【文档说明】江苏省扬州市邗江区、宝应县、仪征市高一下学期期中学业质量监测数学试题（教师版）.doc，共(9)页，703.500 KB，由小赞的店铺上传

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扬州市邗江区、宝应县、仪征市2021年第二学期期中学业质量监测高一数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列复数中，纯虚数是（）AA．22iB．2－2iC．(2i)2D．5i+82．1tan(45)－＋cos60°

=（）BA．32B．－12C．22D．33．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形ABO，若1OB=，那么原△ABO的面积是（）CA．12B．22C．2D．224．已知向量a=(3，4)，b=(8，6)，c=(2，

k)，且a∙c=b∙c，则k的值为（）DA．－4B．4C．5D．－55．已知：α，β均为锐角，tanα=12，tanβ=13，则α+β＝（）B注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共6页，包含单项选择题（共8题）、多项选择题（共4题）、填空题（共4题）、解答题（共6题），

满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。3．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指

定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。A．π6B．π4C．π3D．5π126．“全民健身活动周”中，某长跑运动员沿公路向正北方向前进时,看见正西方向有两个相距1500m的地标恰好与它在一条直线上，继续

前进3分钟后,看见一地标在他的南偏西60°方向上，另一地标在他的南偏西75°方向上，则他跑步的速度是（）CA．125米/分B．1253米/分C．250米/分D．2503米/分7．设向量a，b，c满足|a|=|b|=1，a∙b=－12，a－c，b－

c的夹角为60°，则|c|的最大值等于（）AA．2B．3C．2D．18．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，∠ABC=120o，直线BD交AC于点D，将△ABC分成两部分，且∠CBD=3∠ABD，BD=1，则a＋2c的最小值为（）DA

．823B．42C．43D．833二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9．设向量a，b满足|a|=|b|=1，且|b－2a|=5，则以下结

论正确的是（）ACA．a⊥bB．|a＋b|=2C．|a－b|=2D．向量a，b夹角为60o10．设f(α)=sinxα＋cosxα，x∈{n|n=2k，k∈N＋}，下列结论正确的是（）ABCDA．x=2时，f(α)的取值范围为{1}，B．x=4时，f(α)的取值范围为[12,1

]，C．x=6时，f(α)的取值范围为[14,1]，D．对于x∈{n|n=2k，k∈N＋}，f(α)的取值范围为[112k−,1]，11．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知(b＋c)：(c＋a

)：(a＋b)=4：5：6，下列结论正确的是（）ABDA．cosB+cosC=127，B．若AD为BC边上的角平分线，则AD→=58AB→＋38AC→，C．BC边上的中线长为192，D．若b＋c=8，则△ABC的外接圆半径是733，12．瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一，他发现

了被人们称为“世界上最完美的公式”——欧拉公式：eiθ=cosθ＋isinθ（其中i是虚数单位，e是自然对数的底数），它也满足实数范围内指数的运算性质，下列结论正确的是（）ABCA．|4e5i|=4，B．i2020

+2021i=2021π2e−，C．若复数eiθ∙πi3e的虚部为53，θ∈(0,π)，则(eiθ)2的实部为12518－，D．已知z1=πi3e，z2=eiθ，复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，则三角形OZ1Z2面积

的最大值为32.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知a,b∈R，i是虚数单位．若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2=▲.3＋4i14．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1

D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为▲.60°15．已知sin(α－π6)=13，α∈(0,π)，则tan(2α－π12)=▲.8156217+（第14题图）16．践行“劳动教育”系列活动中，某班学生被分配剪“六芒星”彩纸，如图，“六芒星”是由两个边

长为3的全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），若OP→=xOA→＋yOB→，当x＋y取得最大值时，OP→∙OA→的值是▲.32四、解答题：本大题共6小

题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）已知复数z满足z∙z–=2，且z的虚部为－1，z在复平面内所对应的点在第四象限.（1）求z；（2）若z，z2在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，求∠OAB.【解析】（1）设复数z=x－i（x，y∈

R），因为z∙z–=2，，所以x2＋1=2，得x=1或x=－1，……………………………2分又z在复平面内所对应的点在第四象限，所以z=1－i；……………………………4分（2）z2=(1－i)2=－2i，……………………………6分所以A(1,－1)，B(0,－2)，O(0,

0)，AO→=(－1,1)，AB→=(－1,－1)，…………………8分所以cos∠OAB=AO→∙AB→|AO→||AO→|=0，所以∠OAB=π2.……………………………10分18．（本小题满分12分）已知cos(π6＋α)∙cos(π3－α)=－14，α∈(π3，

π2).（1）求sin2α的值；（2）求tanα－1tanα的值．【解析】（1）∵cos(π6＋α)·cos(π3－α)＝cosπ6＋α·sin(π6＋α)＝12sin(2α＋π3)＝－14，………2分∴s

in(2α＋π3)＝－12.∵α∈π3，π2，∴2α＋π3∈π，4π3，……………………………6分∴cos(2α＋π3)＝－32，∴sin2α＝sin[(2α＋π3)－π3]＝sin(2α＋π3)cosπ3－cos(2α＋π3)

sinπ3＝12.……………………………8分（2）∵α∈(π3，π2)，∴2α∈(2π3，π)，又由(1)知sin2α＝12，∴cos2α＝－32.……………………………10分∴tanα－1tanα＝sinαcosα－cosαsinα

＝sin2α－cos2αsinαcosα＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝23.………12分19．（本小题满分12分）已知向量a=(cos32x，sin32x)，b=(cos2x，－sin2x)，且x∈(

0，π2)．（1）求a∙b及|a＋b|；（2）若f(x)=a∙b－2λ|a＋b|的最小值为－32，求正实数λ的值．【解析】（1）a∙b=cos32xcos2x－sin32xsin2x=cos2xa＋b=(cos32x＋cos2

x，sin32x－sin2x)……………………………2分|a＋b|2=(cos32x＋cos2x)2＋(sin32x－sin2x)2=2+2cos2x=4cos2x．……………………………4分又x∈(0

，π2)，则cosx≥0，因此|a＋b|=2cosx．……………………………6分（2）由（1）知f(x)=cos2x﹣4λcosx＝2cos2x﹣4λcosx﹣1，则f(x)=2(cosx﹣λ)2﹣1﹣2λ2，cosx∈[0，1]，……………………………8分①当0＜λ＜1时，当cosx=

λ时，f(x)有最小值﹣1﹣2λ2=－32，解得λ=12．…………10分②当λ≥1时，当cosx=1时，f(x)有最小值1﹣4λ=－32，解得λ=58（舍去），综上可得λ=12．……………………………12分20．（本小题满分12分）如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60

°．（1）求|AB→|；（2）已知点D是AB上一点，满足AD→=λAB→，点E是边CB上一点，满足BE→=λBC→．①当λ=12时，求AE→∙CD→；②是否存在非零实数λ，使得AE→⊥CD→？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）|AB→|=3……………………………

2分（2）①λ=12时，AD→=12AB→，BE→=12BC→，则D、E分别是BC，AB的中点，∴AE→=AC→+CE→=AC→+12CB→，CD→=12(CA→+CB→)，…4分∴AE→∙CD→=(AC→+12CB→)∙12(CA→+CB→)=12A

C→∙CA→+12AC→∙CB→+14CB→∙CA→+14CB→2=14；……………………………6分②假设存在非零实数λ，使得AE→⊥CD→，由AD→=λAB→，得CD→=(1﹣λ)CA→+λCB→，ABCDE又BE→=λBC→，∴AE→=﹣CA→+(1﹣λ)CB→，…………………………

…8分∴AE→∙CD→=λ(1﹣λ)CB→2﹣λCB→∙CA→+(1﹣λ)2CB→∙CA→﹣(1﹣λ)CA→2=4λ(1﹣λ)﹣λ+(1﹣λ)2﹣(1﹣λ)=﹣3λ2+2λ=0，……………………………10分解得λ=23或λ=0（不合题意，舍去）；即存在非零实数λ=23，使得AE→⊥CD→

．……………………………12分21．（本小题满分12分）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD的麦田

里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设△ABD中边BD所对的角为A，△BCD中边BD所对的角为C，经测量已知AB=BC=CD=2，AD=23.（1）若∠C=60°，求∠A；（2）霍尔顿发现无论BD多长，3cosA﹣cosC为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定

值；（3）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记△ABD与△BCD的面积分别为S1和S2，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出S12+S22的最大值.【解析】（1）由BC=CD=2，∠C=60°，所以△BCD是等边三角形，所以BD

=2，cosA=2222ABADBDABAD+−=32，因为0<A<180°，所以A=30°………………………………2分ABCD（2）在△ABD中，由余弦定理得BD2=16﹣83cosA，在△BCD中，由余弦定理得BD2=8

﹣8cosC，…………………4分则8(3cosA﹣cosC)=8，3cosA﹣cosC=1；…………………6分（3）S1=23sinA，S2=2sinC，则S12+S22=16﹣(12cos2A+4cos2C)，………

……………8分由（2）知：3cosA=cosC+1，代入上式得：S12+S22=﹣24cos2A+83cosA+12，………………10分配方得：S12+S22=﹣24(cosA﹣36)2+14，因为0<A<π2，0<cosA<1，当cosA=36时，S12+S22取到最大值14.

……………………………12分22．（本小题满分12分）已知A，B，C为平面内不共线的三点，S△ABC表示△ABC的面积（1）若A(3,1)，B(﹣23,2)，C(0,0)，求S△ABC；（2）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(0,0)，证明：S△AB

C=12|x1y2﹣x2y1|；（3）若A(2cos,sin)，B(2cosβ,sinβ)，C(2cosγ,sinγ)，其中，且坐标原点O恰好为△ABC的重心，判断S△ABC是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【

解析】（1）因为A(3,1)，B(﹣23,2)，C(0,0)，，所以CA→=(3,1)，CB→=(﹣23,2)，所以S△ABC=12|CA→|CB→|∙sinC=4sinC，因为cosC=﹣12，所以sinC=32，所以S△ABC=23.……………………………2分（2）因为A(x

1,y1)，B(x2,y2)，C(0,0)，所以CA→=(x1,y1)，CB→=(x2,y2)，所以S△ABC=12|CA→|CB→|∙sinC……………………………4分因为cosC=112121222222xxyyxyxy+++，所以1﹣cos2C=1﹣(112121222222xxyyxyx

y+++)2，所以sinC=112122122222||xyxyxyxy−++，所以S△ABC=12|CA→|CB→|∙sinC=12|x1y2﹣x2y1|；……………………………6分（3）因为O为△ABC的重心，所以S

△ABC=3S△ABO，由(2)可知S△ABC=12|xAyB﹣xByA|=|sin(﹣β)|…………………8分又因为O为ABC的重心，所以2cos2cos2cos=03sinsinsin=03++++，

平方相加得：2+2cos(﹣β)=1，cos(﹣β)=﹣12……………………………10分所以|sin(﹣β)|=32，所以S△ABC=332，所以S△ABC是定值，值为332.………………………

……12分