【文档说明】立体几何专题：空间几何体表面最短路径问题-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义（人教A版2019必修第二册）（解析版）.docx，共(14)页，1.231 MB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-c36d5e078e87a3c69a4d7eab35e4e102.html

以下为本文档部分文字说明：

立体几何专题：空间几何体表面最短路径问题一、棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图二、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图三、弧长与扇形面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，)20(或n°为其圆心角，则弧长公式与

扇形面积公式如下：类别/度量单位角度制弧度制扇形的弧长180rnl=rl=扇形的面积3602rnS=22121rlrS==四、最短路径问题解题思路1、解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面2、方法总结：解决空间几何体表面最短路径

问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直线展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解。题型一棱柱表面最短路径问题【例1】如图，M是棱长为2cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1

的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.【答案】13【解析】由题意，若以BC为折叠线展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2cm，3cm，故两点之间的距离是13

cm.若以BB1为折叠线展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离是17cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13cm.【变式1-1】长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4

，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线．【解析】沿长方体的一条棱剪开，使A和C1展在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：(1)若将C1D1剪开，使面AB1与面

A1C1共面，可求得AC1＝42＋(5＋3)2＝80＝45.(2)若将AD剪开，使面AC与面BC1共面，可求得AC1＝32＋(5＋4)2＝90＝310.(3)若将CC1剪开，使面BC1与面AB1共面，可求得AC1＝(4＋3)2＋52＝74.相比较可得蚂

蚁爬行的最短路线长为74.【变式1-2】一个火柴盒长、宽、高分别为为3cm、2cm、1cm，一只蚂蚁从火柴盒的一个角A处，沿火柴盒表面爬到另一个角B处，所经过的最短路径长为__________cm.【答案】32【解析】展开火柴盒

所在长方体的表面，使AB在同一个矩形的对角线端点，这样的不同矩形共有三个，其对角线长度分别为：（1）这种情况对角线长为41625+=，（2）这种情况对角线长为12526+=，这种情况对角线长为9932+=所以最短路径32.【变式1-3】如图

正三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴′𝐵′𝐶′的底面边长为√3，高为2，一只蚂蚁要从顶点A沿三棱柱的表面爬到顶点𝐶′，若侧面𝐴𝐴′𝐶′𝐶津贴墙面（不能通行），则爬行的最短距离是（）A、√13B、2+√3C、4D、√3+√7【答案】A【解析】（1）将侧面

𝐴𝐵𝐵′𝐴′与侧面𝐵𝐶𝐶′𝐵′展开，如图：连接𝐴𝐶′，则𝐴𝐶′=√(2√3)2+22=4，（2）将侧面𝐴𝐵𝐵′𝐴′与𝐴′𝐶′𝐵′展开，如图：连接𝐴𝐶′，则𝐴𝐶′=√(√3)2+22−2×√3×2×(−√3

2)=√13.题型二棱锥表面最短路径问题【例2】如图，在三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=30°，PA=PB=PC=4，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（）A.4√2B.4√3C.3√3D.4√

6【答案】A【解析】如图所示：将三棱锥的侧面展开：则∠APA1=90°，所求最短距离为AA1的长度∵PA=4，∴由勾股定理可得𝐴𝐴1=√42+42=4√2.所以虫子爬行的最短距离为4√2【变式2-1】如图，底面为正方形的四棱锥PABCD

−中，四条侧棱相等，且PAAB=，E，F分别为棱PA和PC上的两点，3PE=，6PF=，F处有只蚂蚁欲沿该正四棱锥的侧面爬行到E处，则蚂蚁爬行的最短距离为（）A．35B．52C．37D．9【答案】C【解析】如图所示：因为底面为正方形的四棱锥PABCD−中，四条侧棱相等

，且PAAB=，所以四棱锥PABCD−是正四棱锥且所有的棱都相等，当沿PA，PC剪开展成平面，EF最短，在PEF中，3PE=，6PF=，120EPF=，由余弦定理得2222cosEFPEPFPEPFEPF=+−1936236632=+−−

=，解得37EF=，所以蚂蚁爬行的最短距离为37【变式2-2】正三棱锥PABC−中，90APBBPCCPA===，PAPBPCa===，AB的中点为M，若一只小蜜蜂沿锥体侧面经过棱PB由点M爬到点C，则最短路程是（）A．102aB．22aC．1

(22)2a+D．1(1)25a+【答案】A【解析】由题意，将侧面PAB，PBC展开到一个平面上，如图所示：则ABC中，ABBC⊥，AC2a=，2ABa=，2BCa=，22BMa=，∴22210(2)22CMaaa=+=，即最短路线长是102a.【变式2-3】在四

面体ABCD中，AB=BC=CA=1，DA与直线AB、CA均垂直，且DA=√3，一只蚂蚁从∆𝐴𝐵𝐶的中心沿表面爬至点D，则其爬过的路程最小值为（）A.√393B.√152+√36C.4√33D.√373【答案】A【解析】因为DA⊥AB，DA⊥AC，AB∩AC=

A，所以DA⊥平面ABC，所以平面DAC⊥平面ABC，将底面ABC旋转，以AC为轴，旋转至平面DAC与平面ABC共面，如图：此时OD的直线距离即为最短距离，设O到直线AC的距离为d，则𝑑=13×√12−(12)2=√36.所以𝑂

𝐷=√(12)2+(√3+√36)2=√393.题型三圆柱表面最短路径问题【例3】如图，圆柱的底面半径为1，平面ABCD为圆柱的轴截面，从A点开始，沿着圆柱的侧面拉一条绳子到C点，若绳子的最短长度为3π，则该圆柱的侧面积为（）A．242πB．2

22πC．252πD．24π【答案】A【解析】长方形AEFD为圆柱的侧面展开图，如图所示：由题知：3AC=，2AE=，,BC分别为AE和DF的中点.所以()22322BC=−=.所以圆柱的侧面积为222242=.【变式3-1】如图，已知圆柱1OO的高，平面11ABAB为

圆柱的轴截面，现有一个质点从点A出发，沿着圆柱的侧面绕行两圈半后到达1A点的最短路线的长为26π，则该几何体体积为（）A．2πB．22πC．23πD．24π【答案】A【解析】设圆柱1OO的上下底面的半径r，因为沿着圆柱的侧面绕

行两圈半后到达1A点的最短路线的长为26π，所以可绘出图像，如图所示，则()225ππ26πr+=，解得1r=，则该几何体体积为22π1ππ创=.【变式3-2】边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧

面到相对顶点G的最短距离为________.【答案】2542+【解析】如图，矩形E1F1GH是圆柱沿着其母线EF剪开半个侧面展开而得到的，则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为1GE.由题意可知GH＝5

，152GF＝，所以2212221555422GEFHGG=+＝＝++所以从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是2542+.【变式3-3】如图，某圆柱的高为4，底面周长为16，∠AOB=90°，则在此圆

柱侧面上，从B到C的路径中，最短路径的长度为.【答案】4√2【解析】因为圆柱的高为4，底面周长为16，∠AOB=90°，则在底面圆中𝐴𝐵̂=14×16=4，如图将圆柱的侧面沿着母线AC展开，其侧面展开图是矩形，且矩形的长为16，宽为4在此圆柱的侧面上，从B到C的路径中，最短路径的长度

为展开图中线段BC的长度：𝐵𝐶=√42+42=4√2题型四圆锥表面最短路径问题【例4】如图所示，已知圆锥的母线长为6cm，底面直径为3cm，在母线OA上有一点B，AB＝2cm，求由A点绕圆锥侧面一周到B点的最短距离．【答

案】213【解析】设侧面展开的扇形圆心角为n.由题意知底面周长为3πcm，则6nπ180°＝3π，解得n＝90°.如图，在展开扇形中，∠AOB′＝90°，OB′＝4cm.在Rt△AOB′中，AB′＝AO2＋B′O2＝62＋42＝21

3cm.故由A点绕圆锥侧面一周到B点的最短距离为213cm.【变式4-1】如图，圆锥的母线长为4，点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为25，则此圆锥的表面积为（）A．4B．5C．6D．8【答案】B【解析

】设底面圆半径为r，由母线长4l=，可知侧面展开图扇形的圆心角为22rrl==，将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B，最短距离为BM；如图：在ABM中，25,2,4MBA

MAB===，所以222AMABMB+=,所以2MAB=,故22r==，解得1r=，所以圆锥的表面积为25Srlr=+=.【变式4-2】已知圆锥底面半径为12，母线长为2，点A为底面圆周上一点，若一只蚂蚁从点A出发沿

着圆锥的侧面爬行一周回到A点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．【答案】22【解析】由题意，圆锥底面半径为12，母线长为2，因为圆锥底面半径为12，可得底面周长为1222r==，可得圆锥的侧面展开图为圆心角为90度的扇形，如图所示，则三角形OAB为边长为

2的等腰直角三角形，所以最短距离为||22AB=.【变式4-3】如图所示，一只小蚂蚁正从圆锥底面上的点A沿圆锥体的表面匀速爬行一周，又绕回到点A，已知该圆锥体的底面半径为r，母线长为3r，试问小蚂蚁沿怎样的路径如何爬行，才能最快到达点A?并求出该路径的长.【答案】沿

线段AA爬行；33r.【解析】把圆锥沿过点A的母线展成如图所示的扇形，则蚂蚁爬行的最短路径为线段AA，由题意知，圆锥的底面周长为2r，3VAVAr==，设AVA=，则2233rr==，过V作VCAA⊥于点C，则23AVC==，在RtAVC中，1322rVCVA==，

()2222333322rACVAVCrr=−=−=，所以233AAACr==.所以小蚂蚁沿线段AA爬行，才能最快到达点A，且该路径的长为33r.