【文档说明】北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中练习数学试题 Word版含解析.docx，共(24)页，1.813 MB，由小赞的店铺上传

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人大附中2023～2024学年度第二学期高一年级数学期中练习2024年4月23日制卷人：宁少华王鼎审卷人：吴中才说明：本试卷共六道大题，共7页，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（共18题，满分1

00分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1.在平行四边形ABCD中，BADA+=（）A.CAB.ACC.BDD.DB【答案】A【解析】【分析】利用向量加法的平行四边形法则求解即得.

【详解】在ABCDY中，,BACDDACB==，所以BADACDCBCA+=+=.故选：A2.已知角终边上一点(1,)Py，若5cos5=，则y的值为（）A.5B.2C.5D.2【答案】D【解析】【分析】利用余弦函数的定义列式

计算即得.【详解】由角终边上一点(1,)Py，得21ry=+，因此215cos51y==+，解得2y=，所以y的值为2.故选：D3.下列函数中，既是偶函数又在区间π0,2单调递增的是（）Atanyx=B.sinyx=C.cosyx=D.sinyxx=【答案】D【解析】.【

分析】根据奇偶性的定义判断排除AB，再由单调性排除C的可得．【详解】由三角函数性质知选项AB中函数都是奇函数，C中函数是偶函数，但它在π(0,)2上是减函数，也排除，只有D可选，实际上，记()sinfxxx=，则()sin()sin()fxxxxxfx−=−−==，它是偶函数

，又设12π02xx，则120sinsinxx，因此1122sinsinxxxx，即12()()fxfx，()fx在π(0,)2上是增函数，满足题意．故选：D．4.已知P为ABC所在平面内一点，2BCCP=uuuruur，则（）A.1322APABAC=−+uuuruuuruuurB

.1233APABAC=+C.3122APABAC=−uuuruuuruuurD.2133APABAC=+uuuruuuruuur【答案】A【解析】【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.【详解】由题意作出图形,如图,则11()22APACCPACBCACACAB

=+=+=+−1322ABAC=−+，故选：A.5.把函数()sin2fxx=的图象按向量π(,1)6m=−平移后，得到新函数的解析式为（）A.πsin(2)16yx=++B.πsin(2)16yx=−+C.πsi

n(2)13yx=++D.πsin(2)13yx=−+【答案】C【解析】【分析】把函数()fx的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，写出解析式即可.【详解】把函数()sin2fxx=的图象按向量π(,1)6m

=−平移，即把函数()fx的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，所以得到新函数的解析式为ππsin2()1sin(2)163yxx=++=++.故选：C6.在人大附中π节活动的入场券中有如下图形，单位圆M与x轴相切于原点O，该圆沿x轴向右滚动，当小猫头鹰位于最上方时

，其对应x轴的位置正好是π，若在整个运动过程中当圆M滚动到与出发位置时的圆相外切时（此时记圆心为N），此时小猫头鹰位于A处，圆N与x轴相切于B，则劣弧AB所对应的扇形面积是（）A.1B.2C.π3D.π

4【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出劣弧AB的长，再利用扇形面积公式计算即得.【详解】由圆M与圆N外切，得2MN=，又圆M、圆N与x轴分别相切于原点O和B，则2OBMN==，依题意，圆M沿x轴向右无

滑动地滚动，因此劣弧AB长等于OB长2，所以劣弧AB所对应的扇形面积是11212=.故选：A7.已知函数()sin()(0,0)fxAxA=+，则“π2π,Z2kk=+”是“()fx为偶函数”的（）A.充分不必

要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用正余弦函数性质，充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】当π2π,Z2kk=+时，π()si2n()osπ2cfxAxAxk=+=+，()fx为偶函数；反之，()fx为偶函数，则π2π,Z2kk

=+或π2π,Z2kk=−，所以“π2π,Z2kk=+”是“()fx为偶函数”的充分不必要条件.故选：A8.已知O为坐标原点，P是终边上一点，其中4cos,||45OP==，非零向量a的方向与x轴正方向相同，若,

[0,5]||OQaa=，则OPOQ−取值范围是（）A.16,35B.12,35C.16,45D.12,45【答案】D【解析】【分析】根据向量模的坐标表示写出模的表达式，然后由函数性质得结

论．【详解】由已知1612(,)55P或1612(,)55−，1612(,)55OP=或1612(,)55−，(1,0)(,0)OQaa===，1612(,)55OPOQ−=−，216144()525OPOQ−=−+，又05，所以165=时，OPOQ−取最小值125，

0=时，OPOQ−取最大值4，故选：D．9.函数sin3sin5()sin35xxfxx=++图像可能（）A.B.C.D.【答案】D【解析】是【分析】根据函数图象的对称性排除AC，再结合函数值π()2f大小排除B，从而得正确结论．【详解】从四个选项中可以看出，函数的周期性、奇

偶性、函数值的正负无法排除任一个选项，但是sin(3π3)sin()sin3sin5sin(35π5)(π)sin(π)355xxfxxxxxxf−−−=−++=+=+，因此()fx的图象关于直线π2x=对称，可排除AC，又3π5πsins

inππ111322()sin1122353515f=++=−+=，排除B，故选：D．10.已知函数sin()xfxx=，下列结论错误的是（）A.()fx的图像有对称轴B.当(π,0)(0,π)x

−时，cos()1xfxC.sin()xfxx=有最小值D.方程()coslnfxxx=−在(1,)上无解【答案】D【解析】【分析】选项A，根据条件可得sin()xfxx=为偶函数，即可判断选项A的正误，选项B，利用

偶函数的性质，先判断π()0,x时，cos()1xfx成立，分π,π2x和π0,2x两种情况，当π,π2x时，利用三角函数的符号即可判断成立，当π0,2x

时，利用三角函数的定义及弧长公式，即可判断成立；选项C，利用sinyx=的周期性及sin()xfxx=的奇偶性，当0x，得到sin()xfxx=存在最小值，则最小值只会在区间()π,2π内取到，再利用导数与函数单

调性间的关系，即可判断出选项C的正误；选项D，利用零点存在性原理，即可判断出选项D的正误，从而得出结果.【详解】对于选项A，易知sin()xfxx=的定义域为|0xx，关于原点对称，又sin()sin()()xxfxfxxx−−===−，所以sin()xfxx

=为偶函数，关于y轴对称，所以选项A结论正确，对于选项B，当π,π2x时，cos0x，又0sin1x，π12x，所以sin0()1xfxx=，即当π,π2x时，cos()1xfx成立，当π0,2x时，如图，

在单位圆中，设OP是角x的终边，过A作x轴的垂线交OP于T，过P作x轴的垂线交x轴于H，易知APx=，由三角函数的定义知，sin,tanPHxATx==，由图易知OPAOATPOASSS扇形，即111222PHxAT，得到PHAPAT

，所以sintanxxx，即有sincos1xxx，所以π()0,x时，cos()1xfx成立，又由选项A知，sin()xfxx=为偶函数，当(π,0)x−时，(π,0)x−−，所以cos()()1xfx−−，即cos

()1xfx，所以选项B中结论正确，对于选项C，因为sinyx=周期函数，最小正周期为2π，当0x时，如果sin()xfxx=存在最小值，则最小值只会在区间()π,2π内取到，当()π,2πx时，2co

ssin()xxxfxx−=，令()cossinhxxxx=−，则()cossincossin0hxxxxxxx=−−=−在区间()π,2π上恒成立，又(π)π0h=−，3π()102h=，所以存在03ππ,2x

，使0()0hx=，当()0π,xx时，()0hx，当()0,2πxx时，()0hx，所以sin()xfxx=在区间()0π,x上单调递减，在区间()0,2πx上单调递增，所以sin()xfxx=在0xx=处取到最小值，即当0x时，sin()xfxx=存在最小值，由选

项A知，sin()xfxx=为偶函数，所以选项C的结论正确，对于选项D，由()coslnfxxx=−，得到sincosln0xxxx+=，令sin()coslnxhxxxx=+，所以(1)sin10h=，(

π)lnπ0h=−，由零点存在性原理知，sin()coslnxhxxxx=+在区间(1,π)至少有一个零点，所以选项D的结论错误，故选：D.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项C，利用sinyx=的周期性及sin()xfxx=的奇偶性，得到当0x时，sin()xf

xx=存在最小值，则最小值只会在区间()π,2π内取到，再利用导数与函数单调性间的关系来解决问题.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）11.若3sin4=，则cosπ2+=______．【答案】34−##－0.75【解

析】【分析】由诱导公式计算．【详解】由题意π3cos()sin24+=−=−，故答案为：34−．12.能使“πsinsin4+=”成立的一个的值为______.【答案】3π8（答案不唯一）【解析】【分析】将等式移项后运用和差化积公式，化简成πco

s()08+=，即可求得一个的值.【详解】先证明和差化积公式：因()sinsincoscossin,+=+()sinsincoscossin,−=−两式相减得，()()sinsin2cossin,+−

−=取=+=−，，则有,22+−==，代入上式，即可得sinsin2cossin22+−−=，证毕.由πsinsin4+=可得πsinsin04+−=，即08ππ2cos()sin8+=，则得πcos()08+=，从而ππ

π82k+=+，kZ，可取2ππ8+=，解得3π8=.故答案为：3π8（答案不唯一）.13.四边形ABCD中，ABtDC=，且ABACBD=+，若43−=，则t=______．【答案】2【解析】【分析

】由题设可得//ABDC且ABtDC=，利用相似三角形和向量的线性运算将AB用AC与BD的另式表达，根据平面向量基本定理列出方程求解即得.【详解】如图，由ABtDC=可得//ABDC且ABtDC=，易得ABECDEV:V,则有,,11ttAEACBEBDtt==++

于是11ttABAEEBACBDtt=+=−++,因ABACBD=+，故得1,1tttt=+=−+由4311tttt+==+−+，解得：2t=.故答案为：2.14.已知函数()sin()(0,0,||π)fxAxA=+的部

分图像如图所示，则=______，=______．【答案】①.2②.5π6##5π6【解析】【分析】由图象首先得A，然后由点(0,1)对应的正弦函数上的点求出，再由图象确定周期，得值．【详解】由图形2A=，2sin1=，1sin2=，由图象知5π2π,Z

6kk=+，而π，所以5π6=，由图象知最小正周期为π2π2T==，所以2π2π==，故答案为：2；5π6．15.已知,2nnN．在()12Ω,,,,1,2,,nixxxxxxin===R∣中，设()()()()121200,0,,0,1,1,,1,,,,,,,,Ωn

neaaaabbbb====，定义：()()112211221,,,;,,,;nnnnniiababababababababaa=+=+++==．设()12,,0niTxxxx==∣或1,1,2,,in=．给出下列四个结论：①,

,,()()();abcabcacbc+=+②,,ababab；③若,,xyTxyx=，则ye=；④,,xyTxy，都有0xy=，则T最多有1n+个元素．其中所有正确结论的序号是_

_____．【答案】①②④【解析】【分析】利用给定定义判定①，依据定义展开计算判定②，举反例判定③，分析给定定义判定④即可.【详解】对于①，其实就是每个分量的乘法分配律，则()()()abcacbc+=+，必定成立，故①正确；对于②，则其等价于()()11221212.

..nnnnxyxyxyxxxyyy+++++++++，右边展开以后是包含左边的，但还多出了一些非负的项，所以②也正确.对于③，如果0x=时，那么y任意取均可成立，故③错误，对于④，它的含义是，T中任意两个元素，不能在同一个位置取

1，这就意味着第k位取1的向量至多有一个，这表明T中的全部向量的全部分量总共至多有n个1，从而T的非零元素个数不超过n个，从而T的元素不超过1n+个，则1n+显然能取到，120,,,...,nppp即满足，即k

p的第k位为1，别的均为0，故④正确.故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：本题考查新定义问题，解题关键是合理分析题意，然后结合反例法，逐个判断即可．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16.已知函数cosyxa=+的最大值为

2，将其图像向右平移π6得到函数()yfx=的图像；把()yfx=图像上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到()ygx=的图像．（1）求()ygx=的解析式和最小正周期；（2）求()ygx=在区间ππ,22−上的单调递减区间．【答案】（1）π()c

os(2)16gxx=−+，最小正周期为π；（2）减区间是π5π[,)212−−和ππ(,]122【解析】【分析】（1）根据余弦函数的最大值求得a，由图象变换写出解析式，由解析式求得周期；（2）已知区间ππ,22−的长度正好是一个周期，因此可求得函数在此区间上的

最高点和最低点的横坐标，根据余弦函数的性质写出单调区间，得出结论．【小问1详解】cosyxa=+最大值是1a+，由题意12a+=，解得1a=，即函数式为cos1yx=+，所以π()cos(2)16gxx=−+，最小正周期为2ππ

2T==；【小问2详解】ππ[,]22x−时，π7π5π2[,]666x−−，区间ππ[,]22−的长度正好是一个周期，()gx取最大值时，由π()cos(2)126gxx=−+=得26π0x−=，π12x=，()gx取最小值时，由π()cos(2)106gxx=

−+=得π2π6x−=−，5π12x=−，所以π5π[,)212−−和ππ(,]122是()gx的减区间，5ππ(,)1212−是()gx的增区间．所以减区间是π5π[,)212−−和ππ(,]122．17.已知函数()()π2sin0,2fxx

=+.（1）若2(0)2f=−，求的值；（2）已知()fx在区间π2π,33−上单调递增，2π23f=，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，

使函数()fx存在，求,的值.条件①：π33f=；条件②：π06f=；条件③：(),afxR在区间,2πaa+上至少2个零点.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计

分.【答案】（1）π6−（2）选条件①不能使函数()fx存在；条件②或条件③可解得1=，π6=−.【解析】【分析】（1）根据已知条件()202f=−，代入解析式运算得解；（2）若选条件①，根据正弦函数的性质知不合题意；若选条件②，根据()fx在π2π,33−上的单调性

及函数的最值可求出T，从而求出，再结合2π23f=可求出；若选条件③，由aR，()fx在区间,2πaa+上至少2个零点，可得2πT，又()fx在π2π,33−上单调递增，可得

2πT，则2πT=，后面解法与条件②相同.【小问1详解】由()202f=−，得22sin2=−，所以1sin2=−，又π2，所以π6=−.【小问2详解】因为()()2sinfxx=+，所以()fx的最大值为2，最小值为2−，若选条件①，因为()fx的

最大值为2，最小值为2−，所以π33f=无解，所以条件①不能使函数()fx存在；若选条件②，因为()fx在π2π,33−上单调递增，且2π23f=，π06f=，所以2ππ436T=−

，解得2πT=，1=，所以()()2sinfxx=+，又2π23f=，所以2πsin13+=，又π2，所以π6=−，所以1=，π6=−.若选条件③，因为aR，()fx在区间,2πaa+上至少2个零点，所以2πT，又因为()fx在π2π

,33−上单调递增，所以π2T≥，即2πT，所以2πT=，所以2π1T==，所以()()2sinfxx=+，又2π23f=，所以2πsin13+=，又π2，所以π6=−，所以1

=，π6=−.18.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，(2,4),(3,1),(1,2),,||5ABCCDOBOD=∥．（1）求OD的坐标；（2）已知(1)OMOAOB=+−，且OMMDOD−=，求的值．【答案】（1）(4,3)OD=或

(5,0)OD=−（2）13=−【解析】【分析】（1）根据两个向量平行，向量的模长公式，列出方程组求解；（2）先判断出,,OMD三点共线，然后根据（1）中的结果进行分类讨论求解.【小问1详解】设(,)Dxy，由||5OD=可知，22(,

)5ODxyxy===+，又(1,2)CDxy=−−，(3,1)OB=，由CDOB∥可得3(2)1yx−=−，即35xy=−，于是22535xyxy+==−，解得43xy==或50xy=−=，即(4,3)OD=或(5

,0)OD=−【小问2详解】根据三角形的三边关系可知，若,,OMD三点不共线，则OMMDOD−和条件矛盾，故,,OMD三点共线，且M在射线OD或DO上.(1)(2,4)(1)(3,1)(3,13)OMOAOB=+−=+−=−+，由（1）知，当(4,3)O

D=时，根据,,OMD三点共线可得，3(3)4(13)−=+，解得13=，此时82,233OMOD==，M在线段OD上，不符题意；当(5,0)OD=−时，根据,,OMD三点共线可得，0(3)5(13)−=−+，解得13=−，

此时102,033OMOD==−，M在射线DO上，符合题意.综上，13=−第Ⅱ卷（共11道题，满分50分）一、选择题（共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19

.如图，边长为4的正方形中心与单位圆圆心O重合，M，N分别在圆周上，正方形的四条边上运动，则OMON+的取值范围是（）A.[1,22]B.[1,221]+C.[2,22]D.[2,221]+【答案】B【解析】【分析】设OM的反向延长线与

单位圆交于点P，得出OMONPN+=，求出N到圆心的距离的最值后根据圆的性质可得．【详解】如图，OM的反向延长线与单位圆交于点P，则OMOP=−，OMONONOPPN+=−=，所以OMONPN+=，又由题意ON的最大值是22，最小值是2，而P在单位圆上，因此PN的最大值是22

1+，最小值是211−=，即所求值域是[1,221]+．故选：B．20.古希腊数学家帕普斯（Pappus，约A.D.290－A.D.350）利用如图所示的几何图形，由||||||OCODCD=+直观简洁地证明了当,为锐角时的一个三角函数公式，这个公式是（）A.cos()co

scossinsin+=−B.cos()coscossinsin−=+C.sin()sincoscossin−=−D.sin()sincoscossin+=+【答案】B【解析】【分析】

由已知可得，在RtAOC中，||cos()OC=−，在RtAEB中，||sinsinAE=，在RtOBD中，||coscosOD=，可得结论.【详解】在RtAOC中，||||coscos()OCOAAOC=

=−，在RtAEB中，||||sinsinsinAEABABD==，在RtOBD中，||||coscoscosODOBBOD==，由||||||||||OCODDCODAE=+=+,所以cos()coscossinsin−=+.故选：B.21.已知

函数()tan(sincos1)(sincos1)fxxxxxx=+++−，下列说法正确的是（）A.()fx图像关于原点对称，且最小值为0B.()fx图像关于原点对称，且最大值为2C.()fx图像关于

y轴对称，且最小值为0D.()fx图像关于y轴对称，且最大值为2【答案】C【解析】【分析】利用同角关系化简函数式，然后则奇偶性的定义判断奇偶性，再根据三角函数性质确定最值．【详解】由题意()fx的定义域是π{|

π,Z}2xxkk+222()tan[(sincos)1]tan(sin2sincoscos1)fxxxxxxxxx=+−=++−2sin2sincos2sincosxxxxx==，22()2sin()2sin()fxxxfx−

=−==，所以()fx是偶函数，图象关于y轴对称，由1sin1x−得0()2fx，但22sin2x=时，ππ,Z2xkk=+?，不合题意，最大值2取不到，sin0x=时，()0fx=，此时π,Zxkk=

，所以()fx无最大值，有最小值是0，故选：C．22.下列函数中，满足“*nN，,()()xfnxnfxR”的是（）A.|cos|yx=B.|sin|yx=C.cos||yx=D.sin||yx=【答案】B【解析】【分析】ACD选项可以根据举例进行排

除，B选项根据两角和的正弦公式，反复操作，结合放缩法进行说明.【详解】A选项，若,()()xfnxnfxR，取2n=，则cos22cosxx，再取π2x=，可得πcosπ2cos2，即10，明显错误，A选项错误；C选项，若,()()xfnxnfxR，取4n=，则cos4

4cosxx，再取π2x=，可得，即10，明显错误，C选项错误；D选项，若,()()xfnxnfxR，取2n=，则sin22sinxx，再取4π3x=，可得8π4πsin2sin33，即332−，明显错误，D选项错误；B选项等价于证明*,nx

NR，sinsinnxnx，根据两角和的正弦公式，绝对值三角不等式，sinsin(1)cossincos(1)sin(1)cossincos(1)sin(1)coscos(1)sinsin(1)sinnxn

xxxnxnxxxnxnxxnxxnxx=−+−−+−−+−−+当cos(1)cos1nxx−==取得等号，即sinsin(1)sinnxnxx−+，同样的操作，可以证明sin(1)sin(2)sinnxnxx−−+

，类似依次进行()1n−次操作，最后一个不等式为，sin2sinsinxxx+，将上述不等式全相加，即可得到sinsinnxnx，当cos(1)cos(2)cos1nxnxx−=−===取得等号（显然0x=是一个取等号条件），B选项正确.故选：

B23.若esincos0xaxx+−在π,π2恒成立，则a的取值范围是（）A.[0,)+B.π2e,−+C.π2e,0−D.π20,e【答案】B【解析】【分析】将不等式变形后，分类讨论并参变分离，分析右

边函数的单调性,得到其最大值即得参数范围.【详解】由esincos0xaxx+−可得sincosexaxx−（*），当πx=时不等式为π01e−−显然成立；当π[,π)2x时，（*）式可化为：cosesinsinxxaxx−，因π(,π)2x时，tanyx=单

调递增且恒为负，故1costansinxyxx==单调递减；同时又因sinyx=单调递减且恒为正，则1sinyx=单调递增，又exy=单调递增，故esinxyx=−在π(,π)2x时单调递减.综上可知，cosesinsinxxyxx=−在π[

,π)2x时为减函数，故当π2x=时，函数有最大值为π2e−，故π2ea−.故选：B24.已知221212,,,,(0,2)44xxAxBxC三点共线，其中12xx，点A关于y轴的对称点为点D，给出下.面四个结论：①AOB不可能．．．为等边三角形；②设OCOAOB

=+，则当最大时，120xx+=；③128xx=−；④当AB不与y轴垂直时，直线BD过定点．其中正确结论的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】结合抛物线的对称性可判断①；根据三点共线的结论结合基本不等式可判断②；利用三点共线结合直线的斜率公式判断③

；利用直线的点斜式方程可判断④.【详解】由题意知221212,,,44xxAxBx在抛物线24xy=上，由于221212,,,,(0,2)44xxAxBxC三点共线，120,0xx，如图所示：对于①，假设AOB为等边三角形，则,AB关于y轴对

称，则(222)(222)A,,B,−，此时4223|AB||OA|==，与假设矛盾，故AOB不可能为等边三角形，①正确；对于②，,,ABC三点共线，且C在,AB之间，设,(01)OCOAtABt=+，则()()1OCOAtOBOAtOAtOB=+−=−+，结合O

COAOB=+，可得10,0tt=−=，且1+=，故2124+=，当且仅当12λμ==时，取最大值，由OCOAOB=+可得1212110,022xxxx+=+=，②正确；对于③，由于221212,,,,(0,2)44xxAxBxC

三点共线，故2212122244xxxx−−=，故221221212244xxxxxx−=−，即()()121212204xxxxxx−+−=，由于12xx，故128xx=−，③正确；对于④，当AB不与y轴垂直时，120xx+，则

211,4xDx−，则BD的方程为()221221112444xxxyxxxx−=++−−，即()2121121214444xxxxxxxyxxx−−=−++=−+，而128xx=−，故1224xxyx−=−−，即直线BD过定点(0

2),−，④正确，故选：D【点睛】关键点睛：本题综合考查了抛物线的对称性以及向量中的三点共线问题以及直线过定点问题，解答的关键是要结合直线的点斜式以及截距式确定定点.二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分，

把答案填在答题纸上的相应位置．）25.一架飞机从北京向南飞行1935公里到达广州，假设在广州白云国际机场上空的等待航线是圆形，飞机到达机场上空后，继续沿原航线向南飞行20公里后，开始在直径40公里的圆形等待航线上飞行，飞机每15

分钟飞行一周，如图所示，设飞机在等待航线上飞行的时间为t小时，飞机从北京出发向南的飞行距离．．．．．．．为()ft，()ft可以近似地．．．表示为()1935cos(0,0)ftAtA=+，则A=______，=

______．【答案】①.20②.8π【解析】【分析】根据给定信息，利用(0)f的值求出A，再利用周期求出.【详解】依题意，(0)1935fA=+，而(0)193520f=+，因此20A=，又飞机每15分钟飞行一周，则函数()ft的周期14T=小时，因此2π8πT==.故答案：2

0；8π26.若()2sin()cosfxxx=++的最大值为3，则=______．【答案】π2π,Z2kk+【解析】【分析】根据正弦函数与余弦函数的最值分析，结合诱导公式可得．【详解】由题意sin()x+与cosx同时取得最大值1，因此sin()cosxx+=，π2π,Z2kk=+

，故答案为：π2π,Z2kk+．27.已知向量(cos,1),(1,cos)maxnay=+=−+，则集合,,axymnRR中的所有元素之和为______．【答案】0【解析】【分析】由题意可得2(coscos)coscos10aax

yxy++++=，可得2(coscos)4(coscos1)0xyxy=+−+，计算可得|coscos|2xy−，分类讨可求a的值，可得结论.【详解】因为mn∥，(cos,1),(1,cos)maxnay=+=−+，所以(cos)(cos)1(1)0ax

ay++−−=，整理得2(coscos)coscos10aaxyxy++++=，因为aR，所以2(coscos)4(coscos1)0xyxy=+−+，所以2(coscos)40xy−−，所以|coscos|2xy−，所以cos1cos1xy==−，或cos1co

s1xy=−=，当cos1cos1xy==−，时，可得20a=，所以0a=，当cos1cos1xy=−=，时，可得20a=，所以0a=，为综上所述：集合{|,,}axymnRR中的所有元素之和为0

.故答案为：0.28.在现实生活中，一个符合实际函数模型经常是将不同的函数组合得到的，如听音乐家演奏音乐时，我们听到的声音常常就是多种不同乐器产生的声波叠加的结果．在学习了向量和三角函数后，人大附中某研学小组利用所学知识研究若干振幅相同，同频同向的简谐波叠加后，得到新的简谐波的振幅和初相规律，该

小组把0cos(1),1,2,,ixatiiN=+−=（N为正整数）叠加，研究1cos()iNixAt==+中的A和，其中0,0,0,02πaA．（1）当0π1,,33aN==

==时，A=______，=______．（2）当0π2,,1112aN===时，A=______，=______．【答案】①.2②.π3③.2(2236)+++④.5π12【解析】【分析】依题意，将条件代入0cos(1),1,2,,ixatiiN=+−=，再进行求和，

利用和角公式化成最简式，最后代入1cos()iNixAt==+中，根据,A的范围即可求得结果.【详解】先证明和差化积公式：因()coscoscossinsin,+=−()coscoscossins

in,−=+两式相加得，()()coscos2coscos,++−=取=+=−，，则有22+−==，，代入上式，可得，coscos2coscos.22+−+=证毕.（1）当0π1,,33aN====时，πcos(1)

,1,2,33ixtii=+−=，因31cos()iixAt==+，则π2πcoscos()cos()cos()33tttAt++++=+，即πππ2cos()coscos()cos()333ttAt+++=+，则有π2cos()cos

()3tAt+=+，的因0,02πA，故得π2,3A==；（2）当0π2,,1112aN===时，π2cos(1),1,2,,1112ixtii=+−=，则111ππ5π2[coscos()cos()cos()]1266iixt

ttt==+++++++5π5πππππ2cos()(2cos2cos2cos2cos2cos1)121234612t=++++++5π5ππ2cos()(2cos2cos223)121212t=+++++5πππ2cos4cos

cos2231246t=++++5π2(2236)cos()12t=++++因1cos()iNixAt==+，则有)5π2(2236)cos()12sco(Att+++=++，又0,02πA，故得()5π22236,.

12A=+++=故答案为：①2；②π3；③()22236+++；④5π12.【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角函数的恒等变换的应用，属于难题.解题关键在于理解题意后对求和式1iNix=的化简，要多次运用和差化积公式才能得到最简式，再与条件等式比较即得.三、解答题（

本小题10分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）29.已知()*12N,2,,,,nnnaxxx=为n维向量，若11,1,2,,ixin−=，则称a为可聚向量．对于可聚向量a实施

变换T：把()12,,,naxxx=的某两个坐标,()ijxxij删除后，添加1ijijxxxx++作为最后一个坐标，得到一个n1−维新向量(1)a，如果(1)a为可聚向量，可继续实施变换T，得到新向量(2)a，……，如此经过k次变

换后得到的向量记为()ak．特别的，二维可聚向量变换后得到一个实数．若向量a经过若干次变换后结果为实数，则称该实数为向量a的聚数．（1）设110,,23a=，直接写出(1)a的所有可能结果；（2）求证：对于任意一个(2)nn维可聚向量a，变

换T总可以进行n1−次；（3）设5111511111,,,,,,,,,7654623456a=−−−−，求a的聚数的所有可能结果．【答案】（1）11(1)(,)23a=或11(1)(,)32a=或5(1)(0,)7a=；（2）证明见解析；（3）56．【解析】【分

析】（1）直接根据定义写出结论；（2）根据定义结合变换中维数的变化规律证明；（3）证明变换过程满足交换律、结合律（与实数加法、乘法的交换律、结合律一样），得出最后的聚数与变换过程中选取的数的顺序无关，从而易得结论．【小问1详解】101212102+=+，101313103+=+，1152

3117123+=+，所以11(1)(,)23a=或11(1)(,)32a=或5(1)(0,)7a=；【小问2详解】设11ix−，11jx−，则011ijxx+，10ix+，10jx+，10i

x−，10jx−，1(1)(1)0ijijijxxxxxx+++=++，(1)iiijxxxx+−+，所以11ijijxxxx+−+，1()(1)(1)0ijijijxxxxxx+−+=−−

，1iiijxxxx++，所以11ijijxxxx++，即111ijijxxxx+−+，所以n维可聚向量()an经过一次变换后得n1−维向量(1)an−仍然是可聚向量，这样经过n1−次变换后变成一个数

，所以对于任意一个(2)nn维可聚向量a，变换T总可以进行n1−次；【小问3详解】定义运算#：#1xyxyxy+=+，首先证明这个运算满足交换律与结合律：##11xyyxxyyxxyyx++===++，即运算“#”满足交换律，又1(#)##1111xyzxyxyzxyzxyxyzzxyxy

xyyzzxzxy+++++++===+++++++，1#(#)#1111yzxyzxxyzyzyzxyzxyzyzxyyzzxxyz+++++++===+++++++，所以(#)##(#)xyzxyz=，即运算“#”满足结合律，所以

n维可聚向量()an经过变换后所得可聚数与实施的具体操作过程无关，因此可作如下操作：由（1）115#237=，易得55#077−=，11#044−=，11#055−=，11#066−=，原来向量记作(10)a，则5(5)(,0,0,0,0)6a=，再进行4次

变换化为一项56，综上可知，a的聚数为56．【点睛】难点点睛：本题是综合性很强的问题，解题时需要认真审题，理解新定义，交利用定义来解题．难点是对变换过程中实施运算引入一个符号：#，#1xyxyxy+=+，证明此运算满足交换律和结合律，从而得出变换后所得聚数与中间具体操作过程无关，从

而可利用其中一种简单的变换得出结果．