【文档说明】湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一下学期第一次适应性检测数学试卷含答案.docx，共(15)页，860.481 KB，由小赞的店铺上传

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长郡中学2022～2023学年度高一第二学期第一次适应性检测数学时量：120分钟满分：150分得分__________一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求．）1．已知3iz=−，i为虚数单位，则z=（）．A．3B．4C．10D．102．ABC△的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若222abcab+−=，则角C的大小为（）．A．π6B．π3C．π2D．2π33

．已知平面向量()sin,1a=，()cos,2b=−，若ab∥，则tan=（）．A．12−B．2−C．2D．124．函数()cosxxxfxe=的图象大致为（）．A．B．C．D．5．已知正实数a，b满足21ab+=，则18ab+的最

小值为（）．A．8B．17C．20D．256．如图，半球内有一内接正四棱锥SABCD−，该四棱锥的体积为423，则该半球的体积为（）．A．2π3B．42π9C．42π3D．82π37．已知()fx是偶

函数且在)0,+上单调递增，则满足()()sincosfxfx的一个x值的区间可以是（）．A．ππ,42B．3π,π4C．3π3π,45−−D．3π7π,248．已知定

义域为R的函数()fx满足()31fx+是奇函数，()21fx−是偶函数，则下列结论错误的是（）．A．()fx的图象关于直线1x=−对称B．()fx的图象关于点()1,0对称C．()31f−=D．()fx的一个周

期为8二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．下列结论正确的是（）．A．模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等B．已知平面内的一组基底1e

，2e，则向量12ee+，12ee−也能作为一组基底C．已知单位向量a，b满足1ab−=，则a在b方向上的投影向量为12bD．已知aR，i为虚数单位，若复数()211izaa=−++为纯虚数，则1a=10．计算下列各式，结果为3的是（）．A．2sin152cos15

+B．2cos15sin15cos75−C．2tan301tan30−D．1tan151tan15+−11．ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（）．A．若AB，则sinsinABB．若222sinsinsinA

BC+，则ABC△是钝角三角形C．若coscosaAbB=，则ABC△为等腰三角形D．若22AB=，45B=，3AC=，则满足条件的三角形有且只有一个12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对

应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes-benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，其定义为：已知O是ABC△内一点，BOC△，AOC△，AOB△的面积分别为AS，BS，CS，则0ABCSOASOBSOC++=，设O是是锐

角ABC△的一点，BAC，ABC，ACB分别是ABC△的三个内角，以下命题正确的有（）．A．若230OAOBOC++=，则::1:2:3ABCSSS=B．若2OAOB==，5π6AOB=，2340OAOBOC++=，则92

ABCS=△C．若O为ABC△的内心，3450OAOBOC++=，则π2C=D．若O为ABC△的垂心，3450OAOBOC++=，则6cos6AOB=−答题卡题号123456789101112答案三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设函数()3log,021,0xxf

xxx=−，则()()1ff=__________．14．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的面积是__________．15．已知命题:1,4px，4axx+是假命

题，则实数a的取值范围是__________．16．设锐角ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2BA=，则bca+的取值范围是__________．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤．）17．（10分）已知2a=，3b=，()()2325abab−+=−．（1）求a与b的夹角；（2）若()21ctatb=+−，且bc⊥，求实数t的值．18．（12分）已知函数()21cossincos2fxxxx=+−．（1）求

()fx的最小正周期；（2）将()fx的图象向左平移π4个单位长度，得到函数()ygx=的图象，求不等式()0gx的解集．19．（12分）在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cos2bCca+=．（1）求角B；（2）若D为AC的中点，且52BD=，3b=，求ABC△的面

积．20．（12分）噪声污染已经成为严重影响人们身体健康和生活质量的问题．实践证明，声音强度D（分贝）由公式lgDaIb=+（a、b为非零常数）给出，其中()2WcmI为声音能量．（1）当声音强度1D，2D，3D满足12323D

DD+=时，求对应的声音能量1I，2I，3I满足的等量关系式；（2）当人们低声说话，声音能量为13210Wcm−时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为12210Wcm−时，声音强度为40分贝，当声音能量大于60分贝时属于噪音，

一般人在100分贝至120分贝的空间内约一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪．21．（12分）如图，直三棱柱111ABCABC−中，11BCAA==，2AB=，3cos3ACB=，P为线段1BC上的动点．（1）当P为线段1BC上的中点时，求三棱锥BPAC−的体积；（2

）当P在线段1BC上移动时，求APCP+的最小值．22．（12分）定义非零向量(),OMab=的“相伴函数”为()()sincosfxaxbxx=+R，向量(),OMab=称为函数()()sincosfxaxbxx=+R的“相伴向量”（其中O为

坐标原点）．记平面内所有非零向量的“相伴函数”构成的集合为S．（1）设()()ππ3cos3cos63hxxxx=++−R，请问函数()hx是否存在相伴向量OM？若存在，求出与OM共线的单位向量；若不存在，请说明理由；（2）已

知点(),Mab满足：(0,3ba，向量OM的“相伴函数”()fx在0xx=处取得最大值，求0tan2x的取值范围．长郡中学2022～2023学年度高一第二学期第一次适应性检测数学参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共4

0分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）题号12345678答案CBABDCBC1．C【解析】因为3iz=−，所以()223110z=+−=．故选C．2．B【解析】由余弦定理得2221cos222abcabCabab+−===，因为()0,πC，所以π3C=．故选B．3

．A【解析】∵ab∥，∴2sincos−=，显然cos0，∴1tan2=−．故选A．4．B【解析】函数()cosxxxfxe=的定义域为R，()()()coscosxxxxxxfxfxee−−−−==−=−，即函数()fx是奇函数，排除CD

；当π0,2x时，()cos0xxxfxe=，即当π0,2x时，函数()fx的图象在x轴的上方，显然A不满足，B满足，故选B．5．D【解析】∵0a，0b，∴()18182828211617225babaababababab+=++=++++=

，当且仅当28baab=，即15a=，25b=时等号成立，故选D．6．C【解析】依题意，设半球的半径为R，连接AC，BD交于点O，连接SO，如图所示：则有AOBOSOR===，易得2ABR=，所以正四棱锥SABCD−的体积为：22114223

33SABCDVABSORR−===，解得2R=，所以半球的体积为：31442ππ233VR==．故选C．7．B【解析】因为()fx是偶函数，故()()fxfx=，由()()sincosfxfx，得()()sincosfxfx，

由函数在)0,+上单调递增，得sincosxx，则22sincosxx，即cos20x，所以ππ2π22π23kxk−+，kZ，即ππππ44kxk−+，kZ．当0k=时，ππ44x−，当1k=−时，5π3π44x−−，当1k=时，3π5π44x，当2k=时，

7π9π44x，所以ACD不合题意，选项B符合．故选B．8．C【解析】由题意知()31fx+是奇函数，即()()3131fxfx−+=−+，∴()()11fxfx−+=−+，即()()2fxfx−+=−，即()()2

0fxfx+−+=，故()fx的图象关于点()1,0对称，B结论正确；又()21fx−是偶函数，故()()2121fxfx−−=−，∴()()11fxfx−−=−，即()()2fxfx−−=，故()fx的图象关于直线1x=−对称，A结论正确；由以上可知()()()22fxfxfx=−−=−

−+，即()()22fxfx−=−+，所以()()4fxfx+=−，则()()()84fxfxfx+=−+=，故()fx的一个周期为8，D结论正确；由于()()3131fxfx−+=−+，令0x=，可得()()11ff=−，∴()10f=，而()fx的图象关于直线1x=−对称，故()30f

−=，所以C结论错误，故选C．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）题号9101112答案BCADABDACD9．BC【解析】对于A，虽然单位向量模长相

等，但方向可以不同，故不是所有单位向量均相等，A错误；对于B，∵1e‘2e为一组基底，∴1e‘2e不共线，∴12ee+，2ee−也不共线，∴12ee+，12ee−也可以作为一组基底，B正确；对于C选项，1ab−=，两边平方得2221aabb−+=，12ab=，所以

a在b方向上的投影向量为12abbbbb=，C选项正确；对于D选项，复数()211izaa=−++为纯虚数，则21010aa−=+，解得1a=，D选项错误，故选BC．10．AD【解析】对于选项A，由辅助角公式得()2sin152cos152sin15452sin603+=+

==．故选项A正确；对于选项B，()23cos15sin15cos75sin75cos15sin15cos75sin7515sin602−=−=−==，故选项B错误；对于选项C，223tan30331tan302313==−−

，故选项C错误；对于选项D，()1tan15tan45tan15tan4515tan6031tan151tan15tan45++==+==−−，故选项D正确，故选AD．11．ABD【解析】对A选项，根据结论大角对大边，则有ab，又因为正弦定理sinsinabAB=，所

以sinsinAB，故A正确；对B选项，由222sinsinsinABC+可得222abc+，∴cos0C，ABC△为钝角三角形，故B正确；对C选项，由coscosaAbB=可得sincossinco

sAABB=，∴sin2sin2AB=，∴AB=或22πAB+=，ABC△是直角三角形或等腰三角形，故C错误；对D选项，由222212cos2242ABBCACBCBABBCBC+−−===，则2410BCBC−−=，解得25BC=，故25BC=+，满足条件的三角

形有且只有一个，故D正确，故选ABD．12．ACD【解析】对A，由奔驰定理可得，230ABCOAOBOCSOASOBSOC++=++=，又OA、OB、OC不共线，故::1:2:3ABCSSS=，A对；对B，122sin12CSAOB=

=，由2340OAOBOC++=得::2:3:4ABCSSS=，故9944ABCCSS==△，B错；对C，若O为ABC△的内心，3450OAOBOC++=，则::3:4:5ABCSSS=，又111::::::222ABCSSSarbrcrab

c==（r为内切圆半径），则三边满足勾股定理，故π2C=，C对；对D，若O为ABC△的垂心，则πBOCA+=，coscosOBOCOBOCBOCOBOCA==−，又()0coscosOBACOBOCO

AOBOCOBOAOCAOAC=−===，同理coscosOCBOBC=，coscosOABOBA=，∴::cos:cos:cosOAOBOCABC=，∵3450OAOBOC++=，则::3:4:5ABCSS

S=，且111::sin:sin:sin222ABCSSSOBOCBOCOAOCAOCOAOBAOB=coscossin:coscossin:coscossinBCAACBABC=sinsinsin::tan:tan:tan

3:4:5coscoscosABCABCABC===，令tan3At=，tan4Bt=，tan5Ct=，且0t，因为()tantanABC=−+，所以55t=，2216tan15coscos6CCC=−==．如图，D，E，F分别为BC，AC，AB边的垂足，B

OFBAC=，AOFABC=，BODACB=，所以()6coscoscos6AOBBACABCACB=+=−=−，D对，故选ACD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．1−【解析】由已知可得()31log10f==，则()()()101ff

f==−．14．22【解析】由直观图可知，在直观图中，正方形的对角线长为2，由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图形如图所示，所以原图图形为平行四边形，底面边长为1，位于y轴的对角线长为22，所以原来图形的面积为12

222S==．15．(,0−【解析】命题:1,4px，4axx+是假命题，即命题1,4x，4axx+是真命题，即24axx−+在1,4上恒成立，令()()22424fxxxx=−+=−−+，因为1,4x，所以当4x=时函数取最小值，即()

()min40fxf==，所以0a．16．()21,32++【解析】因为2BA=，则sinsin22sincosBAAA==，2coscos22cos1BAA==−，又()sinsinsincoscossinCABABAB=+=+，故由正弦

定理可得：sinsincossin2coscossinsinbcBCABABaAA++==++2222coscos2cos2cos2cos2cos1ABAAAA=++=++−24cos2cos1AA=+−，又ABC△为锐角三角形，故可得π0,2A

，π20,2BA=，ππ30,2CA=−，解得ππ,64A，则23cos,22A，故()24cos2cos121,32AA+−++，即()21,32bca+++．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过

程或演算步骤．）17．【解析】（1）因为()()2325abab−+=−，所以224435aabb−−=−，即16495ab−−=−，所以3ab=，所以33cos223abab===，又0,π，

所以π6=．（5分）（2）因为()21ctatb=+−，且bc⊥，所以()()22121bcbtatbtabtb=+−=+−．即()361360ttt+−=−+=，解得2t=．（10分）18．【解析】（1）()211cos211cossincossin22222xfxxx

xx+=+−=+−()12πsin2cos2sin2224xxx=+=+，故2ππ2T==．（5分）（2）因为()2π2πsin2sin22428fxxx=+=+，向左平移π4个单位长度，得到()2ππ2

3πsin2sin228424gxxx=++=+，故要使()23πsin2024gxx=+，需满足3π22π,π2π4xkk++，kZ，解得3πππ,π88

xkk−++，kZ，故()0gx的解集为3πππ,π88kk−++，kZ．（12分）19．【解析】（1）因为2cos2bCca+=，所以222222abcbacab+−=−．即222acbac+−=，所以222

1cos22acbBac+−==，又()0,πB，所以π3B=．（5分）（2）由52BD=，得52BD=，则由平行四边形法则可得5BABC+=，则22225BABCBABC++=，即2225acac++=①，又2222cosbacacB=+−，即

229acac+−=②，由①②可得8ac=．（10分）则13sin42322ABCSacB===△．（12分）20．【解析】（1）∵12323DDD+=，∴()()123lg2lg3lgaIbaIbaIb+++=+，∴123lg2lg3lgIII+=，所以2312

3III=．（5分）（2）由题意得1312lg1030lg1040abab−−+=+=，（7分）即13301240abab−+=−+=，解得10160ab==（9分）所以lg10lg160DaIbI=+=+，由10010lg160120I+

，得6lg4I−−，得641010I−−．所以当声音能量在()6410,10−−时，人会暂时性失聪．（12分）21．【解析】（1）由已知可得6sin3ACB=，由余弦定理有2212cosACACACB=+−，得到3AC=．在ACB△中，有1162sin312232ACBSACBCACB

===△，（3分）111112212236212BPACPACBCABCACBVVVS−−−=====△．（6分）（2）将1ABC△绕1BC旋转到与1CBC△同一平面（如图所示），连接AC交BC于

点0P，此时APCP+取得最小值，最小值即AC长．（8分）在1ABC△中，12BC=，2AB=，12AC=，故22211BCABAC+=，故1ABBC⊥，即190ABC=，又易知145CBC=，故135ABC=，由余弦定理得

212221cos1355AC=+−=，所以5AC=，（或者在1ACC△中由勾股定理得5AC=）故APCP+的最小值为5．（12分）22．【解析】（1）因为()ππ3cos3cos63hxxx=++−

ππππ3coscossinsin3coscossinsin6633xxxx=−++ππππ3coscos3sinsin3coscos3sinsin6633xxxx=−++33333cossinsincos2222xxxx=

−++3sin3cosxx=+，（3分）所以，函数()hx存在相伴向量，()3,3OM=，所以，与OM共线的单位向量为()1133,3,2223OMOM==或()1133,3,2223OMOM−=−=−−

．（5分）（2）OM的“相伴函数”()()22sincossinfxaxbxabx=+=++，tanba=，因为()fx在0xx=处取得最大值，所以，当0π2π2xk+=+，kZ，即0π2π

2xk=−+，kZ时，()fx有最大值22ab+，所以0πsinsin2πcos2xk=−+=，0πcoscos2πsin2xk=−+=，所以0cos1tansintanx==，因为(tan0,3ba=，13,tan3+

，所以0cos13tan,sintan3x==+，（8分）所以0020002tan2tan211tantantanxxxxx==−−，令03tan,3tx=+

，则0011tantanxtxt−=−，因为1yt=，yt=−在3,3+上均为单调递减函数，所以1ytt=−在3,3+上单调递减，所以001123tan,tan3xtxt−=−，（10分）所以，(

))0020002tan2tan2,03,11tantantanxxxxx==−+−−，所以，0tan2x的取值范围为()),03,−+．（12分）