【文档说明】河南省洛阳市强基联盟2022-2023学年高一下学期3月联考试题 数学 含解析.docx，共(10)页，279.499 KB，由小赞的店铺上传

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洛阳强基联盟3月联考高一数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅

笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第七章第2节。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i(𝑎−i)=𝑏−(2i)³(𝑎,𝑏∈𝐑),则𝑎+𝑏=A.-9B.9C.7D.-72.已知△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗与𝐵𝐶⃗⃗

⃗⃗⃗的夹角为A.120°B.60°C.30°D.-60°3.已知向量𝑎=(8,-2),𝑏=(𝑚,1),若𝑎=𝜆𝑏,则实数𝑚的值是A.-4B.-1C.1D.44.在△𝐴𝐵𝐶中,角𝐴,𝐵,𝐶

的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐,已知𝑎=√2,𝑏=√3,𝐵=60°,则𝐴=A.45°或135°B.135°C.45°D.60°或120°5.若复数𝑧满足(𝑧−2i)(1+i)=i，则𝑧在复平面内对应的点的坐标为A.(−12,−32)B.(−12,52)C.(12,−32)D

.(12,52)6.已知△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别是𝑎,𝑏,𝑐,则“△𝐴𝐵𝐶是钝角三角形”是“𝑎²+𝑏²−𝑐²<0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知向量𝑎，𝑏的夹角为𝜋3,且|𝑎|=2

,𝑏=(1,1),则𝑎在𝑏上投影向量的坐标为A.(√2,√2)B.(12,12)C.(√22,√22)D.(1,1)8.在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中,𝐴𝐵=4,𝐴𝐷=3,𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗

⃗,且𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=−6,则平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为A.125B.245C.12√65D.24√65二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得

5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.对于任意的平面向量𝑎，𝑏，𝑐，下列说法错误的是A.若𝑎≠𝑏，则𝑎与𝑏不是共线向量B.(𝑎+𝑏)·𝑐=𝑎·𝑐+𝑏·𝑐C.若𝑎·𝑏=𝑎·𝑐,且𝑎≠0,则𝑏=𝑐D.(𝑎·𝑏)𝑐=(�

�·𝑐)𝑎10.若复数z为纯虚数，则A.𝑧+𝑧̅为实数B.𝑧-𝑧̅为实数C.𝑧²为实数D.𝑧̅i为实数11.下列说法正确的是A.若两个非零向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗共线，则𝐴，𝐵，𝐶，𝐷必在同一直线

上B.若向量𝑎与𝑏平行，𝑏与𝑐平行，则𝑎，𝑐方向相同或相反C.若非零向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗与𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗是共线向量，则它们的夹角是0°或180°D.平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量12.在△𝐴𝐵𝐶中，内角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分

别为𝑎，𝑏，𝑐，则下列结论正确的是A.若𝑎>𝑏,则sin𝐴>sin𝐵B.若sin𝐴>sin𝐵,则𝐴>𝐵C.若𝑎cos𝐴=𝑏cos𝐵,则△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形D.若△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形,则si

n𝐴>cos𝐵三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.设复数𝑧满足𝑧i+1=𝑧,则|𝑧̅|=________.14.在△𝐴𝐵𝐶中,角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐,且𝑏cos𝐶+𝑐sin𝐵=𝑎,𝑏=6,则𝑎+2𝑏s

in𝐴+2sin𝐵=______.15.已知平面向量𝑎=(1,−2),𝑏=(4,𝑦),若𝑎与𝑎+𝑏的夹角为锐角,则𝑦的取值范围为.16.如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山

峰的高度，先在山脚A处测得山顶𝐶处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高400m的𝑀处(即𝑀𝐷=400)，观测到山顶𝐶处的仰角为15°，山脚𝐴处的俯角为45°,则山高𝐵𝐶=m.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字

说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分10分)已知虚数z满足|𝑧|=√5.(1)求证:𝑧+5i𝑧在复平面内对应的点在直线𝑦=𝑥上；(2)若𝑧是方程2𝑥²+4𝑥+𝑘=0(𝑘∈𝑅)的一个根，求

𝑘与𝑧.18.(本小题满分12分)已知向量𝑎,𝑏满足|𝑎|=2,|𝑏|=3,且(3𝑎+𝑏)·(𝑎−2𝑏)=−16.(1)若(𝑎−𝑏)⊥(𝑎+𝜆𝑏),求实数𝜆的值;(2)求𝑎与2𝑎−𝑏的夹角的余弦值.19.

(本小题满分12分)已知△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐,且2cos𝐴=𝑎cos𝐵+𝑏cos𝐴.(1)求角𝐴;(2)若△𝐴𝐵𝐶的周长为3√3,√3，且△𝐴𝐵𝐶外接圆的半径为1，判断△𝐴𝐵𝐶的形状，并求△𝐴𝐵𝐶的面积.

20.(本小题满分12分)如图，在等腰梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵//𝐶𝐷,|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=2|𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=2,∠𝐵𝐴𝐷=𝜋3,E是𝐵𝐶边的中点.(1)试用𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗表示𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗;(2)求𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗的值.21.(本小题满分12分)如图，在平面四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=2√3,∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐶𝐴𝐵=90°,设∠𝐷�

�𝐶=𝜃.(1)若𝜃=60°,𝐴𝐵=2𝐶𝐷,求𝐵𝐷的长度;(2)若∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐵𝐶=30°,求tan𝜃.22.(本小题满分12分)记△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴,𝐵,𝐶所对的边分别为𝑎,𝑏,𝑐,已知𝑎sin𝐴+𝑐

sin𝐶=𝑏.(1)求证:sin𝐵+2𝑎𝑐𝑎2+𝑐2cos𝐵=1;(2)若△𝐴𝐵𝐶的面积𝑆=𝑘𝑏²(𝑘>0),求𝑘的最大值，并证明：当𝑘取最大值时，△𝐴𝐵𝐶为直角三角形.洛阳强基联盟3月联考·高一数学参考答案、提示及评分细则1.B𝑖(𝑎−𝑖)=𝑏

−(2𝑖)³,即1+𝑎𝑖=𝑏+8𝑖,所以𝑎=8,𝑏=1,𝑎+𝑏=9.故选B.2.A因为△ABC为等边三角形,所以AB与BC的夹角为120°.故选A.3.A由𝑎=𝜆𝑏,得{8=𝜆𝑚

,−2=𝜆,解得𝑚=-4.故选A.4.C由正弦定理得sin𝐴=𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵=√2√3×√32=√22,∵𝑎<𝑏,∴0<𝐴<𝐵,∴角A等于45°.故选C.5.D由(𝑧−2𝑖)(1+𝑖)=𝑖,得𝑧=𝑖1+𝑖+2𝑖=𝑖(1−𝑖)(1+𝑖)(1−𝑖

)+2𝑖=12+12𝑖+2𝑖=12+52𝑖,所以z在复平面内对应的点的坐标为(12,52).故选D.6.B若△ABC中B为钝角,则C为锐角,𝑐𝑜𝑠𝐶>0,即有𝑎²+𝑏²−𝑐²>0,故充分性不成立；若𝑎²+𝑏

²−𝑐²<0,由余弦定理得cos𝐶=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏<0,即C为钝角，故必要性成立.故选B.7.C|𝑎|cos𝜃⋅𝑏|𝑏|=2×12×1√2⋅(1,1)=(√22,√22).故选C.8.D因为𝐴𝐸=13EB,DF=2FC,所

以BF⋅CE=(CF−CB)⋅(CB+BE)=(13CD−CB)⋅(CB+34CD)=−|CB|2+14|CD|2−512CB⋅CD=−32+14×42−512×3×4cos∠𝐵𝐶𝐷=−5−5cos∠𝐵𝐶𝐷=−6,则得𝑐𝑜𝑠∠𝐵𝐶𝐷=15,

则sin∠𝐵𝐶𝐷=2√65,所以𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐶𝐵⋅𝐶𝐷⋅sin∠𝐵𝐶𝐷=4×3×2√65=24√65.故选D.9.ACD对于A，两个向量是否共线只跟方向有关，故A错误；对于B，这是数量积对加法的分配律，显然成立的，故B正确；对于C若𝑎和𝑏，𝑐都垂直，显

然𝑏，𝑐至少在模长方面没有任何关系，故C错误；对于D,(𝑎·𝑏)𝑐=(𝑏·𝑐)𝑎很多时候是不成立的,则(𝑎·𝑏)𝑐与(𝑏·𝑐)𝑎是分别和𝑐、𝑎共线的向量,故错误.故选ACD.10.ACD因为𝑧为纯虚数,设𝑧=𝑚𝑖(

𝑚∈𝑅,且𝑚≠0),𝑧̅=−𝑚𝑖,则𝑧+𝑧̅=0,A正确;𝑧−𝑧̅=2𝑚𝑖,B错误;𝑧²=−𝑚²为实数,C正确;𝑧𝑖=𝑚为实数,D正确.故选ACD.11.CD平行向量又叫共线向量，向量AB与CD是共线向量

，则AB与CD平行或共线，故A错误；当b为零向量时，结论不成立，故B错误；由向量的夹角可知C正确；平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量，故D正确。故选CD.12.ABD在△ABC中,由正弦定理得𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,所以𝑎𝑏=sin

𝐴sin𝐵.若𝑎>𝑏,则𝑎𝑏=sin𝐴sin𝐵>1,又𝑠𝑖𝑛𝐴>0,𝑠𝑖𝑛𝐵>0,所以𝑠𝑖𝑛𝐴>𝑠𝑖𝑛𝐵,故A正确;因为𝑎𝑏=sin𝐴sin𝐵,又𝑠𝑖𝑛𝐴>𝑠𝑖𝑛𝐵,𝑠𝑖𝑛𝐴>0,𝑠𝑖

𝑛𝐵>0,所以𝑎𝑏=sin𝐴sin𝐵>1,所以𝑎>𝑏,所以𝐴>𝐵,故B正确;若𝑎𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑏𝑐𝑜𝑠𝐵,由正弦定理可得𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐵,即𝑠𝑖𝑛2𝐴=𝑠𝑖𝑛2𝐵,则2𝐴=2�

�或2𝐴+2𝐵=π,即𝐴=𝐵或𝐴+𝐵=𝜋2,则△ABC是等腰三角形或直角三角形故C错误；若△ABC为锐角三角形，则𝐴+𝐵>𝜋2,所以𝜋2>𝐴>𝜋2−𝐵>0,又𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥在(0,𝜋2)上

为单调增函数，所以sin𝐴>sin(𝜋2−𝐵),即𝑠𝑖𝑛𝐴>𝑐𝑜𝑠𝐵,故D正确.故选ABD.13.√22由𝑧𝑖+1=𝑧,得𝑧=−1𝑖−1=11−𝑖=1+𝑖2,则𝑧=12−12𝑖,𝑧=√(12)2+(−12)2=√

22.14.6√2由正弦定理得𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑠𝑖𝑛𝐶𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑠𝑖𝑛𝐴,即𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑠𝑖𝑛𝐶𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑠𝑖𝑛(𝐵+�

�)=𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶,∴𝑠𝑖𝑛𝐶𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶,∵𝑠𝑖𝑛𝐶≠0,∴𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑐𝑜𝑠𝐵,∴𝑡𝑎𝑛𝐵=1.∵𝐵∈(0,𝜋),∴𝐵=𝜋4,∴

𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏sin𝐵=6√22=6√2,∴𝑎=6√2sin𝐴,𝑏=6√2sin𝐵,所以𝑎+2𝑏sin𝐴+2sin𝐵=6√2(sin𝐴+2sin𝐵)sin𝐴+2sin𝐵=6√2.15.(−∞,−8)∪(−8,92)因为𝑎与𝑎+𝑏的夹角为锐角

,所以𝑎·(𝑎+𝑏)>0,且𝑎与𝑎+𝑏不共线,即1×5−2(𝑦−2)>0,且1×(𝑦−2)≠-2×5,解得𝑦<92且𝑦≠−8.16.600由题意知∠𝐴𝑀𝐷=45°,则𝐴𝑀=√2𝑀𝐷=400√2,又由∠𝐶𝐴𝐵=60°,所以∠𝑀𝐴𝐶=

180°-60°-45°=75°,∠𝐴𝐶𝑀=180°−75°−60°=45°,在△𝑀𝐴𝐶中，由正弦定理得𝐴𝐶sin∠𝐴𝑀𝐶=𝑀𝐴sin∠𝐴𝐶𝑀,即𝐴𝐶sin60°=400√2sin

45°,解得𝐴𝐶=400√3,则𝐵𝐶=𝐴𝐶𝑠𝑖𝑛60°=600.17.(1)证明:方法一:设𝑧=𝑎+𝑏𝑖(𝑎,𝑏∈𝑅,𝑏≠0),…………………………………………………1分因

为|𝑧|=√5,所以𝑧𝑧̅=5,…………………………………………………………………………2分所以𝑧+5𝑖𝑧=𝑧+𝑧̅𝑖=𝑎+𝑏𝑖+(𝑎−𝑏𝑖)𝑖=𝑎+𝑏+(𝑎+𝑏)𝑖,…

…………………………4分所以𝑧+5𝑖𝑧在复平面内对应的点为(𝑎+𝑏,𝑎+𝑏),在直线𝑦=𝑥上.…………………………5分方法二:设𝑧=𝑎+𝑏𝑖(𝑎,𝑏∈𝑅,𝑏≠0),…………………………………………

………………1分因为|𝑧|=√𝑎2+𝑏2=√5,所以𝑎²+𝑏²=5,…………………………………………2分𝑧+5𝑖𝑧=𝑎+𝑏𝑖+5𝑖𝑎+𝑏𝑖=𝑎+𝑏𝑖+5𝑖(𝑎−𝑏𝑖)𝑎2+𝑏2=𝑎+𝑏𝑖+𝑎𝑖+𝑏=𝑎+𝑏+(𝑎+𝑏)𝑖,…

………………………………………………………4分所以𝑧+5𝑖𝑧在复平面内对应的点为(𝑎+𝑏,𝑎+𝑏),在直线𝑦=𝑥上.……………………………5分(2)解:因为𝑧=𝑎+𝑏𝑖是方程2𝑥²+4𝑥+𝑘=0(𝑘∈𝑅)的一个根,所以2(𝑎+𝑏𝑖)²+4(𝑎

+𝑏𝑖)+𝑘=0,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分即2𝑎²−2𝑏²+4𝑎+𝑘+(4𝑎𝑏+4𝑏)𝑖=0,所以2𝑎²−2𝑏²+4𝑎+𝑘=0,且4𝑎𝑏+4𝑏=0,由4𝑎𝑏

+4𝑏=0及𝑏≠0,得𝑎=−1,……………………………………………………………8分因为𝑎²+𝑏²=5,所以𝑏=±2,把𝑎=−1,𝑏=±2代入2𝑎²−2𝑏²+4𝑎+𝑘=0得𝑘=10,所以𝑘=10,𝑧=-1

±2𝑖………………………………………………………………………………10分18.解:(1)因为(3𝑎+𝑏)·(𝑎−2𝑏)=−16,所以3𝑎²−5𝑎·𝑏−2𝑏²=−16,即3×2²−5𝑎·𝑏−2×3²=

−16,解得𝑎·𝑏=2.……………………………………………3分若(𝑎−𝑏)⊥(𝑎+𝜆𝑏),则(𝑎−𝑏)·(𝑎+𝜆𝑏)=0,即𝑎²+(𝜆−1)𝑎·𝑏−𝜆𝑏²=0,即2²+2(𝜆−

1)−𝜆×3²=0,解得𝜆=27.……6分(2)|2𝑎−𝑏|=√(2𝑎−𝑏)2=√4𝑎2−4𝑎⋅𝑏+𝑏2=√4×22−4×2+32=√17又𝑎·(2𝑎−𝑏)=2𝑎²−𝑎·𝑏=2×2²−2=6,…………………………………………………9分所以cos<𝑎,2𝑎

−𝑏>=𝑎⋅(2𝑎−𝑏)|𝑎||2𝑎−𝑏|=62×√17=3√1717,即𝑎与2𝑎−𝑏的夹角的余弦值为3√1717.……………………………………………………12分19.解:(1)2

𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑎𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴,由正弦定理得2𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐴,……………………………………2分因为𝑠

𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑠𝑖𝑛(𝐴+𝐵)=𝑠𝑖𝑛𝐶,所以2𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑠𝑖𝑛𝐶,因为𝐶∈(0,π),所以𝑠𝑖𝑛𝐶≠0,所以cos𝐴=12.…………………………………………

…4分因为𝐴∈(0,𝜋),所以𝐴=𝜋3.…………………………………………………………………………………5分(2)设△𝐴𝐵𝐶外接圆的半径为𝑅,则𝑅=1,由正弦定理，得𝑎=2𝑅sin𝐴=√3,⋯………………………………………

……6分因为△ABC的周长为3√3,所以𝑏+𝑐=2√3.…………………………………………7分由余弦定理，得𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐cos𝜋3=(𝑏+𝑐)2−3𝑏𝑐,即3=12−

3𝑏𝑐,所以𝑏𝑐=3……………………………………………9分由{𝑏+𝑐=2√3,𝑏𝑐=3,得{𝑏=√3,𝑐=√3,所以△ABC为等边三角形.………………………………………………………………………11

分所以△ABC的面积𝑆=12𝑏𝑐sin𝐴=12×3×√32=3√34.………………………………………12分20.解:(1)𝐴𝐶=AD+DC=AD+12AB,𝐴𝐸=12(AB+AC)=12(AB+A

D+12AB)=34AB+12AD,𝐵𝐶=𝐴𝐶−AB=AD+12AB−AB=AD−12AB.…………………………………………5分(2)|𝐴𝐷|=12(|AB|−|DC|)cos𝜋3=1212=1,……………………………………………7分𝐷𝐵

=AB−AD,𝐷𝐵⋅AE=(AB−AD)⋅(12AD+34AB)=34|AB|2−12|AD|2−14AB⋅AD=34|𝐴𝐵|2−12|AD|2−14|AB|⋅|AD|⋅cos𝜋3=34×4−12×1−14×2×1×12=94.……………………………………………………………………………

………………12分21.解:(1)由𝐴𝐵=2√3,𝐶𝐷=√3,∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐶𝐴𝐵=90°,∠𝐷𝐴𝐶=60°,可知𝐴𝐷=𝐶𝐷tan60°=1,…………………………………………………………………

………2分在△ABD中,∠𝐷𝐴𝐵=150°,𝐴𝐵=2√3,𝐴𝐷=1,由余弦定理可知,𝐵𝐷2=(2√3)2+12−2×2√3×1×(−√32)=19,则𝐵𝐷=√19.…………………………………………………………………………………6分(2)∵∠𝐶𝐴𝐵=90

°,∴𝐴𝐶=𝐴𝐵⋅tan∠𝐴𝐵𝐶=2√3×√33=2.…………………………………7分由题意易知,𝐴𝐷=2𝑐𝑜𝑠𝜃,∠𝐴𝐵𝐷=60°−𝜃.在△ABD中，由正弦定理可知𝐴𝐷sin∠𝐴𝐵𝐷=𝐴�

�sin∠𝐴𝐷𝐵,…………………………………………9分∴2cos𝜃sin(600−𝜃)=4√3,即有2cos𝜃=4√3(√32cos𝜃−12sin𝜃),∴4cos𝜃=2√3sin𝜃,∴tan𝜃=23√3.………………………………

…………………………………………………12分22.(1)证明:由𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶,得sin𝐴=𝑎sin𝐵𝑏,sin𝐶=𝑐sin𝐵𝑏,代入𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴+𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶=𝑏,得𝑎2sin𝐵𝑏+𝑐2sin𝐵𝑏=𝑏,…

…………………………………………2分所以sin𝐵=𝑏2𝑎2+𝑐2,由余弦定理，得𝑏²=𝑎²+𝑐²−2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵,所以sin𝐵=𝑎2+𝑐2−2𝑎cos𝐵𝑎2+𝑐2=1−2𝑎𝑐𝑎2+𝑐2cos

𝐵,…………………………………………………4分所以sin𝐵+2𝑎𝑐𝑎2+𝑐2cos𝐵=1.……………………………………………………………………5分(2)解:由(1)知sin𝐵=𝑏2𝑎2+𝑐2,所以△ABC的面积𝑆=12𝑎𝑐sin𝐵=12𝑎𝑐⋅𝑏2𝑎2+𝑐

2=𝑘𝑏2,……6分所以𝑘=12⋅𝑎𝑐𝑎2+𝑐2≤12⋅𝑎𝑐2𝑎𝑐=14,当且仅当𝑎=𝑐时取等号，所以𝑘的最大值为14.………8分下面证明当𝑘=14,即𝑎=𝑐时,△𝐴𝐵𝐶为直角三角形.把𝑎=𝑐代入

sin𝐵+2𝑎𝑐𝑎2+𝑐2cos𝐵=1,得𝑠𝑖𝑛𝐵+𝑐𝑜𝑠𝐵=1,…………………………9分两边平方，得𝑠𝑖𝑛²𝐵+2𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑐𝑜𝑠²𝐵=1,

所以𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐵=0,…………………………11分因为0<𝐵<𝜋,sin𝐵≠0所以cos𝐵=0,𝐵=𝜋2,所以△𝐴𝐵𝐶为直角三角形.………………………………………………………………………12分