【文档说明】吉林省梅河口市第五中学2020-2021学年高一下学期期末联考数学试题 含答案.docx，共(15)页，846.257 KB，由小赞的店铺上传

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梅河口市2020-2021学年高一下学期期末联考数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在

答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各題的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答

无效.4.=本卷命题范围：人教A版必修第二册.一.选择题:本题共8小题,每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z满足2zizi−=+（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2.已知向量1,2a=（）,1,0b=（）,3,4c=（）,若()cab+∥,则实数=（）A．2B．1C．12D．143.2019年5月31日世界无烟日，新华小区随机调査了300个成年人，结果其中有45个成年人吸烟.对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是（）A．调査的方式是普

査B．样本是45个吸烟的成年人C．本小区只有255个成年人不吸烟D．本小区约有15%的成年人吸烟4.下列说法正确的是（）A．多面体至少有3个面B．有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形5.从

装有大小相同的3个红球和2个白球的袋子中，随机摸出2个球，则至少有一个白球的概率为（）A．310B．35C．710D．456.为让数据多跑路，群众少跑腿，某地区今年将全面通过学生社会保障卡（简称社保卡）进行代扣代缴，这种模式

避免大量保费以现金的形式在个人手中停留时间较长，大大缩减了收缴费用的时间,提高办事效能.学生家长只需在合作银行网点通过银行柜台、自助终端机、网上银行、手机APP这四种方式进行缴费即可,该区从缴费过的家长中随机

抽取了容量为200的样本，绘制通过各个不同缴费方式所占样本人数的比例图（如图所示），其中阴影部分表示相应缴费方式人数所占的比例，则下列叙述中错误的是（）A．相比其他缴费方式,家长更愿意通过手机APP缴费B．调查中选择自助终端机和网上银

行缴费的人数合计为40C．通过银行柜台缴费的家长人数占样本比例是10%D．通过调査可预测，选择手机APP缴费的人数约是选择银行柜台缴费人数的5倍7.已知2ab==，21aab+=，则向量,ab的夹角=（）A．6B．3C．

23D．568.对于ABC有如下命题,其中正确的是（）A．若22sinAsinB=,则ABC为等腰三角形B．若sinAcosB=,则ABC为直角三角形C．若2221sinAsinBcosC++,则ABC为钝角三角形D．若3,1,30ABACB===,则ABC为等腰三角

形二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分.有选错的得0分9.下列命题正确的是（）A．已知平面a和直线l,则平面a内至少有一条直线与直线l垂直B．已知不同的平面,,不同的直线,mn,若//,//

,//,//mmnn,则//C．已知直线ab,相交，直线,ac相交,则直线,bc可能异面D．若直线l在平面外，则直线l与平面无交点10.如图，在平面四边形ABCD中，等边ABC的边长为2,30ADC=,ACCD丄,点M为边AB上一动点，记DM

CM=,则的取值可以是（）A．4−B．154C．5D．1011.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点,MN,若线段MN的最小值为31−,则（）A．正方体的外接球的表面积为12B．正方体的内切球的体积为43C．正方体

的边长为2D．线段MN的最大值为2312.如图，设ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc,()32sinacosCccosAbB+=,且3CAB=.若点D是ABC外一点,1,2DCDA==,则下列说法中正确的是（）A．ABC的内角3B=B．ABC的

内角3C=C．四边形ABCD面积无最大值D．四边形ABCD面积的最大值为5324+三、填空题:本题共4小题.每小题5分，共20分.13.如图，在ABC中,,DE是线段BC的两个三等分点，若,BCmADnAEmnR=+（）.则mn−=.14.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B,系

统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为17和p.若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为1356,则p=.15.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，()()22sinsinbcACbcA−+=，且3B=,则C的大小为.16.在正三棱

柱111ABCABC−中,23AB=,12AA=,,EF分别为111,ABAC的中点，平面过点1C,且平面∥平面11ABC平面,平面平面111ABCl=,则异面直线EF与l所成角的余弦值为.四、解答题：共70分.解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤.17.(1)在不超过30的素数中随机选取两个不同的数，求其和等于30的概率;(2)投掷一颗骰子2次,求投出的点数之和为10的概率.18如图，在直三棱111ABCABC−中，点D是棱11BC的中点,2ABAC==，12BCBB==.(1)求证:1AC∥

平面1ABD;(2)若E是1AC的中点，求三棱锥1EABD−的体积.19.已知在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc,1a=,6A=,且321cb−=.(1)求cosC的值；(2)求ABC的面积.20.为了了解某年龄段1000名学生的百米成绩情况，随机抽

取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组13,14［）,第二组14,15［）,…,第五组7,18.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，巳知图中从左到右前3个组的频率之比为3819::,且第二组的频数为8.(1)将频率当作概率,请估

计该年龄段学生中百米成绩在16,17［）内的人数;(2)求调査中随机抽取了多少名学生的百米成绩;(3)若从第一、第五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率.21.如图,甲船以每小时30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A处时，乙船位于甲

船的北偏西105方向的1B处,此时两船相距102海里;当甲船航行20分钟到达2A处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处,此时两船相距10海里.(1)求乙船的速度；(2)若乙船在2B处的航行速度提高到每小时303海里，甲船的航行速度不变,试问甲、乙两船是否会相遇，若

相遇，则求出甲船从2A处到相遇所用的时间；若不相遇,请说明理由.22.如图,边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将AED,DCF分别沿,DEDF折起，使,AC将两点重合于点'A.(1)求证：'ADEF⊥；(2)求

'AD与平面EFD所成角的正弦值.梅河口市2020-2021学年高一下学期期末联考数学试题答案1.A由()()221213z112iiiiii++++===−−，复数z在复平面内对应点的坐标为13,22，所以z在复平面内对应的点位于第一象限.2.C由

题意得()1,2ab+=+和()3,4c=平行，故()14230+−=,解得12=，故选C.3.D因为调查方式是抽样调查，所以A项不正确；因为样本是这300个成年人，所以B项也不正确,C项显然不正确.4.D一个多面体至少有4个面，如三棱锥有

4个面，不存在有3个面的多面体.所以选项A错误;选项B错误，反例如图1；选项C错误，反例如图2.上、下底面是全等的菱形.各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义,知选项D正确.故选D.5.C由题意，所求概率即为摸出的两个球中有白球的概率，设3个红

球分别记为..abc.2个白球分别记为,de,则所有可能的结果为,,,,,,,,,abacadaebcbdbecdcede，共10种，符合条件的结果为,,,,,,adaebdbecdcede.，共7种，即所求概率为710.6.B由

题图可知,选择自助终端机和网上银行缴费人数共占比例是40%,样本人数是200,所以人数是20040%80=,所以B项错误，其它三项都是正确的.7.C因为21aab+=,所以1ab=,所以12abcosab==−,所以23=.8.C对于:22AsinAsi

nB=,22ABAB=+=或.ABC为等腰三角形或直角三角形.A错误；对于:B由sinAcosB=,2AB−=或2AB+=.ABC不一定是直角三角形,B错误；对于:C22221sinAsinBcosCsinC+−=,222a

bc+.ABC为钝角三角形,C正确；对于D：由正弦定理，得sin3sin2cBCb==尊,60C=或120C=.90A=或30A=,.ABC不一定为等腰三角形,D错误.故选C.9.AC因为平面内有无数条直线与直线l垂

直，所以A项正确;平面与也可以相交,此时只需直线,mn同时平行他们的交线，所以B项不正确；显然C项正确;直线l在平面外包括l∥和l与相交，所以交点个数为0或1，所以D项不正确.10.CD以A为坐

标原点建立如图平面直角坐标系，设0,2AMt=,21则13--t,22Mt,()1,3C,()4,0D.故222131315334,1,34422224242DMCMtttttttttt==−−−−−=+++−=++在0,2t

上为增函数，故244,10t=++t11.ABC设正方体的边长为a,则外接球的半径32Ra=，内切球的半径12ra=,所以线段MN的最小值313122Rraa−=−=−,解得2a=,所以3,1Rr==,所以选项,,ABC正确，线段MN的最大值为31+选项D错误.

12.ABD32acosCccosAbsinB+=（）,23sin2sinAcosCCcosAsinB+=（）,()232sinACsinB+=,32sinB=,3CAB=,20,3B

,3B=,3CAB=−−=因此,AB正确；四边形ABCD面积等于()222313sin2cos424ABCACDSSACADDCADCADDCADDCADC+=+=+−()1

315353sin414cos2sin2sin2242434ADDCADCADCADCADC+=+−+=+−+因此D正确,C错误.故选ABD13.6−据题设知,33BCDEAEAD==−（）=-3AD+3AE.BCmADnAE=+,所以

33ADAEmADnAE−+=+,所以330mADAE++=（）（n-）.又AD与AE不共线，所以3m=−,3=n,所以6mn−=−.14.18由题意得()161317756pp−+=，解得18p=.15.6由()()22

sinsinbcACbA−+=,得22sinBbcsinA=（b-c）,结合正弦定理可得22bbca=（b-c）即22acbc=−①，由余弦定理得222122acbcosBac+−==,即222acbac+−=②,联立①②可得23acbc==，,则222222433cos22223abccccC

abcc+−+−===，故6C=.16.34因为平面∥平面11ABC,平面平面111ABCl=，平面11ABC平面11111ABCAB=，所以11//lAB,取1111,ABBC的中点分别为,HG,连接1,,,,EHEGGHGFAC，如图所示，则11//GFAB，所以//

GFl,所以异面直线EF与l所成的角为GFE或其补角，又因为23AB=,12AA=,所以14AC=，1EH=.=3HFGF=所以2EGEF==,所以332242GFcosGFEEF===.17.解：(1)记事件A为2个素数的和为30.不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17

,19,23,29共10个.从中选取两个数相加，有45（可罗列，可用组合数公式计算）种不同的选法，其中和为30的有723,1119,1317+++共3种，所以()314515PA==.（2）记事件A为投出的点数之和为10

.投掷一颗骰子2次,基本事件总数为2636=（可罗列，可计算），点数之和为10包含了46,55,64+++这3个基本事件，所以112PA=（）.18.(1)证明：连接1AB,交1AB于点O,则O为1AB的中点，连接OD,又D是11BC的中点，1ODAC∥，OD平面1ABD.

1AC平面1ABD,1AC∥平面1ABD.(2)解：1AC∥平面1ABD.1EAC，点E，1C到平面1ABD的距离相等.即111EABDCABDVV−−=，1111CABDBACDVV−−=，11111113EAB

DBACDACDVVBBS−−==2,2ABACBC===222ABACBC+=,即90BAC=,D是11BC的中点,111111122ACDABCSS==12BB=11112323EABDV−==1

9.解:(1)由321cb−=,得32cba−=,即32sinCsinBsinA−=,6A=π,5-6B=πC,5132-C62sinCsin−=π解得：1cos2C=(2)ABC在中,12cosC=−,23C=π,-6BAC=−=ππ,b1a==,

1133sin112224ABCSabC===.20.解：(1)百米成绩在)16,17内的频率为0.3210.32=,0.321000320=,所以估计该年龄段学生中百米成绩在)16

,17内的人数为320人.(2)设图中从左到右前3个组的频率分别为3,8,19xxx.依题意，得38190.3210.0811xxx++++=,所以0.02x=.设调査中随机抽取了n名学生的百米成绩，则88

0.02n=,得50n=,所以调查中随机抽取了50名学生的百米成绩.(3)百米成绩在第一组的学生数有30.021503=,记他们的成绩为,,abc；百米成绩在第五组的学生数有0.081504=,记他们的成绩为,,,mnpq,则从第一、第五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有()(

)()()()()()()()()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,abacamanapaqbcbmbnbpbqcmcncpcqmnmpmqnpnqpq,共21个.其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的

基本事件有()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,amanapaqbmbnbpbqcmcncpcq,所以两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率为124217P==.21.解;⑴连接12AB.由题意可得,2210AB=.1220301060AA=

=,122AAB是等边三角形，1121056045BAB=−=,在121ABB中，由余弦定理得()22222121112111211222cos102102102101002BBABABABABBAB

=+−=+−=.所以1210BB=.所以乙船的速度为10603020=(海里/小时).(2)分别延长1212,AABB交于点C由⑴得1212BBAB=，所以1111245ABCBAB==.故11118030CBBA

C=−−=,则222218030ABCBACC=−−=,所以22210ACAB==.则在22ABC中，由余弦定理，得22222222222221100100210103002BCABACABACcosCAB=+−=+−−=,则2103BC=.因

为221031101330303303303BCAC====，所以两船会相遇，且甲船从2A到相遇所用时间为13小时.22.⑴证明：在正方形ABCD中，有,ADAECDCF⊥⊥.则'''',ADAEADAF⊥⊥.又'''=AEAFA,'AD丄平面'AEF，而EF平面'',AEFADEF丄

.(2)解:连接BD交EF于点G,连接'AG.在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，,BEBFDEDF==,点G为EF的中点，且BDEF丄.正方形ABCD的边长为2.''1AEAF==,',AGEFEF丄丄平面'AGD.'A在面EFD的射影在BD上,则

'ADG即为直线'AD与平面EFD所成的角.由(1)可得''ADAG丄,'ADG为直角三角形，正方形ABCD的边长为2,222BDEF==，，223222222BGDG==−=，又'2AD=，'2'2924,22AGDGAD=−=−=''212s

in3322AGADGDG===直线'AD与平面EFD所成角的正弦值为13.