【文档说明】北京市通州区2023-2024学年高一下学期期中质量检测数学试卷 Word版含解析.docx，共(13)页，899.459 KB，由小赞的店铺上传

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通州区2023—2024学年第二学期高一年级期中质量检测数学试卷2024年4月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题

列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.在复平面内，复数()i2iz=−对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法求出z即可得解.【详解

】依题意，12zi=+，所以复数z在复平面内对应点(1,2)在第一象限.故选：A2.如图，四边形ABCD是菱形，下列结论正确的是（）A.ABCD=B.ACBD=C.0ACBD=D.ABADBD+=【答案】C【解析】【分析】对A和B由图即可判断；对C根据菱形性质即可

判断；对D，根据向量加法和图形即可判断.【详解】对A，因为四边形ABCD是菱形，则ABCD=−，故A错误；对B，由图知ACBD，故B错误；对C，因为四边形ABCD菱形，则ACBD⊥，则0ACBD=，故C正确；对D，ADABACBD+=，故D错误；是故选：C.3.已知向量(

)3am=，，()3,1b=−.若//ab，则实数m=（）A.9−B.9C.1D.1−【答案】A【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】由题意得()133m=−，即9m=−.故选：A.4.为了解学生们的视

力状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一、高二、高三三个年级共抽取100人进行调查.已知高三年级有200人，高二年级有240人，高一年级有360人，则高三年级抽取的人数为（）A.20B.25C.30D.45【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用分层抽样列式计算即得.【

详解】依题意，高三年级抽取的人数为20010025200240360=++.故选：B5.已知样本数据为：1x，2x，3x，4x，5x，6x，7x，8x，9x，10x.去掉一个最大值和一个最小值后数据与原来的

数据相比，下列数字特征的值一定不变的是（）A.平均数B.众数C.极差D.中位数【答案】D【解析】【分析】由平均数、众数、极差和中位数的定义可直接判断.【详解】样本数据为1x，2x，3x，4x，5x，6x，7x，8x，9x，10x，去掉一个最大值和一个最小值后的

数据与原来的数据相比，假设从小到大就是从1x到10x，极差和众数可能变化，故BC错；平均数为234567898xxxxxxxxx+++++++=，可能变，故A错；中位数还是按从小到大排序中间两个数的平均数，即562xx+，故D正确；故选：D.的6.已知a，b，c是

三个非零平面向量，则下列叙述正确的是（）A.若||||ab=，则ab=B.若||||abab+=−，则ab⊥C.若abac=rrrr，则bc=D.若//ab，则||||abab=【答案】B【解析】【分析】利用向量的模、数量积的运算律及共线向量直接判断各个选项即可.【详解】对于A，

||||ab=，而a与b的方向不确定，不一定有ab=，A错误；对于B，由||||abab+=−，得222222aaabbabb−=+++，即0ab=，则ab⊥，B正确；对于C，()0abacbca=−=，当()bca−⊥时，bcrr也成立，C错误；对于D，//

ab，当a与b的方向相反时，||||abab=−，D错误.故选：B7.已知两个单位向量a，b满足27ab+=，则a，b的夹角为（）A.π6B.π4C.π3D.2π3【答案】C【解析】【分析】首先同平方求出1

2ab=，再利用向量夹角公式即可.【详解】27ab+=，两边同平方有22447aabb++=，即4417ab++=，解得12ab=，则1cos2ababab==，又因为,0,πab，所以π,3ab=.故选：C.8.在ABCV中，角A，

B，C的对边分别为a，b，c，则“AB”是“sinsinaAbB”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理分别判断充分性和必要性即可.【详解】若AB，则0ab，由正弦定理可知2sinsinabRAB==

，则sinsin0AB，则sinsinaAbB，则可得“AB”是“sinsinaAbB”的充分条件，再由sinsinaAbB，由正弦定理得22ab，则ab，则AB，则“sinsinaAbB”是“AB”的必要条件，所以“AB”是“sinsinaAbB”的充要条件.故

选：C.9.如图，在ABCV中，D是𝐴𝐵的中点，E是BC延长线上一点，且2BEBC=，若DEABAC=+，则+的值为（）A.12−B.12C.1D.2【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的线性运算可得结果.【详解】因为2BEBC=，所以

C为BE的中点，又D是AB的中点，所以DECECD=−()12CBCACB=−−+()31313222222CBCAABACACABAC=−−=−−+=−+，则3,22−==，12+=.故选：B.10.如图，为了测

量河对岸的塔高𝐴𝐵，选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C和D，测得BCD=，BDC=，𝐶𝐷长a米，并在C处测得塔顶A的仰角为，则塔高AB=（）A.sin()tansina+B.sinsin()tana+C.si

n()sintana+D.sintansin()a+【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理求出BC，再利用直角三角形边角关系求解即得.【详解】在BCD△中，BCD=，BDC=，则π()CBD=−+，由正弦定理得sinsinBCCDBDCCBD

=，则sinsinsin[π()]sin()aaBC==−++，在ABCV中，π2ABC=，所以sintansin()tanABBCACBa==+.故选：D第二部分（非选择题共110

分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若复数()1iza=−+为纯虚数，则实数a=_____________.【答案】1【解析】【分析】利用纯虚数的定义直接求出a值.【详解】依题意，10a−=，所以1a=.故答案为：112.在ABCV中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，

π6C=，3a=，1b=，则c=_____________，ABCV的面积为_____________.【答案】①.1②.34##134【解析】分析】利用余弦定理求出c，利用三角形面积公式计算即得.【详解】在ABCV中，由余弦定理得222232cos(3)123112cababC=+−=+−

=；由三角形面积公式得1113sin312224ABCSabC===△.故答案为：1；3413.已知正方形ABCD的边长为2，BEEC=，则AEBD=_____________.【答案】2−【解析】【分析】根据给定条件，可得12AEABAD=+，再利用向量数量积的运算律

计算即得.【详解】边长为2的正方形ABCD中，BEEC=，则12AEABBEABAD=+=+，而BDADAB=−，所以22111)()(222ABABADADAABADABBADED−=+−=++22122022=−++=−

.故答案为：2−14.如图是李明3月1日至10日记录的一分钟跳绳次数折线图，由图判断从第_____________天开始，连续三天的跳绳次数方差最大.【答案】4【解析】【分析】结合方差越大，说明数据的波动性越大，然后根据图表即可判断.【详解】因

为方差越大，说明三天的跳绳次数越不稳定，由图可知从4日开始连续4，5，6三天的跳绳次数方差最大，【故答案为：415.已知平面向量a，b，c，正实数t，满足||4a=，a与b的夹角为2π3，且0atbc++=，则||c的最小

值为_________________.【答案】23【解析】【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律，结合二次函数最值求解即得.【详解】由0atbc++=，得catb=−−，而||4a=，a与b的夹角为2π3，则222223||||||216

||2||||cos2πcatbtabtbtab=++=++22216||4||12(||2)23tbtbtb=+−=+−，当且仅当2tb=时取等号，所以||c的最小值为23.故答案为：23三、解答题共6小题，共8

5分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.若复数z满足()1i3iz−=+，其中i为虚数单位，其共轭复数为z.（1）求复数z和z；（2）若izzab=+，（a，Rb），求实数a，b的值.【答案】（1）1+2i，||5z=；（2）5,0ab==.【解析】【分析】（1）利

用复数除法运算求出z，再求出复数的模.（2）由（1）及复数乘法求出zz，再利用复数相等求解即得.【小问1详解】由(1i)3iz−=+，得3i(3i)(1i)2+4i=1+2i1i(1i)(1i)2z+++===−−+；22||1+2=5z=.【小问2详解

】由（1）知，12iz=−，则()()512i12izz+−==，由izzab=+，得i5ab+=，所以5,0ab==.17.已知向量()1,1a=−，()6,2b=，()1,3c=−−，（1）求ab；（2）求a与b夹角的余

弦值；（3）若向量kab+与c互相垂直，求实数k的值.【答案】（1）4−（2）55−（3）6−【解析】【分析】（1）根据向量的数量积坐标表示即可；（2）根据向量夹角余弦值的坐标表示即可；（3）计算出(6,2)kabkk+=−++，再利用向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可.【小问

1详解】因为()()1,1,6,2ab=−=，(1)6124ab=−+−=.【小问2详解】22112a=+=，2262210b=+=，45cos5||||2210abab−===−.【小问3详解】因为

向量()()()1,1,6,2,1,3abc=−==−−，所以(1,1)(6,2)(6,2)kabkkk+=−+=−++，因为()kabc+⊥，所以()(1)(6)(3)(2)0kabckk+=−−++−+=，解得6k

=−.18.在ABCV中，角A，B，C所对的边为a，b，c.23B=，7bc=.（1）求sinC；（2）若1c=，D为AC边上的中点，求边长a及中线𝐵𝐷的长.【答案】（1）2114；（2）2a=，3=2BD.【解析】【分析】（1）根据正弦定理即可求出sinC；（2）根据余弦定理求出2a=

，利用中线定理1()2BDBABC=+，再平方代入数据即可.【小问1详解】因为2π3B=，7=bc，在ABCV中，由正弦定理得sinsinbcBC=，所以sin3sin1472127BC===.【小问2详解】因

为1c=，7=bc，所以7b=，在ABCV中，2π,1,73Bcb===，根据余弦定理2222cosbacacB=+−得217122aa=+−−，整理得260aa+−=，解得2a=或3=−a（舍），因为D为AC中点，

故1()2BDBABC=+，()22222112+2122+23====22222BABCBABCBABCBABCBD+−+++=.故中线3=2BD.19.在ABCV中，角A，B，C的对边分别为a，b，

c，且sin3cosaBbA=.（1）求角A；（2）若𝑎=2，求ABCV周长的最大值.【答案】（1）π3；（2）6.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求解.（2）由（1）结论，利用余弦定理及基本不等式求出

最大值.【小问1详解】在ABCV中，由sin3cosaBbA=及正弦定理，得sinsin3sincosABBA=，而sin0B，则tan3A=，又0πA，所以π3A=.小问2详解】由（1）及余弦定理，得2222cosabcbcA=+−，而2a=，则224bcbc+−=，即()234bcbc

+−=，又0,0bc，于是22()433()2bcbcbc++−=，整理得2()16bc+，解得4bc+，则当且仅当224bcbcbc+−==，即2bc==时取等号，所以6abc++，即ABCV周长的最大值为6.20.对某校高一学生参加志愿服务次

数进行统计，随机抽取n名学生作为样本，得到这n名学生参加志愿服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.分组频数频率)10,15150.3)15,2025p)20,25mq25,3040.08合计n1的【（1）请

补全表格，并求出图中a的值；（2）若该校高一年级学生有400人，试估计该校高一年级学生参加志愿服务的次数在区间)1020，上的人数；（3）试估计该校高一年级学生参加志愿服务次数的中位数和平均数（每组次数用中间值代替）.【答案】（1）表格见解析，0.1a=（2）320（

3）中位数是17，平均数为17.4；【解析】【分析】（1）根据频率和为1补全表格，再利用频率分布直方图矩形面积和组距的关系即可求出a值；（2）求出在)10,20上的频率是0.8，再乘以总人数即可.（3）首先分析出中位数在区间)15,20上，再设中位数为x，

列方程，解出即可，再根据频率分布图中平均数公式即可求出平均数.【小问1详解】150.350n==，250.550p==，则50152546m=−−−=，60.1250q==，表格如下：分组频数频率)10,15150.3)15,20250.5)20,2560.1

225,3040.08合计501故0.550.1a==.【小问2详解】因为该校高一年级学生有400人，在)10,20上的频率是0.8，所以估计该校高一年级学生参加志愿服务的次数在此区间上的人数为

4000.8320=人.【小问3详解】因为0.30.5且0.30.50.5+，所以中位数在区间)15,20上，因为中位数及前面的数的频率之和为0.5，设样本中位数为x，则()0.30.1150.5x+−=，解得=17x，估计该校高一年级学生参加志愿服务次数的中位数是17.平均数

=12.50.3+17.50.522.50.1227.50.08=17.4x++，估计该校高一年级学生参加志愿服务次数的平均数是17.4.21.甲、乙、丙三人进行5轮的投篮比赛，每轮各投10次，其成绩（命中次数）如下：甲投中次数66878乙投中次数65a46丙投中次数1x2x3x4x5

x（1）若乙比甲平均少投中2次，求a的值，甲和乙投中次数的方差分别为21s和22s，试比较21s和22s大小（结论不要求证明）；（2）若投中一球计三分，丙平均得分为21分，方差为27，且每轮得分互不相同

，求丙在比赛中的最高得分，并说明理由.【答案】（1）=4a，2212ss=；（2）30分，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用平均数求得a值，再利用方差的定义计算即得.（2）根据给定条件，转化为投中次数的平均数和方差，列式换元，构造函数并利用二

次函数的性质推理计算得解.【小问1详解】由乙比甲平均少投中2次，得668786546255a++++++++−=，所以=4a，甲投中次数的平均数为7，乙投中次数的平均数为5，则222222114(11101)55s=+++

+=，222222214(10111)55s=++++=，所以2212ss=.【小问2详解】因投中一球计三分，丙的平均得分为21，方差为27，等价于丙平均投中7次，方差为3，不妨设12345xxxxx，则1234575xxxxx++++=，()()()()()222221234577

77735xxxxx−+−+−+−+−=，设123457,7,7,7,7xxxxx−−−−−分别为(),,,,,,,,Zabcdeabcde，于是22222015abcdeabcde++++=++++=，设()()()()()2222f

xxaxbxcxd=−+−+−+−()()2222222424215xabcdxabcdxexe=−+++++++=++−，由()0fx恒成立，得判别式0，即()22444150ee−−，解得2323e−，且Ze，因此e的最大值为3，则5x最大为3+7=10，所以丙在一轮比赛中

的最高得分为30.【点睛】关键点点睛：解决第2问的关键是把得分平均数及方差问题，转化为投中次数的平均数和方差求解.