【文档说明】上海市嘉定区第二中学2021-2022学年高三下学期模拟数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.400 MB，由小赞的店铺上传

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2021学年第二学期高三年级模拟练习数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.已知集合()1,3A=，()2,B=+，则AB=______．【答案

】()2,3【解析】【分析】利用交集定义直接求解．【详解】解：集合(1,3)A=，(2,)B=+，(2,3)AB=．故答案为：(2,3)．2.不等式102xx−+的解集是________.【答案】21xx−【解析】【分析】将分式不等式化

为整式不等式，利用二次不等式的求解方法，即可求得结果.【详解】()()10120212xxxxx−−+−+.故答案为：{|21}xx−【点睛】本题考查了分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，考查了转化的思想.属于

基础题.3.若等差数列满足3516aa+=，则4a=____．【答案】8【解析】【分析】由na是等差数列可得3542aaa+=，从而即可求出4a的值．【详解】解：na是等差数列，354216aaa+==，48a=．故答案为：8．4.已知函数2()1logfxx=+，它的反函数

为1()yfx−=，则1(3)f−=_______．【答案】4【解析】【分析】令2()1log3=+=fxx，求函数的自变量即为对应反函数的函数值()13f−.【详解】因为2()1logfxx=+，所以令2()

1log3=+=fxx，解得4x=，根据互为反函数之间的关系，可得()134f−=.故答案为：4.5.在6(21)x+展开式中，2x的系数为________（结果用数值表示）．【答案】60【解析】【分析】根据二项式定理求出展开式中含2x的项，由此即可求解．【详解】解：展开式中含2x

的项为4226(2)60Cxx=，所以2x的系数为60，故答案为：60．6.若实数x、y满足0022yxyxy−−，则2zxy=+的最大值为_______．【答案】6【解析】【分析】先画出不等式组表示的可行域，然后由2zxy=+，得2yxz=−+，作出直线2yx=

−，向上平移过点A时，目标函数取得最大值，求出点A的坐标，代入目标函数可求得结果【详解】不等式组表示的可行域如图所示由2zxy=+，得2yxz=−+，作出直线2yx=−，向上平移过点A时，目标函数取得最大值，由022xyxy−=−=，

得22xy==，即(2,2)A，所以2zxy=+的最大值为2226+=，故答案为：67.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为________．【答案】2【解析】【分

析】由三视图确定三棱柱的底面面积和高，即可求得答案.【详解】由“堑堵”的三视图可知，直三棱柱的底面直角三角形斜边为2，其上的高为1，三棱柱高为2，原几何体如图示：则底面积为12112=，故三棱柱的体积为：122=

，故答案为：28.若数列{}na是首项为12，公比为12a−的无穷等比数列，且{}na各项的和为a，则a的值为________【答案】1【解析】【分析】由题意可得：1211()2aa=−−，化为：22310aa−+=，解得a并验证即可得出．【详解】由题意可得：1211(

)2aa=−−，化为：22310aa−+=，解得1a=或12，12a=时，公比为0，舍去．1a=．故答案为：1．【点睛】本题考查无穷等比数列的求和公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．9.从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5

个不同的数，则这5个不同的数的中位数为6的概率为________（结果用最简分数表示）．【答案】528【解析】【分析】算出10个数中任取5个的可能数量，再算出所选5个不同的数的中位数为6的可能种数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.【详解】由题意知，从0、1、2、3、4、5

、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，有510C252=种可能，所选5个不同的数的中位数为6，则比6小的数有2个，共有2615C=种可能，比6大的数有2个，有23C3=种可能，故所选5个不同的数的中位数为6的情况共有15345=种可能，故这5个不同的数的中位数为6的

概率为45525228P==,故答案为：52810.已知函数()yfx=是定义域为R的奇函数，且当0x时，()1afxxx=++．若函数()yfx=在)3,+上的最小值为3，则实数a的值为________．【答案】3【解析】

【分析】根据已知条件及奇函数的定义求出当0x时函数的解析式，再利用函数的单调性对a进行分类讨论，确定单调性即可求解.【详解】由题意可知，因为0x，所以0x−，所以()1afxxx−=−−+，因为函数()fx是定义域为R的奇函数，所以()()1afxfxxx=−−=+−.因为函数(

)yfx=在)3,+上的最小值为3当0a时，由函数的性质知，函数()fx在)3,+上单调递增；当3x=时，()fx取得最小值为(3)23af=+，因为函数()yfx=在)3,+上的最小值为3，所以233a

+=，解得3a=（舍），当09a时，由函数的性质知，函数()fx在)3,+上单调递增；当3x=时，()fx取得最小值为(3)23af=+，因为函数()yfx=在)3,+上的最小值为3，所以233a+=，解得3a=，当9a

时，由对勾函数的性质知，函数()fx在),a+上单调递增；在()0,a上单调递减；当xa=时，()fx取得最小值为()121afaaaa=++=+，因为函数()yfx=在)3,+上的最小值为3，所以213a+=，解得1a=（舍），综上，实数a的值为3.故答案为：3.11.

已知椭圆cosΓ:(sinxayb==为参数，0a，0)b的焦点分别1(2,0)F−、2(2,0)F，点A为椭圆的上顶点，直线2AF与椭圆的另一个交点为B．若12||3||BFBF=，则椭圆的普通方程为__．【答案】221128xy+=【解析】【分析】根据题意，

由椭圆的焦点坐标可得2c=，即可得224ab=+，结合椭圆的性质可得1||BF、2||BF的长，分析可得B的坐标，进而可得2229(32)44ba++=，两式联立解可得a、b的值，即可得答案．【详解】解：根据题意，椭圆c

osΓ:(sinxayb==为参数，0a，0)b，其普通方程为22221xyab+=，若其焦点分别1(2,0)F−、2(2,0)F，则2c=，则有224ab=+，①点A为椭圆的上顶点，则

A的坐标为(0,)b，又由12||3||BFBF=，而12||||2BFBFa+=，则13||2aBF=，2||2aBF=，又由2||AFa=，且A、B、2F三点共线，则B的坐标为3,2b−，又由

13||2aBF=，则有2229(32)44ba++=，②联立①②，解可得：212a=，28b=；故椭圆的方程为221128xy+=；故答案为：221128xy+=．12.已知函数()sin()fxx=+，其中0，0π，π()()4fxf恒成立，且()

yfx=在区间3π0,8上恰有3个零点，则的取值范围是______________．【答案】()6,10【解析】【分析】确定函数的maxπ()()4fxf=，由此可得ππ2π,Z24kk=−+，再利用()yfx=在区间3π0

,8上恰有3个零点得到ππ02ππ243πππ3π2π4π824kk−++−+，求得答案.【详解】由已知得：π()()4fxf恒成立，则maxπ()()4fxf=，

ππππ2π,Z2π,Z4224kkkk+=+=−+，由3π0,8x得3π(,)8x++，由于()yfx=在区间3π0,8上恰有3个零点，故0π3π3π4π8+，则ππ02ππ243πππ3π2π4

π824kk−++−+，Zk，则8282,Z20162816kkkkk−+−−,只有当1k=时，不等式组有解，此时610412，故610

，故答案为：()6,10二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知复数2sin1)iz=−+（（i为虚数单位），则“

z为纯虚数”是“π6=”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】【分析】求z为纯虚数的等价条件，结合充要条件判断得解.【详解】当π6=时，π62sin1)i=iz=−+（

，所以z为纯虚数；若z为纯虚数，2sin10−=，所以1sin2=，所以26k=+或526k=+，所以“z为纯虚数”是“π6=”的必要非充分条件.故选：B.14.若0a、0b，且411ab+=，则ab的最小值为（）．A.16B.4C.1

16D.14【答案】A【解析】【分析】根据基本不等式计算求解.【详解】因为0a、0b，所以4141124+=ababab，即114ab，所以4ab，即16ab，当仅当41ab=，即82ab==，时，等号成立.故选：A.15.在ABC中，3ABAC==，2BDDC=

．若4ADBC=uuuruuur，则ABAC=（）．A.3B.3−C.2D.2−【答案】B【解析】【分析】根据向量的线性运算，将4ADBC=uuuruuur转化为12()()433ABACACAB+−=，结合数量积的运算，即可求得答案.【详解】由题意可得2()(

)()()43ADBCABBDACABABBCACAB=+−=+−=,即212[()]()()()4333ABACABACABABACACAB+−−=+−=,即221214333ABACABAC−+−=，即2139433ABAC−+

−=，解得3ABAC=−，故选：B16.在正方体1111ABCDABCD−中，E、F分别是线段AB、1BD上的动点，且直线EF与1AA所成的角为arctan2，则下列直线中与EF所成的角必为2arctan2的是（）．A.CDB.BDC.1BCD.1DC【答

案】C【解析】【分析】在1BD上取一点T，使ATEF，则直线EF与1AA所成的角即直线AT与1AA所成的角，建立空间直角坐标系，根据EF与1AA所成的角为arctan2，找出点T位置，利用空间向量计算线

线角分别验证答案即可.【详解】在1BD上取一点T，使ATEF，则直线EF与1AA所成的角即直线AT与1AA所成的角，设直线AT与1AA所成的角为，则tan2=，3cos3=，以D为原点建立如图空间坐标系，则()()()()()()111,0,01,1,01,0,1

0,0,10,1,00,0,0、、、、、ABADCD，所以()10,0,1=AA，()()()111,0,11,1,11,,1=+=−+−=−−ATADDB，所以()()()()1222210,

0,11,,113cos32121−−−====−+−+AAATAAAT，化简得12=，所以111,,222=−AT，对于A：()0,1,0−CD=，所以CD与EF所

成的角的余弦值即AT与EF所成的角的余弦值，即()1110,1,0,,3222334−−==CDATCDAT，CD与EF所成的角的正切值为2，故A错误；同理，对于B：BD与EF所成的角的正切值为2，故B错误；对于C：1BC与EF所成的角的正切值为22，故C正确

；对于D：1DC与EF所成角为2，故D错误；故选：C.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.如图，圆锥的底面半径2OA=，高6PO=，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点．求：（1）该圆锥的表面积；（2）直线CD与平面PA

B所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【答案】（1）()4101π+（2）10arctan5【解析】【分析】（1）求出圆锥母线长，求得圆锥侧面积，即可求得答案；（2）作辅助线，找到直线CD与平面PAB所成角，解直角三角形可得答案.【小问1详解】的由已知

，得OA=2，PO=6，则22210=+=PAPOOA,所以圆锥的侧面积为ππ2210410πSrl===，于是圆锥的表面积为()410π4π4101πS=+=+,即所求圆锥的表面积为()4101

π+．【小问2详解】连接OD,由题意得PO⊥平面ABC，因为OC平面ABC，所以POOC⊥．又因为点C是底面直径AB所对弧的中点，所以OCAB⊥．而PO、AB平面ABC，POABO=，所以OC⊥平

面PAB即OD是CD在平面PAB上的射影，所以CDO是直线CD与平面PAB所成角．在RtCDO△中，2OC=，1102ODPA==，则210tan510OCCDOOD===，由于CDO为锐角，所以10arctan5CDO=,因此直线CD与平面PAB所成角的大小为10arctan5

．18.设常数Ra，函数1()22xxafx+=+．（1）若函数()fx是偶函数，求实数a的值；（2）若对任意)1x+，，()3fx，求实数a的取值范围．【答案】（1）2（2）(2,)−+【解析】【分析】（1）根据函数的偶函数的定义即可求解；（2）利用分离参数法解

决函数恒成立问题，再利用换元法及二次函数在区间上的最值问题的处理办法即可求解.,小问1详解】函数1()22xxafx+=+的定义域为R．因为函数()fx是偶函数，所以()()fxfx−=．即112222xxxxaa−++−+=+，即

222(22)xxxxa−−−=−（），即(22)(2)0xxa−−−=．因xR，所以20a−=，解得2a=．所以实数a的值为2．【小问2详解】因为()1fx，即1232xxa++，因为20x，可得2432xxa−−．令2xt=，因为)1x+，，所以t的取值范围是[2,)+

，于是223att−−对任意[2,)t+都成立．令函数2239()23248gtttt=−=−−，对称轴为3t4=，开口向上，由二次函数的性质知，()gt在区间[2,)+上是增函数，所以当2

t=时，函数()gt取得的最小值为()2222322g=−=，则得2a−，解得2a−．所以实数a的取值范围是(2,)−+．19.某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆

BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知2π3ABC=，π3ACD=，路宽24AD=米．设ACB=（ππ64）．（1）当π6=时，求ABC的面积

；（2）求灯杆BC与灯柱AB长度之和L（米）关于的函数解析式，并求当为何值时，L取得最小值．【为【答案】（1）483平方米π8316sin23y=++（2）π8316sin23y

=++（ππ64），且当π4=时，L取得最小值【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理及正弦定理，结合三角形的面积公式即可求解；（2）根据已知条件的出角之间的关系，利用正弦定理求出AC,BC，AB及两角差的正弦公式及二倍角公式，结合辅助角公式及正弦

函数的性质即可求解.【小问1详解】因为π6ACB=，2π3ABC=，所以π6BAC=．由题意得π2BAD=，所以π3CAD=，因此ACD是等边三角形，所以24AC=．在ABC中，由正弦定理得sinsinABACACBB=，

即24π2πsinsin63AB=，解得83AB=，所以ABC的面积等于1π11sin24834832622ACAB==（平方米）．所以ABC的面积等于483平方米．【小问2详解】因为2π3ABC=，ACB=，所以π3BAC

=−．又因为灯柱AB与地面垂直，即π2BAD=，所以π6CAD=+．因为π3ACD=，所以π2ADC=−．在ACD中，由正弦定理得sinsinADACACDADC=，即24ππsinsin32AC=−，解得163cosAC=．又在ABC中，由正弦定理得s

insinsinABACBCACBBBAC==，即163cos2ππsinsinsin33ABBC==−，解得16sin2AB=，π32cossin3BC=−，则得8383cos28sin2BC=+−，所以8383c

os28sin2LABBC=+=++，化简得π8316sin23y=++（ππ64）．因为ππ64，则得2ππ5π2336+，所以当π5π236+=，即π4=时，()min831y=+（米）．所以L关于的

函数解析式为π8316sin23y=++（ππ64），且当π4=时，L取得最小值．20.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的一条渐近线的方程为0113xy=，它的右顶点与抛物线2Γ43yx=：的焦点重合，经过点(9,0)A−且不垂直于

x轴的直线与双曲线C交于M、N两点．（1）求双曲线C的标准方程；（2）若点M是线段AN的中点，求点N的坐标；（3）设P、Q是直线9x=−上关于x轴对称的两点，求证：直线PM与QN的交点必在直线13x=-上．【答案】（1）221339xy−=（2）点N的坐标为4,13)（或

4,13)−（（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意得133baa==，解得339ab==，即可求解；（2）设0(Nx，0)y，因为M是线段AN的中点，所以009(,)22xyM−，代入双曲线方程即可求解；（3）由题意可设直线MN的方程为(9)ykx=+，与双曲线方程联

立后整理即可得证．【小问1详解】由题意得133baa==，解得339ab==，所以双曲线C的标准方程为221339xy−=；【小问2详解】设0(Nx，0)y，因为M是线段AN的中点，所以009(,)22xyM−

，则得22220000(9)1,133934394xyxy−−=−=，解得04x=，013y=，所以所求点N的坐标为(4,13)或(4,13)−；小问3详解】证明：由题意可设直线MN的方程为(9)ykx=+，联立方程组22

1339(9)xyykx−==+，消去y，并整理得22222(13)183(2713)0(130)kxkxkk−−−+=−，设1(Mx，1)y，2(Nx，2)y，由一元二次方程根与系数的关系，得22121222183(2713),1313

kkxxxxkk++==−−−，又设(9,)Pt−，(9Q−，)(0)tt−，则得直线PM的方程为11(9)9ytytxx−−=++，直线QN的方程为22(9)9ytytxx++=++，两个方程相减得21212()(9)99ytyttxxx+−=−++

+①，因为21211221211212(9)(9)(18)99999()81ytytkxtkxttxxxxxxxxxx+−+++−++−=−=+++++++，把它代入①得121212182(9)9()81xxxxxxx++=++++，所以2222121221223(271

3)182[]9()29()11313181831813kkxxxxkkxkxxk+−+++−−===−+++−，因此直线PM与QN的交点在直线13x=-上．【21.若项数为*(Nkk且3)k…的有穷数列{}na满足：12231||||||kkaaaaaa−−−−剟?，则称数列

{}na具有“性质M”．（1）判断下列数列是否具有“性质M”，并说明理由；①1，2，4，3；②2，4，8，16．（2）设1||(1mmmbaam+=−=，2，，1)k−，若数列{}na具有“性质M”，且各项互不相同．求证：“数列{}na为等差数列”的充要条件是“数列{}mb为常

数列”；（3）已知数列{}na具有“性质M”．若存在数列{}na，使得数列{}na是连续k个正整数1，2，，k的一个排列，且12231||||||2kkaaaaaak−−+−++−=+，求k的所有可能的值．【答案】（1）数列1，2，4，3不具有“性质M”；数列2，

4，8，16具有“性质M”（2）证明见解析（3）4k=或5【解析】【分析】（1）按照题目给出的定义：数列{}na具有“性质M”直接判断；（2）根据充要条件的概念直接证明；（3）根据条件可知12||aa−，23||aa−，1||kkaa−−逐渐增大，且最小值为1，分情况

可求之．【小问1详解】解：|24||43|−−，该数列不具有“性质M”；|24||48||816|−−−，该数列具有“性质M”；【小问2详解】证明：充分性，若数列{}mb是常数列，则1(1,2,3,1}mmbmkb+==−，即112||||mmmmaaaa++−+−=，112mmm

maaaa+++−=−或112()mmmmaaaa+++−=−−又数列{}na且各项互不相同，112mmmmaaaa+++−=−，数列{}na为等差数列；必要性，若数列{}na为等差数列，则1||||mmaad+−=，即||mbd=，数列{}mb为常数列；【小问3详解】解：数列{}na是连

续k个正整数1，2，，k的一个排列，当3k=时，1||2(1,2)mmaak+−=„，1223|||||45aaaa−+−„，不符合题意；当4k=时，数列3，2，4，1满足，122334||||||6aaaaaa−+−+−=，符合题意；当5k

=时，数列2，3，4，5，1满足12233445|||||||7aaaaaaaa−+−+−+−=，符合题意；当6k…时，令1||(1mmmbaam+=−=，2，，1)k−，则12311kbbbb−剟剟?，且1212kbbbk−+++=+，mb的取值

有以下三种可能①1(1,2,,2)4(1)mmkbmk=−==−，②1(1,2,4)2(3,2,1)mmkbmkkk=−==−−−，③1(1,2,,3)2(2)3(1)mmkbmkmk=−==−=−，当1(1,2,,2)4(1)mmkbmk=−

==−时，1232kbbbb−====，由（2）知1a，2a，3a，,1ka−是公差为1或1−的等差数列，若公差为1时，由14kb−=得14kkaa−=+或14kkaa−=−，1142kkaaakk−=+=++，不合题意，1154

6kkkaaaka−−=−=+−=不合题意；若公差为1−，同上述方法可得不符合题意；当满足②1(1,2,4)2(3,2,1)mmkbmkkk=−==−−−，③1(1,2,,3)2(2)3(1)mmkbmkmk=−

==−=−时，同理可证不符合题意，故：4k=或5．【点睛】本题考查了给出新定义求解问题，数列的通项公式，充要条件等知识，综合性较强，是难题．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com