【文档说明】浙江省绍兴市上虞中学2023-2024学年高二上学期期中测试数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.409 MB，由小赞的店铺上传

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上虞中学2023学年第一学期高二数学期中测试注意事项：1.考试时间：120分钟；2.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息3．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题只有一

项是符合要求）1.若直线l经过坐标原点和()3,3−，则它的倾斜角是（）A.45−B.45C.135D.45或135【答案】C【解析】【分析】求出直线l的斜率，进而可求得该直线的倾斜角．【详解】由题意可知，直线l的斜率为30130k−−==−−，设直线l的倾斜角为，则0180

，显然90，所以tan1=−，得135=．故选：C．2.直线x-2y-1=0与直线x-2y-c=0的距离为25，则c的值为（）A.9B.11或9−C.11−D.9或11−【答案】B【解析】【分析】由题意利用两条平

行线间的距离公式，可的c的值.【详解】解：直线x-2y-1=0与直线x-2y-c=0的距离为25，1255c−+=，解得：c=11或c=-9.故选B.【点睛】本题主要考查两平行线间的距离公式，相对简单.3.方程22210xya

xy+−++=不能表示圆，则实数a的值为A.0B.1C.1−D.2【答案】A【解析】【分析】先假设方程可以表示圆得到a的值，从而可得到不能表示圆时a的值.【详解】方程22210xyaxy+−++=能表示圆，则22()2410a−+−，解得20a，即0a.所以，若方程22210xyax

y+−++=不能表示圆，则0a=.故选A.【点睛】本题主要考查了圆的一般方程及正难则反的数学思想.4.若圆221:2440Cxyxy+−−−=，圆222:61020Cxyxy+−−−=，则1C，2C的公切线条数为（）A.1B.2C.3D.4【

答案】B【解析】【分析】先得圆的方程的标准形式，得到圆心和半径，得到两圆的位置关系即可得公切线的条数.【详解】依题意，圆()()221:129Cxy−+−=，圆心为()1,2，半径为3；圆()()222:3536Cxy−+−=，圆心为()3,5，半径为6；因为()1249133,9CC=+=

，故圆1C，2C相交，有2条公切线，故选：B.5.已知Rm，则“26m”是“曲线22126xymm+=−−表示椭圆”的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】求得方程表示椭圆的充要条件

所对应的m的范围，再根据充分必要条件的定义判断即可．【详解】若方程22126xymm+=−−表示椭圆，则206026mmmm−−−−，解得26m且4m，所以“26m”是“曲线22126xymm+=−−表示椭圆”的必要不充分条件.故选：C．6.直线30xy++=分别与x

轴，y轴交于A，B两点，点P在圆22(3)2xy−+=上，则ABP面积的最小值为（）A.6B.62C.12D.122【答案】A【解析】【分析】确定A，B两点坐标，再根据点到直线距离确定P到AB距离的最小值，进而求得三角形面积的最小值.【详

解】(3,0)A−，(0,3)B−，∴223332AB=+=，圆22(3)2xy−+=的圆心到直线30xy++=的距离|33|322d+==，∴P到AB距离的最小值为22，∴ABP面积的最小值为1322262=，故选：A.7.三棱柱111ABCABC-的侧棱与底面垂直，11AAA

BAC===，ABAC⊥，N是BC的中点，点P在11AB上，且满足111APAB=，当直线PN与平面ABC所成的角最大时的正弦值为（）A.12B.22C.32D.255【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN与平面ABC所成的

角，即可求得结论．【详解】如图，以AB，AC，1AA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz−，则(),0,1P，()()111,0,0,0,1,0,,,022BCN，11,,122PN=−−，平面ABC的一个法向量为()0,0,1n=，设直

线PN与平面ABC所成的角为，21sin1524PNnPNn==−+，当12=时，max25(sin)5=，此时角最大．故选：D．8.已知椭圆22221(0)xyabab+=的左

右焦点为12,FF，过2F的直线与椭圆交于AB两点，P为AB的中点，113413||,tan2FPABAPF==，则该椭圆的离心率为（）A.12B.22C.32D.512−【答案】B【解析】【分析】在1AFP△中，由余弦定理可得1AF的长度，进而根据边的关系得1AFP△为直角三角形，根据

焦点三角形即可得,ac关系.【详解】设20ABx,x=>则APBPx==，所以1113413||=2FPABFPx=由于13tan02APF=，所以1APF为锐角，故12cos13APF=，在1AFP△中，由余弦定

理得222211111313232cos242213AFAPPFAPPFAPFxxxxx=+-?+-创=，因此22211AFAPPF+=,故1AFP△为直角三角形，所以()22221135222BFAFABxxx骣琪=+=+=琪桫，由1AFB△

的周长为35242223axxxxa=++?，所以121322AFxa,AFaAFa,===-=故122222FFace==?，故选：B二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分

，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下面四个结论正确的是（）A.向量(),0,0abab，若ab⊥，则0ab=B.若空间四个点P，A，B，C，1344PCPAPB=+，则A，B，C三点共线C

.已知向量()1,1,ax=，()2,,4bx=−，若//ab，则2x=−D.任意向量a，b满足()()abcabc=rrrrrr【答案】ABC【解析】【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断A，由空间向量的基本定理与共线定理以及向量基底可判断B，根据空间向量共线的坐标表示可

判断C，利用数量积的定义判断D.【详解】对于A：因为0,0abrrrr，ab⊥，则0ab=，正确；对于B：因为1344PCPAPB=+，则11334444PCPAPBPC−=−，即3ACCB=，又AC与CB有公共点，所以,,ABC三点共线，正确；

对于C：因为向量()1,1,ax=，()2,,4bx=−，//ab，所以存在R，使得ba=，即()()2,,41,1,xx−=，则2114xx−===，解得22x=−=−，正确；对于D：()abc表

示平行于c的向量，()abc表示平行于a的向量，当a与c不平行时，()()abcbca=一定不成立，错误.故选：ABC10.关于直线l：0axya++=，以下说法正确的是（）A.直线l过定点()1,0−B.若1a=−，直线l与20xy+−=垂直C.a<0时，直线l不过第一象限D.

0a时，直线l过第二，三，四象限【答案】ABD【解析】【分析】利用分离参数法、直线的斜截式方程以及两直线垂直的判定求解.【详解】直线l：0axya++=可变形为：(1)0axy++=，由100xy+==解得10xy=−=，所以直线l过定点()1,0−

，故A正确；当1a=−，直线l：10xy−+−=，所以l与直线20xy+−=的斜率之积为1−，即两直线垂直，故B正确；对于C选项，直线l：0axya++=可变形：=−−yaxa，当a<0时，0a−，直线l经过第一，二，三，象限，故C错误

；为对于D选项，直线l：=−−yaxa，当0a时，0a−，直线l经过第二，三，四象限，故D正确；故选：ABD．11.在平面直角坐标系xOy中，已知12(1,1),(1,0),(1,0)AFF−，若动点P满足124PFPF+=，则（）A.存在点P，使得21PF=B.12PFF△面积的最大值为

3C.对任意的点P，都有2||3PAPF+D.有且仅有3个点P，使得1PAFV的面积为32【答案】ABD【解析】【分析】根据题意求得P的轨迹是椭圆为22143xy+=，从而判断椭圆上是否存在点P，使得21PF=；

当点P为椭圆上、下顶点时，12PFF△面积的取最大值；由椭圆定义知，21122PAPFPAaPFaAF+=+−−，验证C选项；求得使得1PAFV的面积为32的P点坐满足的关系，与椭圆联立，根据判别式判断交点个数.【详解】由题知，点P的轨迹是2a=，1c=，焦点在x

轴上的椭圆，则3b=，椭圆方程22143xy+=，当点P为椭圆右顶点时，21PFac=−=，故A正确；当点P为椭圆上、下顶点时，12PFF△面积的取最大值，为12132FFb=，故B正确；22211224(11)145

PAPFPAaPFaAF+=+−−=−++=−，因453−，故C错误；设使得1PAFV的面积为32的P点坐标为00(,)xy，由1,AF坐标知，15AF=，直线1AF的方程为210xy−+=，则0021

135225xy−+=，解得00220xy−−=或00240xy−+=，联立002200220143xyxy−−=+=，化简得200230yy−=，则90=，因此存在两个交点；为同理可得直线00240xy−+=与椭圆仅有一个

交点；综上，有且仅有3个点P，使得1PAFV的面积为32，故D正确；故选：ABD12.如图，点E是正方体1111ABCDABCD−的棱1DD的中点，点M在线段1BD上运动，则下列结论正确的是（）A.直线AD与直线1CM始终是异面直线B.存在点M，使得1

BMAE⊥C.四面体EMAC的体积为定值D.H为线段1AA的中点，//MHACE平面【答案】BCD【解析】【分析】对于A选项，当M位于1BD中点时，AD与1CM共面；对于选项B和D可采用空间向量计算，对于C选项，连接AC,BD交于1O，此时11//EOBD，易证所以四面体EMAC的体积为定值，由

面面平行的判定定理得出平面1//BHD平面AEC，进而可得//MH平面AEC.【详解】解：对于A选项，连接1AC交1BD与O，当点M在O点时，直线AD与直线1CM相交，故A选项不正确；对于C选项，连接AC,BD交于1O，此时11//EOBD，故线段1BD到平面AEC的距离为定值，所以四面体EMAC

的体积为定值，故C选项正确；以D为坐标原点，建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则()0,0,0D，()10,0,2D，()2,0,0A，()0,2,0C，()0,0,1E，()2,2,0B，()12,2,2B对于B选项，存在点M，使得1BMAE⊥，则()2,0,

1AE=−，()()()1110,0,22,2,22,2,22BMBBBD=+=−+−−−=−−−，0,1，所以14220AEBM=+−=，得13=，故当M满足12DMMB=时，1BMAE⊥，故B选项正确；对于D选项，连接1,,,,AECEACB

HDH，如下图所示：因为H为AA1的中点，E为DD1的中点，所以1//,//,CEBHDHAE1,,AECEEBHDHH==所以平面1//BHD平面AEC，MH平面1BHD，所以//MH平面AEC，故D选项正确；故选：BCD.第II卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20

分）13.若直线1:20lmxy+−=与直线2:21lyx=−平行，则m=______．【答案】2−【解析】【分析】根据两直线平行可得出关于实数m的等式，解之即可.【详解】直线1l的方程可化为2ymx=−+，因为12//ll，则2m−=，解得2m=−.故答案为：2−.14.椭圆C：

22214xym+=的焦距为4，则C的长轴长为____________【答案】42【解析】【分析】设椭圆的长轴长为2a，由题意有2a，22242ma==+，即可得出．【详解】设椭圆的长轴长为2a，由椭圆22214xym+=的焦距为4，可

得2a．因此椭圆的焦点只能在y轴上，可得22242ma==+，解得22a=．所以椭圆C的长轴长为242a=.故答案为：42．15.设A为圆2220xyx+−=上的动点，PA是圆的切线且||1PA=，则P点的轨迹方程是_________【答案】22(1)2xy−+=【解析】【分析】根据切线

长可以求得P点到圆心的距离，代入距离公式即可求得.【详解】由圆2220xyx+−=的方程可知，圆心为(1,0)，半径1r=，PA是圆的切线且||1PA=，则点P到圆心的距离为2，设(,)Pxy，则22(1)2xy−+=，化简得22(1)2xy−+=.故答案

为：22(1)2xy−+=16.已知点()00,Pxy，直线:0lAxByC++=，且点P不在直线l上，则点P到直线l的距离0022AxByCdAB++=+；类比有：当点()00,Pxy在函数()yfx=图像上时，距离公式变为0022()Ax

BfxCdAB++=+，根据该公式可求223131xxxx+−−+−+−的最小值是____________【答案】4【解析】【分析】依题意可得，222231313131222xxxxxxxx+−−−+−+−−+−+−=+，令21yx=−，则22313122xxxx+−−−

+−+表示半圆上的点到直线1:30lxy−+=和2:30lxy+−=的距离之和，设为d，则2231312+−−+−+−=xxxxd，再结合图象进行求解.【详解】解：依题意可得，222231313131222xxxxxxxx+−−−+−+−−+−

+−=+，令21yx=−，则()2210xyy+=，该方程表示以()0,0为圆心，以1为半径半圆，依题意2312xx+−−表示该半圆上的点到直线1:30lxy−+=的距离，2312xx−+−表示该半圆上的点到直线2:30lxy+−=的距离，则

22313122xxxx+−−−+−+表示半圆上的点到直线1:30lxy−+=和2:30lxy+−=的距离之和，设为d，则2231312+−−+−+−=xxxxd，如图所示：的结合图象，当点P运动到点(0,1)M时，此时d取

得取小值，则min0310312222+−−+=+=d，则223131xxxx+−−+−+−的最小值为2224=.故答案为：4.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知直线l过点P(2，3)，根据下列条件分别求

出直线l的方程:（1）直线l的倾斜角为120°；（2）在x轴、y轴上的截距之和等于0.【答案】（1）3x+y-3-23=0；（2）3x-2y=0或x-y+1=0.【解析】【分析】（1）由倾斜角求出斜率，利用直线的点斜式方程即得解；（2）分经过原点时和不过原点两种情况

讨论，分别设直线为ykx=，xa+-ya=1(a≠0)，代入点坐标即得解【详解】（1）由直线l的倾斜角为120°，可得斜率k=tan120°=3−，由直线的点斜式方程可得，y-3=3−(x-2)，化简得直线l的方程为3x+y-3-23=0.（2）当直线l经过原点时，在x轴、y轴上的

截距之和等于0，符合题意，此时直线l的方程为y=32x，即3x-2y=0；当直线l不过原点时，设直线l的方程为xa+ya−=1(a≠0).因为P(2，3)在直线l上，所以2a+3a−=1，解得a=1−，则直线l的方程为x-y+1=0.综上所述，直线l的方程为3x-2y=0或x-y+1=0.

18.已知圆C的圆心在x轴上，且经过点1,0,()(,2)1AB−.（1）求圆C的标准方程；（2）过点(0,2)P的直线l与圆C相交于,MN两点，且||23MN=，求直线l的方程.【答案】（1）22(1)4xy−+=（2）0x=或3480

xy+−=【解析】【分析】（1）根据题意，设AB的中点为D，求出D的坐标，求出直线CD的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案，设圆C的标准方程为222()xayr−+=，由圆心的位置分析可得a的值，进而

计算可得r的值，据此分析可得答案；（2）设F为MN的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线l的斜率是否存在两种情况讨论，综合即可得答案.【详解】解：（1）设AB的中点为D，则(0,1)D，由圆的性质得CDAB⊥，所以1CDABKK=

−，得1CDK=−，所以线段AB的垂直平分线方程是1yx=−+，设圆C的标准方程为222()xayr−+=，其中(,0)Ca，半径为()0rr，由圆的性质，圆心(,0)Ca在直线CD上，化简得1a=，所以圆心()1,0C，||2rCA==，所以圆C的标准方程为22(1)4xy−+=

；（2）由（1）设F为MN中点，则CFl⊥，得||||3FMFN==，圆心C到直线l的距离2||4(3)1dCF==−=，当直线l的斜率不存在时，l的方程0x=，此时||1CF=，符合题意；当直线l的斜率存在时，设l的方程2ykx

=+，即20kxy−+=，由题意得2|12|1kdk+=+，解得34k=−；故直线l的方程为324yx=−+，即3480xy+−=；综上直线l的方程为0x=或3480xy+−=.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆方程的综合应用，属于基础题.19.如图，已知

平行六面体1111ABCDABCD−的底面ABCD是菱形，且1160CCBCCDBCD===，11CDCC==，设CDa=uuurr，CBb=uurr，1CCc=uuurr．（1）用a，b，c表示1AC并求出1AC的长度；（2）求异面直线1AC与DA所成角的余弦值．【答案】（1）1

()ACabc=−++，1||6AC=；（2）63．【解析】【分析】（1）根据已知条件所给基底，利用向量的线性运算表示即可；（2）写出向量DAb=，代入公式求夹角即可.【小问1详解】因为11CACDDAAAabc=++=++，

所以1()ACabc=−++.22221()222ACabcabcabacbc=−++=+++++=1111112112112116222+++++=.【小问2详解】由（

1）可知，1()ACabc=−++，DAb=，则21()cos,6()abbbcabcbACDAabcb−−−−++==−++11111112622366−−−−===−，因为异面直线夹角的范围为(0,]2，故异面直线1AC与DA所成角的余弦值为63.20

.已知椭圆C的两个焦点分别为()()120,3,0,3FF−，且椭圆C过点3,12M．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P是椭圆C上任意一点，求1211PFPF+的取值范围．【答案】（1）2214yx+=；（2）1,4.【解析】【分析】（1）将点代入椭圆方

程，结合椭圆的性质得出椭圆C的标准方程；（2）由定义得出1211PFPF+()21424PF=−−+，结合椭圆的性质得出1211PFPF+的取值范围．【小问1详解】已知椭圆C的两个焦点分别为()()120,3,0,3FF−，设椭圆C的标准方程为22221(0)yxabab+=，且3c=，则22

223abcb=+=+①，又椭圆C过点3,12P，所以221314ab+=②，联立①②解得224,1ab==，所以椭圆C的标准方程为2214yx+=；【小问2详解】12121211PFPFPFPFPFPF++=()()(

)221111111244424424aPFaPFPFPFPFPFPF====−−−+−−+，又1acPFac−+，即12323PF−+，当12=PF时，()2124PF−−+最大，为4；当123P

F=−或23+时，()2124PF−−+最小，为1，即()2141424PF−−+，即121114PFPF+，所以1211PFPF+的取值范围为1,4．21.如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互

相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°,AD=,EF=2.(1)求证:AE∥平面DCF;(2)当AB的长为何值时,二面角A—EF—C的大小为60°?【答案】(1)证明略(2)当AB为时，二面角A—EF—C的大小为60°【解析】【详解】方法一（1）过

点E作EG⊥CF交CF于G，连接DG.可得四边形BCGE为矩形，又四边形ABCD为矩形，所以ADEG，从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG.因为AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE∥平面DCF.（2）过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH.由平面ABCD⊥平面BEFC，A

B⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF，所以∠AHB为二面角A—EF—C的平面角.在Rt△EFG中，因为EG=AD=，EF=2，所以∠CFE=60°,FG=1,又因为CE⊥EF,所以CF=4,从而BE=CG=3.于是BH=BE·sin∠BEH=.因为AB=BH·tan∠AH

B=×=，所以当AB为时，二面角A—EF—C的大小为60°.方法二如图所示,以点C为坐标原点,以CB、CF和CD所在直线分别作为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系C—xyz.设AB=a，BE=b，CF=c，则C（0，0，0）

，A（，0，a），B（，0，0），E（，b，0），F（0，c，0）.（1）=（0，b，-a），=（，0，0），=（0，b，0），所以·=0，·=0，从而CB⊥AE，CB⊥BE.AE∩BE=E，所以CB⊥平面

ABE.因为CB⊥平面DCF，所以平面ABE∥平面DCF，AE平面ABE.故AE∥平面DCF.（2）因为=（-，c-b，0），=（，b，0）.·=0，||=2，所以解得所以E（，3，0），F（0，4，0）.设n=(1,y,z)与平面AEF垂直，则n·=0，n·=0，解得n=（

1,,）.又因BA⊥平面BEFC，=（0，0，a），所以|cos〈n,〉|=解得a=.所以当AB为时，二面角A—EF—C的大小为60°.为22.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的离心率为32，过椭圆E的左焦点1F且与x轴垂直的直线与椭圆E相交于的P，Q两

点，O为坐标原点，OPQ△的面积为32.（1）求椭圆E的方程；（2）点M，N为椭圆E上不同两点，若22OMONbkka=−，求证：OMN的面积为定值.【答案】(1)2214xy+=(2)证明见解析【解析】【分析】（1）离心率提供一个等式32ca=，PQ是椭圆的通径，通径长为22ba，这样O

PQ的面积又提供一个等式212322bca=，两者联立方程组结合222abc=+，可求得,ab得椭圆标准方程．（2）设()()1122,,,MxyNxy，由2214OMONbkka=−=−得12124xxyy=−，当直线MN

的斜率存在时，设直线MN的方程为,(0)ykxmm=+，代入椭圆方程并整理，得()222148440kxkmxm+++−=.应用韦达定理得1212,xxxx+，代入12124xxyy=−可得,km的关系，注

意0，然后由圆锥曲线中的弦长公式计算弦长MN，求出O到直线MN的距离，求得OMN的面积，化简可得为定值，同样直线MN的不斜率存在时，也求得OMN的面积和刚才一样，即得结论．【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，则32ca=①过椭圆左焦

点1F且与x轴垂直的直线方程为xc=−，与椭圆方程联立解得2bya=，所以22||bPQa=，所以212322bca=②把①代入②，解得21b=又2222234cabaa−==，解得24a=所以E的方程为：2214xy+=（2）设()()112

2,,,MxyNxy，因为24a=，21b=，所以2214OMONbkka=−=−，即121214yyxx=−，即12124xxyy=−（i）当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为,(0)ykxmm=+，代

入椭圆方程并整理，得()222148440kxkmxm+++−=.则122814kmxxk+=−+，21224414mxxk−=+()()()22222(8)414441614kmkmkm=−+−=+−③()()()2222121212122414kmyykx

mkxmkxxkmxxmk−+=++=+++=+所以2222244441414mkmkk−−+=−++，整理得22142km+=，代入③，2160m=()()22222121221614||14114kmMNkxxxxkk+−=++

−=++，O到直线MN距离2||1mdk=+，所以()22222OMN222161411||214||1||2214141kmmkmSMNdkmkkk+−+−==+=+++222222||||||12mmmmmmm−===，即OM

N的面积为定值1（ii）当直线MN的斜率不存在时，不妨设OM的斜率为12且点M在第一象限，此时OM的方程为12yx=，代入椭圆方程，解得22,2M，此时OMN的面积为1222122=.综上可知，OMN的面积为定值1【点睛】本题考查求椭圆的

标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定值问题．综合性较强，对学生的推理能力，运算求解能力要求较高，属于难题．在直线与椭圆相交问题中，采取“设而不求”的思想方法，即的设直线MN的方程为ykxm=+，设交点()11,Mxy，()22,Nxy，由直线方程与

椭圆方程联立消元，应用韦达定理可得1212,xxxx+，代入OMONkk得参数间的关系，由弦长公式求弦长并代入1212,xxxx+化简．同时求三角形的高，求出三角形面积．注意还要讨论直线MN斜率不存

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