【文档说明】北京市顺义牛栏山第一中学2024届高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，949.169 KB，由小赞的店铺上传

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牛栏山一中2023-2024学年度第一学期10月月考高三数学试卷一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1.已知全集=+1>0Uxx，集合=2>0Axx−，则UA=ð（）A.(,2−B.(),2−C.(1,2−D.()

1,2−【答案】C【解析】【分析】先分别写出集合,AU，在根据补集定义求解.【详解】依题意，=>1Uxx−，=>2Axx，根据补集的定义：(=1<2=1,2UAxx−−ð.故选：C2.命题“0x，使得21x”的否定为（）A

.0x，使得21xB.0x，使得21xC.0x，都有21xD.0x，都有21x【答案】C【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定定义得出选项．【详解】命题“0x，使得21x”的否定为“0x

，都有21x”故选：C3.若abc，则（）A.acab−−B.abc+C.abc+D.abbc−−【答案】A【解析】【分析】对A，由不等式的基本性质可证明，对B、C、D通过举例可判断.【详解】对A，

由abc，可得cb−−，从而有acab−−成立，故A正确；对B、D，若3,2,1abc===，则abc=+，abbc−=−，故B、D不正确；对C，若1,2,3abc=−=−=−，则abc+=，故C不正确.的故选：A4.下列函数在定义域内单调递增是（）

A.1yx=−B.tanyx=C.lgyx=−D.12yx=【答案】D【解析】【分析】根据函数解析式结合基本的性质逐个分析判断.【详解】对于A，定义域为(,0)(0,)−+，函数1yx=−在(,0)−上单调递增，在(0,

)+上单调递增，但在定义域内不单调递增，如当11−，而(1)1(1)1ff−==−，所以A错误，对于B，定义域为+,Z2xxkk，函数tanyx=在,(Z)22kkk−++上单调递增，但在定义域内不单调递增，所以B错误，对于C，定义域为(0,)

+，函数lgyx=−在(0,)+上单调递减，所以C错误，对于D，定义域为[0,)+，函数12yx=在[0,)+上单调递增，所以D正确，故选：D5.已知函数()ln4fxxx=+−，在下列区间中，包含()fx零点的区间是（）A.（0，1）B.（1，2）C

.（2，3）D.（3，4）【答案】C【解析】【分析】判断函数的单调性，以及f（2），f（3）函数值的符号，利用零点存在性定理判断即可．【详解】函数()ln4fxxx=+−，是增函数且为连续函数，又f（2）ln2240=+−，f（3）ln3340=+−，可得

()()230ff所以函数()ln4fxxx=+−包含零点的区间是(2,3)．故选：C．【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单的调函数；（2）函数是否连续.6.已知平面向量()1,2a=−，()3,1b=

−，(),ctt=，若()acb+，则=t（）A.52B.14C.54−D.74−【答案】C【解析】【分析】先求出+ac的坐标，再由()acb+列方程可求出t的值.【详解】因为()1,2a=−，(),ctt=，所以()1,2actt+

=−++，因为()3,1b=−，()acb+，所以1231tt−++=−，解得54t=−，故选：C7.已知数列na是无穷项等比数列，“321aaa”是“na单调递增”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】

【分析】根据等比数列的通项公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】因为na单调递增，所以321aaa，所以必要性成立；因为数列na是无穷项等比数列，且321aaa，所以1112aaqqa，当10a时，则21qq解得1q，此时

0na，所以()112nnaqan−=，即()12nnaan−；当10a时，则21qq解得01q，此时0na，所以()112nnaqan−=，即()12nnaan−，综上所述，()12nnaan−即na单调递增，所以充

分性成立，则“321aaa”是“na单调递增”的充分必要条件，故选：C8.点声源在空间中传播时，衰减量LD（单位：dB）与传播距离r（单位：米）关系式为2π10lg4rL=，则r从5米变化到40米时，衰减量的增加值约为（）参考数

据：lg20.3A.24dBB.18dBC.16dBD.12dB【答案】B【解析】【分析】根据对数的运算法则化简计算即可求得增加值.【详解】由已知2π10lg4rL=，所以r从5米变化到40米衰减量的增加值为2240π5π10lg10lg=10lg

6444−，整理得610lg64=10lg2=60lg218.故选：B9.在边长为1的正六边形ABCDEF中，点P为其内部或边界上一点，则ADBP的取值范围为（）A.1,1−B.1,3−C.3,1−D.3,3−

【答案】B【解析】【分析】根据向量的共线表示以及平面向量基本定理，可表达出=2ADBP，结合图形特征以及数量积的运算即可求解.【详解】延长,EDBC交于O点，过P过PQ⊥BC交BC于Q，过D过DN⊥BC交BC于N，过A过AM⊥BC交BC于M，的在RtCND中，π3=sin=32DNDC，在

RtBND中，3==tan302DNBN，易得π==,3DCOCDO所以DCO是等边三角形，所以===ODCDOCAB，因为//ODAB，所以四边形ODAB是平行四边形，所以2ADBOBC==，因为BPBQQPBCND=+=+，其中130222−，，所以()

2=2+=2+2ADBPBCBCNDBCBCND，因为BCND⊥，所以=0BCND，所以=2ADBP，当P点与D点重合时，此时312==，,ADBP取得最大值为3；当P点与A点重合时，此时1=,=12−，ADBP取

得最小值为1−，ADBP的取值范围是[1,3]−．故选：B10.已知函数()()sin2fxx=+，若()fxm+的图像关于坐标原点对称，()fxn+的图像关于y轴对称，则mn+的最小值为（）A.π4B.π2C.3π4D.【答案】A【解析】【分析】根据条件列关系式求m

，n，结合绝对值三角不等式求mn+的最小值，可得结论.【详解】因为()()sin2fxx=+，所以()()sin22fxmxm+=++，()()sin22fxnxn+=++，因为()fxm+的图像关于坐标原点对称，()fxn+的图像关于y轴对

称，所以12mφkπ+=，222πnφkπ+=+，1Zk，2Zk，所以1=2km−，2+2=2kn−，所以()12+=24kkmnmn−−−，1Zk，2Zk，当且仅当m，n异号或0mn=时等号成立，所以+4mn，当且仅当12kk=，且m，n异号或0mn=时等号成立，所以

mn+的最小值为π4，故选：A.二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.函数()3xfxx=−的定义域为______．【答案】)()0,33,+【解析】【分析】由二次根式以及分式有意义的条件即可求解.【详解】由题意自

变量x应满足030xx−，解得0x且3x，所以函数()3xfxx=−的定义域为)()0,33,+.故答案为：)()0,33,+.12.已知+,abR，212ab+=，则ab的最大值为__________．【答案】18【解析】【分析】122abab

=，而212ab+=是定值，可利用基本不等式的变形：22xyxy+进行求解.【详解】由基本不等式，22112126182222ababab+===，当且仅当+2=12=2abab取到等号，即6

,3ab==时，ab的最大值是18.故答案为：1813.已知为第二象限角，11sin14=，则πsin3+__________．【答案】17−【解析】【分析】利用同角关系式以及两角和的正弦公式即得.【详解】因为a是第二象限角，且11sin14

=，所以53cos14a=−，故1111π5331sin3214247a+=−=−.故答案为：17−.14.已知数列na的通项公式为nann=+，*nN，且na为单调递增数列，则实数的取值范围是__________．【答案】(,2)−【解析】【分析】根

据数列na为单调递增数列，可得到相应的不等式恒成立，即可求得答案.【详解】∵数列na的通项公式为nann=+,数列na是递增数列，∴1nnaa+−1101(1)nnnnnn−=++−−=+++，*nN恒成立即2n

n+，*nN恒成立，而*2,Nnnn+随n的增大而增大，即当=1n时，*2,Nnnn+取得最小值2，则2，所以实数的取值范围是(,2)−，故答案为：(,2)−.15.已知函数()2+2

+1,0=22,>0xaxaxxfxx−，有下面四个命题：①当0a时，()fx在1,1−单调递减；②若()fx恰有两个不同的零点，则0a；③若函数()()gxfxk=−恰有4个不同的

零点1x，2x，3x，4x，则12340xxxx+++；④对于任意的aR，函数()()1hxfx=−恰有3个不同的零点．其中，全部正确命题的序号为__________．【答案】①③【解析】【分析】①先判断0,0ax时，()fx的函数解析式和

在1,0−的单调性，然后判断()fx在0x时的函数解析式和单调性，然后再比较两段单调函数在=0x处的函数值，判断其单调性即可；②分别计算0,0,0aaa=时，()fx恰有两个不同的零点的a的取值即可；③先利用0x时，()()gxfxk=−为二次函数，计算出两个根之和为其对称轴

x取值的两倍，然后再计算0x时的两根的关系为34224xx+=，然后利用均值不等式，得到342xx+，然后利用不等式的性质，得到12340xxxx+++；④当=0a时，()()1hxfx=−显然不会恰有三个零点，所以错误.【详解】①0,0ax时，函数221ya

xax=++开口向下且对称轴为1x=−，所以()fx在1,0−单调递减，其最小值为()01f=，当01x时，()2222xxfx=−=−，由复合函数的单调性可知此时()fx单调递减，且=0x时()0222210

xf−=−==，所以当1,1x−时，()fx单调递减，故①正确；②当=0a时，()1,0=22,>0xxfxx−，显然()fx没有两个零点，当0x时，令()=0fx，得()220xfx=−=，解

得=1x，所以当0x时，()fx恰有一个零点，要使()fx恰有两个零点，只需0x时，()fx恰有一个零点即可，由①可知，当0,0ax时，函数221yaxax=++开口向下且对称轴为1x=−，()fx在1,0−单调递减，其最小值为()01f=，所以1,0−无零点，

()fx在(),1−单调递增，且()()1010ff−=，所以此时()fx恰有一个零点满足题意，当0,0ax时，函数221yaxax=++开口向下且对称轴为1x=−，且()01f=，所以要使()fx在0x时，恰有一个零点，只需()1210faa

−=−+=即可，解得=1a，综上所述要使()fx恰有两个不同的零点，得(),01a−，故②错误；③显然当0x时，()fx在()0,1单调递减，在()1,+单调递增，所以此时()()gxfxk=−最多有两个零点，当0

x，()221fxaxax=++，显然该函数为二次函数，所以()()gxfxk=−，最多有两零点，要使函数()()gxfxk=−恰有4个不同的零点1x，2x，3x，4x，则0x时()fx恰有两个零点，0x时，()fx恰有两个零点，不妨设12340xxxx，因为0x时，

()221gxaxaxk=++−关于1x=−对称，所以122xx+=−，当0x时，得()()330gxfxk=−=，()()440gxfxk=−=，所以有()()34fxfx=，得342222xx−=

−，又因为34xx，所以有342222xx−=−，得34224xx+=，由均值不等式可知334422222xxxx+，当3422xx=时等号成立，因为34xx，所以3422xx，故334422222xxxx+，因为342

24xx+=，得344222xx，得3442xx+，得342xx+，又因为122xx+=−，所以得12340xxxx+++，故③正确；④当=0a时，()1,0=22,>0xxfxx−，令()()10hxfx=−=，即()=1fx显然由无穷多零点，故④错误.故填：①③三、解

答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16.已知函数()22sincoscosfxxxax=+，且π33f=．（1）求a的值；（2）求函数()fx的最小正周期及单调递增

区间；（3）若对于任意的0,xm，总有()()0fxf，直接写出m的最大值．【答案】（1）23a=；（2）函数()fx的最小正周期为，单调递增区间为5,1212ππkπkπ轾犏-+犏臌，Zk；（3）m的最大值为6.【解析】【分析】(1)由条件

列方程求a，(2)由辅助角公式化简函数表达式，结合正弦函数的性质求函数()fx的最小正周期及单调递增区间；(3)解不等式求x的范围，由此确定m的最大值.【小问1详解】因为()22sincoscosfxxxax=+，π

33f=，所以22sincoscos3333a+=，所以231123222a+=，所以342a=，所以23a=，【小问2详解】由(1)()22sincos23cosfxxxx=+，化简得()()sin23c

os21fxxx=++，所以()sin23cos232sin233fxxxx=++=++，所以函数()fx的最小正周期22T==，由222232πππkπxkπ-??，Zk，得51

212ππkπxkπ-＃+，Zk，所以函数()fx的单调递增区间为5,1212ππkπkπ轾犏-+犏臌，Zk；【小问3详解】由()()0fxf，可得2sin23233x++，所以3sin232x+，所以2222333kxk+++，Zk，化简可

得6kxk+由对于任意的0,xm，总有()()0fxf可得m的最大值为6.17.已知函数()2()31exfxxx=−+．（1）求曲线()yfx=在()()0,0f处的切线方程；（2）求()fx在区间2,0−上的最大值和最小值．【答案】（1）210xy+−=（

2）最大值为5e，最小值为1【解析】【分析】（1）第一问先对函数求导，然后分别求出()(0),0ff的值，由此即可求解.（2）先根据导函数求出函数的单调区间，然后根据函数单调性确定其最值.【小问1详解】对函数()2()31exfxxx=−+求导得，()(

)22()31223eexxxxfxxxx==−−−++−，所以()(0)1,02ff==−，所以曲线()yfx=在()()0,0f处的切线方程为()120yx−=−−，化简并整理得该切线方程为210xy+−=.【小问

2详解】由（1）可知()()()2e()212exxxxxxfx=−−=+−，当2,0x−时，()(),fxfx随x的变化情况如下表：x)2,1−−1−(1,0−()fx+0−()fx极大

值由上表可知函数()2()31exfxxx=−+在)2,1−−上单调递增，在(1,0−上单调递减，且在=1x−时()fx取得极大值，所以()fx在区间2,0−上的最大值()51ef−=，而()fx在区间2,0−上的最小值为()()0,2ff−中的较小者，又0e3，

所以()()211110129eff==−，所以()fx在区间2,0−上的最小值为()01f=.18.如图，在四边形ABCD中，ABC为钝角，且2sin3ACBACBC=．（1）求ABC的大小；（2）=2AB，27AC=，BD平分ABC，且BCD△的面积为

33，求边CD的长．【答案】（1）23（2）13【解析】【分析】(1)根据条件，运用正弦定理即可；(2)根据条件，运用余弦定理先求出BC，再根据面积求出BD，最后再运用余弦定理求出CD.【小问1详解】由条件可得32

sinACBCBAC=，由正弦定理得sin3,sinsin2ACABCABCBCBAC==,由题意，2,23ABCABC=＜＜；【小问2详解】在ABC中，由余弦定理得：222=+

2cosACABBCABBCABC−，2128=4+42BCBC−−，解得BC=4，由题意，3DBC=，BDCS△1=sin2BDBCDBC13=422BD33=，=3BD，在D

BC△中，由余弦定理得：222=+2cosCDBDBCBDBCDBC−221=3+42342−=13，13CD=；综上，3DBC=，13CD=.19.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=

的左、右顶点分别为12,AA，124AA=，椭圆E的离心率为32．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过(1,0)D作直线l与椭圆E交于不同的两点M，N，其中l与x轴不重合，直线1AM与直线52x=交于点P，判断直

线2AN与DP的位置关系，并说明理由．【答案】（1）椭圆E的标准方程为2214xy+=；（2）平行，理由见解析.【解析】【分析】（1）由条件列关于,,abc的方程，解方程求,,abc。可得椭圆方程；（2）根据题意设直线

MN及M、N点坐标，结合题意求点P的坐标，结合韦达定理证明2ANDPkk=即可.【小问1详解】设椭圆22221xyab+=的半焦距为c，由已知点12,AA的坐标分别为()(),0,,0aa−，因为124AA=，所以24a=，所以2

a=，又椭圆E的离心率为32，所以32ca=，所以3c=，所以221bac=−=，所以椭圆E的标准方程为2214xy+=；【小问2详解】因为直线MN与x轴不重合，且过点(1,0)D，所以可设直线MN的方程为1xmy=+，联立方程22=+1+=14xmyxy，消去x可

得()224230mymy++−=，方程()224230mymy++−=的判别式()2241240mm=++，设()()1122,,,MxyNxy∴12122223,44myyyymm+=−=−++，∵()()122,0,2,0AA−，则121212,22AMANyy

kkxx==+−则直线1AM的方程为()1122yyxx=++，代入52x=可得()11922yyx=+，即()1195,222yPx+∴()111192235212DPyxykx+==+−，则()()()212122

1212121123233221331ANDPyymyyyyyykkxxmymymymy+−−=−=−=−+−++−∵()12122263+2=3=0244myymymymm−++−+，即20ANDPkk−=

∴2ANDPkk=，所以直线2AN与DP平行.【点睛】关键点点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要

忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．20.已知函数1()2lnfxxxxx=−−．（1）求函数()fx在)1,+上的最大值；（2）若对于任意的()1,ex，总有2ln1xmnx−，请求出m的最大值和n的

最小值．【答案】（1）0（2）211,e12−【解析】【分析】（1）对函数()fx连续求导可知()fx在)1,+上单调递减，结合()10f=可知()fx在)1,+上单调递减，从而即可求解.（2）将原问题转换为2ln1xmx

−在()1,e上恒成立且2ln1xnx−在()1,e上恒成立，对于前者，直接正常构造函数()2ln1xgxmx=−，利用2minln1xmx−，而后者则需要将不等式变形为()21ln0nxx−−

，由此构造函数对n进行分类讨论即可.【小问1详解】对1()2lnfxxxxx=−−求导得，2211()12ln212lnfxxxxx=+−−=−+−，设()2112ln()hxxfxx=−+−=，继续对()hx求导得()322hxxx−=−，注意到当)1,x+时，

()3022hxxx−=−，所以()21()12lnhxfxxx==−+−在)1,+上单调递减，又()()110hf==，所以当)1,x+时，()21()12ln10fxxfx=−+−=，所以函数()fx在)1,+

上单调递减，所以函数()fx在)1,+上的最大值为()10f=.【小问2详解】一方面：不妨设()2ln1xgxmx=−在()1,e上恒成立，求导得()()()222221112ln2ln1xgxxxx

xxxxxx−−==−−−−，由（1）可知()01()2l1nfxxxxfx=−=−在()1,+上恒成立，所以()()2212ln01xxxxgxx=−−−在()1,+上恒成立，即函数()

2ln1xgxx=−在()1,+上严格单调递减，所以当()1,ex时，()()22ln1e1e1xgxgx==−−恒成立，若不等式2ln1xmx−在()1,e上恒成立，由以上分析可知m的最大值为()21ee1g=−.另一方面：由题意2ln1xnx−在()1,e上恒成

立，将不等式变形为()21ln0nxx−−，不妨设()()21ln0uxnxx=−−，求导得()21212nxuxnxxx−=−=，显然2ln01xnx−在()1,e上恒成立，令()0ux=，得12xn=，分以

下三种情形来讨论，情形一：当1012n即12n时，()2210nxuxx−=在()1,e上恒成立，所以()()21lnuxnxx=−−()1,e上单调递增，所以此时有()()()21ln10uxnxxu=−−=，故12n满足题意，情形二：当11e2n即2112e2n时

，函数()(),uxux随x的变化情况如下表：x11,2n1,e2n()ux−+()ux此时()1102uun=，故2112e2n不满足题意；情形三：当1e2n即2102

en时，()2210nxuxx−=在()1,e上恒成立，所以()()21lnuxnxx=−−在()1,e上单调递减，所以此时有()()()21ln10uxnxxu=−−=，故2102en不满足题意；结合以上三种情形可知满足题意的n的最小值

为12.结合以上两方面，综上所述：m的最大值和n的最小值分别为211,e12−.在【点睛】关键点点睛：第一问的关键是要连续求导且发现()10f=，从而即可顺利求解；至于第（2）问首先要去将问题转换为两个恒成立问题分别求解，在研究2ln1xmx−时，直接构造函数即可求解，

而在研究2ln1xnx−，先要去将不等式变形为()21ln0nxx−−，然后对n进行分类讨论去分析.21.已知1,2,,Sn=，AS，12,TttS=，记(),1,2iiAxxataAi==+=，用X表示有限集合X的元素个数.（I）若5n=，1,2,5A=，

12AA=，求T；（II）若7n=，4A=，则对于任意A，是否都存在T，使得12AA=？说明理由；（III）若5A=，对于任意的A，都存在T，使得12AA=，求n的最小值.【答案】（I）1,3T=，或2,4T=

，或3,5T=；（II）不一定存在，见解析；（III）11.【解析】【分析】（I）由已知得12ttab−−，其中,abA，12tt，相差2，由此可求得T；（II）当1,2,57A=，时，2115145237

16725752−=−=−=−=−=−=，，，，，，则12tt，相差不可能1，2，3，4，5，6，可得结论.（III）因为2510C=，故集合A中的元素的差的绝对值至多有10种，可得n的最小值.【详解】（I）若12AA=，则12ttab−

−，其中,abA，否则1212++tatbAA=，，又5n=，1,2,5A=，211523514−=−=−=，，，则12tt，相差2，所以1,3T=，或2,4T=，或3,5T=；（II）不一定存在，

当1,2,57A=，时，211514523716725752−=−=−=−=−=−=，，，，，，则12tt，相差不可能1，2，3，4，5，6，这与121234567Ttt=，，，，，，，矛盾，故不都存在T.的（III）因为2510C=，故集合A中的元素的

差的绝对值至多有10种，当12n时，结论都成立；当11n=时，不存在AS，5A=，使得A中任意两个元素差不同，所以当11n=时，结论成立；当10n=时，若1,3,6910A=，，，则不存在T，所以n的最小值为1

1.【点睛】关键点睛：本题考查集合的新定义，解决此类问题的关键在于准确理解集合的新定义，紧扣定义解决问题.