【文档说明】辽宁省铁岭市开原市第二高级中学2020-2021学年高二上学期期初考试数学试题 含答案.doc，共(11)页，1.298 MB，由小赞的店铺上传

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2020－2021学年（上）高二期初考试数学试卷时间：120分钟满分：150分一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）（特别提示：题中涉及的图形均在第七题下面）1．如图，正方体1111OABCOABC−的棱长为2，E是1BB上的点，且12EBEB=，则点E的坐标为（）A

．(2,2,1)B．(2,2,2)C．2(2,2,)3D．4(2,2,)32．已知(2,3,1)AB=，(4,5,3)AC=，那么向量BC=（）.A．(2,2,2)−−−B．(2,2,2)C．(6,8,4)D．(8,15,3)3．已知空间向量0ab

c++=，||2a=，||3b=，||4c=，则cos,ab=（）A．12B．13C．12−D．144．在空间四边形ABCD的各边ABBCCDDA、、、上的依次取点EFGH、、、，若EFGH、所在直线相交于点P，则（）A．点P必在直线BD上B．点P必在直

线AC上C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外5．设、、为平面，a、b为直线，给出下列条件：①a，b，//a，//b②//，//③⊥，⊥④a⊥，b⊥，//ab其中能推出//的条件是（）.A．①②B．②③C．②④D．③④6．在

空间直角坐标系中，已知M（﹣1，0，2），N（3，2，﹣4），则MN的中点Q到坐标原点O的距离为（）A．3B．2C．2D．37．已知(,2,0)ax=，(3,2,)bxx=−，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是（）.A．(,4)−−B．(4,0)−C．(0,4)D．(4,)+（第1

题）（第9题）（第11题）（第12题）8．在轴截面为等腰直角三角形的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为（）A．2:1B．2：1C．3:1D．4：19．如图，在大小为45°的二面角A-EF-D中，四边形AB

FE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A．3B．2C．1D．32−10．（多选题）已知m，n是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列选项正确的()A．若//m，//n，则//mnB．若m⊥，n⊥，则//mnC．若⊥，m⊥，则//mD．若//n，n⊥β，

则α⊥β11．（多选题）如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，则下列四个命题正确的是()A．直线BC与平面11ABCD所成的角等于4B．点C到面11ABCD的距离为22C．两条异面直线1DC和1BC所成的角为4D．三棱柱1111A

ADBBC−外接球表面积为312．如图，正四面体DABC−的顶点A、B、C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的是()A．OABC−是正三棱锥B．直线OB与平面ACD相交C．直

线CD与平面ABC所成的角的正弦值为32D．异面直线AB和CD所成角是90二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答案页相应的位置上)特别提示：题中涉及的图形均在20题下方13．已知O是空间任一点，,,,ABCD四点满足任三点均不共线，但四点共面，且234OAxBOyCOzDO

=++，则234xyz++=________.14．已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为()1,3,uz→=，向量()3,2,1v→=−与平面平行，则z=______.15．水平放置的ABC的斜二侧直观图如图所示，

若112AC=，ABC的面积为22，则11AB的长为________.16．已知三棱锥PABC−的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC==，ABC是边长为2的正三角形，PAPC⊥，则球O的体积为__________．三、解答题(本大题共6小题

,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17．（本题10分））如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，2PDDC==，点E，F分别为AD，PC的中点．（Ⅰ）证明：//DF平面PBE；（Ⅱ）求点F到平面PBE的距离．18．（本

题12分）如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；19．（本题12分

）如图，已知平行六面体1111ABCDABCD−中，底面ABCD是边长为1的正方形，12AA=，11120AABAAD==．(1)求线段1AC的长；(2)求异面直线1AC与1AD所成角的余弦值；20．（本题12分）菱形ABCD的对角线AC与BD交于点

,5,6OABAC==，点,EF分别在,ADCD上，5,4AECFEF==交BD于点H，将DEF沿EF折到DEF位置，10OD=.（1）证明：DH⊥平面ABCD；（2）求二面角BDAC−−的正弦值（第

15题）（第17题）（第18题）（第19题）（第20题）（第21题）（第22题）21．（本题12分）如图，已知三棱柱111ABCABC−，平面11AACC⊥平面ABC,90ABC=，1130,,,BACAAACA

CEF===分别是11,ACAB的中点.（1）证明：EFBC⊥；（2）求直线EF与平面1ABC所成角的余弦值.22．（本题12分）如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2

，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且13PFPC=．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）设点G在PB上，且23PGPB=．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．1．D

2．B3．D4．B5．C6．A7．A8．A9．D10．BD11．ABD12．C13.-114．315．216．617.（Ⅰ）证明：取点G是PB的中点，连接EG，FG，则//FGBC，且12FGBC=，∵//DEBC且12DEBC=，∴//DEFG且DEFG=，∴四边形DEGF为平行四

边形，∴//DFEG，∴//DF平面PBE．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知//DF平面PBE，所以点D到平面PBE的距离与F到平面PBE的距离是相等的，故转化为求点D到平面PBE的距离，设为d．利用等体积法：DPBEPBDEVV−−=，即1133PBEBDESdSPD=，

112BDESDEAB==，∵5PEBE==，23PB=，∴6PBES=，∴63d=．18．（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD,所以PABD⊥；因为底面ABCD是菱形，所以ACBD⊥;因为PAACA=,,PAAC平面PAC,所以BD⊥平面PAC

.（Ⅱ）证明：因为底面ABCD是菱形且60ABC=，所以ACD为正三角形，所以AECD⊥,因为//ABCD,所以AEAB⊥；因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD,所以AEPA⊥；因为PAABA=所以AE⊥平面PA

B，AE平面PAE,所以平面PAB⊥平面PAE.19．（1）设1,,ABaADbAAc===，则||||1ab==，||2c=，0ab=，21cos1201cacb===−，111ACACCCABADAAabc=+=++=++,1ACabc=++()2abc=++

()222||||||2abcabbcca=+++++()22211220112=+++−−=线段1AC的长为2.（2）设异面直线1AC与1AD所成的角为，则111111coscos,||||ACADACADACAD

===11,ACabcADbc=++=−222211()()01122ACADabcbcabacbc=++−=−+−=++−=−()2221||||2||DAbcbbcc=−=−+221212

7=−−+=.1111214cos727||ACADACDA−===.故异面直线1AC与1AD所成角的余弦值为147.20．(1)由已知得ACBD⊥，ADCD=,又由AECF=得AECFADCD=，故AC∥EF，因此EF

HD⊥，从而EF⊥DH.由56ABAC==，得224DOBOABAO==−=.由AC∥EF得14OHAEDOAD==.所以1OH=,3DHDH==.于是222223110DHOHDO+=+==,故DHOH⊥.又DHE

F⊥,而OHEFH=,所以DH⊥平面ABCD.如图，以H为坐标原点，HF的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系Hxyz−，则()0,0,0H，()3,1,0A−−，()0,6,0B−，()3,1,0C−，()0,0,3D，()3,4,0AB=−，()6,0,0AC=，()3,1,3

AD=.设()111,,mxyz=r是平面ABD的法向量，则0{0mABmAD==，即11111340{330xyxyz−=++=，可取()4,3,5m=−.设()222,,nxyz=r是平面ACD的法向量，则0{0nACnAD==，即222260{330

xxyz=++=，可取()0,3,1n=−于是1475cos,255010mnmnmn−===−，设二面角的大小为，295sin25=.因此二面角BDAC−−的正弦值是29525.21．(1)如图所示，连结11,AEBE，等边1AA

C△中，AEEC=，则1AEAC⊥，平面ABC⊥平面11AACC，且平面ABC∩平面11AACCAC=，由面面垂直的性质定理可得：1AE⊥平面ABC，故1AEBC⊥，由三棱柱的性质可知11ABAB∥，

而ABBC⊥，故11ABBC⊥，且1111ABAEA=，由线面垂直的判定定理可得：BC⊥平面11ABE，结合EF⊆平面11ABE，故EFBC⊥.(2)在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH,EC,1E

A方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系Exyz−.(3)设1EH=，则3AEEC==，1123AACA==,3,3BCAB==，据此可得：()()()1330,3,0,,,0,0,0,3,0,3,022ABAC−，由11ABAB=可得点1B的坐

标为133,3,322B，利用中点坐标公式可得：33,3,344F，由于()0,0,0E，故直线EF的方向向量为：33,3,344EF=设平面1ABC的法向量为(),,mxyz

=，则：()()13333,,,,33022223333,,,,002222mABxyzxyzmBCxyzxy=−=+−==−=−+=，据此可得平面1ABC的一个法向量为()1,3,1m=，33,

3,344EF=此时64cos,53552EFmEFmEFm===，设直线EF与平面1ABC所成角为，则43sincos,,cos55EFm===.22.(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，则PA⊥CD，由题意

可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz−，()()()()0,0,0,0,0,2,2

,2,0,0,2,0APCD，由13PFPC=可得点F的坐标224,,333F，由12PEPD=可得()0,1,1E，设平面AEF的法向量为：(),,mxyz=，则()()()224224,,,,0333333,,0,1,10mAFx

yzxyzmAExyzyz==++===+=，据此可得平面AEF的一个法向量为：()1,1,1m=−，很明显平面AEP的一个法向量为()1,0,0n=r，13cos,331mnmnmn===，二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二

面角F-AE-P的余弦值为33.(Ⅲ)易知()()0,0,2,2,1,0PB−，由23PGPB=可得422,,333G−，则422,,333AG=−，注意到平面AEF的一个法向量为：()1,1,1m=−，其0mAG=且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AE

F内.