【文档说明】宁夏贺兰县景博中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学（理）试题 含解析【精准解析】.doc，共(19)页，2.042 MB，由小赞的店铺上传

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景博高中2020-2021学年第一学期高二年级第二次月考数学（理）卷Ⅰ（选择题）一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分）1.设复数12izii−=+，则||z=（）A.0B.1C.2D.2【答案】C【解析】【分析】化简已知复数有1zi=−，根据复数模的几何含义求||z

即可.【详解】12(1)21iziiiii−=+=−++=−∴|2|z=，故选：C2.复数z满足22zzi+=，则z在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解

析】【分析】先设复数(),zxyixRyR=+，根据复数模的计算公式，以及复数相等，求出,xy，得出复数，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】设复数(),zxyixRyR=+，由22zzi+=得22222

xyixyi+++=，所以222022xxyy++==，解得331xy==，因为331xy==时，不能满足2220xxy++=，舍去；故331xy=−=，所以33zi=−+，其对应的点3,13−位于第二象限，故选：B.3.命题“若24

x，则22x−”的逆否命题是（）A.若24x，则2x或2x−≤B.若22x−，则24xC.若2x或2x−，则24xD.若2x或2x−≤，则24x【答案】D【解析】【分析】先否定原条件与结

论再做交换即可．【详解】命题“若24x，则22x−”的逆否命题是“若2x或2x−≤，则24x”.故选：D.4.如果方程22143xymm+=−−表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是()A.34mB.72m

C.732mD.742m【答案】D【解析】【详解】方程表示焦点在y轴上的椭圆，需满足40{3034mmmm−−−−，解之可得742m．5.1l的方向向量为()11,2,3v=，2l的方向向量()2,4,

6v=，若12ll//，则等于（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】由12ll//，得出12//vv，利用空间共线向量的坐标表示可求出实数的值.【详解】12//llQ，12//vv，则124=，因此，2=.故选：B.【点睛】本题考查利用直线的方向向量处理

两直线平行的问题，考查化归与转化思想的应用，属于基础题.6.已知命题00:,2pxxR；命题:0,qxxx，则下列说法正确的是（）A.pq是假命题B.pq是真命题C.()pq是真命题D.()pq是假命题【答案】C【解析】【分析】分别判断集合p和集合q的真假，直接判

断选项即可得解.【详解】对于集合p，R为实数集，显然存在02x，故命题p正确，对于集合q，当0.04x=，0.2x=，显然xx不成立，故命题q错误，则q正确，故()pq正确，故选：C.7.设双曲线221mxny+=的一个焦点与抛物线28xy=的焦点相同，离心率为2，则

此双曲线的方程为（）A.2211612yx−=B.2213xy−=C.2211612xy−=D.2213yx−=【答案】B【解析】【分析】利用抛物线28xy=的焦点()0,2得双曲线的一个焦点，则2c=又知离心率为2，故1a=，所以方程可得．【详解】抛

物线28xy=的焦点为()0,2，所以双曲线221mxny+=的一个焦点为()0,2，所以双曲线的焦点在y轴上，故2211,,2abcnm==−=又因为离心率为2cea==，所以1a=，则2223bca=−=故

双曲线的方程为2213xy−=故选：B8.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，AC与BD的交点为M．设1111,ABaADb==，1AAc=，则下列向量中与12BM相等的向量是（）A.2abc−++B.2abc

++C.2abc−+D.2abc−+−【答案】A【解析】【分析】根据空间向量线性运算即可求得结果.【详解】几何体1111ABCDABCD−为平行六面体，各个面均为平行四边形，M为AC，BD中点，111122222BMBMBBBD

AAADABAA=−=+=−+111112ADABAA=−+2abc=−++故选：A.9.长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与1AE所成角的余弦值为（）A.31010B.3010C.3030D.3030−【答案

】C【解析】【分析】建系，再利用1111cosBCAEBCAE=计算所成角的余弦值【详解】如图所示，建立Dxyz−空间直角坐标系，则11(1,0,2),(0,2,1),(1,2,0),(0,2,2)AEBC1111111230(1

,0,2),(1,2,1),cos3056BCAEBCAEBCAE−=−=−−===故选C【点睛】异面直线所成角，能建系的一般建系较简单，再利用1111cosBCAEBCAE=计算所成角的余弦值.10.如图，已知棱长为1的正方体11

11ABCDABCD−中，E是11AB的中点，则直线AE与平面11ABCD所成角的正弦值是（）A.155B.153C.103D.105【答案】D【解析】【分析】根据AE与平面11ABCD的关系，先找到直线与平面的夹

角，然后通过勾股定理求得各边长，即可求得夹角的正弦值．【详解】连接1AC、1BD相交于点M，连接EM、AM因为EM⊥AB，EM⊥BC1所以EM⊥平面11ABCD则∠EAM即为直线AE与平面11ABCD所成的角所以11222EMAD==2151222AE=+=所以2102sin552E

AM==所以选D【点睛】本题考查了空间几何体线面的夹角关系，主要是找到直线与平面的夹角，再根据各长度求正弦值，属于中档题．11.已知曲线2244xy−=，过点(3,1)A且被点A平分的弦MN所在的直线方程为（）A.3450xy−−=B.3450xy+−=C.4350xy−−

=D.4350xy+−=【答案】A【解析】【分析】设()()1122,,,MxyNxy，根据点差法求()1212344MNxxkyy+==+，进而求出方程并检验即可.【详解】解：设()()1122,,,MxyNxy，故221122224444xyxy−=−=，两式做差得：()()()()

121212124xxxxyyyy−+=−+，所以()111212124MNyyxxkxxyy−+==−+，又因为12126,2xxyy+=+=，所以()11121212344MNyyxxkxxyy−+===−+，故弦MN所在的直线方程为()3413yx−=−，即：3450xy−−=

.联立方程22345044xyxy−−=−=得：22040110yy−+=，16008807200=−=，故满足条件.故选：A.【点睛】结论点睛：直线l与双曲线()222210,0xyabab−=交于,AB两点，且点()00,Mxy平分弦AB，则弦AB所在直

线l的斜率为：2020bxkay=.12.从某个角度观察篮球（如图甲），可以得到一个对称的平面图形，如图乙所示，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆的周长八等分，且ABBOOCCD===，则该双曲线的离心率为（）A.2

B.3C.2D.5【答案】B【解析】【分析】设出双曲线方程，把双曲线上的点的坐标表示出来并代入到方程中，找到ab、的关系即可求解.【详解】以O为原点，AD所在直线为x轴建系，不妨设1ABBOOCCD====，则该双曲线过点(22)，且1a=，将点(22)，

代入方程222222123xybcab−===，故离心率为3==cea，故选：B．【点睛】本题考查已知点在双曲线上求双曲线离心率的方法，属于基础题目．卷Ⅱ（非选择题）二、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分）13.已知13zai=+，

22zbi=+，(),abR且1z和2z为共轭复数，则ab=_____.【答案】6−【解析】【分析】利用共轭复数的定义直接求解．【详解】解：13zai=+，22zbi=+，(),abR且1z和2z为共轭复数，23ab=

=−，6ab=−．故答案为：6−．【点睛】本题考查共轭复数的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14.已知复数()243iza=−+，aR，则“2a=”是“z为纯虚数”的______条件.（填写“充要”、“充

分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一个）【答案】充分不必要【解析】【分析】当2a=时，复数()243iza=−+为纯虚数，当复数()243iza=−+为纯虚数时，24=0a−，由此能求出结果.【详解】解：当

2a=时，复数()243iza=−+为纯虚数，即充分性成立，当复数()243iza=−+为纯虚数，可得24=0a−，2a=，必要性不成立，故“2a=”是“z为纯虚数”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要.【点睛】本题主要考查复数的基本概念及充分条件、必要条件

的判断，属于基础题型，熟悉充分条件、必要条件的判断是解题的关键.15.以yx=为渐近线且经过点()2,0的双曲线方程为______．【答案】22144xy−=【解析】【详解】以yx=为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为()220xy−=，代入点()2,0得4=222

24144xyxy−=−=.16.给出下列命题：①直线l的方向向量为a=（1，﹣1，2），直线m的方向向量b=（2，1，﹣12），则l与m垂直；②直线l的方向向量a=（0，1，﹣1），平面α的法向量n=（1，﹣1，﹣1），

则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为1n=（0，1，3），2n=（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量n=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1.其中真命题的是______．（把你

认为正确命题的序号都填上）【答案】①④【解析】【详解】()112a=−，，，1212b=−，，，则11211202ab=−+−=则ab⊥，直线l与m垂直，故①正确()011a=−，，，()111n=−−，，，则()()()0111110an=+−+−−=则

an⊥，l或l，故②错误()1013n，，=，()2102n=，，，1n与2n不共线，不成立，故③错误点()101A−，，，()010B，，，()120C−，，()111AB=−，，，()110BC=−，，向量()1nut=，，是平面的法向量00nABnBC=

=，即1010utu−++=−+=，解得1ut+=，故④正确综上所述，其中真命题是①，④点睛：本题主要考查的知识点是命题的真假判断与应用．①求数量积ab，利用数量积进行判断，②求数量积an

，利用数量积进行判断，③求利用1n与2n的关系进行判断，④利用法向量的定义判断，即可得到答案．三、解答题（本题共计6小题，共计70分）17.已知p：2560Axxx=−+，q：()2230,1Bxxaaxaa=−

++，（1）若2a=求集合B；（2）如果q是p的必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）2,4B=；（2）32a．【解析】【分析】（1）直接解一元二次不等式即可；（2）先求出两个集合，由q是p的必要条件，可得

AB，列不等式组可求出a的取值范围【详解】解：（1）当2a=时，2680xx−+，(2)(4)0xx−−，解得24x，所以集合2,4B=，（2）256023Axxxxx=−+=

，()22320,1,1Bxxaaxaaxaxaa=−++=，因为q是p的必要条件，所以AB，所以2231aaa，解得32a，所以实数a的取值范围为32a【点睛】此题考查一元二次不等式的解法，考查由必要条件求参数的范围，考查计算能力，

属于基础题18.如图，在正四棱柱1111ABCDABCD−中，122,AAABE==为1DD的中点．（1）证明：CE⊥平面11BCE．（2）求二面角11BCEB−−的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2

）33.【解析】【分析】（1）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立空间直角坐标系．可得各点坐标，从而可得各向量坐标，根据向量数量积为0则两向量垂直，可得111,CEBECEBC⊥⊥，根据线面垂直的判定定理可证得CE

⊥平面11BCE；（2）求出平面1BCE的一个法向量，由数量积公式可求得两法向量所成角的二面角．两法向量所成的角与二面角的平面角相等或互补，所以观察图像可得所求二面角的平面角为锐角，所以所求二面角的平面角的

余弦值等于两法向量余弦值的绝对值．【详解】（1）证明：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，1AA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Axyz−，如图所示，则11(1,0,0),(1,1,0),(0,1,1),

(1,0,2),(1,1,2)BCEBC．111(1,0,1),(1,1,1),(0,1,0)CEBEBC=−=−−=，111110,0CEBECEBC=−==，即111,CEBECEBC⊥⊥，又1111BEBCB=，CE⊥平面11BCE．（2）解

：由（1）可知，平面11BCE的一个法向量1(1,0,1)nCE==−．1(1,1,1),(0,1,2)BEBC=−=．设平面1BCE的一个法向量为2(,,)nxyz=，则2210,20,nBExyznBCyz=

−++==+=令1x=，得2(1,2,1)n=−．1212123cos,3nnnnnn==−，由图可知，二面角11BCEB−−为锐角，所以二面角11BCEB−−的余弦值为33．【点睛】本题的核心在考查空间向量

的应用，求解时要注意.mn分别为平面，的法向量，则二面角与,mn互补或相等，结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．19.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面,4ABCDPAAB==，E为PB的中点，F为线段BC上的点，且14BFBC=．（

1）求证：平面AEF⊥平面PBC；（2）求点B到平面PCD的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）22.【解析】【分析】（1）根据题意可证明AE⊥平面PAB，即可证明平面AEF⊥平面PBC；（2）根据三棱锥中BPCDAPCDPACDVVV−−−==，利

用等体积即可求高.【详解】（1）证明：PA⊥平面ABCD，PABC⊥．又底面ABCD为正方形，BCAB⊥．PA平面,PABAB平面,PABABPAA=，BC⊥平面PAB．AE平面PAB，BCAE⊥．,PAABE=为PB中

点AEPB⊥．PB平面,PBCBC平面,PBCPBBCB=，AE⊥平面PBC．又AE平面AEF，平面AEF⊥平面PBC．（2）解：//,ADBCADBC=，BPCDAPCDVV−−=．又APCDPACDVV−−=，1

132444323BPCDPACDVV−−===．1424822PCDS==，∴四棱锥BPCD−的高3322282BPCDPCDVhS−===，∴点B到平面PCD的距离为22．【点睛】证明面面垂直的主

要方法(1)利用判定定理：aa⊥⊥，．(2)用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角．(3)如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面：⊥⊥，．20.已知椭圆22221(0)xyabab+=焦点

为()()122,0,2,0FF−且过点()2,3−，椭圆上一点P到两焦点1F,2F的距离之差为2，（1）求椭圆的标准方程；（2）求12PFF的面积.【答案】（1）2211612xy=＋（2）6【解析】【分析】(1)由题意可得c=2,同时代入点()2,3−的坐标，结合椭圆的简单性质222c

ab=+，联立可得答案.(2)由12128,2PFPFPFPF=−=＋，解得125,3PFPF==,满足2222121PFFFPF=＋，可知12PFF为直角三角形，可求三角形的面积.【详解】解：（1）由222222491ccabab==++=,解得221612ab==

,所以椭圆的标准方程为2211612xy=＋.（2）由12128,2PFPFPFPF+=−=，解得125,3PFPF==.又124FF=，故满足2222121PFFFPF=＋.∴12PFF为直角三角形.∴1214362PFFS==.【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法

和椭圆的几何性质的应用,相对不难.21.已知抛物线2:Cy=2(0)pxp的焦点()1,0,FO为坐标原点,,AB是抛物线C上异于O的两点．(1)求抛物线C的方程;(2)若直线,OAOB的斜率之积为13−,求证:直线AB过x轴上一定点．【答案】（1）24yx=；（2）见

解析.【解析】【详解】试题分析：本题主要考查抛物线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的方程与斜率,考查了定点问题.(1)由抛物线的焦点坐标可得p的值,即可得抛物线方程;(2)分直线的斜率存在与不存在两种情况,结合直线,OAOB的斜率之积为13−进行讨论.

试题解析：(1)因为抛物线22(0)ypxp=的焦点坐标为()1,0,所以12p=,所以2p=,所以抛物线C的方程为24yx=.(2)证明:①当直线AB的斜率不存在时,设22,,,44ttAtBt−.

因为直线,OAOB的斜率之积为13−,所以2244tttt−=13−,化简得248t=,所以()()12,,12,AtBt−,此时直线AB的方程为12x=.②当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=()()1122,,,,kxbAxyB

xy+,联立方程组24yxykxb==+消去x,得2440kyyb−+=,根据根与系数的关系得124byyk=,因为直线,OAOB的斜率之积为13−,所以1212yyxx=13−,即121230xxyy+=,即22

12123044yyyy+=,解得120yy=(舍去)或1248yy=−,所以12yy=4bk−=48−,即12bk=−,所以12ykxk=−,即()12ykx=−,综上所述,直线AB过定点()12,0．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，

或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.22.如图，斜棱柱111ABCABC−中，侧面11AABB垂直底面

ABC，且160AAB=，D，E分别是AB，1BB的中点，122AAABACBC===.（1）证明：1//BC平面1ACD；（2）求二面角DACE−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）53131.【解析】【分析】（1）先证明点F是

1AC的中点，再证明1//DFBC，最后证明1//BC平面1ACD（2）先证明1AD⊥平面ABC、DBDC⊥，再建立空间直角坐标系Dxyz−，接着求平面DAC的一个法向量设为(0,0,1)n=，平面EAC的法向量为53(1,1,)3m=−，最后求二面角DACE−−的余弦值即可解题.【详解】解：（1

）证明：连接1AC交1AC于点F，连接DF，如图，在斜棱柱111ABCABC−中，∵四边形11AACC是平行四边形，∴点F是1AC的中点，∵点D是AB的中点，∴在1ABC中，1//DFBC∵DF平面1ACD，1BC平面1ACD,∴1//BC平面1ACD（2）∵侧面11AABB垂直底面AB

C，且160AAB=，D是AB的中点，1AAAB=，∴1AD⊥平面ABC，∵ACBC=，D是AB的中点，∴DBDC⊥，∴以点D为原点，以DB方向为x轴正方向，以DC方向为y轴正方向，以1DA方向为z轴

正方向，建立空间直角坐标系Dxyz−，如图，∵122AAABACBC===，∴设12AA=，则点(0,0,0)D，(0,1,0)C，(1,0,0)A−，33(,0,)22E，(1,1,0)AC=，53(,0,)22AE=∵平面DAC是底面xOy，∴平面DAC的一

个法向量设为(0,0,1)n=，设平面EAC的法向量为(,,)mxyz=，则00mACmAE==即053022xyxz+=+=，令1x=−，解得：1y=，533z=，则平面EAC的法向量为53(1,1,)3m=−，535313cos,31251113nmnmnm

===++，所以二面角DACE−−的余弦值：53131.【点睛】本题考查利用线线平行证明线面平行，求平面的法向量，利用空间向量求二面角的余弦值，是中档题.