【文档说明】立体几何专题：空间几何体表面最短路径问题-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义（人教A版2019必修第二册）（原卷版）.docx，共(7)页，734.021 KB，由管理员店铺上传

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立体几何专题：空间几何体表面最短路径问题一、棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图二、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图三、弧长与扇形面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，)20(或n°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下：类别/度量单位角度制弧度制扇形的弧长180rnl=rl=扇形的面积3

602rnS=22121rlrS==四、最短路径问题解题思路1、解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面2、方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直线展开

，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解。题型一棱柱表面最短路径问题【例1】如图，M是棱长为2cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.【变式1-1】长方体AB

CD­A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线．【变式1-2】一个火柴盒长、宽、高分别为为3cm、2cm、1cm，一只蚂蚁从火柴盒的一个角A处，沿火柴盒表面爬

到另一个角B处，所经过的最短路径长为__________cm.【变式1-3】如图正三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴′𝐵′𝐶′的底面边长为√3，高为2，一只蚂蚁要从顶点A沿三棱柱的表面爬到顶点𝐶′，若侧面𝐴𝐴′𝐶′𝐶津贴墙面（不能通行），则爬行的

最短距离是（）A、√13B、2+√3C、4D、√3+√7题型二棱锥表面最短路径问题【例2】如图，在三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=30°，PA=PB=PC=4，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到

A点，则虫子爬行的最短距离是（）A.4√2B.4√3C.3√3D.4√6【变式2-1】如图，底面为正方形的四棱锥PABCD−中，四条侧棱相等，且PAAB=，E，F分别为棱PA和PC上的两点，3PE=，6PF

=，F处有只蚂蚁欲沿该正四棱锥的侧面爬行到E处，则蚂蚁爬行的最短距离为（）A．35B．52C．37D．9【变式2-2】正三棱锥PABC−中，90APBBPCCPA===，PAPBPCa===，AB的中点为M，若一只小蜜蜂沿锥体侧面经过棱PB由点M

爬到点C，则最短路程是（）A．102aB．22aC．1(22)2a+D．1(1)25a+【变式2-3】在四面体ABCD中，AB=BC=CA=1，DA与直线AB、CA均垂直，且DA=√3，一只蚂蚁从∆𝐴𝐵𝐶的中心沿表面爬至点D，则其爬过的路程最小值为（）A.√393B.√152+√3

6C.4√33D.√373题型三圆柱表面最短路径问题【例3】如图，圆柱的底面半径为1，平面ABCD为圆柱的轴截面，从A点开始，沿着圆柱的侧面拉一条绳子到C点，若绳子的最短长度为3π，则该圆柱的侧面积为（）

A．242πB．222πC．252πD．24π【变式3-1】如图，已知圆柱1OO的高，平面11ABAB为圆柱的轴截面，现有一个质点从点A出发，沿着圆柱的侧面绕行两圈半后到达1A点的最短路线的长为26π，则该几何体体积为（）A．2πB．22πC．23πD．24π【变式3-2】边长为5的正方形EFG

H是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为________.【变式3-3】如图，某圆柱的高为4，底面周长为16，∠AOB=90°，则在此圆柱侧面上，从B到C的路径中，最短路径的长度为.题型四圆

锥表面最短路径问题【例4】如图所示，已知圆锥的母线长为6cm，底面直径为3cm，在母线OA上有一点B，AB＝2cm，求由A点绕圆锥侧面一周到B点的最短距离．【变式4-1】如图，圆锥的母线长为4，点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周

达到B点，这条绳子的长度最短值为25，则此圆锥的表面积为（）A．4B．5C．6D．8【变式4-2】已知圆锥底面半径为12，母线长为2，点A为底面圆周上一点，若一只蚂蚁从点A出发沿着圆锥的侧面爬行一周回到A点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．【变式4-3】如图所

示，一只小蚂蚁正从圆锥底面上的点A沿圆锥体的表面匀速爬行一周，又绕回到点A，已知该圆锥体的底面半径为r，母线长为3r，试问小蚂蚁沿怎样的路径如何爬行，才能最快到达点A?并求出该路径的长.