【文档说明】湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高二上学期入学检测数学试卷 Word版含解析.docx，共(21)页，1.427 MB，由小赞的店铺上传

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长沙市明德中学2024年下学期高二入学检测数学2024.09命题：高一数学备课组审定：高一数学备课组时量：120分钟满分150一､单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案）1.已知集合22Mxx=−，集合{1,0,1,2}N=−，则MN=（）A.{1,

0,1}−B.{0,1,2}C12xx−D.12xx−【答案】A【解析】【分析】利用交集的定义直接求解即可.【详解】因为22Mxx=−，{1,0,1,2}N=−，所以{1,0,1}MN=−，故A正确.故选：A2.若复数()()1i3ia+−（i为虚数

单位）的实部和虚部互为相反数，则实数a=（）A.1−B.12−C.13D.i【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解．【详解】()()()()21i3i3i3ii331iaaaaa+−=−+−=++−，所

以复数()()1i3ia+−的实部为3a+，虚部为31a−，因为实部和虚部互为相反数，所以3310aa++−=，解得12a=−.故选：B.3.已知函数()244xxfxx++=，定义域为1,2+，则下列说法正确的是（）.A.函数的最大值是8B.函数的最小值

是8C.函数的最大值是232D.函数的最小值是232【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式可求得()fx的最小值判断BD；由对勾函数的单调性可知()fx无最大值判断AC.【详解】函数()24444xxfxxxx++==++，又1,2x+

，所以4424xxxx+=，所以()448fxxx=++，当且仅当4xx=，即2x=时取等号，故()fx的最小值为8，故B正确，D错误；由4yxx=+，知x→+时，40x→，所以()fx→+，故()fx无最大值，故AC错误.故选：B.4.在ABCV中，点D是AB的中点，3CD

CE=.设ABa=，ACb=，则AE=（）A.1263AEab=+B.2136AEab=+C.1233AEab=+D.2133AEab=+【答案】A【解析】【分析】根据向量的线性运算，即可求得答案.【详解】由题意，点D是AB的中点，3CDCE=，可得12ADAB=，13C

ECD=，则()11113332AEACCEACCDACADACACABAC=+=+=+−=+−12126363ABACab=+=+，故选：A5.在平面直角坐标系中，角与角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边构成一条直

线，且1sin3=，则()cos+=（）A.79B.13C.13−D.79−【答案】D【解析】【分析】由终边角的特性得到2ππ,Zkk=++，再结合两角和的余弦展开式和余弦二倍角公式求解即可；【详解】因为角

与角始边与x轴的正半轴重合，终边构成一条直线，所以2ππ,Zkk=++所以()()()()2coscos2ππcosπ2cos212sink+=+++=+=−=−−，又1sin3=，所

以()17cos2199+=−=−，故选：D.6.已知,AB是球O的球面上的两点，AOB90=，点C为该球面上的动点，若三棱锥OABC−体积的最大值为92，则球O的表面积为（）A.16πB.36πC.64πD.144π【答案】B【解析】【分析】由212△AO

BSR=和OABCCAOBVV−−=得三棱锥OABC−体积达到最大值时OC⊥平面AOB，进而由锥体体积最大值结合体积公式即可求出R，从而由球的表面积公式得解.【详解】设球的半径为R，则由题212△AOBSR=，因为OABCCAOBVV−−=，所以三棱锥OABC−体积达

到最大值时，OC⊥平面AOB，所以()233max1119273262OABCVRRRR−====，故3R=，所以球O表面积为24π36πR=.故选：B.7.已知函数()()π2sin30,2fxx=++，函数()fx图象与1y=相邻两个交点的距

离为的π，若任意()ππ,,3123xfx−恒成立，则的取值范围是（）A.ππ,63−B.ππ,123−C.ππ,63D.ππ,122−【答案】C【解析】【分析】根据

题意可得周期为π，根据周期公式可得2=.将不等式恒成立的范围化为()sin20x+的解集的子集，即可构造不等式求得结果.【详解】()min1fx=，由题意可得相邻最低点距离1个周期，即πT=，2=，由(

)3fx得：()sin20x+，2π2π2π,kxkk++Z，即π,π,222xkkk−+−++Z，所以,π,ππππ,123222kkk−−+−++Z，ππ,1230−，0k=，即,2π

22x−−+，π122ππ223−−−+，解得：ππ63.故选：C.8.已知函数()yfx=是R上的偶函数，对于Rx都有()()()63fxfxf+=+成立，且()42f−=−，当12,0,3xx，且12xx时，都有1212

()()0fxfxxx−−．则给出下列命题：①()20082=−f；②函数()yfx=图象的一条对称轴为6x=−；③函数()yfx=在9,6−−上为严格减函数；④方程()0fx=在9,9−上有4个根；其中正确的命题个数为（）A.1B.2C.3

D.4【答案】D【解析】【分析】对于①，令3x=−代入已知等式可求出()30f−=，再结合其为偶函数可得𝑓(3)=0，从而可求出函数的周期为6，利用周期可求得结果；对于②，由()fx为偶函数，结合周期为6分析判断；对于③，由当12,0,3xx，且12xx时，都有1212()()0fxf

xxx−−，可得𝑦=𝑓(𝑥)在0,3上为严格增函数，再结合其为偶函数及周期为6分析判断；对于④，由𝑓(3)=0，()fx的周期为6，及函数的单调性分析判断.【详解】①：对于任意Rx，都有()()()63fxfxf+=+成立，令3x=−，则()()()3633fff−+=−+，解得

()30f−=，又因为()fx是R上的偶函数，所以𝑓(3)=0，所以()()6fxfx+=，所以函数()fx的周期为6，所以()()()200844fff==−，又由()42f−=−，故()20082

f=−；故①正确；②：由（1）知()fx的周期为6，又因为()fx是R上的偶函数，所以()()6fxfx+=−，而()fx的周期为6，所以()()66fxfx+=−+，()()6fxfx−=−−，所以：()()66fxfx−−=−+，所以直线6x=−是函数𝑦=�

�(𝑥)的图象的一条对称轴．故②正确；③：当12,0,3xx，且12xx时，都有1212()()0fxfxxx−−．所以函数𝑦=𝑓(𝑥)在0,3上为严格增函数，因为()fx是R上的偶函数，所以函数𝑦=𝑓(𝑥)在3,0−上为严格减函数，而(

)fx的周期为6，所以函数𝑦=𝑓(𝑥)在9,6−−上为严格减函数．故③正确；④：𝑓(3)=0，()fx的周期为6，所以()()()()93390ffff−=−===，又()fx在3,3−先严格递减后严格递增，所以()fx在3,3−上除端点外不存在

其他零点，所以()fx在[9,3)−−和(3,9]上各有一个零点，所以函数𝑦=𝑓(𝑥)在9,9−上有四个零点．故④正确；故选：D．【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数的奇偶性，对称性，单调性和周期性，解题的

关键是利用赋值法求出𝑓(3)=0，从而可得()()6fxfx+=，得到周期为6，然后结合周期性和奇偶性分析判断，考查分析问题的能力，属于较难题.二､多选题（本题共3个小题，每小题6分.共18分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分.选错得0分，部分选对得3分）9.某市教育局为了解疫情

时期网络教学期间的学生学习情况，从该市随机抽取了1000名高中学生，对他们每天的平均学习时间进行问卷调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（）A.这1000名高中学生每天的平均学习时间为6~8小时的人数

有100人B.估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时C.估计该市高中学生每天的平均学习时间的60%分位数为9.2小时D.估计该市高中学生每天的平均学习时间的平均值为8.6小时【答案】BCD【解析】【分析】对于A：直接利用频率分布直方图的数据进行计算

，即可判断；对于B：根据众数的定义进行判断；对于C：直接利用频率分布直方图的数据进行计算，即可判断；对于D：直接利用频率分布直方图的数据，按照平均数的定义进行计算，即可判断.【详解】对于A：从频率分布直方图，可以得到0.1021000=200，即这10

00名高中学生每天平均学习时间为6~8小时的人数有200人，故A错误；的对于B：由频率分布直方图可以得到，抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时，由此可以估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时，故B正确；对于C：由频率分布直方图可以得到，

设抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的60%分位数为k小时，则有：()0.0520.120.2580.6k++−=，解得：k=9.2，即抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的60%分位数为9.2小时，由此可以估计该市高中学生每

天的平均学习时间的60%分位数为9.2小时，故C正确；对于D：由频率分布直方图可以得到，抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的平均值为0.05250.10270.25290.102118.6+++=小时，由此可以估计该市高中学生平均学习时间的平均值为8.6小时，故

D正确；故选：BCD10.在ABCV中，设角,,ABC所对的边分别为𝑎,𝑏,𝑐，则下列命题一定成立的是（）A.若222abc+，则ABCV是锐角三角形B.若2a=，2b=，π4B=，则ABCV有唯一解C.若ABCV是锐角三角形，3b=，π3B=，设ABCV的面积为S，则3393

(,]24SD.若ABCV是锐角三角形，则sinsincoscosABAB++【答案】BCD【解析】【分析】由余弦定理可判断A；由正弦定理可判断B；利用边化角结合面积公式可得33π33sin2264SA=−+，求π26A−的范围，结合正弦

函数的性质可得S的范围，即可判断C；由锐角三角形可得ππ022AB−及ππ022BA−，利用sinyx=在π(0,)2上的单调性结合诱导公式可判断D.【详解】222abc+，2220abc+−，222cos02abcCab+−=，C为锐角，但不能确定角,AB是否为

锐角，故ABCV不一定是锐角三角形，故A错误；由正弦定理得22sin2sin12aBAb===，(0,π)A，ππ,24AC==，ABCV有唯一解，故B正确；323πsinsin3bB==，23sinaA=，2π23sin23s

in()3cCA==−，112ππsin23sin23sin()sin2233SacBAA==−2π2π33sin(sincoscossin)33AAA=−3133sin(cossin)22AAA=+2933sincossin22AAA=+93333si

n2cos2444AA=−+33π33sin(2)264A=−+，又π022ππ032AA−，解得ππ62A，π2π3A，ππ5π2666A−，1πsin(2)126A−，3333π33

sin(2)4262A−，339324S，即3393(,]24S，故C正确；ABCV是锐角三角形，π2AB+，又π,(0,)2AB，ππ022AB−，ππ022BA−，又sinyx=在π(0,)2上单调递增，πsinsin()cos2ABB−=，πsi

nsin()cos2BAA−=，sinsincoscosABAB++，故D正确；故选：BCD.11.如图，在棱长为5的正方体ABCDABCD−中，M是侧面ADDA上的一个动点，点P为线段CC上，

且2PC=，则以下命题正确的是（）A.沿正方体的表面从点A到点P的最短距离是310B.保持PM与BD垂直时，点M的轨迹长度为32C.若保持26PM=，则M的轨迹长度为4π3D.平面ADP被正方体ABCDABCD−截得截面为等腰梯形【答案】BD【

解析】【分析】根据平面展开即可判断A；过P做平面//PEF平面ACB，即可判断B；根据点M的轨迹是圆弧，即可判断C；作出正方体ABCDABCD−被平面ADP所截的截面即可判断D．【详解】对于A，将正方体的下底面和侧面展开可得如

图图形，连接AP，则256489310AP=+=，故A错误；对于B，如图：DD平面ABCD，AC平面ABCD，DDAC⊥，又ACBD⊥，DDBDD=，DD，BD平面DDB，AC⊥平面D

DB，BD平面DDB,ACBD⊥，同理可得BDAB⊥，ACABA=，AC，AB平面ACB．BD⊥平面ACB．所以过点P作//PGCD交CD交于G，过G作//GFAC交AD交于F，由//ABCD，可得//PGAB，PG平面ACB，AB平

面ACB，//PG平面ACB，同理可得//GF平面ACB，,,PGGFGPGGF=平面PGF，则平面//PGF平面ACB．设平面PEF交平面ADDA于EF，则M的运动轨迹为线段EF，由点P在棱CC上，且2PC=，可得2DGDFAE===，连接AD，则1AEAAAFAD=

=，所以//EFAD，又//ADBC，所以//EFBC，所以33523255EFAD===，故B正确；对于C，如图：若26PM=，则M在以P为球心，26为半径的球面上，过点P作PQ⊥平面ADDA，则2DQ=，此时22||26251QMPMPQ=−=−=．所以点M在

以Q为圆心，1为半径的圆弧上，此时圆心角为π．点M的运动轨迹长度π×1=π，故C错误；对于D，如图：延长DC，DP交于点H，连接AH交BC于I，连接PI，所以平面ADP被正方体ABCDABCD−截得的截面为AIPD．~PCHDDH，35PHPCHC

DHDDDH===，~ICHADH，35CIHCIHDADHAH===，所以35PHIHPIDHAHAD===，//PIAD，且||||PIAD，所以截面AIPD为梯形，25429AIPD=

+==，截面AIPD为等腰梯形，故D正确．故选：BD．【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三､填空题

（本题共3个小题，每题5分，共15分）12.设，是两个不同的平面，l是直线且l，则“l⊥”是“⊥”的______.条件(参考选项：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要).【答案】充分不必要【解析】【分析】面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂

线，则这两个平面垂直.根据题意由判断定理得l⊥⊥.若⊥，直线l则直线l⊥，或直线l∥，或直线l与平面相交，或直线l在平面内.由⊥，直线l得不到l⊥，故可得出结论..【

详解】面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.因为直线l且l⊥所以由判断定理得⊥.所以直线l，且l⊥⊥若⊥，直线l则直线l⊥，或直线l∥，或直线l与平面相交，或

直线l在平面内.所以“l⊥”是“⊥”成立的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.【点睛】本题考查充分条件，必要条件的判断，涉及到线面、面面关系，属于基础题.13.已知函数()()2lnfxxaxa=−−对任意两个不相等的实数121,,2xx−−，都有()()12120f

xfxxx−−成立，则实数a的取值范围为__________.【答案】11,2−【解析】【分析】由题意可知()fx在1,2−−上单调递减，令()2gxxaxa=−−，则由复合函数单调性可知二次函数()gx在1,2−−上

单调递减，由此列不等式组即可求解.【详解】由题意可知，()fx在1,2−−上单调递减，令()2gxxaxa=−−，则()gx在1,2−−上单调递减，且()0gx在1,2−−上恒成立，所以()

2121211022aaa−−−−−−−，解得112a−，故答案为：11,2−14.已知,xyR+，xyt+=，记11xymxy=+++，221111nxy=+++，有下面四

个结论：①若1t=，则m最大值为43；②若1t=，则n的最小值为85；③若2t=，则m的最大值为1；④若2t=，则n的最大值为212+．则错误．．结论的序号是______．【答案】①②【解析】【分析】把m变形成112()11mxy=

−+++，利用常数t值并借助“1”的妙用求解，再按t的不同取值计算即可判断；用常数t表示出xy的取值范围，然后将n变形成用xy表示，再借助函数、均值不等式求解计算并判断作答.【详解】依题意，(1)(1)2xyt+++=+，则1111(1)(1)2()1111mxyxy=−+−=−++++

+11111142[()2(2)(1221)(1)212]11yxtxytxytxy++=−+=−++−++++++++++，当且仅当2txy==时取“=”，对于①，1t=时，12xy==有max23m=，①不正确；的对于③，2t=时，1xy==有max1m=，③正确；令22()24x

ytpxy+==，当且仅当2txy==时取“=”，即204tp，2222()22xyxyxytp+=+−=−，则22222222222222222(1)(1)121xyxytpnxyxyxyppt+++++−===+++++−++对于②，1t=时，104p

，2232()322333322[()]2[()]22222ppnpppp−−==−+−−−−−+232()22335351()()()1322424()2ppppp−==−−−+−+−−，而533422p−，由对勾

函数知351()324()2pp−+−对353[,)242p−是递增的，2351()1324()2pp−+−−对353[,)242p−是递减的，则14p=时，max85n=，无最小值，即②不正确；对于④，2t=时，01p，22622(3)25[

3(3)]2[3(3)]5ppnpppp−−==−+−−−−−+22(3)28(3)4(3)8(3)4(3)ppppp−==−−−+−+−−，而233p−，8(3)42(3)pp−+−，当且仅当8(3)(3)pp−=−，322p−=，即322=−p时取“=”，则有322=−p

时，max2212424n+==−，即④正确，所以错误结论的序号是①②.故答案为：①②四､解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.）15.平面内给定两个向量()()3,2,1

,2ab==−.（1）求cos,ab；（2）求2ab−.【答案】（1）6565（2）53【解析】【分析】（1）先求出ab、a和b，接着由向量夹角余弦公式cos,ababab=即可得解.（2）由坐标形式的向量模长公式即可计算得解.【小问1详解】由题()31221ab=−+=，()22

223213,125ab=+==−+=，所以165cos,65135ababab===.【小问2详解】由题得()27,2ab−=，所以()2227,27253ab−==+=16.记ABCV的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sincos3cossincosCABAC

=−，ac32+=，3b=．（1）求角B的大小；（2）求ABCV的面积．【答案】（1）π3（2）334【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式得到sin3cosBB=，即可得解；.（2）利用余弦定理得到229acac=

+−，再将ac32+=两边平方，即可求出ac，最后由面积公式计算可得.【小问1详解】因为sincos3cossincosCABAC=−，所以cossinsincos3cosACACB+=，即()sin3cosACB+=，即sin3cosBB=，显然cos0

B，所以tan3B=，又()0,πB，所以π3B=；【小问2详解】由余弦定理2222cosbacacB=+−，即229acac=+−，又ac32+=，所以22182acac=++，解得3ac=，所以11333sin32224ABCSacB===△.17.

如图所示，在长方形ABCD中，2,1ABAD==，E为CD的中点，以AE为折痕，把DAE折起到DAE的位置，且平面DAE⊥平面ABCE.（1）求证：ADBE⊥；（2）求四棱锥DABCE−的体积；（3）在棱ED上是否存在一

点P，使得DB//平面PAC，若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析.（2）24.（3）存在，13EPED=.【解析】【分析】（1）在长方形ABCD中可知，BEAE⊥，根据面面垂直的性质定理可以

证明ADBE⊥.（2）取AE的中点F，连接DF，则DFAE⊥，由面面垂直的性质定理可以证明DF⊥平面ABCE，进而求出DABCEV−.（3）连接AC交BE于点Q，假设在DE上存在点P，使得DB//平面PAC，根据平行线的

性质结合平面几何知识即可得到EP与ED之间的关系.【小问1详解】根据题意可知，在长方形ABCD中，DAE和CBE△为等腰直角三角形，∴45DEACEB==，∴90AEB=，即BEAE⊥.∵平面D

AE⊥平面ABCE，且平面DAE平面ABCEAE=，BE平面ABCE，∴BE⊥平面DAE，∵AD平面DAE，∴ADBE⊥.【小问2详解】如图所示，取AE的中点F，连接DF，则DFAE⊥，且22DF=.∵平面DAE⊥平面ABCE，且

平面DAE平面ABCEAE=，DF平面DAE，∴DF⊥平面ABCE，∴()1112212133224DABCEABCEVSDF−==+=.【小问3详解】连接AC交BE于点Q，假设在DE上存在点P，使得D

B//平面PAC，连接PQ.∵DB平面DBE，平面DBE平面PACPQ=，∴DB//PQ，∴在EBD中，EPEQPDQB=.∵CEQABQ∽△△，∴12EQECQBAB==，∴12EPEQPDQB==，即13EPED=，∴在棱E

D上存在一点P，且13EPED=，使得DB//平面PAC.【点睛】关键点点睛：本题第三小问关键是确定动点P的位置，使得DB//PQ，利用三角形相似得出EP与ED之间的关系.18.象棋作为中华民族的传统文化瑰宝，是一项集科学竞技，

文化于一体的智力运动，可以帮助培养思维能力，判断能力和决策能力.近年来，象棋也继围棋､国际象棋之后，成为第三个进入普通高校运动训练专业招生项目的棋类项目.某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行

单循环比赛.已知甲､乙､丙､丁4名同学所在小组的赛程如表：第一轮甲-乙丙-丁第二轮甲-丙乙-丁第三轮甲-丁乙-丙规定；每场比赛获胜的同学得3分.输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励.若出现总分相同的情

况，则以抽签的方式确定排名（抽签的胜者排在负者前面），且抽签时每人胜利的概率均为12，假设甲､乙､丙3名同学水平相当，彼此间胜､负､平的概率均为13，丁同学的水平较弱.面对任意一名同学时自己胜､负､平的概率都分别为124,,777.每场比赛结果相互独立

.（1）求丁同学的总分为5分的概率；（2）已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙､丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率.【答案】（1）48343（2）727【解析】【分析】（1）利用相互独立事件的乘法公式即可求解；（2）利用相互独立事件的乘法公式及互斥事件的概率的加法公式即

可求解.【小问1详解】丁同学总分为5分，则丁同学三轮比赛结果为一胜两平，记第()1,2,3kk=轮比赛丁同学胜、平的事件分别为kA，kB，丁同学三轮比赛结果为一胜两平的事件为M，则()()()()21231

231234148377343PMPABBPBABPBBA=++==，即丁同学的总分为5分的概率为48343.【小问2详解】由于丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，则在第二、三轮比赛中，丁同学对战乙、甲同学均

获胜，故丁同学的总分为7分，且同丁同学比赛后，甲、乙、丙三人分别获得0分，0分、1分，若甲同学获得奖励，则甲最终排名为第二名.①若第一、二轮比赛中甲同学均获胜，则第三轮比赛中无论乙、丙两位同学比赛结果如何，甲同学的总分为6分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率1111339P==.②若第一轮比

赛中甲同学获胜，第二轮比赛中甲、丙2名同学平局，第三轮比赛中乙、丙2名同学平局或乙同学获胜，甲同学的总分为4分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率211112333327P=+=.③若第一轮比赛中甲、乙2名同学平局，第二轮比赛中甲同学获胜，第三轮比赛中当乙、丙2名同学平局

时，甲同学的总分为4分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率111133327=；第三轮比赛中当乙，丙同学没有产生平局时，甲同学与第三轮比赛乙、丙中的胜者的总分均为4分，需要进行抽签来确定排名，当甲同学抽签获胜时甲同学排

第二名，可以获得奖励，此时的概率4111111333227P=−=.综上，甲同学能获得奖励的概率123412117927272727PPPPP=+++=+++=.19.对于集合12,,,

n=和常数0，定义：()()()22210200coscoscosnn−+−++−=为集合相对0的“余弦方差”.（1）若集合,34=，00=，求集合相对0的“余弦方差”；（2）若集合2,,33=，证

明集合相对于任何常数0的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数；（3）若集合,,4=，[0,)，[,2)，相对于任何常数0的“余弦方差”是一个常数，求，的值.【答案】（1）38（2）证明见解析，这个常数为12；（3）11121912

==或7122312==【解析】【分析】（1）根据集合相对0的“余弦方差”的定义及特殊角的三角函数值即可求解；（2）根据集合相对于常数0的“余弦方差”的定义及两角差的余弦公式即可求解；（3）根据集合相对于常数0的“余

弦方差”的定义及三角恒等变换公式即可求解.【小问1详解】解：当集合,34=，00=时，集合相对0的“余弦方差”22cos(0)cos(0)33428−+−==；【小问2详解】证明：当集合2,,33=时，集合相对于常数0的“余弦方差”22

20002cos()cos()cos()333−+−+−=222000001313(cossin)(cossin)cos22223++−++=22200013cossincos1223

2++==，此时“余弦方差”是一个常数，且常数为12；【小问3详解】解：当集合,,4=，)0,，),2时，集合相对于任何常数0的“余弦方差”222000cos()cos()cos()

43−+−+−=2222220000111[(coscos)cos(1sin2sin2)sincos(sinsin)sin]322=++++++++，要使上式对任何常数0是一个常数，则1sin2sin20++=且222

211coscossinsin22++=++，所以cos2cos20sin2sin21+=+=−，故()221cos21sin2=+−−，整理得到1sin22=−，而)20,2，故726=或1126=，所以7π12

=或1112=，当7π12=时，有3cos221sin22==−，而)22,4，故2326=即2312=，当1112=时，有3cos221sin22=−=−，

而)22,4，故1926=即1912=，故11121912==或7122312==．