【文档说明】八年级数学第13讲 因式分解之公式法完全平方-【暑假辅导班】新八年级数学暑假精品课程（华师大版）（解析版）.doc，共(11)页，338.500 KB，由管理员店铺上传

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1第13讲因式分解之完全平方【学习目标】1.掌握完全平方公式及用法2.灵活运用公式分解因式【基础知识】考点一、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即

()2222aabbab++=+，()2222aabbab−+=−.形如222aabb++，222aabb−+的式子叫做完全平方式.考点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减

）这两数之积的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式.考点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取

公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．考点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；

（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【考点剖析】考点一：公式法——完全平方公式2例1．下列各式中，能利用完全平方公式分解因式的是（）．A．221xx−++B．221xx−+−C．221xx−−D．224xx−+【思路】根据完全平方公

式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍，对各项分析判断后利用排除法求解.【答案】B；【解析】A、221xx−++其中有两项-x2、12不能写成平方和

的形式，不符合完全平方公式特点，故本选项错误；B、2221(1)xxx−+−=−−，符合完全平方公式特点，故本选项正确；C、221xx−−其中有两项x2、-12不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式特点，故本选项错误；D

、224xx−+，不符合完全平方公式特点，故本选项错误.【总结】本题主要考察了能用完全平方公式分解因式的式子特点，熟记公式结构是解题的关键.举一反三：【变式】若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值是（

）A．﹣1B．7C．7或﹣1D．5或1【答案】C.例2、分解因式：（1）21449xx++；（2）29124xx−+；（3）214aa++；（4）22111162abab−+．【答案】解：（1）22221449277(7)xxxxx++=++=+．（2）22229124(3)2322(

32)xxxxx−+=−+=−．（3）2222111124222aaaaa++=++=+．（4）222221111112111162444ababababab−+=−+=−

．【总结】本题的关键是掌握公式的特征，套用公式时要注意把每一项同公式的每一项对应．举一反三：【变式】分解因式：3（1）29()12()4abab+−++；（2）222()()aabcbc++++；（3）21025aa−

−；（4）22()4()()4()xyxyxyxy+++−+−．【答案】解：（1）29()12()4abab+−++22[3()]23()22abab=+−++22[3()2](332)abab=+−=+−．（2）222()()aabcbc++++22[()]()a

bcabc=++=++．（3）()2210251025aaaa−−=−−+2(5)a=−−．（4）22()4()()4()xyxyxyxy+++−+−22()2()2()[2()]xyxyxyxy=+

++−+−gg22[()2()](3)xyxyxy=++−=−．例3、分解因式：（1）2234162xyxyy++；（2）4224168aabb−+；（3）222(3)(1)xxx+−−．【答案】解：（1）2234162xyxyy++222

22()()1624xxyxyyyy=++=+．（2）4224168aabb−+222222(4)[(2)(2)](2)(2)ababababab=−=+−=+−．（3）222(3)(1)xxx+−−22(31)(31)xxxxxx=++−+−+2222(41)(21)(41)(

1)xxxxxxx=+−++=+−+．【总结】分解因式的一般步骤：一“提”、二“套”、三“查”，即首先有公因式的提公因式，没有公因式的套公式，最后检查每一个多项式因式，看能否继续分解．举一反三：【变式】分解因

式：（1）224()12()()9()xaxaxbxb++++++．（2）22224()4()()xyxyxy+−−+−．4（3）2244xyxy−−+；（4）322344xyxyxy++；（5）()()2222221xxxx−+−+；【答案】解：（1）原式22[

2()]22()3()[3()]xaxaxbxb=++++++22[2()3()](523)xaxbxab=+++=++．（2）原式22[2()]22()()()xyxyxyxy=+−+−+−22[2(

)()](3)xyxyxy=+−−=+．（3）原式()()222442xyxyxy=−+−=−−（4）原式＝()()222442xyxxyyxyxy++=+（5）原式()()242211xxx=−+=−考点二：配

方法例4、已知：x+y=3，xy=﹣8，求：（1）x2+y2（2）（x2﹣1）（y2﹣1）．【思路】（1）原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值；（2）原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后将各自的值代入计算即可求出值．【答案】解：（1）∵x+y=3，xy=﹣8，∴

原式=（x+y）2﹣2xy=9+16=25；（2）∵x+y=3，xy=﹣8，∴原式=x2y2﹣（x2+y2）+1=64﹣25+1=40．【总结】要先观察式子的特点，看能不能将式子进行变形，以简化计算.举一反三：【变式】已知x为任意有理数，则多项式x－1－142x的值为（）．A．一定为负数

B．不可能为正数C．一定为正数D．可能为正数，负数或05【答案】B；提示：x－1－142x＝221111042xxx−−+=−−.【真题演练】1.把多项式x2﹣6x+9分解因式，结果正确的是（）A．（x﹣3）2B．（x﹣9）2C．（x+3）（x﹣3）

D．（x+9）（x﹣9）【答案】A2．2()nmxy−是下列哪一个多项式分解的结果（）A．22nmxy−B．2nnmmxxyy−+C．222nnmmxxyy−+D．2nnmmxxyy−−【答案】C；【解析】2222()nnmmnmxxyyxy−+=−.3.已知a+b=3，

ab=2，则a2+b2的值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】C；【解析】解：∵a+b=3，ab=2，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=32﹣2×2=5，故选C.4.如果222536amabb++可分解为()256ab−,那么m的值为().A

.30B.－30C.60D.－60【答案】D；【解析】()22256256036abaabb−=−+.65.如果229xkxyy++是一个完全平方公式，那么k是（）A.6B.－6C.±6Ｄ.18【答案】C；【解析】()22222229239

693xkxyyxxyyxxyyxy++=+=+=.6.下列各式中，是完全平方式的是（）A.2991xx−−B.2691yy−++Ｃ.2169yy−−D.2931yy−−【答案】B；【解析】()2269131yyy−+

+=−.二.填空题7.若()22416−=+−xmxx，那么________m=．【答案】8；【解析】()224816xxx−=−+.8.因式分解:()()225101abab−+−+＝____________.【答案】()2551ab−+；【解析】()()()()()222251015

251551ababababab−+−+=−+−+=−+.9.分解因式：x2﹣4x+4=．【答案】（x﹣2）210.将4x2+1再加上一项，使它成为（a+b）2的形式（这里a、b指代的是整式或分式），则可

以添加的项是．【答案】4x，﹣4x，．【解析】解：①4x2是平方项时，4x2±4x+1=（2x±1）2，可加上的单项式可以是4x或﹣4x，②当4x2是乘积二倍项时，4x4+4x2+1=（2x2+1）2，可加上的单项式可以是

4x4，③1是乘积二倍项时，，7可加上的单项式可以是，故答案为：4x，﹣4x，．11.分解因式：()()154aa+++＝_____________.【答案】()23a+；【解析】()()()22154693aaaaa+++=++=+.12.（1）()()225=aa−+

；（2）()()22412mmn−+=.【答案】（1）255,42a−；（2）29,23nmn−.三.解答题13.若13xx+=，求221xx+的值.【解析】解：222222111222327xxxxxx

+=++−=+−=−=.14.已知x﹣y=1，x2+y2=25，求xy的值．【解析】解：∵x﹣y=1，∴（x﹣y）2=1，即x2+y2﹣2xy=1；∵x2+y2=25，∴2xy=25﹣1，解得xy=12．15.把()()3322xyxy

xxyy+=+−+称为立方和公式，()()3322xyxyxxyy−=−++称为立方差公式，据此，试将下列各式因式分解:(1)38a+；(2)3271a−.【解析】解：（1）()()333282224aaaaa+=+=+−

+（2）()()()3322713131931aaaaa−=−=−++.8【过关检测】一.选择题1.若22(3)16xmx+−+是完全平方式，则m的值为（）A．－5B．7C．－1D．7或－1【答案】D；【解析

】由题意，3m−＝±4，71m=−或.2．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（）①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x2﹣2x﹣1；④；⑤．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C；【解析】

②③⑤不能用完全平方公式分解.3.如果24aabm−−是一个完全平方公式，那么m是（）A.2116bB.2116b−C.218bD.218b−【答案】B；【解析】222211142222aabmaabbab−−=−+=−，所以2144mb−=，

选B.4.已知a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D；【解析】解：由题意可知a﹣b=﹣1，b﹣c=﹣1，a﹣c=﹣2，所求式=（2a2+2b2+2c2﹣

2ab﹣2bc﹣2ca），=[（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）]，=[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，=[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]，9=3．故选D．5.若3ab+=，则222

426aabb++−的值为（）A.12B.6C.3D.0【答案】A；【解析】原式＝()222623612ab+−=−=.6.若x为任意实数时，二次三项式26xxc−+的值都不小于0，则常数c满足的条件是（）A.0cB.9cC

.0cD.9c【答案】B；【解析】()()22639xxcxc−+=−+−，由题意得，90c−，所以9c.二.填空题7．分解因式：4x2﹣4xy+y2=．【答案】（2x﹣y）2【解析】4x2﹣4xy+y2=（2x）2﹣2×2x•y+y2=（2x﹣y）2．8.因式分解:()222224mnm

n+−＝_____________.【答案】()()22mnmn+−；【解析】()()()()()22222222222422mnmnmnmnmnmnmnmn+−=+++−=+−.9.因式分解:2221xxy++−＝_____________.【答案

】()()11xyxy+++−【解析】()()()222221111xxyxyxyxy++−=+−=+++−.10.若224250xyxy+−++=，xy+＝_____________.【答案】1；【解析】()()2222425

210xyxyxy+−++=−++=，所以2,1xy==−，1xy+=.11.当x取__________时，多项式2610xx++有最小值_____________.【答案】－3，1；10【解析】()2261031xxx++=++，当3x=−时有最

小值1.12.如果实数x、y满足2x2﹣6xy+9y2﹣4x+4=0，那么=．【答案】．【解析】解：可把条件变成（x2﹣6xy+9y2）+（x2﹣4x+4）=0，即（x﹣3y）2+（x﹣2）2=0，因为x，y均是实数，∴x﹣

3y=0，x﹣2=0，∴x=2，y=，∴==．故答案为．三.解答题13.若44225abab++=，2ab=，求22ab+的值.【解析】解：44224422222ababababab++=++−()22222abab=+−将2ab=代入(

)222225abab+−=()()2222222259abab+−=+=∵22ab+≥0，∴22ab+＝3.14.已知a+=，求下列各式的值：（1）（a+）2；（2）（a﹣）2；（3）a﹣．【解析】解：（1）

把a+=代入得：（a+）2=（）2=10；11（2）∵（a+）2=a2++2=10，∴a2+=8，∴（a﹣）2=a2+﹣2•a•=8﹣2=6；（3）a﹣=±=±．15.若三角形的三边长是abc、、，且满足2222220abcabbc

++−−=，试判断三角形的形状.小明是这样做的：解：∵2222220abcabbc++−−=，∴2222(2)(2)0aabbcbcb−++−+=.即()()220abbc−+−=∵()()220,0abbc−−，∴,ab

bcabc====即.∴该三角形是等边三角形.仿照小明的解法解答问题：已知：abc、、为三角形的三条边，且2220abcabbcac++−−−=，试判断三角形的形状.【解析】解：∵2222222220abcabbcac++−−−=∴()()()2222222220aabbbbccaac

c−++−++−+=()()()2220abbcac−+−+−=∴000abbcac−=−=−=∴abc==，该三角形是等边三角形.