【文档说明】四川省绵阳南山中学2021-2022学年高二下学期4月月考数学（文）试题 含解析.docx，共(23)页，988.620 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-c31dcd759c784a15492b5b11687f3b8e.html

以下为本文档部分文字说明：

绵阳南山中学2022年高二4月月中评估数学试题（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项足符合题目要求的）1.函数()2fxx=在区间1,2−上的平均变化率为（）A.-1B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】直接利用平均变

化率公式2121()()fxfxxx−−进行求值.【详解】因为()2fxx=，所以()fx在区间1,2−上的平均变化率为(2)(1)4112(1)3ff−−−==−−.故选：B【点睛】本题考查函数的平均变化率，考查运算求解能力，属于基础题.2.已知复数

(12)zii=−，则z的共轭复数z的虚部为（）A.2B.1C.1−D.2−【答案】C【解析】【分析】由已知复数等式求复数z，进而写出共轭复数z，即可确定虚部.【详解】由题设，2(12)22ziiiii=−=−=+，即2zi=−，其虚部为1−.故选：C3.不等式“1

22x”是“2log1x”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别解不等式后即可判断.【详解】由122x，可得1x−，充分性不成立；由2log1x，可得2x，可得1124x

，必要性成立．故选：B4.已知命题p：xR，sin1x；命题q：xR，e1x，则下列命题中为真命题的是（）A.pqB.pqC.pqD.()pq【答案】A【解析】【分析】根据题

意，分析p、q的真假，即可得答案.【详解】对于命题p，当0x=时，sin01x=，p是真命题；对于命题q，Rx，0x，必有0ee1x=，q是真命题，故p、q都是真命题，由复合命题的真假可得A选项正确，其他错误.故选：A．5.已知函数2()

2cosfxxx=−，则12(0),,33fff−的大小关系是（）A.12(0)33fff−B.12(0)33fff−C.21(0)33fff−D.21(0)33fff−

【答案】A【解析】【分析】判断()fx的奇偶性，利用导数判断(0,1)上的单调性，根据单调性以及奇偶性比较大小即可.【详解】易知2()2cosfxxx=−为偶函数∴1133ff−=

∵()22sinfxxx+=，当(0,1)x时，()0fx，∴()fx在(0,1)上为增函数∴12(0)33fff∴12(0)33fff−故选：A6.函数2()2ln||fxxx=−的部分图像大致为（）A

.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性的定义，结合函数极限以及利用导数求得函数单调性，即可判断和选择.【详解】容易得()fx定义域为()(),00,−+关于原点对称，又2()2ln||()fxxxfx=−=−，故函数()fx

是偶函数，()fx的图象关于y轴对称，故排除B，又0lim()xfx→→+，故排除D.当0x时，()14fxxx=−，令()0fx=，解得12x=；故当10,2x时，()fx单调递减，在1,2+单

调递增.此时111ln0222f=−故排除C.故选：A.【点睛】本题考查函数图象的辨识，涉及函数奇偶性、单调性的判断，属综合基础题.7.下面是“神舟七号”宇宙飞船从发射到返回的主要环节：①箭船分离；②出舱行走；③点火发射；

④返回地球；⑤轨道舱和返回舱分离.图中正确的是（）A.③→⑤→②→①→④B.③→⑤→②→④→①C.③→①→②→⑤→④D.④→⑤→②→①→③【答案】C【解析】【分析】细读题意，根据流程图的表示方式及生活实际：先将所给环节根据生活实际排序，再用流程图表示出来即可.

【详解】结合生活实际可得，神舟七号”宇宙飞船从发射到返回的主要环节的步骤为：③点火发射；①箭船分离；②出仓行走；⑤航道舱和返回舱分离；④返回地球.用流程图表示出来为C选项的形式.故选：C.【点睛】本题是一道关于流程图的题目，解答本题的关键是熟悉流程图的概念

，细读题意，根据流程图的表示方式及生活实际是解答本题的基本方法，属于基础题.8.已知函数()lnafxxx=+，直线3yx=−+与曲线()yfx=相切，则=a（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】

【分析】设切点为()00,xy,利用导数的几何意义与()00,xy在()lnafxxx=+与3yx=−+上联立求解即可.【详解】设切点为()00,xy,则()21'afxxx=−,又直线3yx=−+与曲线()yfx=相切故20000000113lnaxxyxayxx−=−

=−+=+,消去0y有0000003ln3lnaaxxxxxx−+=+=−+−,代入第一个式子有()0000013ln2ln20xxxxx−−+−=−+−=易得01x=.代入20011axx−=−有2a=.故选：B【点

睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.9.一个矩形铁皮的长为16cm，宽为10cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为()cmx，小盒子的容积

为()3cmV，则（）A.当2x=时，V有极小值B.当2x=时，V有极大值C.当203x=时，V有极小值D.当203x=时，V有极大值【答案】B【解析】【分析】求出小盒子的容积，通过求导判断函数的极值情况可得答案.【详解】小盒子的容积为()32(162)(102)45216005Vxxxx

xxx=−−=−+，所以212104160Vxx=−+，令0V=得2x=，或203x=舍去，当02x时，0V，(x)V单调递增，当25x时，0V，(x)V单调递减，所以当2x=时(x)V有极大值为144.故选：B.10.已知曲线()()exfxxa=+

在点()()1,1f−−处的切线与直线210xy+−=垂直，则实数a的值为（）A.2eB.e12+C.e2−D.e2.【答案】D【解析】【分析】根据两直线垂直斜率的关系，可求出切线斜率，然后求导，根据导数的几何意义用含a的式子表示出斜率，列方程求解即可.【详解】由题意得，切线和210xy+−=垂

直，切线斜率显然存在，设为k，根据直线垂直的斜率关系可得，21k−=−，那么切线斜率12k=，由导数的几何意义：1(1)2f−=，而()()e(e1)exxxxaxfxa++=++=，11(1)e2fa−−==，解得e2a=.故选：D11.已知函数()2lnfxxax=+的图象在(1，f

（1）)处的切线经过坐标原点，则函数y=f(x)的最小值为（）A.11ln222−B.1ln24+C.11ln222+D.1【答案】C【解析】【分析】利用导数的几何意义求出1a=−，从而可得()2lnfxxx=−，求出导函数，利用导数判断出函数的单调性，由单调性即可

求出最值.【详解】函数()2lnfxxax=+，则()2n11l11fa=+=且()2afxxx=+，所以()12fa=+，所以()()1011210ffa−===+−，解得1a=−，所以()2lnfxxx=−，（0x）()12fxxx=−，令()0fx，即120xx−，解得

22x，令()0fx，即120xx−，解得202x，所以函数在区间20,2上单调递减，在区间2,2+上单调递增.所以()2min2221211lnlnln22222222fxf==−=−=+

.故选：C12.设函数2()()()fxxxax=−−R，当3a时，不等式()22(sin1)sinfkfk−−−−对任意的[1,0]k−恒成立，则的可能取值是（）A.3−B.43C.2−D.56【答案】D【解析】【分析】利用导数求得函数()fx的单调

性，得到222sin11,1sin1kk−−−−−−，把不等式恒成立，转化为得22211sinsin124kkk−−+=+−对任意的[1,0]k−恒成立，求得1sin12−，结合选项，即可求解．【详解】由题意，函数2()()fxxxa=−−，可得()(3)

()fxxaxa=−−−，令()0fx=，解得3ax=或xa=，当3a时，可得3aa，所以()fx在,3a−，[,)a+上单调递减，在,3aa上单调递增，又当3a时，13a，所以()fx在(,1]−上为减函数，又[

1,0],sin[1,1]k−−，所以222sin11,1sin1kk−−−−−−，由不等式()22(sin1)sinfkfk−−−−对任意的[1,0]k−恒成立，得22211sinsin124kkk

−−+=+−对任意的[1,0]k−恒成立，所以21sinsin14−−−恒成立，解得13sin22−，即1sin12−，结合选项知，可得可能取值是56．的故选：D．【点睛】易错警示：利用单调性解决

相关应用问题时，要注意单调区间的判定，当自变量都在同一个单调区间内才能利用相应的单调性，解题时防止漏证导致解题错误．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13.已知()0fxm=，则()()0003l

imxfxxfxx→−−=_________．【答案】3m−【解析】【分析】利用导数的定义可得答案．【详解】∵()0fxm=，∴原式()()00Δ03Δ3lim3Δxfxxfxx→−−=−−()033fxm=−=−．故答案为：3m−14.已知函数()212ln2fxxaxax=−−在

(1,2)上单调递减，则实数a的取值范围是______.【答案】4,5+【解析】【分析】根据题意求出()fx的导函数()fx，然后令()fx在(1,2)上小于等于零恒成立，由二次函数的性质求出函数值的范围，即可得到a

的取值范围．【详解】由()212ln2fxxaxax=−−可得：22()2axaxafxxaxx−−=−−=，函数()212ln2fxxaxax=−−在(1,2)上单调递减，22()0xaxafxx−−=在(1,2)上恒成立

，2()20gxxaxa=−−在(1,2)上恒成立，根据二次函数图像的性质可知要使2()20gxxaxa=−−在(1,2)上恒成立，则：(1)130(2)450gaga=−=−，解得：1345aa，a的取值范围是4,5+，故答案为4,5+

【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性的知识，考查学生转化划归思想的运用能力，属于中档题．15.点P是曲线2lnyxxx=+−上任意一点，则点P到直线220xy−−=的最短距离为_________.【答案】255【解析】【分析】当P为与直

线220xy−−=平行且与曲线相切切线的切点时，点P到直线220xy−−=的距离最短，根据导数几何意义求得点P坐标，最后根据点到直线距离公式得结果.【详解】设20xym−+=与函数2lnyxxx=+−的图象相切于点P（x0，y0）.121yx

x=+−Q所以001212xx+−=，00x，解得01x=，02y=∴点()1,2P到直线220xy−−=的距离为最小距离2222555d−−==，故答案为：255.16.已知函数3232,0(),0xxxx

fxxex−+=−，若方程()0fxa−=有两个不相等的实根，则实数a的取值范围可以是___________.【答案】(24,00,2e−【解析】【分析】分段求导得到函数单调区间，画出函

数图像，()0fxa−=，即()fxa=，根据图像得到答案.的【详解】当0x时，()332fxxx=−+，()()()233311fxxxx=−=−+，令()0fx=，解得11x=，21x=−(舍去).)0,1x，()0fx，()fx为减函数，()1,x+

，()0fx¢>，()fx为增函数.()()min10fxf==.当0x时，()2xfxxe=−，()()222xxxfxxexexex=−−=−+，令()0fx=，解得10x=，22x=−(),2x−−，()0fx，()fx为减函数，()2,

0x−，()0fx¢>，()fx为增函数.()()2min42fxfe=−=−，且当x→−时，()0fx→.函数()fx的图像如图所示：因为方程()0fxa−=有两个不相等的实根，等价于函数()yfx=与ya=有2个交点

，所以240ae−或02a.故答案为：(24,00,2e−.【点晴】关键点睛：本题考查了函数的零点问题，利用导数求出单调区间得到函数图像是解题的关键.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17—21题为必考

题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分17.已知p：260xx−−+，q：312xm+−．（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）当1m=

时，若()pq为真，()pq为假，，求实数x的取值范围．【答案】（1）3,2+（2）()1,23−【解析】【分析】（1）解出两个命题中的不等式，p是q的充分不必要条件，则p是q的真子集，解不等式组即可；（2）由题意p，q中

一真一假，分类讨论求实数x的取值范围．【小问1详解】因为命题p：260xx−−+，所以3x−或2x，所以p为：32xx−，命题q：312xm+−，解得2121mxm−−−，所以命题q为：|2121xmxm−−

−，若p是q的充分不必要条件，则p是q的真子集，所以321221mm−−−−，解得32m．实数m的取值范围为3,2+小问2详解】当1m=时，命题q：31x−，若()pq为真，()pq为假，则p，q中一真一假，当p真q假时，即

323xxxx−−或112xxx=．当p假q真时，即3xx−或2313xxx−=−，所以实数x的取值范围为()1,23−．【18.已知函数2()xx

fxe=．（1）求函数()fx单调区间；（2）求函数()fx在区间1,2−+上的值域．【答案】（1）单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(,0),(2,)−+；（2）240,e．【解

析】【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出函数的极值点，从而求出函数的最值即可．【详解】解：（1）由题意得，(2)()xxxfxe−=，令()0fx，得02x，令()0fx，

得2x或0x，故函数()fx的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(,0),(2,)−+．（2）易知241(0)0,(2),24efffe==−=，因为2221416(2)244eeeffee−−−=−=222221628

(22)(22)0422eeeeeee−−+−==,所以1(2)2ff−．（或由244(2)9fe=，1343,24494ef−=可得1(2)2ff−）,又当0x时，2()0xxfxe=，所以函数()fx在区间1,2−+上的

值域为240,e．【点睛】确定函数单调区间的步骤：的第一步，确定函数()fx的定义域；第二步，求'()fx；第三步，解不等式'()0fx，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式'()0fx，解集在定义域内的部分为单调递减区间．19.已

知函数()()2lnfxabxxxx=−−−．（1）若曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线与x轴平行，且()1fa=，求,ab的值；（2）若1a=，()0fx对()0,x+恒成立，求b的取值范围．【答案】（1）01ab==−；（2）(,0b−【解析】

【分析】（1）对()fx求导，()10f=，()1fa=解方程组求出a，b即可．（2）将1a=代入，利用参变分离可以将问题转化为1ln1xbxx−−在()0,+恒成立，求出()1ln1xgxxx=−−的最小值，令()minbgx即可．【详解】（1）()()2lnfxabxxxx=−−−，(

)()2ln2fxabxx−=−−，由()()()111220fabafab=−−==−−=，得01ab==−，（2）因为1a=，()()21lnfxbxxxx=−−−，()0fx等价于1ln1xbxx−−，令()1l

n1xgxxx=−−，()2lnxgxx=，当()0,1x时，()0gx，所以()gx在()0,1上单调递减，当()1,x+时，()0gx，所以()gx在()1,+上单调递增，所以()()min10gxg==，所以(,0b−.【点睛】本题考查了导数的几何

意义，函数单调性，函数的最值问题，属于中档题．20.工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式1000020Cx=+，每日的销售额R（单位：元）与日产量x满足函数关系式：321290,1203020400,120xaxxxRx−++

=，已知每日的利润yRC=−，且当30x=时100y=−．（1）求a的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．【答案】（1）3a=（2）当日产量为90吨时每日的利润可以达到最大值14300元【解析】【

分析】（1）由题意列出利润y与日产量x满足函数关系式，由当30x=时100y=−，求出a的值；（2）由利润y与日产量x满足函数关系式，利用导数研究函数单调性，求出最大值及取最大值的条件.【小问1详解】由题意可得，32127010000,0120301040

020,120xaxxxyxx−++−=−因为30x=时100y=−，所以3211003030270301000030a−=−++−．解得3a=.【小问2详解】当0120x时，32132701000030y

xxx=−++−，21627010yxx=−++，由216270010yxx=−++=可得：190x=，230x=−（舍）所以当()0,90x时，0y，原函数是增函数，当()90,120x时，0y，原函数是减函数，

所以当90x=时，y取得最大值14300．当120x时，10400208000yx=−．所以当日产量为90吨时每日的利润可以达到最大值14300元．21.已知函数21()ln(1)2fxxaxax=+++.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）设函数()fx图象上不重合

的两点()112212,,(,)()AxyBxyxx.证明：12'()2ABxxkf+.（ABk是直线AB的斜率）【答案】（1）①当0a时，函数()fx在(0,)+上单调递增；②当a<0时，函数()fx在1(0,)a−上单调递增，在1(,)a−+上单调递减.（

2）证明见解析【解析】【分析】（1）先由题意，得到函数定义域，对函数求导，分别讨论0a和a<0两种情况，解对应的不等式，即可得出其单调性；（2）根据斜率公式，由题意，得到1212121212lnln()(1)2AByyxxaxxkaxxxx−−+==+

++−−，再由()1212122()(1)22axxxxfaxx++=++++，将证明的问题转化为证明()11212121222(1)2ln1xxxxxxxxxx−−=++，令12(1)xttx=

，即证(1,)t+时，2(1)ln1ttt−+成立，设2(1)()ln,(1)1tgtttt−=−+，对其求导，用导数的方法求其范围，即可得出结果.【详解】（1）函数()fx的定义域为(0,)+，且21(1)1(1)(

1)()(1)axaxaxxfxaxaxxx+++++=+++==①当0a时，1()(1)0fxaxax=+++，此时()fx在(0,)+单调递增；②当a<0时，令()0fx=可得1xa=−或=1

x−（舍），10a−，由()0fx得10xa−，由()0fx得1xa−，所以()fx在1(0,)a−上单调递增，在1(,)a−+上单调递减.综上：①当0a时，函数()fx在(0,)+上单调递增；②当a<0时，函数()fx在1

(0,)a−上单调递增，在1(,)a−+上单调递减.（2）由题意得221111222211ln(1),ln(1)22yxaxaxyxaxax=+++=+++，所以2211122212121211ln(1)(ln(1))22ABxaxaxx

axaxyykxxxx+++−+++−==−−121212lnln()(1)2xxaxxaxx−+=+++−又()1212122()(1)22axxxxfaxx++=++++，要证12()2ABxxkf+成立，即证：121212lnln2xxxxxx−−+成立，即证：()1

1212121222(1)2ln1xxxxxxxxxx−−=++成立.令12(1)xttx=，即证(1,)t+时，2(1)ln1ttt−+成立.设2(1)()ln,(1)1tgtttt−=−+则22214(1)()0,(1)(1)(1)tgtttt

tt−=−=++所以函数()gt在(1,)+上是增函数，所以(1,)t+，都有()(1)0gtg=，即(1,)t+，2(1)ln1ttt−+，所以122ABxxkf+

【点睛】本题主要考查用导数的方法判定函数单调性，以及用导数的方法证明不等式恒成立，通常需要对函数求导，用导数的方法求函数单调区间，以及最值等，属于常考题型.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做．则按所做的第一题计分．[选修4-

4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：224cos4sinxy==，（θ为参数），C2：1,1xttytt=+=−（t为参数）.（1）将C1，C2的参数方程化

为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.【答案】（1）()1:404Cxyx+=；222:4Cxy−=；（2）17cos5=.【解析】【分析】（1）分别消去参数和t即可得到所求普

通方程；（2）两方程联立求得点P，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】(1)[方法一]：消元法由22cossin1+=得1C的普通方程为4(04)xyx+=．由参数方程可得22,+=−=xytxyt，两式相乘得普通方程为224x

y−=．[方法二]【最优解】：代入消元法由22cossin1+=得1C的普通方程为4(04)xyx+=，由参数方程可得2+=xyt，代入1xtt=+中并化简得普通方程为224xy−=．(2)[方法一]：

几何意义+极坐标将1,1xttytt=+=−代入4xy+=中解得2t=，故P点的直角坐标为53,22P．设P点的极坐标为()00,P，由222tanxyyx=+=得0342=，03tan5=，0534cos34=．故所求圆

的直径为172cos5==r，所求圆的极坐标方程为2cosr=，即17cos5=．[方法二]：由224,4xyxy+=−=得5,23,2xy==所以P点的直角坐标为53,22

P．因为225334||222=+=OP．设圆C的极坐标方程为2cosa=，所以55cos2||34==OP，从而3452234=a，解得1725=a．故所求圆的极坐标方程

为17cos5=．[方法三]：利用几何意义由224,4xyxy+=−=得5,23,2xy==所以P点的直角坐标为53,22P，化为极坐标为34,2P，其中5c

os34=．如图，设所求圆与极轴交于E点，则90OPE=，所以17cos5==OPOE，所以所求圆的极坐标方程为17cos5=．[方法四]【最优解】：由题意设所求圆的圆心直角坐标为(,0)a，则圆

的极坐标方程为2cosa=．联立2240,4xyxy+−=−=得5,23,2xy==解得53,22P．设Q为圆与x轴的交点，其直角坐标为(2,0)Qa，O为坐标原点．又因为点,(0,0),(2,0)POQa都在所求圆上且OQ为圆的直径，所以0OP

PQ=，解得1710a=．所以所求圆的极坐标方程为17cos5=．[方法五]利用几何意义求圆心由题意设所求圆的圆心直角坐标为(,0)a，则圆的极坐标方程为2cosa=．联立22404xyxy+−=−=得5232xy==，即P点的

直角坐标为53,22P．所以弦OP的中垂线所在的直线方程为106170+−=xy，将圆心坐标代入得1060170+−=a，解得1710a=．所以所求圆的极坐标方程为17cos5=．【整体点评】(1)[方法一

]利用乘积消元充分利用了所给式子的特征，体现了解题的灵活性，并不是所有的问题都可以这样解决；[方法二]代入消元是最常规的消元方法之一，消元的过程充分体现了参数方程与普通方程之间的联系.(2)[方法一]利用几何意义加极坐标求解极坐标方程是充分利用几何思想的提现，能提现思维的；[方法二]首先确定

交点坐标，然后抓住问题的本质，求得2a的值即可确定极坐标方程；[方法三]首先求得交点坐标，然后充分利用几何性质求得圆的直径即可确定极坐标方程；[方法四]直径所对的圆周角为2是圆最重要的性质之一，将其与平面向量垂直的充分必要条件想联系进行解题时一种常见的方法；[方法五]圆心

和半径是刻画圆的最根本数据，利用几何性质求得圆心的坐标即可确定圆的方程.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()221fxxx=−+−.（1）求不等式()3fx的解集；（2）记函数()fx的最小值为m，若a，b，c均为正实数，且12abcm++

=，求222abc++的最小值.【答案】（1）0xx或2x（2）1【解析】【分析】（1）分12x、122x、2x三种情况解不等式()3fx，综合可得出原不等式的解集；（2）分析函数()fx的单

调性，可求得m的值，然后利用柯西不等式可求得222abc++的最小值.【小问1详解】当12x时，()212333fxxxx=−+−=−，解得0x，此时0x；当122x时，()22113fxxxx=−+−=+，解得2x，此时x；当2x时，(

)221333fxxxx=−+−=−，解得2x，此时2x.综上所述，不等式()3fx的解集为0xx或2x.【小问2详解】由（1）可知()133,211,2233,2xxfxxxxx−=+−，所以，函

数()fx的单调递减区间为1,2−，单调递增区间为1,2+，所以，1322mf==，即1322abc++=，所以，223abc++=，因为a、b、c均为正实数，由柯西不等式可得

()()()2222222122229abcabc++++++=，所以，2221abc++，当且仅当22bca==时，等号成立，因此，222abc++的最小值为1.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com