【文档说明】北京市延庆区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析.docx，共(15)页，706.553 KB，由小赞的店铺上传

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延庆区2024-2025学年第一学期期中试卷高一数学本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟第I卷（选择题）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合

1,0,1,2A=−，2,1,0,1B=−−，则AB=（）A0,1B.1,0−C.2,1,0,1,2−−D.1,0,1−【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解即得.【详解】集合1,0,1,2A=−，2

,1,0,1B=−−，所以1,0,1AB=−.故选：D2.若集合3,1A=−，()2,3B=−，则AB=（）A.(2,1−B.)2,1−C.(3,3−D.)3,3−【答案】D【解析】【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求

解.【详解】因为3,1A=−，()2,3B=−，所以AB=)3,3−，故选：D.3.已知全集N6Uxx=且25AxUx=，则集合UAð中元素有（）A.2个B.4个C.5个D.7个【答案】B【解析】分析】利用列举法表示集合U，解不等式化简集合A，再求出UAð即可得解.【详解】依

题意，{0,1,2,3,4,5,6}U=，解不等式25x，得55x−，则{0,1,2}A=，所以{3,4,5,6}UA=ð，集合UAð中的元素有4个..的【故选：B4.已知集合A满足1A1,2,3,4，则A有（）A.2个B.4个C.5个D.7个【答

案】D【解析】【分析】根据给定条件，求出集合2,3,4的真子集个数即可得解.【详解】集合A满足1A1,2,3,4，则集合A可视为集合{1}与集合2,3,4的每个真子集的并集，而集合2,3,4的真子集个数为3217−=，所以A有7个.故选

：D5.若22Paa=−和24Qa=−，则P和Q的大小关系为（）A.PQB.PQC.PQD.PQ【答案】C【解析】【分析】根据条件，通过作差法，得到2(2)PQa−=−，即可求解.【详解】因为22Paa=−，24Qa=−，所以2222(2

4)44(2)0PQaaaaaa−=−−−=−+=−，当且仅当2a=时取等号，所以PQ，故选：C.6.设,,abcR，且ab，cd，则（）A.22abB.dcabC.acbdD.33ab【答案】D【解析】【分析】举例说明判断ABC；利用不等

式的性质判断D.【详解】对于A，取2,2ab=−=，满足ab，而224ab==，A错误；对于B，取2,1,1,4abcd=−=−==满足,abcd，而21dcab=−−=，B错误；对于C，取2,1,1,4abcd=−=−==满足,abcd，而24acbd=−−=，C错误；对于

D，由不等式性质知，由ab，得33ab，D正确.故选：D7.下列函数中，既是偶函数又在区间(),0−上单调递增的是（）A.21yx=B.1yx=+C.2yx=−，(),0x−D.yx=【答案】A【

解析】【分析】利用奇偶函数的判断方法及基本函数的单调性，对各个选项逐一分析判断，即可求解.【详解】对于选项A，因为221yxx−==，定义域为(,0)(0,)−+，关于原点对称，又2211()()()fxfxxx−===−，所以21yx=是偶函数，又由幂函数的性质知21yx=在区间(

)0,+上单调递减，所以21yx=在区间(),0−上单调递增，故选项A正确，对于选项B，因为1yx=+图象不关于y轴对称，即1yx=+不是偶函数，所以选项B错误，对于选项C，因为2yx=−，(),0x−的定义域不关于原点对称，即2yx=−，(),0x−是非奇非偶函数，所以选项

C错误，对于选项D，当(),0x−时，yxx==−在区间(),0−上单调递减，所以选项D错误，故选：A.8.已知函数()fx的定义域为R，则“()fx为奇函数”是“(0)=0f”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分

也不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：因函数的定义域是,故“是奇函数”是“”的充分条件；反之,若(0)0f=,则函数不一定是奇函数,“f(x)为奇函数”不是必要条件.应选A.考点：充分必要条件.9.已知函数2()2fxxax=++有

两个零点，在区间(1,2)−上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数a的取值范围是（）A.(,22)(22,)−−+B.(,3)(3,)−−+C.(,4](3,)−−+D.(,4][2,)−−+【答案】C【解析】【分析】求出

函数()fx的单调区间，再结合集合的包含关系及零点存在性定理列式求解即得.【详解】函数2()2fxxax=++在(,]2a−−上单调递减，在[,)2a−+上单调递增，由在区间(1,2)−上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，得(,](1,2)2a−−−且(1)0(2)0ff−

或[,)(1,22)a−−+且(1)0(2)0ff−，则2230620aaa−−+或1230620aaa−−+，解得4a−或3a，所以实数a的取

值范围是(,4](3,)−−+.故选：C10.xR，设()fx取41yx=+，1yx=+，24yx=−+三个函数值中的最小值，则()fx的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】作出函数()fx的图象，利用图象求出其最大

值.【详解】在同一坐标系内作出直线41yx=+，1yx=+，24yx=−+，由()fx取41yx=+，1yx=+，24yx=−+三个函数值中的最小值，得()fx的图象为下图中实线构成的折线图，则()fx的最大值即为()fx的图

象最高点对应的纵坐标值，观察图象知，()fx图象最高点是直线1yx=+与24yx=−+的交点，由124yxyx=+=−+，得12xy==，因此()fx的图象最高点是(1,2)，所以()fx的最大值为2.故选：B第II卷（非选择题）二、填空题

：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()124fxx=+的定义域是______.【答案】(2,)−+【解析】【分析】利用函数有意义列式求出定义域.【详解】依题意，240x+，解得2x−，所以函数()124fxx=+的定

义域是(2,)−+.故答案为：(2,)−+12.已知奇函数()fx满足()()53ff−−，则()5f______()3f.【答案】大于【解析】【分析】利用奇函数的性质，结合不等式的性质求解即得.【详解】由奇函数()fx满

足()()53ff−−，得()()53ff−−，所以()()53ff.故答案为：大于的13.已知(,Aa=−，(),3B=−，且xA是xB的必要不充分条件，则a的取值范围是______【答案】

3a【解析】【分析】根据条件得到BA，再利用集合间的关系，即可求解.【详解】因为xA是xB的必要不充分条件，则BA，又(,Aa=−，(),3B=−，所以3a，故答案为：3a.14.已知0x，

则812yxx=++的最大值是______，当且仅当x=______时，等号成立.【答案】①.7−②.2−【解析】【分析】根据给定条件，借助配凑的方法，利用基本不等式求出最大值及对应x的值.【详解】由0x，得0x−，则881(

2)1227yxxxx=−−+−−=−−−，当且仅当82xx−=−，即2x=−时取等号，所以当2x=−时，812yxx=++取得最大值7−.故答案为：7−；2−15.已知函数2()2||1fxxx=−−，给出

下列四个结论：①函数()fx是偶函数；②函数()fx的增区间为[1,)+；③不等式()1fxx−的解集是(1,3)−；④当3x−时，令3()()gxfxx=+，则()gx的最小值为224−.其中所有正确结论序

号是______.【答案】①④【解析】【分析】利用偶函数的定义判断①；求出函数的单调递增区间判断②；分段求出不等式的解集判断③；利用基本不等式分段求出最小值判断④.的【详解】函数2()2||1fxxx=−−的定义域为R，对于①，22()()2||12||1(

)fxxxxxfx−=−−−−=−−=，函数()fx是偶函数，①正确；对于②，2221,0()21,0xxxfxxxx+−=−−，函数()fx的增区间为[1,0],[1,)−+，②错误；对于③，不等式()1fxx−，则20211xxxx+−−或20211xxxx

−−−，解得10x−或03x，所以不等式()1fxx−的解集是(1,0)(0,3)−，③错误；对于④，依题意，2221,303()21,03xxxxgxxxxx+−−+=

−−+，当30x−时，22()(3)42(3)422433gxxxxx=++−+−=−++，当且仅当233xx+=+，即23x=−时取等号；当0x时，1414()(3)82(3)8214833xgxxxx=++−+−=−++

，当且仅当1433xx+=+，即143x=−时取等号，而2148(224)2[14(22)]2(14642)0−−−=−+=−+，即2148224−−，所以()gx的最小值为224−，④正确.故所有正确结论的序号是①④.故答案为：①④

【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.求下列方程（组）的解集．．：（1）2560xx+−=（2）3ax=（3）210xx+−=（4）2214112x

yyx+==+【答案】（1）{6,1}−（2）当0a=时，解集为；当0a时，方程解集为3a禳镲睚镲铪.（3）{322}-（4）{(0,1),(2,0)}-【解析】【分析】（1）解一元二次方程即可得解集.（2）对a分类讨论即可得方程的解集.（3）利用换元

法令(0)xtt=，把原方程化为一元二次方程，结合t的取值范围即可得到原方程的解集.（4）利用代入消元法即可得到方程组的解集.【小问1详解】由2560xx+−=得，(6)(1)0xx+−=，解得126,1xx=−=，故方程的解集为{6,1}−.【小问2详解】当0a=时，方程无解，解集为，当

0a时，解方程得3xa=，方程解集为3a.【小问3详解】令(0)xtt=，则方程可化为2210tt+−=，解方程得，1212,12tt=−+=−−（舍），22(12)322xt==-+=-，故方程解

集为{322}-.【小问4详解】由2214112xyyx+==+得，2240xx+=，解得120,2xx==−,方程组的解为1101xy==，2220xy=−=，故方程组解集为{(0,1),(2,0)}-.17.求下列不

等式（组）的解集．．：（1）2430xx−+（2）23210xx−++（3）2112xx++（4）221132340xxx+−+【答案】（1）|1xx或3x（2）1|13x

x−（3）|2xx−或𝑥≥1}（4）|21xx−【解析】【分析】（1）根据条件，因式分解得到(3)(1)0xx−−，再利用一元二次不等式的解法，即可求解；（2）根据条件，变形得到2321

0xx−−，再因式分解得(31)(1)0xx+−，即可求解；（3）先变形成102xx−+，再等价于(1)(2)0xx−+且2x−，即可求解；（4）先利用绝对值不等式的解法，求2113x+的解，再求22340xx−+的解，再求交集，即可求解.【小问1详解】由2430xx−+，得到(

3)(1)0xx−−，所以1x或3x，故不等式2430xx−+的解集为|1xx或3x.【小问2详解】由23210xx−++，即23210xx−−，得到(31)(1)0xx+−，所以113−x，故不等式23210xx−++的解集为1|13xx−.【

小问3详解】由2112xx++，得到102xx−+，等价于(1)(2)0xx−+且2x−，所以2x−或1x，故不等式2112xx++的解集为|2xx−或1x.【小问4详解】由2113x+，得到3213x−+

，即2<<1x−，对22340xx−+，因为9442230=−=−，所以22340xx−+的解集为R，故不等式组221132340xxx+−+的解集为|21xx−.18.已知关于x的方程220xxm+−=，mR.（1）当1m

=时，若方程的两根为1x与2x，求下列各式的值：①2212xx+;②12||xx−;③1222xx+;（2）若该方程的两根同号，求实数m的取值范围.【答案】（1）①6；②22；③4；（2）10m−.【解析】【分析】（1）把1m=代入，利用韦达定理列

式，再逐一变形计算各个式子的值.（2）利用判别式及韦达定理列出不等式组求解.【小问1详解】当1m=时，方程2210xx+−=，224(1)80=−−=，则12122,1xxxx+=−=−，①222121212()26xxxxxx=−++=；②2211221221|)()422|(xxxx

xxxx==−−+−=；③1212122()224xxxxxx++==.【小问2详解】由方程的两根同号，得1212Δ440200mxxxxm=++=−=−，解得10m−，所以实数m的取值范围是10m−.19.已知函数()21fxmx=+过点()1,2−.（1）求函数(

)fx的解析式及定义域；（2）判断函数()fx的奇偶性并证明；（3）令()()1gxfx=−，求()gx的解析式，并证明()gx的图像关于1x=对称.【答案】（1）()211fxx=+，定义域为|0xx（2）偶函数，证明见解析（3）()211(1)(1)gxx

x=+−，证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件可得1m=，即可得()211fxx=+，由解析式可直接求出定义域，即可求解；（2）利用奇偶函数的判断方法，即可求解；（3）利用()211fxx=+，即可得()211(1)

(1)gxxx=+−，再任取一点(,)Pxy，通过证明其关于1x=对称的点也在()gx的图象上，即可求解.【小问1详解】因为函数()21fxmx=+过点()1,2−，则21m=+，得到1m=，所以()211fxx=+，定义域

为|0xx.【小问2详解】函数()fx为偶函数，证明如下，因为()211fxx=+的定义域为|0xx，关于原点对称，又()221111()()fxfxxx−=+=+=−，所以()fx为偶函数.【小问3详解】因为()()2111(1)(1)gxfx

xx=−=+−，设(,)Pxy是()gx图象上任意一点，(,)Pxy关于1x=的对称点为(2,)Pxy−，因为()211(1)(1)gxxx=+−，所以()2221112111()(21)(1)(1)gxgxxxx−=+=+=+=−−−−，即点

(2,)Pxy−也在()gx图象上，所以()gx的图像关于1x=对称.20.已知函数()223fxxmx=++.（1）当1m=，2,2x−时，求函数()fx的值域；（2）若函数()fx在22−,上是单调函数，求实数m的取值范围；

（3）当2m=时，比较()0f与()()226faaa−+−R的次小.【答案】（1）[2,11]（2）(,2][2,)−−+（3）()2(0)26ffaa−+−【解析】【分析】（1）利用二次函数的对称轴可求函数

的单调性，求出最大值和最小值即可得到函数的值域.（2）讨论函数的单调性，利用定义域和对称轴的关系可求得参数的取值范围.（3）计算226aa−+−的取值范围，利用二次函数的单调性和对称轴可比较大小.【小

问1详解】当1m=时，()223fxxx=++，对称轴为直线1x=−，()fx在(2,1)−−上为减函数，在(1,2)−上为增函数，minmax()(1)1232,()(2)44311fxffxf=-=-+===++=，故函数()fx的值域为[2,11].【小问2详解】函数(

)223fxxmx=++，对称轴为直线xm=−，当函数()fx在22−,上是单调增函数时，2m−−，2m≥，当函数()fx在22−,上是单调减函数时，2m−，2m−，综上得，实数m的取值范围为(,2][2,)−−+.【小

问3详解】当2m=时，()243fxxx=++，对称轴为直线2x=−，()fx在(,2)−−上为减函数，在(2,)−+上为增函数，且()0(4)ff=−，∵2226(1)55aaa−+−=−−−−，∴()226(5)(4)(0)

faafff−+−−−=，故()2(0)26ffaa−+−.21.设集合()123,,,R,1,2,3kAaaxxxxk===，对于集合A中的任意元素()123,,axxx=和()123,,byyy=及实数，定义：当且仅当()1,2,3iixyi==时ab

=()112233,,abxyxyxy+=+++；()123,,axxx=.若A的子集123,,Baaa=满足：当且仅当1230===时，()1122330,0,0aaa++=，则称B为A的完美子集.（1）集合()()()11,0,0,0

,2,0,0,0,3B=，()()()21,2,3,2,3,4,3,4,5B=，分别判断这两个集合是否为A的完美子集，并说明理由；（2）集合()()()2,,2,,2,2,,2,2Bmmmmmmmmm=−−−，若B不是A的完美子集，

求m的值.【答案】（1）1B是A的完美子集，2B不是A的完美子集，理由见解析；（2）12m=.【解析】【分析】（1）根据完美子集定义去计算验证是否当且仅当1230===时，()1122330,0,0aaa++=即可得解；（2）先计算112233aaa++()()

()()1231231232,2,2222mmmmmmmmm=++++++−−−，接着由()1122330,0,0aaa++=得方程()()123042m+−=+，解该方程得12m=或1230

+=+，再结合元素互异性分类讨论12m=和1230+=+这两种情况即可得解.【小问1详解】1B是A的完美子集，2B不是A的完美子集，理由如下：对于()()()11,0,0,0,2,0,0,0,3B=，因为()()()

1231,0,0,0,2,0,0,0,3aaa===，所以()()()()112233123123,0,00,2,00,0,3,2,3aaa++=+=+，所以当且仅当1230===时，()1122330,0,0a

aa++=，所以1B是A的完美子集；对于()()()21,2,3,2,3,4,3,4,5B=，因为()()()1231,2,3,2,3,4,3,4,5aaa===，所以()()()112233111222333,2,32,3,43,4,5aaa=+

+++()123123123,2323344,5=++++++，令1231231321232302340223450++=++===−++=，所以123,,存在无数组解使得()1122330,0,0aaa++=，如当132222

==−=−时，()1122330,0,0aaa++=，所以2B不是A的完美子集.【小问2详解】因为()()()2,,2,,2,2,,2,2Bmmmmmmmmm=−−−，所以()()()1232,,2,,2,2,,2,2

ammmammmammm=−=−−=，所以112233aaa++()()()()1231231232,2,2222mmmmmmmmm=++++++−−−，因为B不是A的完美子集，所以存在()()123,,0,0,0，使得1122330aaa+=+，即

存在()()123,,0,0,0使得()()()123123123202202220mmmmmmmmm++=++−=−+−+=，解方程组得()()123042m+−=+，由集合互异性可得2mm且22mm−，故0m且2m−，所以解

()()123042m+−=+得12m=或1230+=+，且由12320mmm++=得12320++=，若12m=，则有123123123110221302233022++=+

−=−−+=1235573=−=−，所以123,,存在无数组解使得()1122330,0,0aaa++=，如当12355573=−−==时，()1122330,0,0aaa++=，

所以B不是A的完美子集，符合题意；当1230+=+且12m时，则由12320++=得1230,==−，所以由()123022mmm+−=+得()320m−−=，又2m−得30=，故20=，不符合题意；综上m的值为12.【点睛】方

法点睛：解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论；（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”，归纳“举例”提供的解题方法，归纳“举例”提供的分类情况；（3）类比新定义中的概念、原理、方法去解决题中需要解

决的问题.