60,0,6OS=，66100666OAOS=+−=−，C对；对于D选项，361361360,,,,,,36266266OAOBOC

++=−−+−+−−660,0,30,0,326OG=−=−=，即()13OGOAOBOC=++，D对.故选：B.8.已知圆C：()2241

6xy−+=，点A是直线40xy−+=上的一个动点，过点A作圆C的两条切线，切点分别为P，Q，则线段PQ的长度的取值范围是（）A.)4,42B.)22,4C.)42,8D.42,8【答案】

C【解析】【分析】作图，根据切线的性质以及三角形的面积公式可推得，2481PQAC=−.根据点到直线的距离公式，得出42AC，进而即可根据不等式的性质，得出答案.【详解】如图，根据切线的性质可知，2PQ

PD=，PQAC⊥，PCPA⊥.又由已知可得，圆C：()22416xy−+=的圆心()4,0C，半径4r=.所以，4PC=，22216PAACPCAC=−=−.又1122APCSPCPAACPD==，所以，22416441ACPCPAPDACA

CAC−===−，所以，24281PQPDAC==−.又点()4,0C到直线40xy−+=的距离为8422d==，所以，42ACd=，所以4420242AC=，24

102AC，所以，214112AC−，224112AC−，所以，2442818PQAC=−.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选

对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线1l：10xy−−=和直线2l：()()10Rkxkykk+++=，则下列结论正确的是（）A.存在实数k，使得直线2l的倾斜角为π2B.对任意的实数k，直线1l与直线2l都有公共点C.对任意的实数k，直线1l与直线2l都

不重合D.对任意的实数k，直线1l与直线2l都不垂直【答案】ABD【解析】【分析】举例即可说明A、C；分12k=−以及12k−，得出直线1l与直线2l的关系，即可得出B项；根据直线垂直列出方程，求解方程，即可说明D项.【详解】对于A

项，当0k=时，直线2l的方程为0x=，此时直线2l的倾斜角为π2，故A项正确；对于B项，当12k=−时，直线2l的方程为10xy−−=，与1l重合，此时两直线有公共点；当12k−时，有()()111210kkk

−−+=+，即12,ll一定相交.综上所述，对任意的实数k，直线1l与直线2l都有公共点，故B项正确；对于C项，由B可知，当12k=−时，直线2l与1l重合，故C项错误；对于D项，要使直线1l与直线2l垂直，则应有10kk+−=，该方程无解，所

以对任意的实数k，直线1l与直线2l都不垂直，故D项正确.故选：ABD.10.已知点()3,0B，点A为直线:1lyx=+上的任意一点，以AB为直径作圆C，则下列说法正确的是（）A.圆C面积的最小值为2πB.圆C恒过定点()1,3C.圆心C的轨迹方程是1yx=−D.若直线l与圆C相交，且所得弦

长为22时，圆C面积为8π【答案】AC【解析】【分析】分析可知，当ABl⊥时，AB取最小值，求出圆C半径的最小值，结合圆的面积公式可判断A选项；求出圆C的方程，可求出圆C所过定点的坐标，可判断B选项；求出圆心C的轨迹方程，可判断C选项；

利用勾股定理求出圆C的半径，结合圆的面积公式可判断D选项.【详解】因为点A为直线:1lyx=+上的任意一点，设点(),1Aaa+，其中aR，对于A选项，当ABl⊥时，AB取最小值，即AB的最小值为点B到直线l的距离，所以，min312211AB+==+，所以，圆C的半径的最小值为2

，所以，圆C面积的最小值为()2π22π=，A对；对于B选项，因为点(),1Aaa+、()3,0B，则圆心C的坐标为31,22aa++，又因为()()222312410ABaaaa=−++=−+，所以，圆C的半径为()222522aaABr−+==，所以，圆C的方

程为2223125222aaaaxy++−+−+−=，即()()223130xyaxaya+−+−++=，即()()22330xyxyaxy+−−−+−=，由223030xyxyxy+−=

+−−=，解得12xy==或30xy==，因此，圆C过定点()1,2，B错；对于C选项，设圆心(),Cxy，则3212axay+=+=，消去a可得1yx=−，所以，圆心C的轨迹方程为1yx=−，C对；对于D选

项，因为点B到直线l的距离为22，故圆心C到直线l的距离为2，当直线l与圆C相交，且所得弦长为22时，圆C的半径为()()22222r=+=，此时圆C的面积为2π24π=，D错.故选：AC.11.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件A

表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件B表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件D表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（）A.A与B是互斥事件B.C与D互为对立事件C.B发生的概率为12D.B与C相互独立【答案】

BCD【解析】【分析】根据互斥事件，对立事件相互独立事件的定义结合古典概型注意判断即可.【详解】由题意，不放回的随机取两次，共有6530=种情况，()()()()()()()()()()2,1,2,3,2,4,2,5,2,6,4,1,4,2,4,3,4,5,4,6,A=()()()()()

6,1,6,2,6,3,6,4,6,5共15个基本事件，()()()()()()()()()()2,1,3,1,4,1,5,1,6,1,1,3,2,3,4,3,5,3,6,3,B=()()()()()1,5,2,5,3,5,4,5,6,5共15个基本事件，故()151302PB

==，故C正确；显然事件A与B有交事件，不是互斥事件，故A错误；()()()()()()()()1,3,1,5,2,4,2,6,3,1,3,5,4,2,4,6,C=()()()()5,1,5,3,6,2,6,4共12个基本事件，故()122305PC==，()()()()()()()

()()()()()1,2,1,4,1,6,2,1,2,3,2,5,3,2,3,4,3,6,4,1,4,3,4,5,D=()()()()()()5,2,5,4,5,6,6,1,6,3,6,5共18个基本事件，所以C与D互为对立事件，故B正确；

事件()()()()()()3,1,5,1,1,3,5,3,1,5,3,5BC=共6个基本事件，所以()()()61305PBCPBPC===，所以B与C相互独立，故D正确.故选：BCD.12.在棱长为2的正方体1111A

BCDABCD−中，P、Q分别是棱BC、1CC的中点，动点M满足AMtAB=，0,1t，下列结论正确的是（）A.当0=t时，平面MPQ截正方体所得截面面积是92B.当1t=时，直线1DM与直线PQ所成角为π4C.当12t=时，则点1A到平

面MPQ的距离是33D.设直线CD与平面MPQ所成角为，则1sin,13【答案】ACD【解析】【分析】以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利

用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项.【详解】以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A、()2,2,0B、()0,2,0C、()0,0,0D、()12,0,2A

、()12,2,2B、()10,2,2C、()10,0,2D、()1,2,0P、()0,2,1Q.对于A选项，当0=t时，点()2,0,0M，()1,0,1PQ=−uuur，()12,0,22MDPQ=−=，结合图形可知，M、1D、P、Q四点共面，且()1,2,0PA=−，11

0cos1052PAPQAPQPAPQ−===−，则2210310sin1cos11010APQAPQ=−=−−=，所以，113103sin5222102APQSPAPQAPQ===△，在梯形1APQD中，12ADPQ=，则132232AQDAPQSS==

=△△，因此，当0=t时，平面MPQ截正方体所得截面面积139322APQAQDSS+=+=△△，A对；对于B选项，当1t=时，()2,2,0M，则()12,2,2DM=−，()1,0,1PQ=−uuur，所以，1

1146cos,3232DMPQDMPQDMPQ==−=−，B错；对于C选项，当12t=时，()2,1,0M，()1,1,0PM=−，()1,0,1PQ=−uuur，设平面MPQ的法向量为(),,mabc=，则00mPMabmPQac=−=

=−+=，取1a=可得()1,1,1m=，()10,1,2AM=−，所以，点1A到平面MPQ的距离为11333AMmdm===，C对；对于D选项，易知点()2,2,0Mt，其中01t，设平面MPQ的法向量为(),,mxyz=，()1,22,0

PMt=−，()1,0,1PQ=−uuur，()0,2,0DC=，则()2200mPMxtymPQxz=+−==−+=，取22xt=−，则()22,1,22mtt=−−−，()()22211s

incos,,1322221811DCmDCmDCmtt====−+−+，D对.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13.已知经过()1,1Aaa−+、(

)3,2Ba两点的直线l的方向向量为()1,2-，则实数a的值为______．【答案】1−是【解析】【分析】由已知得出()2,1ABaa=+−，进而根据已知条件、结合向量共线列出方程，求解即可得出答案.【详解】由已

知可得，()2,1ABaa=+−.又直线l的方向向量为()1,2-，所以，()2,1ABaa=+−与()1,2-共线，所以有()()22110aa−+−−=，解得1a=−.故答案为：1−.14.在一

次投篮比赛中，甲、乙、丙三人投篮命中的概率分别为23，12，14，若每次投球三人互不影响，则在一次投球中，三人中至少有两人投篮命中的概率为______．【答案】1124【解析】【分析】分别根据独立事件以及对立、互斥

事件的概率计算得出恰有两人投篮命中的概率以及三人均命中的概率，相加即可得出答案.【详解】由已知可得，一次投球中，三人中恰有两人投篮命中的概率1211211211111324324324P=−+−+−38=；一次投球中，三人投篮均命中

的概率2211132412P==.所以，在一次投球中，三人中至少有两人投篮命中的概率12311181224PPP=+=+=.故答案为：1124.15.已知点D是ABC所在平面内的任意一点，O是平面ABC外的一点，满足()1130,0ODOAOBOCxyxy=+−，则49xy+的最小值是__

____．【答案】254【解析】【分析】利用共面向量的基本定理结合空间向量的基本定理可得出114xy+=，将49xy+与1114xy+相乘，展开后利用基本不等式可求得49xy+的最小值.【详解】因为点D是ABC所在平面内的任意一点，则存在、

R，使得ADABAC=+，即()()ODOAOBOAOCOA−=−+−，所以，()1ODOAOBOC=−−++，又因为O是平面ABC外的一点，则OA、OB、OC不共面，因为()1130,0ODOAOBOCxyxy=+−，则11x=−−，1y=，3−=，所以

，()11311xy+−=−−++=，所以，114xy+=，所以，()111149149254949131324444xyxyxyxyxyyxyx+=++=+++=，当且仅当491140,0xyyxxyx

y=+=时，即当58512xy==时，等号成立，故49xy+的最小值是254.故答案为：254.16.在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B在圆心为C的圆()()2224−+−=xmy上运动，且23AB=．若直线

l：430xy+=上至少存在两个点()1,2iPi=，使得iiOCPAPB=+成立，则实数m的取值范围为______．【答案】()4,1−【解析】【分析】利用垂径定理可求得1CM=；设()3,4Ptt−，利用向量坐标运算可表示出M点坐标，利用两点间距离公式可构造关于t的方程，结合已

知得出方程解的个数，由0列出不等式，求解即可得出结果.【详解】设()11,Axy，()22,Bxy，AB中点1212,22xxyyM++，由已知可得，圆C的圆心(),2Cm，半径2r=.连接CM，则CMAB⊥，且132AMAB==，所以221CMrAM=−=

.由已知可设其中一个点为()3,4Ptt−，则()113,4PAxtyt=−+，()223,4PBxtyt=−+，所以，()()12126,8,2OCPAPBxxtyytm=+=+−++=，所以，1212682xxtmyyt+−=

++=，所以12322xxmt+=+，12412yyt+=−+，即3,412mMtt+−+，所以，3,412mCMtt=−−−，所以，()2234112mtt−+−−=，即()2210032120tmtm+−+=.由题意知，至少存在两个点，

所以()2232124000mm=−−，整理可得2340mm+−，解得41m−.故答案为：()4,1−.【点睛】思路点睛：设出点的坐标，根据点的坐标表示出线段长度，结合已知列出关系式.根据已知满足条件点的个数，即可得出方程解的个数

.四、解答题：本大题共6小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线1l过点()1,4A−且与直线2l：20xy+−=垂直．（1）求直线1l的方程；（2）若直线l经过32,2B，且过直线1l与2l的交点，求直线l的方程．【答案】（1）50xy−−=

（2）42110xy+−=【解析】【分析】（1）根据已知设出1l的方程为0xym−+=，代入点A的坐标，求出m的值，即可得出答案；（2）联立直线1l与2l的方程，求解方程组得出交点坐标，然后即可根据两点式方程，求出答案.【小问1详解】由已知可设直线1l的方程为0xym

−+=.又直线1l过点()1,4A−，所以有140m++=，解得5m=−，所以，直线1l的方程为50xy−−=.【小问2详解】联立直线1l与2l的方程5020xyxy−−=+−=，可得7232xy=

=−，所以，直线1l与2l的交点73,22C−.又直线l经过32,2B，代入直线的两点式方程可得，3223372222yx−−=−−−，整理可得42110xy+−=.18.在一次支教活动中，甲、乙两校各派出3名教师参与活动，其中甲校派出2名男教师和1名

女教师（记两名男教师A、B，女教师为C），乙校派出1名男教师和2名女教师（记男教师为D，两名女教师为E、F）．（1）若从两校参加活动的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；（2）若从报名的6名教师中任选2名

，求选出的2名教师来自同一学校的概率．【答案】（1）答案见解析（2）25【解析】【分析】（1）列举出所有的基本事件，并确定事件“选出的2名教师性别相同”所包含的基本事件，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率

；（2）列举出所有的基本事件，并确定事件“选出的2名教师来自同一学校”所包含的基本事件，即可求出所求事件的概率.【小问1详解】解：从两校参加活动的教师中各任选1名，所有可能的结果有：(),AD、(),AE、(),AF、(),BD、(),BE、(

),BF、(),CD、(),CE、(),CF，共9种，其中，事件“选出的2名教师性别相同”所包含的基本事件有：(),AD、(),BD、(),CE、(),CF，共4种，所以，选出的2名教师性别相同的概率为49.【小问2详解】解：从报名的6名教师中任选2名，所有的基本

事件有：(),AB、(),AC、(),AD、(),AE、(),AF、(),BC、(),BD、(),BE、(),BF、(),CD、(),CE、(),CF、为(),DE、(),DF、(),EF，共15种，其中，事件“选出的2

名教师来自同一学校”所包含的基本事件有：(),AB、(),AC、(),BC、(),DE、(),DF、(),EF，共6种，因此，事件“选出的2名教师来自同一学校”的概率为62155=.19.如图，在三棱锥−PABC中，PAC△是边长为2的正三角形，BCA

C=，2π3ACB=，D为AB上靠近A的三等分点．（1）若22PB=，求证：平面PCD⊥平面PCB；（2）当三棱锥−PABC的体积最大时，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3913【解析】【分析】（1）根据勾股定理求得BCPC⊥.在ABC以及ACD中，

根据余弦定理求出23AB=，233CD=，然后即可根据勾股定理求得BCCD⊥.进而根据线面垂直的判定定理证得BC⊥平面PCD.进而根据面面垂直的判定定理得出平面PCB⊥平面PCD；（2）由已知推得平面PAC⊥平面ABC.取AC中点为O，连接PO，OD.进而即

可根据面面垂直的性质定理得出PO⊥平面ABC.根据勾股定理得出ODOA⊥.建立空间直角坐标系，得出各点以及向量的坐标，求出平面PBD的一个法向量，进而根据向量法求解即可得出答案.【小问1详解】由已知可得，2BCACPC

===，22PB=，在PBC中，有222PBBCPC=+，所以BCPC⊥.在ABC中，由余弦定理可得22212cos4424122ABACBCACBCACB=+−=+−−=，所以，23AB=，123

33ADAB==.又()1ππ26BACACB=−=，在ACD中，有2222cosCDACADACADCAB=+−423344223323=+−=，所以，233CD=又24333BDAB==，在BCD△中，有22241

6433CDBCBD+=+==，所以，BCCD⊥.因为CD平面PCD，PC平面PCD，PCCDC=，所以，BC⊥平面PCD.因为BC平面PCB，所以平面PCB⊥平面PCD.【小问2详解】要使三棱锥−PABC的体积最大时，则应有平面PA

C⊥平面ABC.取AC中点为O，连接PO.因为PAC△是边长为2的正三角形，AC中点为O，所以POAC⊥.因为平面PAC平面ABCAC=，PO平面PAC，所以，PO⊥平面ABC.连接OD，在AOD△中，由余弦定理可得2222cosODADAOADAOOAD=+−42331

1213323=+−=，所以33OD=.又22214133ODAOAD+=+==，所以ODOA⊥..如图，分别以,,OAODOP所在的直线为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0O，()1,0,0A，30,,03D，()1,0,0C−，()2,3,0B−，()0

,0,3P，所以，()1,0,3PC=−−，()2,3,3PB=−−，30,,33PD=−.设(),,nxyz=是平面PBD的一个法向量，则23303303nPBxyznPDyz=−+−==−=，取1z=，则()3,3,1n=是平面PBD的一个法向量.又2339cos

,13213nPCnPCnPC−===−，所以，直线PC与平面PBD所成角的正弦值为3913.20.甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14

，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29．（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．【答案】（1）13

，14，23；（2）56【解析】【分析】（1）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，则1(),41(),122(),9PABPBCPAC===再利用独立事件

的概率计算公式，解方程组即可得到答案.（2）记D为从甲、乙、丙加工零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，利用对立事件，即()1()PDPD=−计算即可.【详解】（1）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，由题设条件有1(),4

1(),122(),9PABPBCPAC===即1()[1()],41()[1()],122()().9PAPBPBPCPAPC−=−==解得1()3PA=，1()4PB=，2()3PC=．即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概

率分别是13，14，23；（2）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，则()1()1[1()][1()][1()]PDPDPAPBPC=−=−−−−231513436=−=．故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56．【点晴】本题主要

考查独立事件的概率计算问题，涉及到对立事件的概率计算，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.21.已知直线()()():211740lxy+++−−=R和以点C为圆心的圆()2244xy−+=．（

1）求证：直线l恒过定点；（2）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求的值以及最短弦长；（3）设l恒过定点A，点P满足2PAPO=，记以点P、O（坐标原点）、A、C为顶点的四边形为，求四边形面积的最大值，并求取得最大值时点P的坐标．的【答案】（1

）证明见解析（2）23=−，弦长的最小值为22（3）答案见解析【解析】【分析】（1）将直线l的方程变形，联立方程组27040xyxy+−=+−=可求得直线l所过定点的坐标；（2）分析可知，当ACl⊥时，圆心C到直线l

的距离达到最大值，此时，直线l截得的弦长最短，根据直线的斜率关系可求得的值，求出圆心C到直线l距离的最大值，再结合弦长公式可求出直线l被圆C截得弦长的最小值；（3）设点(),Pxy，利用距离公式可化简得出点P的轨迹方程，数形结合可求出四边形面积的最大值及其

对应的点P的坐标.【小问1详解】证明：将直线l的方程化为()2740xyxy+−++−=，由27040xyxy+−=+−=可得31xy==，故直线l恒过定点()3,1A.【小问2详解】解：当ACl⊥时，圆心()4,0C到直线l的距离达到最大值，此时，直线l被圆C截得的弦长最短

，此时，10134ACk−==−−，所以，直线l的斜率为2111+−=+，解得23=−，且()()2210342AC=−+−=，此时，直线l被圆C截得的弦长最小，且其最小值为24222−=.【小

问3详解】解：由（1）可知，点()3,1A，设点(),Pxy，则()()2222312xyPAPyOx−+−==+，整理可得()()223120xy+++=，由()()223120xy+++=可得()2120y+，解得125251

y−−−，又因为点()4,0C，由下图可知，当点P的坐标为()3,251−−−时，点P到x轴的距离最大，此时，OPC的面积最大，此时，四边形的面积取最大值，即四边形的面积()11142511454222POCOACPASSSOCyOCy=+=+++=+△△.故当点

P的坐标为()3,251−−−时，四边形的面积取最大值，且最大值为454+.22.如图，四面体ABCD中，ADCD=，ADCD⊥，2AC=，3AB=，π3CAB=，E为AB上的点，且ACDE⊥，DE与平面ABC所成角为π6．（1）求三棱锥DBCE−的体积；（2）

求平面BCD与平面CDE夹角的余弦值．【答案】（1）36或312（2）19385385或25721721【解析】【分析】（1）取AC中点F，可证明AC⊥平面DEF，可推导出DEF是DE与平面ABC所成的角，即π6DEF=，由正弦定理求得FDE，有两个解，在π3

FDE=时可证DF⊥平面ABC，在2π3FDE=时，取FE中点H证明DH⊥平面ABC，然后由棱锥体积公式计算体积；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【小问1详解】解：（1）取AC中点F，连接EF、DF，因为A

DCD=，所以DFAC⊥，又ACDE⊥，DEDFD=，,DEDF平面DEF，所以AC⊥平面DEF，而EF平面DEF，所以ACEF⊥，由已知1AF=，π3BAC=，则πtan1tan33EFAFCAB=

==，22132AEAFEF=+=+=，所以，321BEABAE=−=−=，由AC⊥平面DEF，AC平面ABC得平面ABC⊥平面DEF，因此DE在平面取AC中点ABC内的射影就是直线EF，所以DEF是DE与平面ABC所成的角，即π6DEF=，,2ADCDAC==，因此112D

FAC==，在DEF中，由正弦定理sinsinEFDFFDEDEF=得13πsinsin6FDE=，3sin2FDE=，FDE为DEF内角，所以π3FDE=或2π3，11π33sin32sin2232ABCSABACBAC===!，因为13BEAB=，则113333322B

CEABCSS===△△，若π3FDE=，则π2DFE=，即DFFE⊥，ACFEF=，AC、EF平面ABC，所以DF⊥平面ABC，113313326DBCEBCEVSDF−===!；若2π3F

DE=，则π6DFE=，1DFDE==，取EF中点H，连接DH，则DHEF⊥，因为平面ABC⊥平面DEF，平面ABC平面DEFEF=，而DH平面DEF，所以DH⊥平面ABC，π1sin1sin62DHDFDFE===，所以113133

32212DBCEBCEVSDF−===!.【小问2详解】解：若π3FDE=，以,,FAFEFD为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz−，则(0,0,1)D，(1,0,0)C−，(1,0,0)A，(0,3,0)E，()1,3,0AE=−，113,,02

22EBAE==−，所以B点坐标为133,,022−，(1,0,1)CD=，133,,022CB=，(1,3,0)CE=，设平面BCD一个法向量是()111,,mxyz=，则11110133022mCDxzmCBxy=+=

=+=，取11y=−，则133x=，133z=−，即()33,1,33m=−−，设平面DEC的一个法向量是()222,,xnyz=，则2222030nCDxznCExy=+==+=，取21y=−，则23x=，23z=−，即()3,1,3n=−−，所

以，91919385cos,385557mnmnmn++===，所以平面BCD与平面CDE夹角的余弦值是19385385；若2π3FDE=，以FA为x轴，FE为y轴，过F且平行于HD的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐的标系Fxyz−，则1322FHEF

==，则31(0,,)22D，(1,0,0)C−，(1,0,0)A，(0,3,0)E，()1,3,0AE=−，113,,0222EBAE==−，所以B点坐标为133,,022−，

311,,22CD=，133,,022CB=，(1,3,0)CE=，设平面BCD的一个法向量是()111,,mxyz=，则1111131022133022mCDxyzmCBxy=++==+=，取11y=−，则133x=，153z

=−，即()33,1,53m=−−，设平面DEC的一个法向量是()222,,xnyz=，则222223102230nCDxyznCExy=++==+=，取21y=−，则23x=，23z=−，即()3,1,3n=−−，所以，911525721cos,7211037mnmnmn+

+===，所以平面BCD与平面CDE夹角的余弦值是25721721．综上所述，平面BCD与平面CDE夹角的余弦值为19385385或25721721.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.x

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