【文档说明】湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一上学期第一次阶段性检测数学试题 Word版含答案.docx，共(10)页，839.340 KB，由小赞的店铺上传

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长沙市第一中学2024—2025学年度高一第一学期第一次阶段性检测数学时量：120分钟满分：150分得分_________一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合

210Mxx=−=，则下列说法正确的是（）A．1MB．1M−C．1MD．M2．命题“*nN，使得221nn+”的否定形式是（）A．*nN，使得221nn+B．*nN，使得221nn+C．*nN，使得221nn+D．*nN，使得221n

n+3．若1x，2x，3x，4x为集合A的4个元素，则以1x，2x，3x，4x为边长的四边形可能是（）A．等腰梯形B．直角梯形C．菱形D．矩形4．如图所示，U为全集，A，B，C为U的子集，则阴影部分所表示的集合可为（）A．()ABCB．()()UABCðC．()()UAB

CðD．()()UABCð5．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A．若ab，cd，则abcd++B．若22ab，则ab−−C．若0cab，则abcacb−−D．若0ab且0m，则amab

mb++6．“1a=”是“对任意的正实数x，均有2axx+”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．学校举办运动会时，高一（1）班共有30名同学参加比赛，有18人参加游泳比赛，

有9人参加田径比赛，有15人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有5人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有5人，同时参加三项比赛的有1人，则只参加田径一项比赛的有（）A．1人B．2人C．3人D．5人8．设正实数x，y，z满足2240xxyyz−+−=，则当xyz取得最大

值时，213xyz+−的最大值为（）A．2B．1516C．1D．94二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知平面四边形ABCD，则“四边形ABCD是平行四边形”

的一个必要条件是（）A．四边形的两组对边分别相等B．四边形的两条对角线互相平分C．四边形的四条边长均相等D．四边形的两组对边平行10．不等式20axbxc−+的解集是21xx−，则下列选项正确

的是（）A．0b且0cB．不等式0bxc−的解集是2xxC．0abc++D．不等式20axbxc++的解集是12xx−11．对任意A，BR，记,ABxxABxAB=，并称AB为集合A，B的对称差．

例如：若1,2,3A=，2,3,4B=，则1,4AB=．下列命题中，为真命题的是（）A．若A，BR且ABB=，则A=B．若A，BR且AB=，则AB=C．若A，BR且ABA，则

ABD．若A，BR，则ABAB=RR痧三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．不等式3112xx−−的解集为_________．13．已知正实数a，b满足214ab++=，则2ab+的最小值是_________．14．已知当0x时，关于x的不等式22xxa+−有

解，则实数a的取值范围是_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知集合15Axx=−，31Bxx=−，21Cxaxa=+．（1）求AB，

()RABð；（2）若C是A的真子集，求实数a的取值范围．16．（15分）某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供()020xx万元的创业补助．某企业拟定在申请得到x万元创业补助后，将产量增加到()2mx=+万件，同时企业生产

m万件产品需要投入的成本为16272mxm++万元，并以每件1086m+元的价格将其生产的产品全部售出．（注：收益＝销售金额＋创业补助－成本）（1）求该企业获得创业补助后的收益y万元与创业补助x万元的函数关系式；（2）当创业补助

为多少万元时，该企业所获收益最大？17．（15分）（1）设a，b，x，y为正实数，证明不等式：()222ababxyxy+++；（2）若正实数x，y满足22xy+=，求224122xyyx+++的最小

值；（3）若正实数x，y满足14xyxy+=+，求xy+的最小值．18．（17分）已知函数()()21yaxaxaa=+−+R．（1）若()210axaxa+−+对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式()2132axaxaa+−++；（3）若存在0m使关于x

的方程()21164axaxamam+−+=++有四个不同的实根，求实数a的取值范围．19．（17分）非空集合B，C是集合A的真子集，且BC=，如果aA，bB，cC，使得abc=+，其中，0,1，则称B，C是集合A的一组有序基底集，记为(

),BC．已知由正整数构成的集合1,2,3,,An=，其有序基底集(),BC的个数记为()fn．（1）3n=时，写出所有符合条件的(),BC；（2）4n=时，(),BC是集合A的一组有序基底集，求集合B中含有元素4的概率；（3）证明：

()()()22132fnfnfn+++．长沙市第一中学2024—2025学年度高一第一学期第一次阶段性检测数学参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案CDBDCABAABDBCDABD1．C【解析

】根据集合与元素、集合与集合的基本关系可知，选项A中，1M；选项B中，1M−；选项D中，M．故选项C正确．2．D【解析】由题意可知，存在量词命题“*nN，使得221nn+”的否定形式为全称量词命题“*nN，使得221nn+”．3．

B【解析】根据集合中元素的互异性，以1x，2x，3x，4x为边长的四边形，四条边均不相等，选项中只有直角梯形可以满足要求，故选B．4．D【解析】根据交、并、补运算可判断阴影区域为选项D．5．C【解析】选项A，取1a=，0b=，2c=，1d=，则abcd++，A错误；选项B，当1a=−

，0b=时，22ab，但ab−−，不成立，B错误；选项C，当0cab时，()()abacbbcaacbcabcacb−−−−，C正确；选项D，根据糖水不等式可知bmbama++，再根

据倒数不等式可得amabmb++，D错误，故选C．6．A【解析】对任意的正实数x，均有2axx+，22xax+对任意的实数x恒成立，即22axx−+对任意的实数x恒成立，()22211xxx−+=

−−+，0x，()2111x−−+，即1a，当1a=时，1a一定成立；1a时，1a=不一定成立．“1a=”是“对任意的正实数x，均有2axx+”的充分不必要条件，故选A．7．B【解析】如图，设只参加田径一项比赛的有x人，

只参加球类一项比赛的有z人，同时参加田径比赛和球类比赛且不参加游泳比赛的有y人．故1830,59,515,xyzxyyz+++=++=++=可解得2,2,8.xyz===故只参加田径一项

比赛的有2人．8．A【解析】根据题意，2240xxyyz−+−=，则22224443zxxyyxyxyxyxyxy=−+=+−−=，即3zxy，当且仅当224xy=，即2xy=时，等号成立，此时22246z

xxyyy=−+=，当xyz取得最大值时，2222132131211222622xyzyyyyyy+−=+−=−+=−−+，分析可得，当12y=时，213xyz+−取得最大值2．故选A．9．ABD【解析】由四边形为平行

四边形可推得，A，B，D均正确；选项C，满足条件的四边形是菱形，而由四边形是平行四边形无法推出其是菱形．故选ABD．10．BCD【解析】对于A，0a，2−，1是方程20axbxc−+=的两个根，所以121ba−=−=，21ca−=，所以ba=−，2ca=−，所以0b

，0c，所以A错误；对于B，()22bxcbxbbx−=−=−，由0b可得不等式解集为2xx，所以B正确；对于C，当1x=−时，20axbxc−+，0abc++，所以C正确；对于D，由题得2220axbxcaxaxa++=

−−，因为0a，所以220xx−−，所以12x−，所以不等式20axbxc++的解集是12xx−，所以D正确．11．ABD【解析】对于A，因为ABB=，所以,BxxABxAB=，所以AB，且B中的元素不能出现在AB中，因此A=，即A

正确；对于B，因为AB=，所以,xxABxAB=，即AB与AB是相同的，所以AB=，B正确；对于C，因为ABA，所以,xxABxABA，所以BA，即C错误；对于D，由于()()RRRRRRRR

,,ABxxABxABxxABxAB==痧痧痧痧,xxABxAB=，而,ABxxABxAB=，故RRABAB=痧，即D正确．故选：ABD．三、填空题12．324xx【解析】不等式3

112xx−−，移项得31102xx−−−，即3402xx−−，可化为()3204xx−−，解得324x，则原不等式的解集为324xx．13．7【解析】由2222xyxy++可知，2

21122abab++++，当且仅当21ab=+，即4a=，3b=时，等式成立．所以22211422abab++++=，27ab+，当4a=，3b=时，2ab+的最小值是7．14．924aa−【解析】可将当0x时

，22xxa+−有解转化头22xxa−−至少有一个负数解，构造22yx=−，yxa=−，画出图形，如图：当2a=时，两个图象相交于()0,2点，要使其相交于y轴左侧，则需满足2a，在yxa=−的图

象不断左移的过程中，若与22yx=−左侧曲线相切，则有22xxa−=−，对应的0=，解得94a=−，则94a−，综上所述，924aaa−．四、解答题15．【解析】（1）11ABxx=−，R3Bxx=−ð或1

x，()R3ABxx=−ð或1x−．（2）因为CAÞ．①当C=时，21aa+，即1a．②当C时，21aa+，即1a，21,15,aa−+且等号不能同时取得，解得112a−．综上所述，12aa−

．16．【解析】（1）依据题意可知，销售金额()1081086622mxmx+=+++万元，创业补助x万元，成本为()162162727222mxxxmx++=++++万元，所以收益()()1081621

62627221062222yxxxxxxxx=+++−+++=−−+++，020x．（2）由（1）可知()16216210621102222yxxxx=−−=−++++，020x，其中()()1621

62222223622xxxx+++=++，当且仅当()162222xx+=+，即7x=时，取等号．所以()1621102211036742yxx=−++−=+，所以当7x=时，该企业所获收益最大，最大值为74万元．17．【解析】（1）()()()()(

)()222222222xyyaxbxyababababyaxbxyxyxyxyxyxy++−+++++−=−=+++()()20xbyaxyxy−=+，当且仅当abxy=时，等号成立．（2）()222

244122235xyxyyxxy++=++++，当且仅当2122xyyx=++且22xy+=，即37x=，87y=时，等号成立；即224122xyyx+++的最小值是45．（3）()21214xyxyxy++=++，所以3xy+，当且仅当12xy=且14xyxy+=+

，即1x=，2y=时，等号成立．18．【解析】（1）由题意，()210axaxa+−+对一切实数x恒成立，当0a=时，不等式可化为0x，不满足题意；当0a时，则有()220,140,aaa=−−解得13a．故实数a的取值范围是13aa．（

2）不等式()2132axaxaa+−++等价于()()21210axaxa+−−+，即()()120axax++−，当0a=时，不等式可化为20x−，解集为2xx；当0a时，与不等式对应的一元二

次方程的两根为1111axaa+=−=−−，22x=．当0a时，12xx，此时不等式解集为112xxa−−；当103a−时，12xx，此时不等式解集为121xxxa−−或；当13a=−时，12xx=，

此时不等式解集为2xx；当13a−时，12xx，此时不等式解集为112xxxa−−或．综上所述，当0a=时，解集为2xx；当0a时，解集为112xxa−−；当103a−时，

解集为121xxxa−−或；当13a=−时，解集为2xx；当13a−时，解集为112xxxa−−或．（3）当0m时，因为112646441mmmm−+=−，令11644

tmm=+−，当且仅当18m=−时，等号成立；则关于x的方程()21164axaxamam+−+=++可化为()210axaxt+−−=，关于x的方程()210axaxt+−−=有四个不等实根，即()210axax

t+−−=有两个不同正根，则()()21212140,10,0,aataxxatxxa=−−−−+=−−=①②③由②③式可得1a，由①知：存在14t−，使不等式()2410ata+−成立，故()214104aa−+

−，即2310aa−+，解得352a−（舍）或352a+．故实数a的取值范围是352aa+．19．【解析】（1）1B=，2C=；1B=，2,3C=；2B=，1C=；2B=，1,3C=；3B=，1,2C=；1,2B=，

3C=；1,3B=，2C=；2,3B=，1C=．（2）4n=时，集合A的有序基底集有22个，分别是：1B=，2,3C=；3B=，1,2C=；1,2B=，3C=；2,3B=，1C=；1,4B=，2

C=；1,4B=，2,3C=；2,4B=，1C=；2,4B=，1,3C=；3,4B=，1,2C=；1,2,4B=，3C=；1,3,4B=，2C=；2,3,4B=，1C=；1B=，2,4C=；1B=，2,3,4C=；

2B=，1,4C=；2B=，1,3,4C=；3B=，1,2,4C=；1,2B=，3,4C=；1,3B=，2,4C=；2,3B=，1,4C=；1,2,3B=，4

C=；4B=，1,2,3C=．符合条件的有9个，故所求概率为922．（3）当1,2,3,,An=，其部分有序基底集(),BC在1,2,3,,,1Ann=+时，仍可作为有序基底集；当1,2,3,,An=，其有序基底集

(),BC中的B集合中添加元素1n+，可以作为1,2,3,,,1Ann=+时的有序基底集；当1,2,3,,An=，其有序基底集(),BC中的C集合中添加元素1n+，可以作为1,2,3,,,1Ann=+时的有

序基底集；1,2,3,,,1Ann=+时，有序基底集还有1,2,3,,Bn=，1Cn=+；1Bn=+，1,2,3,,Cn=．从而证明：()()()22132fnfnfn+++．