【文档说明】山西省运城市2022-2023学年高三上学期期末调研测试数学试题 含解析.docx，共(27)页，2.371 MB，由小赞的店铺上传

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运城市2022-2023学年第一学期期末调研测试高三数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U＝R，A＝{x|0＜x≤3}，B＝{x|x＜1

}，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{x|1≤x＜3}B.{x|1＜x≤3}C.{x|1＜x＜3}D.{x|1≤x≤3}【答案】D【解析】【分析】图中阴影部分表示的集合为UABð，结合已知中的集合A

，B，可得答案．【详解】图中阴影部分表示的集合为UABð，全集U＝R，A＝{x|0＜x≤3}，{|1}Bxx=，{|1}UBxx=ð{|13}UxxAB=ð，故选：D．2.已知i,1iaaRz+=+（i为虚数单位）是纯虚数，则=a（）A.1−B.0C.1D.

2【答案】A【解析】【分析】化简复数，由于复数是纯虚数，则实部为0，虚部不为0.【详解】()()()()2i1iiiii(1)(1)i(1)(1)i1i1i1i2222aaaaaaaaz+−+−+−++−+−=====+++−因为复数为纯虚数，

则102102aa+=−，所以1a=−.故选：A3.已知双曲线222:1(0)4xyCbb−=的一条渐近线方程为12yx=，则C的焦距为（）A.3B.5C.23D.25【答案】D【解析】【分析】由题知双曲线的焦点在x轴上，1b=，进而得2225cab=+=，再求

焦距即可.【详解】解：由题知双曲线的焦点在x轴上，24a=，即2a=，所以，双曲线的渐近线方程为2bbyxxa==，因为双曲线222:1(0)4xyCbb−=的一条渐近线方程为12yx=，所以1b=，所以2225ca

b=+=，所以，C的焦距为25.故选：D4.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若,ABCD都是直角圆锥SO底面圆的直径，且3AOD=，则异面直线SA与BD所成角的余弦值为（）A.13B.24C.64D.63【

答案】C【解析】【分析】根据已知条件证明//DBAC，得到SAC或其补角为异面直线SA与BD所成的角.在SAC中利用余弦定理计算可得结果.【详解】如图，连接,,,ADBCACSC.的因为O为,ABCD中点，且ABCD=，所以四边形

ADBC为矩形，所以//DBAC，所以SAC或其补角为异面直线SA与BD所成的角.设圆O的半径为1，则2SASC==.因为3AOD=，所以3ADO=.在直角DAC△中，2CD=，得3AC=.所以222(2)(3)(2)6cos4223SAC

+−==，所以异面直线SA与BD所成角的余弦值为64.故选：C.5.已知函数()fx的部分图象如图所示，则函数()fx的解析式可能为（）A.()32xxxfx−=B.()3exxxfx−=C.()3lnfxxx=D.()()2e1xfxx=

−【答案】B【解析】【分析】由函数的奇偶性与单调性判断，【详解】由图知函数()fx是奇函数，对于A，283(2)42f−==−，28(2)2414f−+−==，故()fx是非奇非偶函数，故排除A，对于C，当1x时，()3lnfxxx=为单调递增函数，故排除C，对于D，()2(()

1)exxfxfx=−−=，则()fx是偶函数，故排除D，故选：B6.已知3ππ,2，若22sin291cos2+=−，则cossincossinαααα+=−（）A.3−B.3C.97D.9

7−【答案】B【解析】【分析】由题知sin0,cos0，进而结合二倍角公式整理得sincos3sin+=，即2sincos=，再代入求解即可.【详解】解：因为3ππ,2，sin0,cos0，

()()()()222221sin2212sincossincos22sin291cos22sinsin112sin++++====−−−，所以sincos3sin+=，即2sincos=所以cos

sin2sinsin3cossin2sinsinαααααααα++==−−.故选：B7.已知实数,ab满足()23e,ln1eaabb−=−=，其中e是自然对数的底数，则ab的值为（）A.eB.2eC.3eD.

4e【答案】C【解析】【分析】由题知()()ln0,2ln1lnln102abba−−=−−−−=，进而构造函数()2lnfxxx=−−，再根据函数()fx的单调性得1lnab+=，再与2lnaa−=求和整理即可得答案.【详解】解：由题知2e0aa−=，所

以()32ln,lnlnln1abab−=+−=，所以()()ln0,2ln1lnln102abba−−=−−−−=令()2lnfxxx=−−，则()()ln10fabf=−=，因为，()1110xxxxf+=−−=−

恒成立，所以，()2lnfxxx=−−在()0,+上单调递减，所以，()()ln10ln1fafbab=−==−，即1lnab+=因为2lnaa−=，所以12lnlnln3aaabab++−=+==，即3eab=故选：C8.已知nS为数列na的前n项和，且满

足(1)2nnnnSa−=−−，则56SS+=（）A.164−B.132−C.116−D.164【答案】A【解析】【分析】由题，当1n=时，114a=−，当2n时11(1)(1)2nnnnnnaaa−=−+−+，进而分奇偶性讨论得12nn

a=，n为正偶数，112nna+=−，n为正奇数，再求和即可.【详解】解：因为(1)2nnnnSa−=−−，所以，当1n=时，11112Saa−==−−，解得114a=−，当2n时，11111(1)2(11)2(

1)2(1)nnnnnnnnnnnnnnaSaaaaS−−−+−−−=−−+=−−−++=−−，所以，当n为偶数时，11,22nnan−=−，故112nna+=−，n为正奇数；当n为奇数时，121122nnnnaa−+−=−=

，即1112nna−−=，故12nna=，n为正偶数；所以224466565661111111122222226422SSSa+=+=−+−++−=−−=，故选：A二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对

得2分，有选错的得0分）9.近年来､新冠疫情波及到千家万户，人们的生活方式和习惯不得不发生转变，短视频成了观众空闲时娱乐活动的首选．某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众

发放了线上调查问卷，共回收有效样本4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A.图中0.028a=B.在4000份有效样本中，短视频观众年龄在10~20岁的有1320人C.估计短视频观众的平均年龄为32岁D.

估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁【答案】CD【解析】【分析】根据频率和为1可构造方程求得a，知A错误；由频率和频数的关系可求得观众年龄在10~20岁的人数，知B正确；由平均数和百分位数的估计方法可验证知CD正确.【详解】

解：对于A，()0.0150.0330.0110.011101a++++=，0.03a=，A错误；对于B，由频率分布直方图知：短视频观众年龄在10~20岁人对应频率为0.15，短视频观众年龄在10~20岁的有400

00.15600=人，B错误；对于C，平均年龄()0.015150.033250.03350.011450.011551032x=++++=，C正确；对于D，设75%分位数为x，则()0.015100.03310300.030.

75x++−=，解得：39x=，D正确.故选：CD.10.已知函数()()ππsin322fxx=+−的图像关于直线π4x=对称，则（）A.()fx满足ππ1212fxfx+=−−

B.将函数()fx的图像向左平移π4个单位长度后与()cos3gxx=图像重合的C.若()()122fxfx−=，则12xx−的最小值为3D.若()yfx=在,ab上单调递减，那么ba−的最大值是3【

答案】ABC【解析】【分析】由题知π4=−，()πsin34fxx=−，进而结合三角函数的性质依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为函数()()sin322fxx=+−的图像关于直线π4x=对称，所以3πππ,Z42kk+=+，即ππ,

Z4kk=−+，因为ππ22−，所以π4=−，即()πsin34fxx=−，对于A，πππsin3sin31244fxxx+=+−=，()πππsin3sin3sin31244fxxxx

−−=−−−=−−=，故ππ1212fxfx+=−−，A正确；对于B，函数()fx的图像向左平移π4个单位长度后得到的函数解析式为()πππsin3sin3cos3442

yxxxgx=+−=+==，故B正确；对于C，设函数()fx的最小正周期为T，则2π3T=，因为()()maxmin1,1fxfx==−，故当()()122fxfx−=时，12min112ππ2233xxT−===，故C正确

；对于D，()πsin34yfxx==−在,ab上单调递减，那么ba−的最大值是1π46T=，故D错误.故选：ABC11.已知直线:50lxy−+=，过直线上任意一点M作圆22:(3)4

Cxy−+=的两条切线，切点分别为,AB，则有（）A.MA长度的最小值为422−B.不存在点M使得AMB为60C.当MCAB最小时，直线AB的方程为210xy−−=D.若圆C与x轴交点为,PQ，则MPMQ的最小值为28【答案】BD

【解析】【分析】由题知圆C的圆心为()3,0，半径为2r=，进而根据圆的切线问题依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：由题知圆C的圆心为()3,0，半径为2r=，对于A，因为圆心()3,0到直线:50lxy−+=的距离为8422d==，所

以min42MC=，故22minmin27MAMCr=−=，故A错误；对于B，假设存在点M使得AMB为60，如图，则30=AMC，故在RtAMC△中，24MCr==，由A选项知min424MC=，故矛盾，即不存在点M使得AMB为60，故B正确；对于C，由于MCAB⊥

,故四边形MACB的面积为1222MACBMACSMCABSMArMA====△，所以，4MCABMA=，故当MCAB最小时，MA最小，由A选项知22minmin27MAMCr=−=，此时MCl⊥，//lAB，即直线AB的斜率为1，由于直线2

10xy−−=的斜率为12，故C错误；对于D，由题知()()1,0,5,0PQ，设(),5Mxx+，则()()()()()221,55,55152430MPMQxxxxxxxxx=−−−−−−=−−++=++()2212828x=++，当且仅当=1x−时等号成立，故MPMQ的最小

值为28，故D正确；故选：BD12.已知直三棱柱111ABCABC-中，1,2,ABBCABBCBBD⊥===是AC的中点，O为1AC的中点．点P是1BC上的动点，则下列说法正确的是（）A.无论点P在1BC上怎么运动，都有11APOB⊥B.当直线1AP与平面

11BBC所成的角最大时，三棱锥PBCD−的外接球表面积为4C.若三棱柱111ABCABC-，内放有一球，则球的最大体积为43D.1OPB△周长的最小值321++【答案】ABD【解析】【分析】由题知1,,ABBCBB两两垂直，故以B为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，进而

利用110APOB=判断A；根据向量求解线面角得P是1BC的中点时直线1AP与平面11BBC所成的角最大，进而求解几何体的外接球判断B；根据RtABC△内切圆的半径为221r=−判断C；根据P是1B

C的中点时11,OPBCOPBP⊥⊥求解判断D.【详解】解：因为直三棱柱111ABCABC-中，1BB⊥平面ABC，因为,ABBC平面ABC，所以11,BBABBBBC⊥⊥，因为ABBC⊥所以，1,,ABBCBB两两垂直，故以B为坐标原

点，如图建立空间直角坐标系，因为12,ABBCBBD===是AC的中点，O为1AC的中点，点P是1BC上的动点则()0,0,0B，()2,0,0C，()10,2,2A，()10,0,2B，()12,0,2C，()1,1,1O，()1,1,0

D，()(),0,02Paaa对于A选项，()()11,1,1,1,2,2AaPaOB==−−−−，11220AaPOBa=−++−=，故11APOB⊥，11APOB⊥，A正确；对于B选项，由题已知

平面11BBC的法向量为()0,1,0n=，()1,2,2aAaP=−−，设直线1AP与平面11BBC所成的角为，所以，()()1221222226sin324842216naaAPaaaAPn====−+++−−+，当且仅当1a

=时等号成立，此时P是1BC的中点，2,BDCDBPCPDP=====2BC=，此时BC中点E到,,,BCDP点的距离均为1，故三棱锥PBCD−的外接球心为E，半径为1，所以，三棱锥PBCD−的外接球表面积为4，故B正确；对于C选项，三

棱柱111ABCABC-，内放有一球，当球的体积最大时，为该三棱柱的内切球，由于RtABC△内切圆的半径为221r=−，故三棱柱111ABCABC-内切球的半径为22r=−，其体积不等于43，故C错误；对于D，当P是1BC的中点时，此时()0,1,0OP=−，()11,0,1BP

=−，()12,0,2BC=此时110,0OPBCOPBP==，即11,OPBCOPBP⊥⊥，所以当P是1BC的中点时，11,OPBCOPBP⊥⊥，即1,OPBP取得最小值，分别为11,2OPBP==因为13OB=所以，1OPB△周长

的最小值321++，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知7270127(23)(1)(1)(1)xaaxaxax−=+−+−++−，则2a=__________．【答案】84−【解析】【分析】令1xt−=，则1xt=+，进而7270127(

21)taatatat−=++++，再根据通项公式求解即可.【详解】解：令1xt−=，则1xt=+，所以7270127(23)(1)(1)(1)xaaxaxax−=+−+−++−等价于7270127(21)taatat

at−=++++，所以7(21)t−展开式的通项为()()()777177C12C12,0,1,2,,7kkkkkkkkTttk−−−+=−=−=，令72k−=得5k=，所以，()557572C1284a−−=−=故答案为：84−14.已知1,3,4abab==−=，则向量a在

向量b上的投影向量为__________．【答案】13b−##3b−【解析】【分析】由题知3ab=−，进而根据投影向量的概念求解即可.【详解】解：因为1,3,4abab==−=所以222212916abaa

bbab−=−+=−+=，解得3ab=−，所以，向量a在向量b上的投影向量为3193babbbbb−==−故答案为：13b−15.已知定义在R上偶函数()fx满足3310,(2022)22efxfxf−−−−

==，若()()fxfx−，则不等式1e(3)exfx+的解集为__________．【答案】(0,)+【解析】【分析】根据函数的满足的性质推得其周期，进而推得32e(3)ef=，再由

()()fxfx−集合偶函数的求导可得()()0fxfx+，可构造函数()()xgxefx=，并判断其单调性，从而将1e(3)exfx+化为323e(3)ee(3)xfxf++=，即(3)(3

)gxg+，利用函数单调性，即可求得答案.【详解】33()()0,22fxfx−−−−=且()fx是定义在R上的偶函数，333()()()222fxfxfx−=−−=+，以32+x代换x，得()(3)fxfx=+，∴()fx是以3为周期的周期函数，故()(120223

6733eff=+=），即321(3),e(3)eeff==﹔由()()fxfx−=可得()()fxfx−−=，即()()fxfx−=−，又()()()fxfxfx−=−，即()()0fxfx+，令()(

)xgxefx=，则()e[()()]0xgxfxfx=+，∴()()xgxefx=为R上的增函数，∴不等式1e(3)exfx+即323e(3)ee(3)xfxf++=，即(3)(3)gxg+，∴33

,0xx+，即不等式1e(3)exfx+的解集为(0,)+，故答案为：(0,)+16.椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左右焦点分别为12,,FFMN、为椭圆上位于x轴上方的两点，且满足12FMFN∥，若221,,FNFMFM构成公比为2的等比数列，则C

的离心率为__________．的【答案】10515##110515【解析】【分析】设2FNx=，进而结合题意，根据椭圆的定义得215,33aaFNFN==，2124,33aaFMFM==，再结合余弦定理，根据1212coscos0FFNMFF+

=得22157ca=，进而可求得答案.【详解】解：设2FNx=，因为221,,FNFMFM构成公比为2的等比数列，所以221,2,4FNxFMxFMx===，因为由椭圆的定义知2126FMFMax+==，212FNFNa+=，所以3

ax=，即215,33aaFNFN==，2124,33aaFMFM==所以在12MFF△中，222222112222211122216412441236999cos4162482233acaacacMFFcFcMFFFaacaFMMFF++−++=

===−，在12NFF△中，2222222222121211222125844812993cos4242233accFFFcNNaFacacFNFFFFNaaac+−−+−+==−==+，因为12

FMFN，所以2222222212121236812123696144coscos048448acacacacFFNMFFacacac+−++−++=+==，所以，整理得22157ca=，即22715ca=，所以，椭圆的离心率2715e=，10515e=故答案为：10515

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设等差数列na的前n项和为nS，已知371518,10aaaa+=+=，各项均为正数的等比数列nb满足351551,

1616bbbb+==．（1）求数列na与nb的通项公式；（2）设()22nnnancb++=，求数列nc的前n项和nT．【答案】（1）21nan=−，112nnb−=（2）3772nnnT+=−【解

析】【分析】（1）根据等差数列通项公式与等比数列性质计算得12,1da==，5116b=，314b=，12q=，进而求解通项公式即可；（2）由题知312nnnc+=，进而根据错位相减法求解即可；【小问1详解】解：设等差数列的公差为d，因为37151

8,10aaaa+=+=所以37115128182410aaadaaad+=+=+=+=，解得12,1da==，所以()12121nann=+−=−因为各项均为正数的等比数列nb满足351551

,1616bbbb+==，所以2153116bbb==，即314b=，故5116b=，所以，等比数列nb的公比为25314bqb==，解得12q=，所以3133111422nnnnbbq−−−===所以21nan=−，112nnb−

=.【小问2详解】解：由题知()12223nnnnancbn=+++=，所以12314710323122222nnnnnT−−+=+++++；2341147103231222222nnnnnT+−+

=+++++，所以，12341143333312222222nnnnT++=+++++−121111111112243143131733131122222222212nnnnnnnnn−−+++−+++

=+−=+−−=−−−111763173722222nnnnn+++++=−−=−所以3772nnnT+=−18.在锐角ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，且满足：

coscoscos.coscosCABaBbAab+=++（1）求角C的大小；（2）若3c=，角A与角B的内角平分线相交于点D，求ABD△面积的取值范围．【答案】（1）π3（2）93333,44−【解析】【分析】（1）根据正弦边化角，并结合恒等变换得

()()sinsinCABC−=−，再结合题意得2CAB=+，进而根据内角和定理得答案；（2）由题，结合（1）得2π3ADB=，设DAB=，则3ABD=−，进而根据锐角三角形得ππ124，在在ABD△中，由正弦定理得πn323siAD−=，进而33π3323

sin22s411ssin32πin6n2i3ABDSADAB==+−−=△，再根据三角函数性质求范围即可.【小问1详解】解：因为coscoscoscoscosCABaBbAab+=++所以coscoscossincossincossinsinCAB

ABBAAB+=++，即()coscoscoscossinsinsinsinCCABABCAB+==++所以sincossincossincossincosCACBACBC+=+，所以sincossincossincossincosCAACBCCB

−=−，即()()sinsinCABC−=−，因为在锐角ABC中，ππππ,,,2222CABC−−−−，所以CABC−=−，即2CAB=+，因为πABC++=，所以3πCABC=++=，解得π3C=所以π3C=【小问2详解】

解：因为π3C=，角A与角B的内角平分线相交于点D，所以11,22DABCABDBAABC==，所以()111ππ2223DABDBACABABCC+=+=−=所以2π3ADB=，设DAB=，则3ABD=−，因为ABC为锐角三角形，所πππ02,0π223

2B=−−，解得ππ124所以，在ABD△中，由正弦定理sinsinABADADBABD=得sin23sin3π3sinπ3sin2π3sinABABDADADB=−

==−，所以，ABD△面积2π3sin11snsin3i223ABDSADAB−==△293333π333sincossinsin2222π3sinsin346=−=−=+−因为ππ,124

，所以ππ2π2,633+，所以π3sin2,162+，所以33π3393333sin2,26444−+−，所以，ABD△

面积的取值范围是93333,44−.19.为了迎接2022年世界杯足球赛，某足球俱乐部在对球员的使用上一般都进行一些数据分析，在上一年的赛季中，A球员对球队的贡献度数据统计如下：球队胜球队负总计A上场22rA未上场s1220总计50（1）求,rs的值，据此能否有99%

的把握认为球队胜利与A球员有关；（2）根据以往的数据统计，B球员能够胜任前锋､中锋､后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为：0.2,0.3,0.2,0.3，当出任前锋､中锋､后卫以及守门员时，球队赢球的概率依次为：0.2,0.2,0.4,0.3，

则：①当他参加比赛时，求球队某场比赛赢球的概率；②当他参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求B球员担当守门员的概率；③在2022年的4场联赛中，用X表示“球队赢了比赛的条件下B球员担当守门员”的比赛场次数，求X的分布列及期望．附表

及公式：()2Pk≥0.150.100.050.0100.0050.001k2.0722.7063.8416.6357.87910.828()()()()22()nadbcabcdacbd−=++++．【答案】（1）8r=，8s=，没有99%的把握认为

球队胜利与A球员有关；（2）①0.27；②13；③分布列见解析，43.【解析】【分析】（1）根据列联表中的数据补全，再根据独立性检验求解即可；（2）①根据独立事件的乘法公式求解即可；②根据条件概率计算求

解即可；③由题知14,3XB，进而根据二项分布求解即可.【小问1详解】解：根据题意，补全列联表如下表：球队胜球队负总计A上场22830A未上场81220总计302050所以，8r=，8s=，2250(221288)502500200505.5630203020302030239

606.−===所以，没有99%的把握认为球队胜利与A球员有关【小问2详解】解：①根据题意，记B球员参加比赛时，球队某场比赛赢球为事件A，()0.20.20.30.20.40.20.30.30.27PA=+++=，所以，B球员参加比赛时，球队某场比赛赢

球概率为0.27.②记B球员担当守门员为事件B，则()0.30.30.09PAB==，所以，当B球员参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，B球员担当守门员的概率为()PBA，因为()()()0.0910.273

PABPBAPA===.所以，B球员参加比赛时，在球队赢了某场比赛条件下，B球员担当守门员的概率为13③由②知，球队赢了比赛的条件下B球员担当守门员的概率为13，由题知X的可能取值为0,1,2,3,4，且14,3XB所以()400421160C=3381P

X==；()311421321C=3381PX==；()2224212482C==338127PX==；()13342183C=338

1PX==；()04442114C3381PX===.所以，X的分布列如下表，X01234P16813281827881181所以，()14433EX==20.如图，水平面上

摆放了两个棱长为23的正四面体PABD和QABC．的的（1）求证：ABPQ⊥；（2）求二面角PAQB−−的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）3333【解析】【分析】（1）连接CD与AB交于点O，过点,PQ分别作PE⊥平面ABD，QF⊥平面ABC，垂足分别为,EF，进而证明四边形PQFE为平

行四边形，四边形ABCD时菱形即可证明结论；（2）取线段PQ的中点M，连接OM，证明OM⊥平面ACBD，进而根据ABCD⊥可以以点O为坐标原点，,,OAOCOM所在直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，再

根据向量法求解即可.【小问1详解】证明：因为ABD△与ABC共面，所以，连接CD与AB交于点O，因为四面体PABD和QABC是相同的正四面体，所以，ABD△与ABC均为等边三角形，即ACBCABADBD====，所以，四边形ABCD时菱形，则O为CD

与AB中点，过点,PQ分别作PE⊥平面ABD，QF⊥平面ABC，垂足分别为,EF，所以，由正四面体的性质可知，,EF分别为ABD△、ABC的中心，且,EF在DC上，//PEQF，因为正四面体PABD的棱长为23，所

以2sin603,2,13ODADDEODEOFO======，因为PE⊥平面ABD，DE平面ABD，所以PEDE⊥，2222PEPDDE=−=，同理得22QF=，所以，QFPE=，故四边形PQFE为平行四边形，所以//PQCD，因为四边形ABCD时菱形，CDAB⊥，所以ABPQ⊥【小问2详

解】解：由题知23AD=，取线段PQ的中点M，连接OM，易知113OEOFOD===，故O为EF中点，因为四边形PQFE为平行四边形，所以//,PQEFPQEF=，因为,OM分别为,EFPQ中点，所以//,OEPMOEPM

=，所以四边形PEOM为平行四边形，所以//OMPE，所以OM⊥平面ACBD，因为ABCD⊥，所以，以点O为坐标原点，,,OAOCOM所在直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则(3,0,0),(3,0,0),(0,1,22),(0

,1,22)ABPQ−−，设平面PAQ的法向量为()111,,mxyz=，(0,2,0),(3,1,22)PQAP==−−则1111203220mPQymAPxyz===−−+=，令122x=得113,0zy==，故

(22,0,3)m=，设平面BAQ的法向量为()222,,xnyz=，(3,1,22),(23,0,0)BQBA==，则22222303220nBAxnBQxyz===++=，令222y=得221,0zx=−=，故(0,22,1)n=−，所以，333cos,

33311mnnmmn−===−，由图可知，二面角PAQB−−的平面角为锐角，所以二面角PAQB−−的余弦值为333321.已知抛物线2:4Cyx=的焦点为F．（1）如图所示，线段AB为过点F且与x轴垂直的弦，动点P在线段AB上，过点P且斜率为1的直线l与抛物线交于()()1122,,,Nx

yMxy两点，请问12yy+是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；（2）过焦点F作直线0l与C交于EQ､两点，分别过EQ､作抛物线C的切线，已知两切线交于点()1,Rm−，求证：直线RQ､RF、RE的斜率成等差数列．【答案】（1）12yy+是定

值;定值为4.（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得,,FAB的坐标，设00(1,),[2,2]Рyy−，可得直线l的方程，联立抛物线方程，由根与系数关系可得结论；（2）设直线0l的方程为；1xny=+，设

点223434(,),(,)44yyEyQy，联立直线和抛物线方程，由根与系数关系可得344yy−=，利用直线斜率公式表示直线RQ､RF、RE的斜率，化简可证明结论.【小问1详解】依题意知(1,0)F，将1x=代入2

:4Cyx=可得(1,2),(1,2)AB−，设00(1,),[2,2]Рyy−，所以直线l的方程为01yxy=−+，联立方程2041yxyxy==−+，得：204440yyy−+−=,当02,0y==不满足题意舍去，则12124,yyyy+=+是定值.【小问2详

解】证明：依题意设直线0l的方程为；1xny=+，设点223434(,),(,)44yyEyQy,联立方程241yxxny==+得：2440yny−−=，216(1)0n=+，344344,yyyy−=−=，又()1,Rm−,点F坐

标为()1,0,∴2RFmk=−,334433232224444114RQmyymyymyyky−−−−−===+++，23332314444REymymkyy+−−==+，33323223444244R

QRERFymyymkmkyyk−−−+=+=−=++，所以直线RQ､RF、RE的斜率成等差数列．【点睛】方法点睛：证明直线RQ､RF、RE的斜率成等差数列时，要利用斜率公式表示出直线RQ､RF、RE的斜率，说明他们的斜率满足2RQRERFk

kk+=，因此解答时需要设直线方程以及交点坐标，联立抛物线方程，得到根与系数的关系式，然后化简整理，证明2RQRERFkkk+=即可.22.已知()()ln1fxxx=−−−．（1）求证：()0fx恒成立；（2）令()2cosππgxxx=+，讨论()()()Fxfxgx=+在3,

12x−上的极值点个数．【答案】（1）证明见解析；（2）()Fx在3(,1)2x−上有3个极值点.【解析】【分析】（1）求得函数定义域，求出函数的导数，判断正负，确定函数单调性，即可证明结论；（2）求出函数()()()Fxfxgx=+的导数，对x的取值分段

讨论，判断导函数的正负，从而判断导函数的变号零点个数，从而可判断函数的极值点个数.【小问1详解】证明：由10x−,得()()ln1fxxx=−−−的定义域为(),1−,1()1,(1)11xfxxxx=−=−−,当01x时，()0fx¢>，()fx单调递增，当0x时，()

0fx，()fx单调递减,∴()()00fxf=，即()0fx恒成立.【小问2详解】()()()2ln(1)cosππFxfxgxxx=+−−+=，1()2sinπ1Fxxx=−−,3(,1)2x−,①当(,1]23x−−,11yx=−单调递增，2sinπyx

=单调递减,所以1()2sinπ1Fxxx=−−在(,1]23x−−上单调递增，又32()2025F−=−，1(1)002F−=−,所以在(,1]23x−−上()Fx有一个变号零点故(

)Fx在(,1]23x−−上有一个极值点；②当(1,0x−时，101x−，2sinπ0x，所以1()2sinπ01Fxxx=−−，()Fx此时单调递增，()Fx在这一区间内无极值点；③当1(0,]2x，令1()()2si

nπ1hxFxxx==−−，21()2πcosπ(1)hxxx=−−，又21(1)yx=−在1(0,]2x上单调递增，2πcosπyx=在1(0,]2x上单调递减，所以()hx在1(0,]2x上单调递

增，又(010)2πh=−，1()402h=，所以存在01(0,]2x使得()0hx=，所以()hx在()00,x上单调递减，在01(,]2x上单调递增，又(0)10h=，141()220,()0432hh=−=，所从()hx在2]1(0,x有1个变号零点，所以(

)Fx有1个极值点；④当1(,1)2x时，122sinπ,()01xFxx−，函数单调递增，所以()Fx这一区间内无极值点，结合③④可知12也是()Fx的一个极值点，综上()()()Fxfxgx=+在3(,1)2x−上有3个极值点.【点睛】方法点睛：判断函数极值点的个数问题，即是判

断其导数有无变号零点的问题，解答时要注意到判断导数的正负时，要进行分类讨论，并能结合零点存在定理，判断导函数的零点个数，从而判断函数的极值点问题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.c

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