【文档说明】专题08 一元二次方程【热考题型】 -2022年中考数学一轮复习精讲+热考题型（全国通用）（解析版）.docx，共(32)页，1.018 MB，由管理员店铺上传

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专题08一元二次方程考查题型一一元二次方程的解【解题思路】能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．1．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）已知23

+是关于x的一元二次方程240xxm−+=的一个实数根，则实数m的值是（）A．0B．1C．−3D．−1【答案】B【提示】把x＝23+代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．【详解】解：根据题意得2(23)4(23)0m+−++=，解得1m=；故

选：B．【名师点拨】本题主要考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方

程的根．2．（2020·甘肃金昌·中考真题）已知1x=是一元二次方程22(2)40mxxm−+−=的一个根，则m的值为（）A．-1或2B．-1C．2D．0【答案】B【提示】首先把x=1代入22(2)40m

xxm−+−=，解方程可得m1=2，m2=-1，再结合一元二次方程定义可得m的值【详解】解：把x=1代入22(2)40mxxm−+−=得：2m2+4m－－=0，2mm20++=－，解得：m1=2，m2=﹣1∵22(2)40mxxm−+

−=是一元二次方程，∴m20－≠，∴m2，∴1m=−，故选：B．【名师点拨】此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于0．3．（2021·贵州遵义·中考真题）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到

方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（）A．x2+2x﹣3＝0B．x2+2x﹣20＝0C．x2﹣2x﹣20＝0D．x2﹣2x﹣3＝0【答案】B【提示】分别按照看错的情况构建出

一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.【详解】解：小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，所以此时方程为：()()310,xx+−=即：2230,xx+−=小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，所以此时方程为：()()540,xx−+=即：2

200,xx−−=从而正确的方程是：22200,xx+−=故选：.B【名师点拨】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.4．（2021·山东聊城·中考真题）

关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（）A．2或4B．0或4C．﹣2或0D．﹣2或2【答案】B【提示】把x=-2代入方程即可求得k的值；【详解】解：将x=-2代入原方程得到：22-8+4=4

kk，解关于k的一元二次方程得：k=0或4，故选：B．【名师点拨】此题主要考查了解一元二次方程相关知识点，代入解求值是关键．考查题型二利用配方法解一元二次方程【解题思路】将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．5．（2021·内蒙古赤峰·

中考真题）一元二次方程2820xx−−=，配方后可形为（）A．()2418x−=B．()2414x−=C．()2864x−=D．()241x−=【答案】A【提示】把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16

，然后把方程作边写成完全平方形式即可【详解】解：2820xx−−=,x2-8x=2，x2-8x+16=18，（x-4）2=18．故选：A．6．（2021·浙江丽水·中考真题）用配方法解方程2410xx++=时，

配方结果正确的是（）A．2(2)5x−=B．2(2)3x−=C．2(2)5x+=D．2(2)3x+=【答案】D【提示】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可．【详解】解：2410xx++=，241

xx+=−，24414xx++=−+，2(2)3x+=，故选：D．【名师点拨】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方．7．（2020·山东泰安·中考真题）将一元二次方程2850xx−−=化成2()xab+=（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别

是（）A．4−，21B．4−，11C．4，21D．8−，69【答案】A【详解】解：2850xx−−=移项得285xx−=，配方得2284516xx−+=+，即()2421x−=，∴a=-4，b=21．故选：A【名师点拨】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键

是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方．8．（2020·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程22310xx−−=，配方正确的是（）．A．2317416x−=B．23142x−=C

．231324x−=D．231124x−=【答案】A【详解】解：22310xx−−=移项得2231xx−=，二次项系数化1的23122xx−=，配方得22233132424xx−+=+即2

317416x−=故选：A【名师点拨】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

考查题型三考查一元二次方程根的判别式【解题思路】当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根，熟记判别式并灵活应用是解题关键．9．（2021·广西河池·中考真题）关于x的一元二次方程220xmxm+−−=的根的情况是（）A．有两个不相

等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．实数根的个数由m的值确定【答案】A【提示】先确定a、b、c的值，计算24bac−的值进行判断即可求解．【详解】解：由题意可知：a=1，b=m，c=-m-2，∴()()2222=4=41248244bacm

mmmm−−−−=++=++，∴方程有两个不相等实数根．故选A.【名师点拨】本题考查一元二次方程根的判别式，是常见考点，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0

时，方程没有实数根，熟记判别式并灵活应用是解题关键．10．（2021·贵州毕节·中考真题）已知关于x的一元二次方程2410axx−−=有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．4a−B．4a−C．4a−且0aD．4a−且0a【答案】

D【提示】利用一元二次方程的定义及根的判别式列不等式a≠0且0，从而求解．【详解】解：根据题意得：a≠0且0，即01640aa+，解得：4a−且0a，故选D．【名师点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax

2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．11．（2021·山东菏泽·中考真题

）关于x的方程()()2212110kxkx−+++=有实数根，则k的取值范围是（）A．14k且1kB．14k且1kC．14kD．14k【答案】D【提示】根据方程有实数根，利用根的判别式来求k的取值范围即可．【详

解】解：当方程为一元二次方程时，∵关于x的方程()()2212110kxkx−+++=有实数根，∴()()22121410kk=+−−，且1k，解得，14k且1k，当方程为一元一次方程时，k=1，方程有实根,综上

，14k故选：D．【名师点拨】本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程中0a，熟悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键．12．（2021·湖南张家界·中考真题）对于实数,ab定义运算“☆”如下：2ababab=−☆，例

如23336222−==☆，则方程12x=☆的根的情况为（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【答案】D【提示】本题根据题目所给新定义将方程12x=☆变形为一元二次方程

的一般形式，即20axbxc++=的形式，再根据根的判别式24bac=−的值来判断根的情况即可．【详解】解：根据题意由方程12x=☆得：22xx−=整理得：220xx−−=根据根的判别式2141(2)90=−−=可知该

方程有两个不相等实数根．故选D．【名师点拨】本题主要考查了根的判别式，根据题目所给的定义对方程进行变形后依据的值来判断根的情况，注意0时有两个不相等的实数根；0=时有一个实数根或两个相等的实数根；时没有实数根．13．（202

1·四川巴中·中考真题）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0．其中正确的有（）x…﹣3﹣2﹣1

12…y…1.8753m1.8750…A．①④B．②③C．③④D．②④【答案】B【提示】由表格可以得到二次函数图象经过点点（-3，1.875）和点（1，1.875），这两点关于对称轴对称，由此得到对称轴直线，设出二次函数顶点式，代入两点，求解出二次函数解析式，得到a，b，c

的值，依次代入到①②③④中进行判断即可解决．【详解】解：由表格可以得到，二次函数图象经过点(3,1.875)−和点(1,1.875)，点(3,1.875)−与点(1,1.875)是关于二次函数对称轴对称的，二次函数的对称轴为直线3112x−+==−，设二次

函数解析式为2(1)yaxh=++，代入点(2,3)−，(2,0)得，390ahah+=+=，解得38278ah=−=，二次函数的解析式为：2327(1)88yx=−++，233384yxx=−−+，3c=，①是错误的，293

4430168bac−=+，②是正确的，方程20axbx+=为233084xx−−=，即为220xx+=，12x=−，20x=，③是正确的，3377()3088ac+=−+=，④是错误的，②③是正确的，故选：B．【名师点拨】本题考查了二次函数系数特征和二次函数

解析式求法，利用待定系数法求解函数解析式是通法，由表格提炼出对称轴的信息，是解题的突破口，此题，也可以通过二次函数系数特征来解决．考查题型四利用公式法解一元二次方程14．（2021·四川雅安·中考真题）若直角三角形的两边长分别是方程27120xx−+

=的两根，则该直角三角形的面积是（）A．6B．12C．12或372D．6或372【答案】D【提示】根据题意，先将方程27120xx−+=的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边和斜边进行分情况讨论，最终求得

该直角三角形的面积即可．【详解】解方程27120xx−+=得13x=，24x=当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为134=62；当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为22437−=，面积为13773=22；则该直角三角形的面积是6或372，故选：

D．【名师点拨】本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面积求解，熟练掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键．15．（2020·山东临沂·中考真题）一元二次方程248

0xx−−=的解是（）A．1223x=−+，2223x=−−B．1223x=+，2223x=−C．1222x=+，2222x=−D．123x=，223x=−【答案】B【提示】得出方程各项系数，再利用公式法求解

即可.【详解】解：∵2480xx−−=中，a=1，b=-4，c=-8，∴△=16-4×1×（-8）=48＞0，∴方程有两个不相等的实数根∴x=4432232=，即1223x=+，2223x=−，故选B.【名师点拨】本题考查一元二

次方程的解法，解题关键是熟练运用公式法，本题属于基础题型．16．（2020·湖北随州·中考真题）将关于x的一元二次方程20xpxq−+=变形为2xpxq=−，就可以将2x表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如32()xxxx

pxq==−=…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：210xx−−=，且0x，则4323xxx−+的值为（）A．15−B．35−C．15+D．35+【答案】C【提示】先求得2=+1xx，代入

4323xxx−+即可得出答案．【详解】∵210xx−−=，∴2=+1xx，()()21141115x22−−−==，∴4323xxx−+=()()21213x+-xx++x=2221223x+x+-x-x+x=231-x

+x+=()131-x++x+=2x，∵152x=，且0x，∴1+5x2=，∴原式=1+52=1+52，故选：C．【名师点拨】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是会将四次先降为二次，再将二次降为一次．考查题型五利用因式法解一

元二次方程17．（2021·西藏·中考真题）已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（）A．6B．10C．12D．24【答案】C【提示】利用因式分解法求出已知方程的解确定出菱形两条对角线长，进而求出菱形面积即可．【详解】解：方程x2﹣10x＋

24＝0，分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，解得：x＝4或x＝6，∴菱形两对角线长为4和6，则这个菱形的面积为12×4×6＝12．故选：C．【名师点拨】此题考查了求解一元二次

方程和菱形的面积公式，难度一般．18．（2021·辽宁丹东·中考真题）若实数k、b是一元二次方程(3)(1)0xx+−=的两个根，且kb，则一次函数ykxb=+的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】C【提示】根据一元二次方程的解法求出k、b的值，由一次函数的图像即可求得．【详解】∵实数k、b是一元二次方程(3)(1)0xx+−=的两个根，且kb，∴3,1kb=−=,∴一次函数表达式为31yx=−+，有图像可知，一次函数不经过第三象限．故选：C．【名师点拨】此题考查了一元二次方程

的解法，一次函数图像，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和一次函数图像．19．（2021·山东潍坊·中考真题）若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（）A．5B．4C．25D．5【答案】A【提示】先求出方程的解，即可得到42ACBD==，，根据菱形的性质求出AO

和DO，根据勾股定理求出AD即可．【详解】解：解方程2680xx−+=，得1224xx==，，即42ACBD==，，∵四边形ABCD是菱形，∴9021AODAOCOBODO=====，，，由勾股定理得2222215ADAODO=+=+=，即菱形的边长为5，故选：A．【

名师点拨】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质，正确求出方程的根是解题的关键．20．（2020·湖南张家界·中考真题）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程2680xx−+=的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A．2B．4C．8D．2或4【答案】A【提示】解一元二

次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．【详解】解：x2－6x+8=0（x－4）（x－2）=0解得：x=4或x=2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；

当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，所以三角形的底边长为2，故选：A．【名师点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．21．（2020·贵州黔东南·中考真题）若菱形A

BCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（）A．16B．24C．16或24D．48【答案】B【提示】解方程得出x＝4或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，

即可得出菱形ABCD的周长．【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵x2﹣10x+24＝0，因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，解得：x＝4或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，∴菱形A

BCD的周长＝4AB＝24．故选：B．【名师点拨】本题考查菱形的性质、解一元二次方程-因式分解法、三角形的三边关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．考查题型六利用换元法解一元二次方程22．（2020·上海·中考真题）用换元法解方程21xx++21

xx+=2时，若设21xx+=y，则原方程可化为关于y的方程是()A．y2﹣2y+1=0B．y2+2y+1=0C．y2+y+2=0D．y2+y﹣2=0【答案】A【提示】方程的两个分式具备倒数关系，设21xx+=y，则原方程化为

y+1y=2，再转化为整式方程y2-2y+1=0即可求解．【详解】把21xx+=y代入原方程得：y+1y=2，转化为整式方程为y2﹣2y+1=0．故选：A．【名师点拨】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能

用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．23．（2021·安徽宣城·一模）(m2+n2)(m2+n2−2)−8=0，则m2+n2=（）A．4B．2C．4或−2D．4或2【答案】A【提示】设y=m2+n2，然后解一元二次方程即可求出y的值，结

合平方的非负性即可求出结论．【详解】解：设y=m2+n2，原方程变形为y（y-2）﹣8=0．整理得，y2-2y﹣8=0，（y-4）（y+2）=0，解得y1=4，y2=-2，∵m2+n2≥0，∴m2+n2的值为4，故选A．【名师点拨】本题考查了用换元法解一元二次方程的解法．解一元二次方

程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，把m2+n2设为y，转化为关于y的一元二次方程是解题的关键．24．（2021·安徽宣城·一模）已知a、b实数且满足（a2+b2）

2﹣（a2+b2）﹣6=0，则a2+b2的值为（）A．3B．﹣2C．3或﹣2D．﹣3或2【答案】A【详解】设a2+b2=t，原方程化为t2﹣t﹣6=0，解得t1=3，t2=﹣2，即a2+b2=3或a2+b2=﹣2，而a2+b2≥0，所以a2+b2的值为3，故选A．25．（2020·湖北江岸

·二模）（问题背景）“整体替换法”是数学里的一种常用计算方法．利用式子的特征进行整体代换，往往能解决许多看似复杂的问题．（迁移运用）计算111211211212++++++++的值解：设原式x=，则可提示得：112xx=++根据上述方程解得：13132x−+=，23132x−−=而原式

0，故：原式13132x−+==（联系拓展）23456202222222+++++++=___________A．2121−B．2122−C．2221−D．2222−【答案】B【提示】根据题目呈现的“整体替换法”，令220222

S=+++，23212222S=+++，作差即可求解．【详解】解：设220222S=+++，23212222S=+++，则21222SSS=−=−，故选：B．【名师点拨】本题为新定义类型问题的考查，解题的关键是读懂题目中“整体替换法”的概念，应用到解题当中．考查题型七一元二次方程根与系

数的关系【解题思路】熟练掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1＋x2=−ba−，x1•x2=ca26．（2021·贵州黔东南·中考真题）若关于x的一元二次方程26=0xax−+的一个根是2，则a的值为（）A．2B．3C．4D．5【

答案】D【提示】根据韦达定理，可知另一个根为3，再根据韦达定理可知a的值为根之和，即可求得【详解】26=0xax−+的一个根为2，设另一根为2x22=6x，解得23x=又22xa+=5a=故选D【名师点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系即韦达定理，熟悉韦达定理是解题的关

键．27．（2021·广西贵港·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为12,xx，且22125xx+=，则k的值是（）A．－2B．2C．－1D．1【答案】D【提示】利用根与系数的关系得出12xxk+=，123xxk=

−，进而得出关于k的一元二次方程求出即可．【详解】解：关于x的一元二次方程230xkxk−+−=的两个实数根分别为1x，2x，12xxk+=，123xxk=−，22125xx+=，21212()25xxxx+−=，22(3)5kk

−−=，整理得出：2210kk−+=，解得：121kk==，故选：D．【名师点拨】本题考查了一元二次方程20(0axbxca++=?，a，b，c为常数）根与系数的关系：12bxxa+=−，12cxxa=．28．（2021·四川宜宾·中考真题）若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个

根，则24mmn++的值是（）A．4B．5C．6D．12【答案】C【提示】由于m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m＋n=−3，mn=−9，而m是方程的一个根，可得m2＋3m−9=0

，即m2＋3m=9，那么m2＋4m＋n=m2＋3m＋m＋n，再把m2＋3m、m＋n的值整体代入计算即可．【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，∴m＋n＝−3，mn＝−9，∵m是x2＋3x−9＝0的一个根，∴m2＋3m−9＝0，∴m2＋3m＝9，∴

m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9−3＝6．故选：C．【名师点拨】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1＋x2=−ba−，x1•x2=ca．29．（2021·广西玉林·中考真题）已知关于

x的一元二次方程：2x2xm0−+=有两个不相等的实数根1x，2x，则（）A．120xx+B．120xxC．121xx−D．121xx【答案】D【提示】根据题意及一元二次方程根的判别式可得440m−，然后再根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解

．【详解】解：∵关于x的一元二次方程：2x2xm0−+=有两个不相等的实数根1x，2x，∴440m−，解得：1m，∴由韦达定理可得：121220,1bcxxxxmaa+=−===，∴只有D选项正确；故选D．【名师点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式

及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．30．（2021·四川绵阳·中考真题）关于x的方程20axbxc++=有两个不相等的实根1x、2x，若212xx=，则49bac−的最大值是（）A．1B．2C．3D．2【答案】D【提示】根据一元二次方程根与系

数的关系，求得两根之和和两根之积，再根据两根关系，求得系数的关系，代入代数式，配方法化简求值即可．【详解】解：由方程20axbxc++=有两个不相等的实根1x、2x可得，0a，12bxxa+=−，12cxxa=∵212xx=，可得13bxa=−，212cxa

=，即22()3bcaa−=化简得292acb=则22249242(2)2(1)2bacbbbbb−=−+=−−=−−+故49bac−最大值为2故选D【名师点拨】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，涉及了配方法求解代数式的最大

值，根据一元二次方程根与系数的关系得到系数的关系是解题的关键．31．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知二次函数()()2221yaxax=−−++，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程()()22210axax

−−++=的两根之积为（）A．0B．1−C．12−D．14−【答案】D【提示】根据题意可得二次函数图像的对称轴为y轴，从而求出a值，再利用根与系数的关系得出结果.【详解】解：∵二次函数2(2)(2)1yaxax=−−++，当x取互

为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，可知二次函数图像的对称轴为直线x=0，即y轴，则()202(2)aa−+−=−，解得：a=-2，则关于x的一元二次方程2(2)(2)10axax−−++=为2410x−+=，则两根之积为14−，故选D.【名师点拨】本题考查了二次函

数的图像和性质，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是得出二次函数图像的对称轴为y轴.32．（2020·山东菏泽·中考真题）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程240xxk−+=的两个根，则k的值为（）A．3B．4C．3或4D．7【答案】C【提示】分

类讨论：当3为等腰三角形的底边，则方程有等根，所以△＝0，求解即可，于是根据根与系数的关系得两腰的和＝4，满足三角形三边的关系；当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代入方程可计算出k的值即可．【详解】解：①当3为等腰三角形的底边，根据题意得△

＝（-4）2−4k＝0，解得k＝4，此时，两腰的和=x1+x2=4>3，满足三角形三边的关系，所以k＝4；②当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代入方程得9−12＋k＝0，解得k＝3；综上，k的值为3或4，故选：C

．【名师点拨】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解以及根与系数的关系等腰三角形的性质和三角形的三边关系，注意解得k的值之后要看三边能否组成三角形．考查题型八利用一元二次方程解决传播问题33．（2021·贵州毕节·中考真题）某校八年级组织

一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【提示】设有x个班级参加比赛，根据题目中的比赛规则，可得一共进行了1(1)2xx−场比赛

，即可列出方程，求解即可．【详解】解：设有x个班级参加比赛，1x(x1)152−=，2300xx−−=，解得：126,5xx==−（舍），则共有6个班级参加比赛，故选：B．【名师点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是读懂题

意，得到比赛总数的等量关系．34．（2021·黑龙江·中考真题）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）A．14B．11C．10D．9【答案】B【提示】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意

可得()11144xxx+++=，然后求解即可．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：()11144xxx+++=，解得：1211,13xx==−（舍去），故选B．【名师点拨】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的

应用是解题的关键．35．（2020·广西河池·中考真题）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（）A．6B．7C．8D．9【答案】D【提示】根据球赛

问题模型列出方程即可求解．【详解】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：12x（x﹣1）＝36，化简，得x2﹣x﹣72＝0，解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去），答：参加此次比赛的球队数是9队．故选：D．【名师点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次

方程应用问题中的球赛问题．考查题型九利用一元二次方程解决增长率问题36．（2021·山东滨州·中考真题）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．（1）求该商品每次降价的百分率；（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以

上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？【答案】（1）10%；（2）6件【提示】（1）根据某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同，可设

每次降价的百分率为x，从而可以列出方程60（1-x）2=48.6，然后求解即可；（2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的不等式，然后即可求得第一次降价出售的件数的取值范围，再根据件数为整数，即可

得到第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价．【详解】解：（1）设该商品每次降价的百分率为x，60（1-x）2=48.6，解得x1=0.1，x2=1.9（舍去），答：该商品每次降价的百分率是10%；（2）设第一次降价售出a件，则第二次降价售出（20-a）件，由题意可得，[60（1-10%）

-40]a+（48.6-40）×（20-a）≥200，解得a≥5527，∵a为整数，∴a的最小值是6，答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价．【名师点拨】本题考查一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，解

答本题的关键是明确题意，找出等量关系和不等关系，列出相应的方程和不等式，第一问是典型的的下降率问题，是中考常考题型．37．（2021·山东淄博·中考真题）为更好地发展低碳经济，建设美丽中国．某公司对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了

产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司去年第三季度产值是2300万元，今年第一季度产值是3200万元，假设公司每个季度产值的平均增长率相同．科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）解答过程中可直接使用

表格中的数据哟！1.181.391.64（1）求该公司每个季度产值的平均增长率；（2）问该公司今年总产值能否超过1.6亿元？并说明理由．【答案】（1）该公司每个季度产值的平均增长率为18％；（2）该公司今年总产值能超过1.6亿元，理由见详解．【提示】（1）设该公司每个季度产值的平均增长率为x，由

题意可得()2230013200x+=，然后求解即可；（2）由（1）及题意可直接进行求解．【详解】解：（1）设该公司每个季度产值的平均增长率为x，由题意可得：()2230013200x+=，解得：120.18,2.18xx==−（舍去）；答：该公

司每个季度产值的平均增长率为18％（2）该公司今年总产值能超过1.6亿元，理由如下：由（1）及题意可得：()()()233200320010.18320010.18320010.1816672++++++=（万元）=1.6672亿元；∵1.6672＞1.6，∴今年总产值超过了1.

6亿元．【名师点拨】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．38．（2021·浙江·中考真题）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数

平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有,AB两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：购票方式甲乙丙可游玩景点ABA和B门票价格100元/人80元/人160元/人据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时

，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？【

答案】（1）20%；（2）①798万元，②当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，为817.6万元【提示】（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为x，则四月份的游客为()41x+人，

五月份的游客为()241x+人，再列方程，解方程可得答案；（2）①分别计算购买甲，乙，丙种门票的人数，再计算门票收入即可得到答案；②设丙种门票价格降低m元，景区六月份的门票总收入为W万元，再列出W与m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解最大利润即可得到答案．【

详解】解：（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为x，由题意，得24(1)5.76x+=()211.44,x+=解这个方程，得120.2,2.2xx==−（舍去）答：四月和五月这两个

月中，该景区游客人数平均每月增长20%．（2）①由题意，丙种门票价格下降10元，得：购买丙种门票的人数增加：0.6+0.4=1（万人），购买甲种门票的人数为：20.61.4−=（万人），购买乙种门票的人数为：30.42.6−=（万人），所以：门票收入问；()()1001.4802.61

601021++−+798=（万元）答：景区六月份的门票总收入为798万元．②设丙种门票价格降低m元，景区六月份的门票总收入为W万元，由题意，得()()()()10020.068030.0416020.060.04Wmmmmm=−+−+−++化简，得20.1(24)817.6Wm

=−−+，0.10−，∴当24m=时，W取最大值，为817.6万元．答：当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，为817.6万元．【名师点拨】本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，掌握利用二次函数的性质求解利润的最大值是解

题的关键．考查题型十利用一元二次方程解决与图形有关的问题39．（2020·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35

m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．【答案】30m，20m【提示】设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2，列出方程并解答．【详解

】设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600，整理，得x2﹣35x+300＝0，解得x1＝15，x2＝20，当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．答：

这个茶园的长和宽分别为30m、20m．【名师点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键．40．（2019·江苏徐州·中考真题）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方

形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为2200cm？【答案】当剪去正方形的边长为52cm时，所得长方体盒子的侧面积为2200cm．【提示】设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为(302)xcm−，宽为(20

2)xcm−，高为xcm，根据长方体盒子的侧面积为2200cm，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为(302)xcm−，宽为(202)xcm−，高为xcm，依题意，得：2[(302)(202

)]200xxx−+−=，整理，得：2225500xx−+=，解得：152x=，210x=，当10x=时，2020x−=，不合题意，舍去，∴52x=，答：当剪去正方形的边长为52cm时，所得长方体盒子的侧

面积为2200cm．【名师点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．41．（2019·江苏南京·中考真题）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原

广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？【答案】扩充后广场的长和宽应分别为90m和60m.【提示】设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，根据矩形的面积公式和总价＝单价×数量列出方程并解答．【详解】解

：设扩充后广场的长为3mx，宽为2mx.根据题意，得()3210030325040642000xxxx+−=.解得123030xx==−，（不合题意，舍去）.所以390260xx==，.答：扩充后广场的长和宽应分别为90m和60m.【名师点拨】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，以及总

价＝单价×数量的运用，解答时找准题目中的数量关系是关键．考查题型十一利用一元二次方程解决数字问题42．（2021·山西·中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积

为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．【答案】5【提示】根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为x，则最大数为+8x，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65列出方程求解即可．【详解】解

：设这个最小数为x．根据题意，得()865xx+=．解得15=x，213x=−（不符合题意，舍去）．答：这个最小数为5．【名师点拨】此题主要考察了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出的最大数与最小数的差值是解

题的关键．43．（2019·贵州毕节·中考真题）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{

a，b，c}表示这三个数中最小的数.例如：M{1，2，9}＝1293++＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1.请结合上述材料，解决下列问题：（1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}＝；②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝；（2）若M{﹣

2x，x2，3}＝2，求x的值；（3）若min{3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5，求x的取值范围.【答案】（1）①43；②12；（2）x＝﹣1或3；（3）﹣2≤x≤4.【解析】【提示】(1)①根据平均数的定义计算即可；②求出三个数中的最小的数即可；(2)根据题意，利用平均数的公式构建

方程即可解决问题；(3)根据题意可得关于x的不等式组，解不等式即可解决问题.【详解】(1)①M{(﹣2)2，22，﹣22}＝222(2)22433−+−=，②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝12，故答案为：①43

；②12；(2))∵M{﹣2x，x2，3}＝2，∴22323xx−++=，解得x＝﹣1或3；(3)∵min{3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5，∴325135xx−−+−，解得﹣2≤x≤4.【名师点拨】本题考查的是阅读理解题，涉及了平均数、特殊角的三角函数值，实数大小比较，解一元二次

方程，解不等式组等知识，正确理解题意，学会题中提供的方法是解决问题的关键.考查题型十二利用一元二次方程解决营销问题44．（2021·山东日照·中考真题）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价

格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（020x）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在这次助力疫情防控活

动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？【答案】（1）y=10x+100；（2）这种消毒液每桶实际售价43元【提示】（1）设y与x之间的函数表达式为ykxb=+，将点(1,110)、(3,13

0)代入一次函数表达式，即可求解；（2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于x的一元二次方程，通过解方程即可求解．【详解】解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：ykxb=+，将点(1,110)、(3,130)代入一次函数表达式得：1101303kbkb=+=+，解得

：10100kb==，故函数的表达式为：10100yx=+；（2）由题意得：(10100)(5535)1760xx+−−=，整理，得210240xx−−=．解得112x=，22x=−（舍去）．所以5543x−=．答：这种消毒液每桶实际售价43元．【名师点拨】本题主要考查了一元二次方程的

应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每件的利润=总利润得出一元二次方程是解题关键．45．（2021·辽宁本溪·中考真题）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价

为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？（3）当销售单价

是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y=-2x+220；（2）当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元；（3）当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．【提示】（1）根据题意中销售量y（个）与售价x（元）之

间的关系即可得到结论；（2）根据题意列出方程（-2x+220）（x-40）=2400，解方程即可求解；（3）设每星期利润为w元，构建二次函数模型，利用二次函数性质即可解决问题．【详解】（1）由题意可得，y=100-2（x-

60）=-2x+220；（2）由题意可得，（-2x+220）（x-40）=2400，解得，170x=，280x=，∴当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．答：当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．（3）设该网店每星期的销售利润为w元，由

题意可得w=（-2x+220）（x-40）=223008800−+−xx，当752bxa=−=时，w有最大值，最大值为2450，∴当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．答：当销

售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．【名师点拨】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数模型，利用二次函数的性质解决最值问题．46．（2021·重庆·中考真题）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本

地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为

33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低3a%4．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”

小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加5%2a，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加5%11a．求a的值．【答案】（1）每份“堂食”小面价格是7元，“生食”小面的价格是5元．（2）a的值为8．【提示】（1）设

每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x、y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可．【详解】解：（1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x、y元，根据题意列方程组得，323143

3xyxy+=+=，解得，75xy==，答：每份“堂食”小面价格是7元，“生食”小面的价格是5元．（2）根据题意得，535450072500(1%)5(1%)(4500725005)(1%)2411aaa++−=+

+，解得，10a=（舍去），28a=，答：a的值为8．【名师点拨】本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系，列出方程，熟练运用相关知识解方程．获得更多资源请扫码加入

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