【文档说明】重庆市北碚区朝阳中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，1.304 MB，由小赞的店铺上传

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重庆市朝阳中学2024～2025学年（上）月考一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.设空间向量()1,2,1a=−，()2,4,bk=−−，若ab∥，则实数

k的值为（）A.2B.10−C.2−D.10【答案】A【解析】【分析】由向量平行坐标表示求解．【详解】由题意24121k−−==−，解得2k=．故选：A．2.已知空间向量233pabc=−+，3qabc=++，则pq+以,,abc为单位正交基底

时的坐标为（）A.()5,3,4−B.()5,2,4−C.()2,3,3−D.()3,1,1【答案】B【解析】【分析】由空间向量的线性运算和空间向量基本定理，结合单位正交基底，求向量的坐标.【详解】空间

向量233pabc=−+，3qabc=++，则524pqabc+=−+，故pq+以{},,abcrrr为单位正交基底时的坐标为()5,2,4−.故选：B.3.点()2,3,1Av−−+关于x轴的对称点为()',7,6A−，则（）A.215v=−=

−=−，，B.245v==−=−，，C.2108v===，，D.2107v===，，【答案】D【解析】【分析】根据关于x轴的对称点的坐标关系直接列式求解即可.【详解】因为点()2,3,1Av−−+关于x轴的

对称点为()',7,6A−,的所以由对称性知23716v=−=−−+=，解得2107v===，故选：D4.已知空间向量()()()1,0,3,2,1,0,5,2,abcz===，若,,abc共面，则实数z的值为（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】【分析

】由空间共面向量可得axbyc=+，代入解方程即可得出答案.【详解】若空间向量()()()1,0,3,2,1,0,5,2,abcz===共面，则axbyc=+，所以()()()1,0,32,1,05,2,xyz=+，所以125023xyxyyz=+=+=，

解得：2,1,3xyz=−==.故选：B.5.已知()()1,2,1,2,2,0ab=−=−，则a在b方向上的投影数量为（）A.6−B.6C.322−D.322【答案】C【解析】【分析】运用投影的概念，结合数量积和求模公式求解即可.【详

解】a在b方向上的投影数量为222122(2)10632||cos2||222(2)0abab−+−+−====−+−+.故选：C.6.如图，在平行六面体ABCDABCD−中，5,3,7ABADAA===，60BAD=，45BAAD

AA==，则AC的长为（）A.98562+B.98562−C.89562+D.89562−【答案】A【解析】【分析】先由平行六面体求出ACABADAA=++，接着由已知结合向量的数量积及其运算律求出2AC即可

求出AC.【详解】平行六面体ABCDABCD−中，ACABBCCCABADAA=++=++，因为5AB=，3AD=，7AA=，60,45BADBAADAA===，所以22()ACABADAA=++222222ABADAAABADAAA

BADAA=+++++12225949253275237222=+++++98562=+，所以98562AC=+uuur，即AC的长为98562+.故选：A.7.已知向量()()2,1,3,4,2,abt=−=−的夹角为钝角，则实数t的取值范围

为（）A.10,3−B.()10,66,3−−−C.10,3+D.()10,66,3+【答案】B【解析】【分析】,ab夹角为钝角只需满足0ab，排除,ab共线的情况即可.【详解】由()()24123

1030abtt=−+−+=−+，解得103t当,ab共线时，由ba=，即(42)(213),,,,t−=−解得6t=−，所以当,ab夹角为钝角时()10,66,3t−−−，故选：

B8.如图，已知正四棱锥PABCD−的所有棱长均为1，E为PC的中点，则线段PA上的动点M到直线BE的距离的最小值为（）A.33B.22C.13D.12【答案】D【解析】【分析】方法一：建立空间直角坐标系，求向量BM在BE上的投影的大小，再求点M到直线BE的距离，由此可求

其最小值.方法二：证明PE为异面直线,PABE的公垂线段，由此可求动点M到直线BE的距离的最小值.【详解】连接,ACBD，记直线,ACBD的交点为O，由已知⊥PO平面ABCD，ACBD⊥，以点O为原点，,,OAOBOP为,,xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，由已知1,1ABBC

CDDAPAPBPCPD========，所以12212,,122222OAOCACOBOP=====−=，则222222,0,0,0,,0,0,0,,,0,0,,0,222244ABPCE−−

，所以222,,424BE=−−，22,,022BA=−，22,0,22AP=−，设AMAP=()01，则()2221,,222BMBAAMBA

AP=+=+=−−，所以BM在BE上的投影向量的模为()1132124632BMBEBE++==，又()22211111222BM=−++=−+，所以动点M到直线BE的距离()22212411121123312d

=−+−+=−+，所以()221134d=−+，所以当1=时，动点M到直线BE的距离最小，最小值为12，故选：D.方法二：因为PBC为等边三角形，E为PC的中点，所以PEBE⊥，由已知1,1,2PAPCAC===，所以222PAPCAC+=，所以PAPC⊥，所以P

E为异面直线PA，BE的公垂线段，所以PE的长为动点M到直线BE的距离最小值，所以动点M到直线BE的距离最小值为12，故选：D.二、单项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题口要求．9.已知,,abc构成空间

的一个基底，则下列向量不共面的是（）A.2ac+，2ab+，bc−B.2ab+，ab−，bc−C.ab−，ac+，bc−D.ab+，abc++，bc+【答案】BCD【解析】【分析】根据向量共面的定义分别判断各选项.【详解】A选项：令()()22ac

xabybc+=++−，则1202xxyy=+=−=，解得12xy==−，即2ac+，2ab+，bc−共面，故A选项不符合题意；B选项：设()()2abxabybc+=−+−，则120xxyy=−+=−=，此方程组无解，即2ab+，ab−，bc−不共

面，故B选项符合题意；C选项：设()()abxacybc−=++−，则110xyxy==−−=，此方程组无解，即ab−，ac+，bc−不共面，故C选项符合题意；D选项：设()()abxabcybc

+=++++，则110xxyxy=+=+=，此方程组无解，ab+，abc++，bc+不共面，故D选项符合题意；故选：BCD.10.下列说法错误的是（）A.若,,,ABCD是空间任意四点，则有0ABBCCDDA+++=uuuruuuruuuruuurr

B.若//ab，则存在唯一的实数，使得ab=C.若,ABCD共线，则//ABCDD.对空间任意一点O与不共线的三点,,ABC，若OPxOAyOBzOC=++（其中,,Rxyz），则,,,PABC四点共面【

答案】BCD【解析】【分析】利用向量加法运算判断A；利用共线向量定理判断B；利用向量共线的意义判断C；利用共面向量定理判断D.【详解】对于A，0ABBCCDDAACCA+++=+=uuuruuuruuu

ruuuruuuruurr，A正确；对于B，当0,0ba=时，不存在，B错误；对于C，,ABCD共线，,ABCD可以在同一条直线上，C错误；对于D，当1xyz++时，,,,PABC四点不共面，D错误.故选：BCD11.如图，在棱长为6的正方体1111AB

CDABCD−中，E，F分别是棱1AA，BC的中点，则（）A.1BD⊥平面1DEFB.异面直线1CD与EF所成的角是π6C.点1B到平面1DEF的距离是302929D.平面1DEF截正方体1111ABCDABCD−所得图形的周长为9525132

2++【答案】BCD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式、点到面距离公式，结合正方体的性质逐一判断即可.【详解】如图，以A为坐标原点，1,,ABADAA的方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．因为6

AB=，所以11(6,0,6),(6,6,0),(0,6,0),(0,6,6),(0,0,3),(6,3,0)BCDDEF，所以111(6,6,6),(6,0,6),(6,3,3),(0,6,3)BDCDEFDE=−−=−=−=−−．设平面1DEF的法向量为(,,

)nxyz=，则16330,630,nEFxyznDEyz=+−==−−=令3x=，得2,4yz=-=，所以(3,2,4)n=−．因为1BDn，所以1BD与平面1DEF不垂直，则A错误．设异面直线1CD与EF所成的角为，则1113coscos,2||

||CDEFCDEFCDEF===，从而π6=，故B正确．连接1BE，因为1(6,0,3)BE=−−，所以点1B到平面1DEF的距离是1181230292929BEnn−−==，则C正确．分别在棱1,ABCC上取点M，N，使得2AMMB=，14

CCCN=，连接11,,,,MFFNNDDEEM．可知平面1DEF截正方体1111ABCDABCD−所得图形为五边形1DEMFN．由题中数据可得11351513,,,35,522MFFNNDDEEM=====，则平面1DEF截正方体111

1ABCDABCD−所得图形的周长为3515952513355132222++++=++，故D正确．故选：BCD【点睛】关键点睛：本题关键是根据正方体的性质得到截面的形状.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共1

5分．）12.O为空间任意一点，若3148OPOAOBtOC=++，若ABCP四点共面，则t=______________．【答案】18##0.125【解析】【分析】利用空间向量共面基本定理的推论可求出t的值.【详解】空间向量共面的基本定理的推论：OPxOAyOBzO

C=++，且A、B、C不共线，若A、B、C、P四点共面，则1xyz++=，因为O为空间任意一点，若3148OPOAOBtOC=++，且A、B、C、P四点共面，所以，31148t++=，解得18t=.故答案为：18.13.在三棱锥MABC

−中，MA⊥平面ABC，ABCV是边长为2的正三角形，点F满足13CFCM=，则BCAF=_________.【答案】43【解析】【分析】由题意可得MAAB⊥，MAAC⊥，利用(21)()33BCAFACA

BACAM=−+计算可得结论.【详解】因为MA⊥平面ABC，,ABAC平面ABC，所以MAAB⊥，MAAC⊥，所以MAAB⊥，MAAC⊥，的因为ABCV，所以60BAC=，因为13CFCM=，所以

1()3CFAMAC=−，因为3213AFACCFACAM=+=+，2)21211()(2333333BCAFACABACAMACACAMABACABAM=−+=+−−22022cos60033333332121844=+−−=−=．

故答案为：43.14.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形状体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵111ABCABC−中，M，N分别是111,ACBB的中点，122ABAAAC==，动点G在线段MN上运动，若=AG1xAAyABzAC++，则xy

z++=______．【答案】32【解析】【分析】利用等和面定理求解即可.【详解】如图，取11AB的中点E，连接AE交1AB于点F．因为M，N分别是11,ACBB的中点，所以111,BCBCENABEM∥∥∥．因为1,BCAB平面1ABC，所以,EMEN∥平面1ABC．因

为,,EMENEEMEN=平面EMN，所以平面EMN∥平面1ABC，点G在平面EMN内，所以由等和面定理可知，||||AExyzkAF++===1131122AFEFAEAFAB+=+=+=．故答案为

：32四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点E在BD上，且13BEBD=；点F在1CB上，且113CFCB=．求证：（1）EFBD⊥；（2）1EFCB⊥．【

答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为3，表示出点的坐标，利用空间向量法证明线线垂直；【详解】解：（1）如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为3，则()0,0,0D，()3,3,0B，()0,3,0C()13,3

,3B，因为13BEBD=，113CFCB=，所以()2,2,0E，()1,3,1F，所以()1,1,1EF=−，()3,3,0DB=，所以1313100DBEF=−++=，所以EFBD⊥（2）由（1）可知()13,0,3CB=，所以11

313100CBEF=−++=，所以1EFCB⊥16.在正方体1111ABCDABCD−中，设ABa=，ADb=，1AAc=，E，F分别是1AD，BD的中点．（1）用向量a，b，c表示1DB，EF；（2）若1DFx

aybzc=++，求实数x，y，z的值．【答案】（1）1DBabc=−−，1122EFac=−（2）12x=，12y=−，1z=−．【解析】【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可；（2）用a，b，c表示1DF，再利用空间向量基本定理求解即可．【小问1详解】连接

11,,,ADBDBDEF，则,ACBD交于点F，111DBDDDBAAABADabc=+=−+−=−−，()()111111111222222EFEAAFDAACAAADABADABAA=+=+=−+++=−()111222

acac=−=−．【小问2详解】连接1DF，()()()111111111122222DFDDDBAADBcabcabc=+=−+=−+−−=−−，又1DFxaybzc=++，所以12x=，12y=−，1

z=−．17.如图，圆锥PO的轴截面PAB是边长为4的等边三角形，C是OB的中点，D是底面圆周上一点，2π3DOC=.（1）求DC的值；（2）求异面直线PA与DC所成角的余弦值.【答案】（1）7（2）77【解析】【分析】（1）根据余弦定理，即可求解；（

2）以点O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成的角.【小问1详解】OCD中，2OD=，1OC=，2π3DOC=，根据余弦定理，222π2cos73DCODOCODOC=+−=.小问2详解】如图，以点O原点，,OBOP为y轴和z轴，过点O作OxOB⊥为x轴

，建立空间直角坐标系，()0,0,23P，()0,2,0A−，()0,1,0C，()3,1,0D−，()0,2,23PA=−−,()3,2,0DC=−，【为设异面直线PA与DC所成角为，则47cosc

os747PADCPADCPADC====，所以异面直线PA与DC所成角的余弦值为77.18.如图1，在ABV中，ACBCCV==，ACVB⊥于C．现将ABV沿AC折叠，使VACB−−为直二面角(如图2)，D是棱AB的中点，连接CD、VB、VD．（1）证明：平面VAB

⊥平面VCD；（2）若1AC=，且棱AB上有一点E满足14BEBA=，求二面角CVEA−−的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）19515【解析】【分析】（1）证明CDAB⊥，VCAC⊥，通过VC⊥底面ABC，证明VCAB⊥，然后推出AB⊥平面VCD，即可证明平面VAB⊥平面VCD；

（2）以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，求出平面VCE的法向量，平面VAB的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角CVEA−−的余弦值即可求出正弦值．【小问1详解】证明：在图2中，ACBC=，D是AB的中点，CDAB⊥，而VCAC

⊥，BCAC⊥，故VCB为二面角VACB−−的平面角，又VACB−−为直二面角，VCBC⊥，而,,BCACCBCAC=平面ABC，故VC⊥平面ABC，而AB平面ABC，VCAB⊥，且VCCDC=，,CDVC平面VCD，因此AB⊥平面VC

D，又AB平面VAB，平面VAB⊥平面VCD.【小问2详解】以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C，𝐴(1,0,0)，()0,1,0B，()0,0,1V，()0,0,1CV=，因14BEBA=，所以

13,,044E，那么13,,044CE=，设平面VCE的法向量(),,tmnp=，由00CVtCEt==且，得013044pmn=+=，取1n=，则()3,1,0t=−，设平面VAB的一个法向量(),,sabc=，()()1,0

,1,0,1,1VAVB=−=−，则00sVAVBs==，即00acbc−=−=，令1a=，则1bc==，所以()1,1,1s=，于是23130cos,153(3)1ststst−+===−−+，所以二面角CVEA−−的正弦值为23

01951()1515−−=．19.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，ADCD⊥，//ADBC，3,2PAADCDBC====．E为PD的中点，点F在PC上，且13PFPC=，设点G是线段PB上的一点．（1）求

证：CD⊥平面PAD；（2）若23PGPB=．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．（3）设CG与平面AEF所成角为，求sin的范围.【答案】（1）证明见解析（2）直线AG在平面AEF内，理由见解析（3）3,13【解析】【分析】（1）由PA⊥平面ABCD

可得PACD⊥，结合ADCD⊥利用线面垂直判定定理可证；（2）由AGAEAF=+代入坐标建立,方程组，由方程组有解可得直线AG在平面AEF内；（3）由点G是线段PB上的一点．设()()2,,201BGkBPkkkk==−，进而得AG坐标，求平面AEF的一个法

向量n，由向量方法表示出()221sin323kkk+=−+，再利用换元法求函数值域可得.【小问1详解】因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD⊥，又因为ADCD⊥，PAADA=，PA平面PAD，AD平面PAD，所以CD⊥平面PAD.【小问2详解】在底面ABCD

中，过A作//AMDC，交BC于M，由题意可知AMAD⊥，又PA⊥平面ABCD，则以A为坐标原点，分别以,,AMADAP所在直线为,,xyz轴，建立空间直角坐标系Axyz−.则()0,0,0A，()2,1,0B−

，()2,2,0C，()0,2,0D，()002P,,、()0,1,1E、224,,333F、422,,333G−.()0,1,1AE=，22,,333AF=，422,,333AG=−，若AG

平面AEF，则,R且220+，使得AGAEAF=+，则有423322332433=−=+=+，解得22=−=，故22AGAEAF=−+.所以直线AG平面AE

F.小问3详解】由（2）可知()2,1,2BP=−，()0,3,0CB=−.设()()2,,201BGkBPkkkk==−，则()()2,3,201CGCBBGkkkk=+=−−，设平面AEF的法向量为(),,nxyz=

r，则02240333AEnyzAFnxyz=+==++=，即20yzxyz=−++=，令1y=，有1,1zx=−=，故()1,1,1n=−.【故()222232sincos,4343CGnkkkCGnCGnkkk−+−−==

=+−+()222213313239693323kkkkkkkkk+++===−+−+−+，令1,1,2tkt=+，则()()22222211sin8838811312133812ttttttttt====−+

−−−+−+−+，而1110,22t−，211811,32t−+，故3sin,13.