【文档说明】广西壮族自治区河池市河池市十校2024-2025学年高二上学期第一次联考（10月）数学试题 Word版含解析.docx，共(16)页，1.561 MB，由小赞的店铺上传

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2024年秋季学期高二年级校联体第一次联考数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动

，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合要求的．1.直线4yx=+的倾斜角是（）A.π6B.π4C.π3D.2π3【答案】B【解析】【分析】借助斜率与倾斜角的关系计算即可得.【详解】直线4yx=+的斜率为1，设倾斜角为)0,π，则有tan1=，即π4=.

故选：B.2.经过()0,1A，()2,5B−两点的直线的斜率为（）A.2−B.2C.3−D.3【答案】A【解析】【分析】代入斜率公式求解即可.【详解】经过()0,1A，()2,5B−两点的直线的斜率51220k−==−

−−.故选：A.3.已知()1,3,2a=−−，()1,0,bm=，且3ab=−，则m=（）A.2−B.1−C.1D.2【答案】C【解析】【分析】根据空间向量数量积坐标公式得到方程，求出答案.【详解】1023abm=−+−

=−，解得1m=.故选：C4.若直线31yx=+的斜率为k，在y轴上的截距为b，则（）A.13k=−，1b=B.3k=，13b=−C.13k=−，13b=D.3k=，1b=【答案】D【解析】【分析】根据斜截式方程的定义

求解即可.【详解】直线31yx=+的斜率为3k=，在y轴上的截距为1b=.故选：D.5.经过点(1,3)A−，倾斜角为π3的直线方程为（）A323yx=+B.323yx=−C.34333yx=+D.3433

3yx=−【答案】A【解析】【分析】由直线的倾斜角求得斜率，再根据直线的点斜式方程化简即得.【详解】依题意，直线的斜率为πtan33==k，由直线的点斜式方程，可得33(1)yx−=+，即323yx=+.

故选：A6.点M在直线34550xy−−=上，O为原点，则OM的最小值是（）A.1B.2C.5D.25.【答案】C【解析】【分析】利用点到直线的距离公式直接求出原点到直线34550xy−−=的距离，即为||OM的最小值.【详解】

原点到直线上的点的距离的最小值为原点到直线的距离，由点到线的距离公式可得原点到直线34550xy−−=的距离22|0055|53(4)d−−==+−，所以||OM的最小值为5.故选：C.7.如图，在长方体1111ABCD

ABCD−中，M为11AC与11BD的交点．若ABa=，ADb=，1AAc=，则下列向量中与AM相等的向量是（）A.1122abc−++B.1122abc++C.abc−−+D.abc−+【答案】B【解析】【分析

】利用向量运算的三角形法则、平行四边形法则表示出AM即可.【详解】在长方体1111ABCDABCD−中，M为11AC与11BD的交点，因为ABa=，ADb=，1AAc=，则11ABABa==，11ADAD

b==，所以()111111112AMAAAMAAADAB=+=++()111222cbaabc=++=++故选：B.8.已知直线:(2)(1)10lmxmym++−+−=，若直线l与连接(1,0)A−，(4,2)B两点的线段总有公共点，则直

线l的斜率的范围为（）A.()3,1[,)4−−+B.3[1,]4−C.3[,)4+D.3(,]4−【答案】A【解析】【分析】求出直线l所过定点P的坐标，数形结合求出直线l的斜率的取值范围.【详解】直线l的方程化为(1)(21)0mxyxy++

+−−=，由10210xyxy++=−−=，解得01xy==−，因此直线l过定点(0,1)P−，线PA的斜率1010(1)PAk−−==−−−，直线PB的斜率123044PBk−−==−，由直线l与线段AB总有

公共点，得直线l的斜率k有1k−或34k，又直线:(2)(1)10lmxmym++−+−=的斜率231111mkmm+=−=−−−−−，所以直线l的斜率的范围为()3,1[,)4−−+.故选：A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知空间向量()2,2,2a=，()1,1,1b=−，()1,3,1c=，则（）A.23a=B.()1,3,1ab−=C.//abD.,,abc是共

面向量【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，利用空间向量的坐标运算与表示，共线向量的坐标运算，共面向量定理，逐项判定，即可求解.【详解】由向量()()()2,2,21,1,1,1,3,1,abc==−=，可得22222223a=++=，()1,3,1ab−=，所以A、B正确；设ab

=，可得()()2,2,21,1,1=−，所以222==−=，此时方程组无解，所以向量a与向量b不共线，所以C错误；设cxayb=+，可得()()()1,3,12,2,21,1,1xy=+−，所以212321xyxyxy+=−=+=，解得1,1xy==−，所以,

,abc共面，所以D正确.故选：ABD.10.下列说法正确的是（）A.直线3330xy+−=的斜率为33B.若直线0axbyc++=经过第三象限，则0ab，0bcC.直线()()()212430xy++−+−=R恒过定点()1,

2−−D.若0a=，则直线32xay+=与直线310axy++=垂直【答案】CD【解析】【分析】A化为斜截式判断；B特殊值0,0abc=判断即可；C化为24(23)0xyxy+++−−=，即可确定定点；D将参数0a=代入直线方程即可判

断.【详解】A：将直线化为斜截式，有313yx=−+，即直线斜率为33−，错；B：当0,0abc=时，直线为0cyb=−也过第三象限，错；C：()()2124324(23)0xyxyxy++−+−=+++−−=，令24

012302xyxxyy++==−−−==−，即直线过定点()1,2−−，对；D：由题设2323xayx+==，13103axyy++==−，显然两线垂直，对.故选：CD11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，

O为面11AABB的中心，E、F分别为BC和11DC的中点，则（）A.1//BD平面1AEFB.若G为1BB上的动点，则1AGGC+的最小值为25C.点O到直线1AE距离为26D.平面1ACD与平面1AEF相交【答案】BD【解析】【分析】A选项，建立空间直角坐标系，求出平面1AEF的法向量，得到1

90DBm=，故故1BD与平面1AEF不平行，A错误；B选项，将两平面展开到一个平面内，利用勾股定理求出最小值；C选项，利用点到直线距离向量公式求出答案；D选项，求出平面1ACD的法向量，与平面1AEF的法向量不平行，得到两平行相交.【详

解】A选项，以D为坐标原点，1,,DADCDD所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()112,2,2,0,0,0,2,0,2,1,2,0,0,1,2BDAEF，所以()()111,2,22,1,0AEAF=−−=−，，()1

2,2,2DB=，的设平面1AEF的法向量为𝑚⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则()()()()11,,1,2,2220,,2,1,020mAExyzxyzmAFxyzxy=−−=−+−==−=−+=，令1x=得32,2yz==，故3

1,2,2m=，所以()132,2,21,2,243902DBm==++=，故1BD与平面1AEF不平行，A错误；B选项，把平面11AABB与平面11CCBB以1BB为公共边展开到同一平面内，如图，连接1AC与1BB相交于点G，此时1AGGC+最小，最小值为

222214225ACCC+=+=，B正确；C选项，()2,1,1O，()1,1,1OE=−−，()11,2,2AE=−−，()111,2,2122,,333144AEuAE−−===−−++，点O到直线1AE的距离为()22212221113333

OEOEu−=++−++=，C错误；D选项，()()()12,0,0,0,2,0,0,0,2ACD，所以()()12,2,02,0,2ACAD=−=−，，设平面1ACD的法向量为𝑛⃗=(𝑎,�

�,𝑐)，则()()()()1,,2,2,0220,,2,0,2220nACabcabmADabcac=−=−+==−=−+=，令1a=，则1,1bc==，故()1,1,1n=，显然31,2,2m=与()1,1,1n=不平行，故平面1ACD与

平面1AEF不平行，又两平面不重合，故两平面相交，D正确.故选：BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在空间直角坐标系Oxyz−中，已知点()2,1,3A−，()1,1,4B，则AB=________．【答案】6【解

析】【分析】由空间两点距离公式可得答案.【详解】由题，()()()2222111346AB=−+−−+−=.故答案为：613.设1n，2n分别是空间中两个不重合的平面，的法向量，且()11,1,3n=−，()23,3,9n=−，则平面，的位置关系是_____

___．【答案】平行【解析】【分析】利用向量共线关系，即可判断两平面是平行的.【详解】因为()11,1,3n=−，()()23,3,9=31,1,3n=−−，所以123nn=，即12//nn，则平面//平面.故答案为：平行14.过点()2,1，且在两坐标轴上

的截距相等的直线方程是__________.【答案】30xy+−=或20xy−=【解析】.【分析】分直线过原点不不过原点两种情况，当直线过原点时，设直线方程是ykx=，当直线不过原点时，这直线1xyaa+=

.【详解】当直线过于原点时，设直线ykx=，代入点()2,1，得1122kk==，所以直线方程是12yx=，即20xy−=，当直线不过原点时，设直线方程1xyaa+=，代入点()2,1，得211aa+=，解得3a=，所以直线方程是30x

y+−=.故答案为：30xy+−=或20xy−=四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．15.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.（1）斜率是2，且经过点()2,1A；（2）斜率为1−，在y轴上的截距为2−；（3）经过

()1,1A−，()2,1B−两点.【答案】（1）22210xy−−+=；（2）20xy++=；（3）2310xy+-=.【解析】【分析】（1）由直线的点斜式方程可得；（2）由直线的斜截式方程可得；（3）先求出直线的斜率，再由直线

的点斜式方程即得.【小问1详解】由直线的点斜式方程可得直线方程为12(2)yx−=−，即22210xy−−+=；【小问2详解】由直线的斜截式方程可得直线方程为2yx=−−，即20xy++=；【小问3详解】由题意，直线的斜率为1122(1)3k−−==−−−，故由直线的点斜式方程可得直线方

程为21(1)3yx−=−+，即2310xy+-=.16.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCDABCD−，1AB=，1BC=，2AA=.求：（1）向量AC，BDuuur，ACBDAD+−的坐标；（2）异面直线AC与DD所成角的余弦值.【答案】（1）(1,1,2),(1,

1,2)BACD==−，(0,1,2)ACBDAD+−=；（2）63.【解析】【分析】（1）写出相关点的坐标，进而结合向量运算的坐标表示即可求出向量的坐标；（2）利用空间向量法结合向量夹角余弦值公式即可求出异面直线夹角的余弦值.【小问1详解】依题意(0,0,0

),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,2),(0,1,2)ABCDCD，(1,1,2),(1,1,2)BACD==−，(0,1,2)AD=，所以(1,1,2)(1,1,2)(0,1,2)(0,1,2)ACBDAD=+−−=+−.【小问2详

解】由（1）知(1,1,2),(0,0,2)ACDD==，则46cos,3||||62DDDACACACDDD===，所以异面直线AC与DD所成角的余弦值为63.17.已知直线1:230lxy+−=，()2:110lmxmy+++=，其中m为实数，

（1）当12ll∥时，求直线1l，2l之间距离；（2）当2m=时，求过直线1l，2l的交点，且平行于直线240xy−+=的直线方程．【答案】（1）255（2）270xy−−=【解析】【分析】（1）由两个直线平行求得2m=−，然后求平行直线距离即可；

（2）先求两个直线的交点，然后设平行直线的方程，求解即可.【小问1详解】由题可知，()210mm+−=，解得2m=−，所以()2:22110210lxyxy−+−++=+−=，此时直线1l，2l之间的距离为223125521−+=+.【小问2详解】由题

可知，2:2310lxy++=，联立2310230xyxy++=+−=，解得522xy==−，所以与1:230lxy+−=的交点坐标为5,22−.设所求直线为20xyC−+=，所以有52202C++=，得7C=−，所求直线为270xy−−=.18.如图，在棱

长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别为棱1DD，1BB的中点．的（1）求证：//CF平面1ABE；（2）求二面角1EABA−−的余弦值；（3）求直线BE与平面11ABBA所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）13（3）53【解析】【分析】（1）通过取1CC的中点

为H，再利用线线平行即可证明线面平行；（2）利用空间向量法可直接求出二面角的余弦值；（3）利用空间向量法可先求出线面角的正弦值，再利用同角关系求出余弦值即可.【小问1详解】取1CC的中点为H，又由于F为棱1BB的中点，则在正方体中可得：11//,,BFHCBFHC=则四

边形1BFCH是平行四边形，所以1//CFBH；又由于E为棱1DD的中点，又可得111111////,=,EHCDABEHAB则四边形11ABHE是平行四边形，所以11//AEBH；由平行的传递性可知：1//CFA

E，又因为CF平面1ABE，1AE平面1ABE，所以//CF平面1ABE；小问2详解】如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，()10,0,2A，()2,0,0B，()0,2,1E，则()12,0,2AB=−，()2,2,1BE=−，

设平面1ABE的法向量为(),,nxyz=，则100nABnBE==，即220220xzxyz−=−++=令1z=，则11,2xy==，所以11,,12n=，由于平面1ABA与y轴垂直，则平面1ABA的法向量可取()0,1,0m=，所以112cos,31111

4mn==++，由图可看出二面角1EABA−−一定是锐角，所以可设它为，则1coscos,3mn==，所以二面角1EABA−−的余弦值为13；【【小问3详解】由（2）得()2,2,1BE=−，平面1ABA的法向量可取()0,1,0m=，则22cos,34411BEm==++，设直线BE与平

面11ABBA所成角为，则2sincos,3BEm==，所以245cos1sin193=−=−=即直线BE与平面11ABBA所成角的余弦值为53．19.如图1，平面图形PABCD由直角梯形ABCD和等腰直角PAD△拼接而成，其中1ABBC==，BCAD∥，90BAD=；2P

APD==，90APD=，点O是AD中点，现沿着AD将其折成四棱锥PABCD−（如图2）．（1）当二面角PADC−−为直二面角时，求点A到平面PCD的距离；（2）在（1）的条件下，设点Q为线段PD上任意一点（不与P，D重

合），求二面角QACD−−的余弦值的取值范围．【答案】（1）233（2）3,13【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得点A到平面PCD的距离.（2）设PQPD=，求得Q点坐标，表示出二面角QACD−−的余弦值，再求其范围.【小

问1详解】∵PAPD⊥，2PAPD==，∴2AD=．点O是AD中点，1AO=，∴1PO=，结合折叠前后图形的关系可知,POADCOAD⊥⊥，∵二面角PADC−−为直二面角，则侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD底面ABCDAD=，∴⊥PO平面ABCD，易知PO，AD，O

C两两垂直．以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示，则𝑃(0,0,1)，()0,1,0A−，()1,1,0B−，()1,0,0C，𝐷(0,1,0

)，∴()0,1,1PA=−−，()1,0,1CP=−，𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,−1)．设平面PCD的法向量为(),,uxyz=，则00CPxzPDyz=−+==−=，取1z=，得1x=，1y=，则()1,1,1u=为平面PCD的一个法向量，则点A到平面PCD的距离2

33PAudu==．【小问2详解】设点Q满足PQPD=（01）．∵𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,−1)，∴()0,,PQOQOP=−=−，∴()0,,1OQ=−，∴()0,,1Q−．设平面CAQ的法向量为𝑚⃗⃗=(𝑥1,

𝑦1,𝑧1)，又∵()1,1,0AC=，()0,1,1AQ=+−，∴()()11110110mACxymAQyz=+==++−=，取11z=+，则11y=−，11x=−，取()1,1,1m

=−−+为平面CAQ的一个法向量．易知平面CAD的一个法向量为()0,0,1n=，二面角QACD−−的余弦值为()()()()()()22222211cos,2111111mnmnmn++===−++−+−++221

1122121111==−+−+++，由01，所以()211,01−−+，则213,1322111−++，所以二面角QACD−−的余弦值的取值范围为3,13.