【文档说明】安徽省六安第一中学2024届高三适应性考试数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，1.398 MB，由小赞的店铺上传

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六安一中2024届高三年级适应性考试数学试卷命题人：高三数学学科组（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅

笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.样本数据16

，20，21，24，22，14，18，28的75%分位数为（）A.16B.14C.23D.22【答案】C【解析】【分析】由百分位数的定义求解即可.【详解】由小到大排列为14，16，18，20，21，22，24，28，一共有8个数据，80.7

56=，所以75%分位数为()12224232+=．故选：C．2.已知复数z满足2i1iz=+，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数除法求出复数z，再求出z即可得解.【详解】依题意，2i(1i)2

2i1i(1i)(1i)2z−+===++−，所以1iz=−在复平面内对应的点(1,1)−位于第四象限.故选：D3.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）A.若//m,//n,则//mn；B.若m

,n,//mn,则//；C.若m⊥，//n，则mn⊥；D.若m，n，//m，//n,则//．【答案】C【解析】【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．【

详解】若//m，//n，则//mn或m与n相交或m与n异面，故A错误；若m，n，//mn，则//或与相交，故B错误；若m⊥，//n，由直线与平面垂直的性质可得mn⊥，故C正确；若m，n，//m

，//n，当m与n相交时，有//，否则，与不一定平行，故D错误．故选：C．4.已知直线:32lyxm=+与双曲线22:1(0)2xyCmmm−=+的一条渐近线平行，则C的右焦点到直线l的距离为（）A.2B.3C.31+D.4【答案】C【解析】【分析】根据双

曲线方程求出渐近线，解得m的值，从而求得右焦点到直线l的距离即可.【详解】双曲线22:1(0)2xyCmmm−=+的渐近线方程为2myxm+=，因为直线:32lyxm=+与双曲线C的一条渐近线平行，所以23mm+=，解得1m=，

所以双曲线C的右焦点坐标为(2,0)，所以C的右焦点到直线l的距离为|232|3131+=++.故选：C.5.某电子竞技队伍由1名队长、1名副队长与3名队员构成，按需要担任第1至5号位任务，由于队长需要分出精力指挥队伍，所以不能担任1号位，副队长是队伍输出核心，必须担

任1号位或2号位，则不同的的位置安排方式有（）A.36种B.42种C.48种D.52种【答案】B【解析】【分析】按：“特殊元素（位置）优先法”解决.先分类：按副队长担任1号位和2号位分成两类；再分步：

副队长担任1号位时，其余4个位置没有任何限制，副队长担任2号位时，先从3名队员中选1人担任1号位，其他3个位置无任何限制.【详解】若副队长担任1号位，其他位置就没有任何限制，有44A24=种安排方式；若副队

长担任2号位，则从3名队员中选1人担任1号位，后面的3个位置无限制条件，有1333AA3618==种安排方式.所以一共有：241842+=种安排方式.故选：B6.已知数列na为等比数列，且11a=，916a=

，设等差数列nb的前n项和为nS，若55ba=，则9S=（）A.－36或36B.－36C.36D.18【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的通项公式求得44q=，继而求得55ba=的值，利用等差数列前n项和公式进行计算

即可.【详解】数列na为等比数列，设公比为q，且11a=，916a=，则89116aqa==，则44q=，则45514baaq===，则()199599362bbSb+===，故选：C.7.在平面直角坐

标系xOy中，设()2,4A，()2,4B−−，动点P满足1POPA=−，则tanPBO的最大值为（）A.22121B.42929C.24141D.22【答案】C【解析】【分析】设出点(),Pxy，利用数量积的坐标表示得到点P的轨迹，结合直线与圆的关系进行求解即可.【详解

】设(),Pxy，则(),POxy=−−，()2,4PAxy=−−，则()()241POPAxxyy=−−−−=−，即222410xxyy−+−+=，化为()()22124xy−+−=，则点P的轨迹为以()1,2D为圆心，半径为2的圆，又44222OBODkk−====−

，所以,,BOD三点共线，显然当直线PB与此圆相切时，tanPBO的值最大.又223635,2BDPD=+==,则2245441PBBDPD=−=−=,则2241tan4141PDPBOPB===.故选：C.8.

设椭圆()221112211:10xyCabab+=与双曲线()222222222:10,0yxCabab−=有相同的焦距，它们的离心率分别为1e，2e，椭圆1C的焦点为1F，2F，1C，2C在第一象限的交点为P

，若点P在直线yx=上，且1290FPF=，则221211ee+的值为（）A.2B.3C.2D.3【答案】A【解析】【分析】设椭圆与双曲线相同的焦距为2c，先根据题意得出点P的坐标()22,022ccc，再将点P分别代

入椭圆和双曲线的方程中，求离心率，即可得解.【详解】设椭圆与双曲线相同的焦距为2c，则2222221122,abcabc−=+=，又1290FPF=，所以1212OPFFc==，又点P在第一象限，且

在直线yx=上，所以()22,022Pccc，又点P椭圆上，所以22221122221ccab+=，即22222112ccaac+=−，整理得422411240aacc−+=，两边同时除以4c，得2221111

2410ee−+=，解得2114164212242e−==，因为101e，所以211222e+=，同理可得点P在双曲线上，所以22222222221ccab−=，即2222222

2ccaca−=−，解得222122(1)2ee−=，所以2212112222222ee+−+=+=，故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为在3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不

同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（）A.A与D相互独立.B.A与B相互独立C.B与D相互独立D.A与C相互独立【答案】BCD【解析】【分析】根据相互独立事件的概念进行判定.【详解】不放回依次取出两个，基本事件

有12,13,14,23,24,34,21,31,41,32,42,43，共12种，事件A=“13,14,23,24,31,41,32,42”；事件B=“12,13,14,21,23,24”；事件C=“12,21,31,41,32,42”；事件D

=“12,21,34,43”.事件AD=，事件AB=“13,14,23,24”，事件BD=“12,21,”，事件AC=“31,41,32,42”，则()()8261,123122PAPB====，()61122PC==，()41123PD==，()0PAD=，()41123PAB==

，()21126PBD==，()41123PAC==，所以()()()PADPAPD，所以A与D不相互独立；()()()PABPAPB=，所以A与B相互独立；()()()PBDPBPD=，所以B与D相互独立；()()()PACPAPC=，所以A与C相互独立；故选：

BCD10.已知函数()sincossincosfxxxxx=++−，则下列关于函数()fx的说法，正确的是（）A.()fx的一个周期为π2B.()fx的图象关于π2x=对称C.()fx在ππ,44−上单调递增D.()

fx的值域为2,2【答案】ABD【解析】【分析】利用函数的对称性与周期性结合诱导公式可判定A、B，再根据A、B结论及三角函数的图象与性质可判定C、D.【详解】对于A，根据诱导公式可知：πππππsincossincos22222fxxxxx

+=+++++−+()sincossincosxxxxfx=−++=，故()fx的一个周期为π2，即A正确；对于B，根据诱导公式可知：()()()()()πsinπcosπsinπcosπfxxx

xx−=−+−+−−−()sincossincosxxxxfx=−++=，所以()fx的图象关于π2x=对称，即B正确；对于C，易知()()()()()sincossincosfxxxxx−=−+−+−−−()sincossincosxxxxfx=−++=，即(

)fx为偶函数，当π0,4x时，()()sincoscossin2cosfxxxxxx=++−=，显然此时函数单调递减，由偶函数的对称性可知π,04x−时函数单调递增，故C错误；由B结论可知ππ,44−为()fx的一个周期，

此区间上()()()maxminπ02,24fxffxf====，故D正确.故选：ABD11.在三棱锥DABC−中，平面ABC⊥平面ABD，2ABACBCBDAD=====，则（）A.三棱锥DABC−的体积为1B.点C到直线AD的距离为154

C.二面角BADC−−的正切值为2D.三棱锥DABC−外接球的球心到平面ABD的距离为33【答案】ACD【解析】【分析】对A：取AB的中点G，面面垂直的性质定理及等体积法计算即可得；对B、C：结合中位线的性质构造出点C到直线AD的

距离CF，结合勾股定理计算即可得其长度，亦可得二面角BADC−−的平面角，即可得其正切值；对D：设出外接球球心及ABD△，ABC的外心M，K，结合线面垂直的性质定理可得四边形OMGK为矩形，从而可计算出OM，即可得解.【详解】对A：如图，取AB的中点G，连接DG

，CG，因为平面ABC⊥平面ABD，且平面ABC平面ABDAB=，CG平面ABC，又因为ABAC=，所以CGAB⊥，所以CG⊥平面ABD，因为3232CG==，所以111322313322DABCABDVSC

G−===△，故A正确；对B、C：取AD的中点E，连接BE，取AE的中点F，连接FG，CF，因为F，G分别为AE，AB中点，则FG//BE，又因为ABBD=，所以BEAD⊥，所以FGAD⊥，因为CG⊥平面ABD，

AD平面ABD，所以CGAD⊥，又CGFGG=，CG，FG平面CFG，所以AD⊥平面CFG，又因为CF平面CFG，则ADCF⊥，则点C到直线AD的距离为()2222315322CFCGFG=+=+=，则CF

G为二面角BADC−−的平面角，tan2CGCFGFG==，B错误，C正确；对D：设ABD△，ABC的外心分别为M，K，则GKAB⊥，又平面ABD⊥平面ABC，GK平面ABC，所以GK⊥平面ABD，设三棱锥DABC−外接球的球心为O，则OK⊥平面ABC，OM⊥平面

ABD，所以四边形OMGK为矩形，则13OMGKCG===33，故三棱锥DABC−外接球的球心到平面ABD的距离为33，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.()522xx

y+−的展开式中52xy的系数为______（用数字作答）.【答案】120【解析】【分析】根据二项式展开式有关知识求得正确答案.【详解】由于()22522xyxyx=，所以()522xxy+−的展开式中含52xy的项为()()2222

11252532C2CC120xxyxy−=，所以()522xxy+−的展开式中52xy的系数为120.故答案为：12013.已知ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且6a=，4sin5sinBC=，当2AC=

时，ABC的周长为________.【答案】15【解析】【分析】运用正弦定理可得45bc=，再次根据正弦定理以及()2sin3sin4cos1CCC=−可得cosC的值，进而得sinC和sinA，再次运用正弦定理即可得到所求周长.【详解】由6a=，4sin5sinBC=，2AC=，可得3BC=

−，由正弦定理可得45bc=，可得54cb=，而()sin3sin2coscos2sinCCCCC=+()2sincoscoscos2sinCCCCC=+()()22sin2coscos2sin4cos1CCCCC=+=−由sinsinbcBC=，可得()2554

4sin(3)sinsin4cos1cccCCCC==−−，由sin0C，可得：254cos41C−=，解得：3cos4C=或34−（舍去），27sin1cos4CC=−=，可得3737sin2sincos2448ACC===，可得

：637874c=，可得：4c=，5b=，则15abc++=，故答案为：15.【点睛】本题考查三角形的正弦定理的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化思想和运算能力，属于难题14.用x表示不超过x的最大整数，已知数列

na满足：143a=，()211nnnaaa+=−−，*nN.若0=，2=−，则na=________；若1==，则202411iia==________.【答案】①.223n−，②.2【解析】【分析】当0=，2=−时，利用构造法可得出数列2

na−是等比数列，求出12223nna−−=−，进而得出na；当1==时，由题目中的递推关系式可得1nnaa+，111111nnnaaa+=−−−，20252a，即可求解.【详解】当0=，2=−时，

()121nnaa+=−，即()1222nnaa+−=−，则数列2na−是以1223a−=−为首项，2为公比的等比数列.所以12223nna−−=−，即223nna=−当1==时，()211nnnaaa+=−−，即()11

1nnnaaa+−=−，且()2110nnnaaa+−=−，故1nnaa+，故1413naa=，故()2110nnnaaa+−=−，∴111nnaaa+，10na−，所以()11111111nnnnnaaa

aa+==−−−−，所以111111nnnaaa+=−−−.因为143a=，所以202411220241111iiaaaa==+++122320242025111111111111aaaaaa=−+−++−−−−−−−

120251111aa=−−−2025131a=−−由143a=，()211nnnaaa+=−−可得：2139a=，313381a=，46916126561a+=.因为1nnaa+，所以20252a，20251011a−，则202411

2iia==.故答案为：223n−；2.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与数列的综合，数列的通项公式及前n项和.利用构造法即可求解第一空；借助递推关系式得出1nnaa+，111111nnnaaa+=−−−，20252a是解答第二空的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应

写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.有5个型号和形状完全相同的纳米芯片，已知其中有两件是次品，现对产品随机地逐一检测.（1）求检测过程中两件次品不相邻的概率；.（2）设检测完后两件次品中间相隔正品的个数为X，求X的分布列和数学期望.【答案】（1）35（2）分布列见

解析，()1EX=【解析】【分析】（1）用插空法求出符合条件的事件数，再由古典概型计算可得；（2）依题意X的可能取值为0、1、2、3，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.【小问1详解】记检测过程中两件次品不相邻为事件B，依题意即将5个芯片排列，

其中两件次品不相邻概率，所以()323455AA3A5PB==.【小问2详解】依题意X的可能取值为0、1、2、3，所以()242455AA20A5PX===，()12332355AAA31A10PX===，()22232255AAA22A10PX===，()232355AA13A1

0PX===，所以X的分布列为：X0123P2531015110所以()2321012315101010EX=+++=.16.已知函数()lnfxxax=−，()2gxax=，0a.（1）求函数()fx的单调区间；（2）若0a且()()f

xgx恒成立，求a的最小值.【答案】（1）答案见解析（2）32e.【解析】的【分析】（1）求导后，利用导数与函数单调性的关系，对0a与0a分类讨论即可得；（2）结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.【小问1详解】()11ax

fxaxx−=−=（0a），当0a时，由于0x，所以()0fx恒成立，从而()fx在()0,+上递增；当0a时，10xa，()0fx；1xa，()0fx，从而()fx在10,a上递增，在1,a+递减；综上，当0a时，()fx

的单调递增区间为()0,+，没有单调递减区间；当0a时，()fx的单调递增区间为10,a，单调递减区间为1,a+.【小问2详解】令()()()2lnhxfxgxxaxax=−=−−，

要使()()fxgx恒成立，只要使()0hx恒成立，也只要使()max0hx.()()()221212axaxhxaxaxax−+−=−+=，由于0a，0x，所以10ax+恒成立，当20xa时，()0hx

，当2xa+时，()0hx，所以()max22ln30hxhaa==−，解得：32ea，所以a的最小值为32e.17.如图，ACDE为菱形，2ACBC==，120ACB=，平面ACDE⊥平面ABC，点F在AB上，且2AFFB=，,M

N分别在直线,CDAB上．（1）求证：CF⊥平面ACDE；（2）把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若60EAC=，MN为直线,CDAB的公垂线，求ANAF的值.【答案】（1）证明见解析（2）91

3【解析】【分析】（1）由余弦定理可求得23AB=，可得1233CFCACB=+，两边平方可求得CF，由勾股定理的逆定理可证CFAC⊥，利用面面垂直的性质可证CF⊥平面ACDE；（2）建立空间直角坐标系，设23(2,,0)3ANAF==−，CMCD=，则(,0,3)

M−，利用公垂线可得·22304·44203MNCDMNAF=−−−==−−+=，求解即可.【小问1详解】222222cos22222cos12012ABACBCACBCACB=+−=+−=，所以23,2ABAFFB==，所以

433AF=，所以1233CFCACB=+，22214449993CFCACBCACB=++=，222416433ACCFAF+=+==，则CFAC⊥，又因为平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE平面ABCACCF=，平面ABC，故CF⊥平面ACDE；【小问2

详解】在平面ACDE中过C作直线zAC⊥，以C为原点，CA的方向为x轴正方向，CF的方向为y轴正向，直线z为z轴，建立如图所示空间直角坐标系Cxyz−，由60EAC=，可得120DCA=，2DC=，所以()()()230,0,0,1,0,3,2,0,0,0,,03CDAF−

，所以23(2,,0),(1,0,3)3AFCD=−=−，设23(2,,0)3ANAF==−，则2322,,03N−，设CMCD=，则(,0,3)M−，23(22,,3)3MN=−+−，由题知·22304·44203

MNCDMNAF=−−−==−−+=，解得913=，213=−，故913ANAF=.18.已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，3,2Mm−为C上一点，且32

MF=.（1）求C的方程；（2）过点()4,0P且斜率存在的直线l与C交于不同的两点,AB，且点B关于x轴的对称点为D，直线AD与x轴交于点Q.（i）求点Q的坐标；（ii）求OAQ与OAB的面积之和的最小值.【答案】（1）23yx=（

2）（i）(4,0)Q−；（ii）86【解析】【分析】（1）由条件结合抛物线的定义列方程求,pm，由此可得抛物线方程；（2）（i）设l的方程为4xmy=+，联立方程组并化简，设112222(,),(,),(,)AxyBxyDxy−，应用韦达定

理得1212,yyyy+，写出直线AD方程，求出它与x轴的交点坐标即得；（ii）由（i）的结论计算三角形面积和，结合基本不等式求其最值．【小问1详解】由题意可得322924pmpm+==，解得32p

=，所以C的方程为：23yx=；【小问2详解】（i）由已知可得直线l的斜率不为0，且过点()4,0，故可设的直线l的方程为4xmy=+，代入抛物线23yx=的方程，可得23120ymy−−=，方程23120ymy−−=的判别

式2Δ9480m=+，设11(,)Axy，22(,)Bxy，22(,)Dxy−不妨设10y，则12123,12yymyy+==−,所以直线AD的方程为：121112()yyyyxxxx+−=−−，即121112()()yyyyxxmyy+−=−−即()11123yy

xxyy−=−−，令0y=，可得()()212113yyyxy−−=−，所以()()2121112312xyyyyyy=−−+==−，所以4x=−所以(4,0)Q−；（ii）如图所示，可得111114222OAQSOQyyy===，12121144

2222OABSyyyy=+=+，所以OAQ与OAB的面积之和1121222242OAQOABSSSyyyyy=+=++=+1111111224244242486yyyyyy−=+=+=当且仅当11244yy=时，即16y=时，等号成立，所以OAQ与OA

B的面积之和的最小值为86.【点睛】方法点睛：本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质、及直线与抛物线的位置关系的综合应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较

好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。19.已知na是等差数列，255316,4aaaa+=−=．（1）求na的通项公式和()1212Nnniian−−=．（2）设nb是等

比数列，且对任意的*Nk，当1221kkn−−时，则1knkbab+，（Ⅰ）当2k时，求证：2121kkkb−+；（Ⅱ）求nb的通项公式及前n项和．【答案】（1）21nan=+，1121234nnniia−−=−=；（2）(Ⅰ)证明见解析

；(Ⅱ)2nnb=，前n项和为122n+−.【解析】【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得13,2ad==，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前n项和公式计算

可得1121234nnniia−−=−=.(2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当1221kkn−−时，knba，取12kn−=，当21221kkn−−−时，nkab，取121k

n−=−，即可证得题中不等式；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前n项和公式即可计算其前n项和.【小问1详解】由题意可得25153251624aaadaad+=+=−==，解得132ad==，则数列na

的通项公式为()1121naandn=+−=+，求和得()()11121212112222122121nnnnnnnniiiiaii−−−−−−−====+=+−−+()()()1111222122212nnnnn−−−−=++++++−+()11

11222122342nnnnn−−−−+−=+=.【小问2详解】(Ⅰ)由题意可知，当1221kkn−−时，knba，取12kn−=，则11222121kkkkba−−=+=+，即21kkb+，当21221kkn−−−时，nkab

，取121kn−=−，此时()1121221121kkknaa−−−==−+=−，据此可得21kkb−，综上可得：2121kkkb−+.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：2121kkkb−+，111212

1kkkb+++−+则数列nb的公比q满足11121321322+21212121kkkkkkkkbqb+++−+=−=++−−=，当*,Nkk→+时，3322,2+22121kk−→→−+，所以2q=，所以1121212kkkb−−+

，即11111211222122221kkkkkkb−−−−−=+=−+，的当*,Nkk→+时，111122,2222kk−−−→+→，所以12b=，所以数列的通项公式为2nnb=，其前n项和为：()121

22212nnnS+−==−−.【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前n项和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益.