【文档说明】山东省泰安市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试卷【精准解析】.doc，共(20)页，1.046 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年山东省泰安市高二（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．函数y＝x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1]B．（0，1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）2．已知函数f（x）＝ln（3x）+4x，

则＝（）A．5B．﹣5C．﹣10D．103．在4次独立试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率是，则事件A在一次试验中出现的概率是（）A．B．C．D．4．已知f′（x）是函数f（x）在R上的导函数，

函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．5．航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼﹣15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、

丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（）A．12种B．16种C．24种D．36种6．整数5555除以7的余数为（）A．6B．5C．3D．17．某学校高三（5）班要从8名班干部（其中5名男生，3名女生）中选取3人参加学校优秀班干部

评选，事件A：男生甲被选中，事件B：有两名女生被选中，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．8．某大学暑期将开展“贫困山区留守儿童支教”活动，学校打算安排3名老师和4名学生分别去甲，乙，丙三个山区，其中1名老师和2名学生去甲地支教，另外2名老师和2名学生分两组（每组老师和学生各1人）

分别去乙，丙两地支教，则所有不同的安排方案有（）A．36种B．48种C．72种D．144种二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，

有选错的得0分。9．下列结论正确的是（）A．若，则m＝3B．若，则n＝6C．在（1+x）2+（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）11的展开式中，含x2的项的系数是220D．（x﹣1）8的展开式中，第4项和第5项的二项式系数最大10．若随机变量X，Y的概率分布密度函数分别为f（x

）＝，g（x）＝，f（x），g（x）的图象如图所示，X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22）（σ1＞0，σ2＞0），则下列结论正确的是（）附：若随机变量Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤Z≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ≤

Z≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ≤Z≤μ+3σ）＝0.9973．A．B．σ1＜σ2C．P（X＞2）＝0.15865D．P（0.7＜Y≤1.3）＝0.042811．设随机变量ξ的分布列为，a∈R，E（ξ），D（ξ）分别为随机变量ξ的数学期望与方差，则下列结论正确的是（

）A．B．E（3ξ+1）＝7C．D（ξ）＝2D．D（3ξ+1）＝612．已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣asinx，a∈R，则下列结论正确的是（）A．当a＝1时，f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y＝0B．

当a＝1时，f'（x）在上存在唯一极大值点x0C．存在a，使得f（x）有且仅有2个零点D．存在a，使得f（x）有且只有一个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910P

x0.1y0.4已知ξ的数学期望E（ξ）＝8.9，则y＝．14．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%

，45%．现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为，取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为．15．如图所示，将一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有5种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同

的种法总数为．16．已知函数，若方程f（x）＝ax有三个不同的实数根，则a的取值范围是，四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知在二项式的展开式中，前三项系数的和是97．（1）求n的值；

（2）求其展开式中所有的有理项．18．如图是某市2014年至2020年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）的散点图．注：年份代码1～7分别对应年份2014～2020．（1）由散点图看出，可用一元线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（

2）建立y关于t的经验回归方程（系数精确到0.01），预测2022年该市生活垃圾无害化处理量．参考公式：，经验回归方程中，．参考数据：，，，．19．已知函数，其中a＞1．（1）若a＝2，求函数f（x）的图象在

点（2，f（2））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性．20．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的甲，乙两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用甲种生产方式，第二组工人用乙种生

产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如表格：完成任务工作时间（60，70]（70，80]（80，90]（90，100]甲种生产方式2人3人10人5人乙种生产方式5人10人4人1人（1）将完成生产任务

所需时间超过80min和不超过80min的工人数填入如表的列联表：生产方式工作时间合计超过80min不超过80min甲乙合计（2）根据（1）中的列联表，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为甲，乙两种生产方式的效率有差异？（3）若从完成生产任务所需的工作时间在（60，70]的工人中选取3

人去参加培训，设X为选出的3人中采用甲种生产方式的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．附：．α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.89710.82821．某果农在其承包的100亩果园中种植一种原生态水果（每年种植一季），每亩的种植成本为

5000元，由于受天气和市场供求关系的影响，此水果的亩产量和销售价格均具有随机性，且互不影响．根据近几年的数据得知，每季由产量为500kg的概率为0.4．亩产量为800kg的概率为0.6，市场销售价格c（单位：元/kg）与其概率p的关

系满足．（1）设X表示此果农某季所获得的利润，求X的分布列和数学期望；（2）求5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概率．22．已知函数，其中m≤2．（1）若m＝﹣2，求f（x）的极值；（2）证明：．参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．函数y＝x2﹣lnx的单调递

减区间为（）A．（﹣1，1]B．（0，1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）解：∵y＝x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），y′＝，∴由y′≤0得：0＜x≤1，∴函数y＝x2﹣lnx的单调递减区间为（0，1]．故选：

B．2．已知函数f（x）＝ln（3x）+4x，则＝（）A．5B．﹣5C．﹣10D．10解：根据题意，＝（﹣2）＝﹣2f′（1），函数f（x）＝ln（3x）+4x，其导数f′（x）＝+4，则f′（1）＝5，故＝﹣2f′（1）

＝﹣10，故选：C．3．在4次独立试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率是，则事件A在一次试验中出现的概率是（）A．B．C．D．【解答】解∵事件A在一次试验中发生的概率为p，事件A在一次试验中不发生的概率为1﹣p，

∵事件A至少发生1次的概率是，它的对立事件是“在4次独立试验中，事件A一次也没有发生”∴由条件知C44（1﹣p）4＝1﹣＝，解得p＝，故选：A．4．已知f′（x）是函数f（x）在R上的导函数，函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值，则函数y＝xf′（x）的图象可

能是（）A．B．C．D．解：由函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值，可得f′（﹣2）＝0，且函数f′（x）在x＝﹣2处的符号左负右正，故函数y＝xf′（x）在x＝﹣2处的符号左正右负，结合所给的选项，故选：C．5．航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降

飞行训练中，有5架歼﹣15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（）A．12种B．16种C．24种D．36种解：先考虑甲、乙两机，若甲、乙两机是12位置，则其余3架飞机有＝6种方法；甲、乙两机是23位置，则丁有，其余

2架飞机有种方法，共有＝4种方法；同理，甲、乙两机是34、45位置，均分别有4种方法，若乙、甲两机是12位置，则其余3架飞机有＝4种方法；乙、甲两机是23位置，则丁有，其余2架飞机有种方法，共有＝4种方法；同理，乙、甲两机是3

4位置，有4种方法乙、甲是45位置，则其余3架飞机有＝6种方法故共有2（6+4+4+4）＝36种不同的着舰方法．故选：D．6．整数5555除以7的余数为（）A．6B．5C．3D．1解：5555＝（56

﹣1）55＝C5505655（﹣1）0+C5515654（﹣1）1+C5525653（﹣1）2+•••+C5555560（﹣1）55，＝（C5505655﹣C5515654+C5525653+•••+C555456﹣7）

+6，因为C5505655﹣C5515654+C5525653+•••+C555456﹣7能被7整除，所以（C5505655﹣C5515654+C5525653+•••+C555456﹣7）+6除以7的余数为6，故选：A．7．某学校高三（5）班要从8名班干部（其中5名男生，3

名女生）中选取3人参加学校优秀班干部评选，事件A：男生甲被选中，事件B：有两名女生被选中，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．解：总的选法有：＝56种，男生甲被选中的概率为P（A）＝＝，有两名女生被选中的概率为

P（AB）＝＝；则P（B|A）＝＝，故选：B．8．某大学暑期将开展“贫困山区留守儿童支教”活动，学校打算安排3名老师和4名学生分别去甲，乙，丙三个山区，其中1名老师和2名学生去甲地支教，另外2名老师和2名学生分两组（每组老师和学生各1人）分别去

乙，丙两地支教，则所有不同的安排方案有（）A．36种B．48种C．72种D．144种解：根据题意，分3步分析：对于甲地，在3名老师中选出1人，在4名学生中选出2人，有＝18种安排方法，对于乙地，在剩下的2名老师中选出1人，在剩下

的2名学生中选出2人，有＝4种安排方法，对于丙地，剩下的剩下的1名教师、1名学生安排到丙地，有1种安排方法，则有18×4×1＝72种安排方法，故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的

得0分。9．下列结论正确的是（）A．若，则m＝3B．若，则n＝6C．在（1+x）2+（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）11的展开式中，含x2的项的系数是220D．（x﹣1）8的展开式中，第4项和第5项的二项式系数最大解

：若，则m＝3m﹣2或m+3m﹣2＝10，解得m＝1或m＝3，故A错误；若，则（n+1）n﹣n（n﹣1）＝12，求得n＝6，故B正确；在（1+x）2+（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）11的展开式中，含x2的项的系

数是+++•••+＝220，故C正确；（x﹣1）8的展开式中，第4项的二项式系数为，第5项的二项式系数，故只有第5项的二项式系数最大，故D错误，故选：BC．10．若随机变量X，Y的概率分布密度函数分别为f（x）＝，g（x）＝，f（x），g（x）的图象如图所示，X～N（μ1，σ12），Y～N（μ

2，σ22）（σ1＞0，σ2＞0），则下列结论正确的是（）附：若随机变量Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤Z≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ≤Z≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ≤Z≤μ+3σ）＝0.9973．A．B．σ1＜σ2C．P（X＞2）＝0.15865D．P（0.7＜Y≤1.

3）＝0.0428解：由解析式可得，μ1＝1，σ1＝1，μ2＝﹣0.5，σ2＝0.6，故A选项正确，B选项错误，P（X＞2）＝＝，故C选项正确，P（0.7＜Y≤1.3）＝P（﹣0.5+2×0.6＜Y≤﹣0.5+3×0.6）＝，故D选项

错误．故选：AC．11．设随机变量ξ的分布列为，a∈R，E（ξ），D（ξ）分别为随机变量ξ的数学期望与方差，则下列结论正确的是（）A．B．E（3ξ+1）＝7C．D（ξ）＝2D．D（3ξ+1）＝6解：∵，a∈R，∴P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，P（ξ＝5）＝，∴，解得a

＝1，P（0＜ξ＜3.5）＝P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝＝，故A选项正确，∵E（ξ）＝，∴E（3ξ+1）＝3E（ξ）+1＝3×2+1＝7，故B选项正确，D（ξ）＝，故C选项正确，D（3ξ+1）＝32D（ξ）＝9×2＝18，故D选项错误．故选：ABC．12．已知函数f（x）＝ln（x+

1）﹣asinx，a∈R，则下列结论正确的是（）A．当a＝1时，f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y＝0B．当a＝1时，f'（x）在上存在唯一极大值点x0C．存在a，使得f（x）有且仅有2个零点D

．存在a，使得f（x）有且只有一个零点解：对于A，当a＝1时，f（x）＝ln（x+1）﹣sinx，所以f（0）＝0，故切点为（0，0），又，则f'（0）＝0，则切线的斜率为k＝0，故切线的方程为y＝0，故选项A正确；对于B，当a＝1时，f（

x）＝ln（x+1）﹣sinx，则，令，则g'（x）＝在上单调递增，又，g'（0）＝﹣1＜0，所以存在，使得g'（x0）＝0，则在（﹣1，x0）上，g'（x）＜0，则g（x）单调递减，在上，g'（x）＞0，则g（x）单调递

增，所以f'（x）在上存在唯一的极小值点x0，故选项B错误；对于C，当a＝1时，f（x）＝ln（x+1）﹣sinx，又f（0）＝0，，所以在（π，+∞）上，f（x）＝ln（x+1）﹣sinx＞ln（π+1）﹣0＞0，所以函数f（x）仅有两个零点，故选

项C正确；对于D，当a＝0时，f（x）＝ln（x+1），因为y＝lnx在（0，+∞）上有且只有一个零点，所以f（x）＝ln（x+1）在（﹣1，+∞）上有且只有一个零点，故选项D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某

射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Px0.1y0.4已知ξ的数学期望E（ξ）＝8.9，则y＝0.3．解：由分布列的性质可得，x+0.1+y+0.4＝1，即x+y＝0.5，∵E（ξ）＝8.9，∴7x+8×0.1+9y+10×0.4＝8.9，即7x+9y＝4.1，联立，解得．故答案为：

0.3．14．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%．现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为0.0525，取到的零件

是次品，且是第3台车床加工的概率为．解：记Ai为事件“零件为第i（i＝1，2，3）台车床加工”，B为事件“任取一个零件为次品”，则P（A1）＝0.25，P（A2）＝0.3，P（A3）＝0.45，所以P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P

（B|A3），即P（B）＝0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05＝0.0525；所以P（A3|B）＝＝＝．故答案为：0.0525；．15．如图所示，将一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有5种不同的花供选种，要求在每块里种1种花

，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为260．解：根据题意，对于区域A，有5种不同的花卉供选择，有5种选法，对于区域B，与区域A相邻，有4种选法，对于区域C和D，若C与A的选择相同，D有4种选法，若C与D的选择不同，C有3种选法，D有3种

选法，此时有3×3＝9种选法，则区域C和D有4+9＝13种选法，故有5×4×13＝260种选法；故答案为：260．16．已知函数，若方程f（x）＝ax有三个不同的实数根，则a的取值范围是（0，），解：∵f（x）＝ax有三个不同的实数根，∴f（x）的图象与直线y＝ax有3个交点，作出

f（x）的图象如图所示：设y＝kx与曲线y＝lnx相切，切点为（x0，y0），则，解得，∴当0＜a时，直线y＝ax与f（x）有3个交点．故答案为（0，）．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．

已知在二项式的展开式中，前三项系数的和是97．（1）求n的值；（2）求其展开式中所有的有理项．解：依题意：＝，（1）∵前3项系数和是97，∴，解得n＝8或n＝﹣6（舍），∴n＝8．（2）若Tk+1为有理数，当且仅当为整数时，∵0≤k≤8，k∈Z，∴k＝0，2，4，6，8，∴展开式中的有理项共有5

项，分别为，T3＝112x，，，．18．如图是某市2014年至2020年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）的散点图．注：年份代码1～7分别对应年份2014～2020．（1）由散点图看出，可用一元线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立

y关于t的经验回归方程（系数精确到0.01），预测2022年该市生活垃圾无害化处理量．参考公式：，经验回归方程中，．参考数据：，，，．解：（1）由散点图中数据和参考数据得，，，，，∴．因为y与t的相关系数近似为0.99．说明y与t的线性相关程度相当高．从而可以用一元线

性回归模型拟合y与t关系．（2）由，及（1）得，，所以y关于t的经验回归方程为：，将2022年对应的t＝9代入经验回归方程得，，所以预测2022年该市生活垃圾无害化处理量将约1.83万吨．19．已知函数，其中a＞1．（1）若a＝2，求函数f（x）的

图象在点（2，f（2））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性．解：（1）当a＝2时，，则，∴，∴函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的斜率为，又点（2，f（2））在切线上．且f（2）＝ln2﹣2，∴函数y＝f（x）的图象

在点（2，f（2））处的切线方程为x﹣2y+2ln2﹣6＝0．（2）f（x）的定义域为（0，+∞），，①若a﹣1＝1．即a＝2时，则，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，②若a﹣1＜1，即1＜a＜2时，当x∈（a﹣1，

1）时．f'（x）＜0；当x∈（0，a﹣1），x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（a﹣1，1）上单调递减，在（0，a﹣1），（1，+∞）上单调递增．③若a﹣1＞1．即a＞2时，当x∈（1，

a﹣1）时，f'（x）＜0；当x∈（0，1），x∈（a﹣1，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（1，a﹣1）上单调递减，在（0，1），（a﹣1，+∞）上单调递增．综上：1＜a＜2时，f（x）在（a﹣1，1）上单调递减，在（0，a﹣1），（1，+∞）上单调递增，a＝2时，f（x）在

（0，+∞）上单调递增，a＞2时，f（x）在（1，a﹣1）上单调递减，在（0，1），（a﹣1，+∞）上单调递增．20．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的甲，乙两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率

，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用甲种生产方式，第二组工人用乙种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如表格：完成任务工作时间（60，70]（70，8

0]（80，90]（90，100]甲种生产方式2人3人10人5人乙种生产方式5人10人4人1人（1）将完成生产任务所需时间超过80min和不超过80min的工人数填入如表的列联表：生产方式工作时间合计超过80min不超过80min甲乙合计（

2）根据（1）中的列联表，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为甲，乙两种生产方式的效率有差异？（3）若从完成生产任务所需的工作时间在（60，70]的工人中选取3人去参加培训，设X为选出的3人中采用甲种生产方式的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．附：．α0.10.050.

010.0050.001xα2.7063.8416.6357.89710.828解：（1）由题意可得，列联表如下：生产方式工作时间合计超过80min不超过80min甲15520乙51520合计202040（2

）假设H0：甲，乙两种生产方式的效率无差异，根据（1）中列联表中的数据，经计算得到依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为甲，乙两种生产方式的效率有差异，此推断犯错误的概率不大于0.01．（3）由题意知，随机变量X的所有

可能取值为0，1，2，，，，故X的分布列为：X012P∴．21．某果农在其承包的100亩果园中种植一种原生态水果（每年种植一季），每亩的种植成本为5000元，由于受天气和市场供求关系的影响，此水果的亩产量和销售价格均具

有随机性，且互不影响．根据近几年的数据得知，每季由产量为500kg的概率为0.4．亩产量为800kg的概率为0.6，市场销售价格c（单位：元/kg）与其概率p的关系满足．（1）设X表示此果农某季所获得的利

润，求X的分布列和数学期望；（2）求5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概率．解：（1）设事件A＝“此水果的亩产量为500kg”，事件B＝“此水果的市场销售价格为20元/kg”，由题知，P（A）＝0.4，

P（B）＝0.3，∵利润＝产量×市场销售价格﹣成本．所以X的所有可能取值为100×（500×20﹣5000）＝500000，100×（50×30﹣5000）＝1000000，100×（800×20﹣5000）＝1100000，100×（800×30﹣5000

）＝1900000，∴P（X＝500000）＝P（A）P（B）＝0.4×0.3＝0.12，，，，故X的分布列为：X500000100000011000001900000P0.120.280.180.42故E（X）＝500000×0.12+1000000×0.28+1100

000×0.18+1900000×0.42＝1336000．（2）设事件∁i“第i年利润高于100万元”（i＝1，2，3，4，5），由题知，C1，C2，C3，C4，C5，相互独立，由（1）知，P（∁i）＝P（X＝110000

0）+P（X＝1900000）＝0.18+0.42＝0.6（i＝1，2，3，4，5），5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概率为，故5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概宰为0.2592．22．已知函数，其中m

≤2．（1）若m＝﹣2，求f（x）的极值；（2）证明：．解：由题知，f（x）的定义域为（0，+∞），．（1）若m＝﹣2，则f（x）＝lnx﹣x2﹣x+2，，当时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0，∴函数f（x）在上单调递增，在上单调递减．∴当时，f（x）取得极大值，极大值为，无极小值．

（2）证明：由（1）知，原不等式等价于恒成立．∵m≤2，∴．要证恒成立，只需证恒成立即可．令，则．令g'（x）＞0，解得，令g'（x）＜0，解得或x＞2，∴g（x）在上单调递增，在，（2，+∞）上单调递减．∴g（x）的最大值在x

＝0或x＝2处取得，又g（0）＝1，，∴g（x）max＝g（0）＝1，∴恒成立，∴在x∈（0，+∞）上恒成立，∴．