【文档说明】北京市石景山区2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷 Word版含解析.docx，共(16)页，2.169 MB，由小赞的店铺上传

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石景山区2023—2024学年第一学期高二期末试卷数学第一部分一､选择题共10小题，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为()A.3B.3−C.33D.33−【答案】A【解析】【详解】因为直线的倾斜角为60，所以直线的斜率tan603k==，

故选A.2.直线21yx=+关于x轴对称的直线方程为（）A.112yx=−B.112yx=+C.21yx=−+D.21yx=−−【答案】D【解析】【分析】根据两直线斜率之间的关系，以及所求直线过已知直线与x轴交于点可得.【详解】直线21yx=+的斜率为2，与x轴交于点1,02−，则与2

1yx=+关于x轴对称的直线斜率为2−，并过点1,02−，所以，所求方程为1022yx−=−+，即21yx=−−.故选：D3.已知，是两个不同的平面，直线m满足m，则“∥”是“m∥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C

.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件定义判断．【详解】充分性：根据面面平行的定义知充分性成立；必要性：设n=，当mn∥，且m，m，此时m∥，但是与相交，故必要性不成立．故选

：A．4.已知双曲线()222104xybb−=的离心率是2，则b=（）A.12B.23C.3D.32【答案】B【解析】【分析】根据双曲线离心率公式即可求出结果.【详解】由题意可得222222424ccabbeaaa++=====，解得

b=23，故选：B5.用0,1,2,3,4可以组成无重复数字的两位数的个数为（）A.25B.20C.16D.15【答案】C【解析】【分析】利用间接法，结合排列数公式，即可求解.【详解】从0,1,2,3,4中任选两个数字，组成两位数的个

数有25A20=个，其中数字0排首位的有4个，所以满足条件的两位数有20416−=个.故选：C6.在空间直角坐标系Oxyz−中，点()()1,2,1,1,2,1AB−−，则（）A.直线AB坐标平面xOyB.直线AB⊥坐标平面xOyC.直线AB坐标平面xOzD.直线AB⊥坐标平面xOz【答

案】C.【解析】【分析】首先求向量AB的坐标，再判断向量AB与坐标平面的法向量的关系，即可判断选项.【详解】由题意可知，()2,0,2AB=−−，平面xOy的法向量为()0,0,1m=，因为ABm，且0ABm所以

AB与m既不平行也不垂直，所以直线AB与坐标平面xOy既不平行也不垂直，故AB错误；坐标平面xOz的法向量为()0,1,0n=，0ABn=，所以ABn⊥，且AB平面xOz，故C正确，D错误.故选：C7.已知直线1:370lxy+−=，直线2:20lkxy−−=.若12ll⊥

，则实数k=（）A.3−B.13−C.13D.3【答案】D【解析】【分析】代入两直线垂直的公式12120AABB+=，即可求解.【详解】因为12ll⊥，所以()1310k+−=，得3k=.故选：D8.棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，P是1BC中点，则异面直线PD与

1AB所成角的余弦值是（）A.36B.26C.33D.23【答案】A【解析】【分析】11AC的中点为O，有1//POAB，余弦定理求cosDPO即可；或建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成的角.【详解

】解法一：连接11AC，取11AC的中点O，连接,PODO，如图所示，,OP分别是111,ACBC的中点，1//POAB，则DPO是异面直线PD与1AB所成角或其补角.正方体棱长为2，面对角线长为22，由正方体

的结构可知，RtDCP△中，2DC=，2PC=，则226DPDCPC=+=，同理6DO=，在DPO中，6DODP==，1122OPAB==，由余弦定理可知2226263cos26262DPOPDODPODPOP+−+−===.所以异面直线

PD与1AB所成角的余弦值是36.解法二：以D为原点，1,,DADCDD的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()12,2,0,0,0,0,2,0,2,1,2,1BDAP，有()()10,2,2,1

,2,1ABDP=−=，11123cos,6226DPABDPABDPAB===，所以异面直线PD与1AB所成角的余弦值是36.故选：A.9.P为直线2ykx=−上一点，过P总能作圆221xy+=的切线，则k的最小值（）A.3B.33

C.33−D.3−【答案】D【解析】【分析】根据题意，得到直线2ykx=−与圆221xy+=相切或相离，结合直线与圆的位置关系，即可求解.【详解】由题意，点P为直线2ykx=−上一点，过P总能作圆221xy+=的切线，可得直线2ykx=−与圆221xy

+=相切或相离，则满足圆心到直线的距离2211dk−=+，解得23k，即33k−，所以k的最小值为3−.故选：D.10.庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“

五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面ABCD是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则（）．A.ABBCEF=+B.2BCABEF=+C.2EFABBC=+D.2ABBCEF=−【答案】A【解析】【分析】设点E在底面ABCD上的射影为G，作GM

BC⊥，GNAB⊥，垂足分别为M，N，设四个侧面与底面的夹角为，即可得到EMGENG==，根据三角形全等得到方程，整理即可.【详解】如图所示，设点E在底面ABCD上的射影为G，作GMBC⊥，GNAB⊥，垂足分别为M

，N．则EMG为侧面EBC与底面ABCD的夹角，ENG为侧面EBAF与底面ABCD的夹角，设四个侧面与底面的夹角为，则在RtEMG和RtENG△中，EMGENG==，又GE为公共边，所以GNGM=，即22ABEFBC−=，整理得ABBCEF=+．故选：

A第二部分二､填空题共5小题．11.在()42x−的展开式中，3x的系数为_________．【答案】8−【解析】【分析】利用二项展开式求通项，再求对应项的系数即可.【详解】设()42x−展开式中通项为：()414C2,kkkkTx−+=

−令3k=，则()3343344C28Txx−=−=−.故答案为：8−12.直线1:210lxy−+=与直线2:210lxy−−=之间的距离为__________.【答案】255【解析】【分析】代入平行线间的距离公式，即可求解.【详解】直线12ll//，则1l与2l之间的距离()(

)221125521d−−==+−.故答案为：25513.已知圆22240xyxay++−−=的半径为3，则a的值为__________.【答案】4【解析】【分析】首先将圆的一般方程，写成标准方程，再利用半径为3

，即可求解.【详解】圆的一般方程写成标准方程为()2221524aaxy++−=+，由圆的半径为3可知，2594a+=，得4a=.故答案为：414.方程2222(3)(3)10xyxy

−++++=表示的曲线是__________，其标准方程是__________.【答案】①.椭圆②.2212516xy+=【解析】【分析】根据椭圆的定义即可得解.【详解】方程2222(3)(3)10xyx

y−++++=，表示点(),Pxy到()()3,0,3,0AB−两点的距离之和等于10，而106，所以方程2222(3)(3)10xyxy−++++=表示的曲线是椭圆，且长轴长210a=，焦距26c=，所以5,3ac==，所以半短轴长224bac=−=，所以其标准

方程为2212516xy+=.故答案为：椭圆；2212516xy+=.15.如图，在正四棱柱1111ABCDABCD−中，12,4,ABAAE==为棱1CC上的一个动点，给出下列四个结论：①11ABBE⊥；②三棱锥11EBBD−的体积为定值；③存在点E，使得AC平面1BDE；④存在点

E，使得1BD⊥平面1BDE.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②③【解析】【分析】以D为原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及空间向量的应用，逐项判定，即可求解.【详解】以D为原点，1,,DADCDD所在的直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐

标系，如图所示，则1111(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,4),(2,2,4),(0,2,4),(0,0,4)ABCABCD，设(0,2,),0,4Eaa，则11(0,2,0),(2,0,)ABBEa==−，因为110ABBE=，所

以11ABBE⊥，即11ABBE⊥，所以①正确；由1111EBBDDBBEVV−−=，因为1BBE的面积为定值，点1D到平面1BBE的距离也是定值，所以11EBBDV−为定值，所以②正确；又由1(2,0,),(2,2,4)BEaBD=−=−−设平面1BDE的法向量为(,,)

nxyz=，则1202240nBExaznBDxyz=−+==−−+=，取xa=，可得4,2yaz=−−=，所以(,4,2)naa=−，因为(2,2,0)=−AC，由2820ACnaa=−+−=，解得2a=，所以③正确；又因为1(2,2,4)DB=，1(2,2,

4)DB=−，则1180DBDB=−，所以不存在点E，使得1BD⊥平面1BDE，所以④错误.故选：①②③.三､解答题共5小题，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.菱形ABCD的顶点,AC的坐标分别为()()4,7,6,5,ACBC−−边所在直线过点()4,1P−.（

1）求,BCAD边所在直线的方程；（2）求对角线BD所在直线的方程.【答案】16.BC所在直线方程为270xy+−=，AD所在直线方程为210xy++=17.5610xy−+=【解析】【分析】（1）求出2ADBCCPkkk===−，

由点斜式求出直线方程；（2）求出AC的中点坐标，再根据垂直关系得到56BDk=，利用点斜式写出直线方程，得到答案.【小问1详解】由菱形的性质可知BCAD，则15246ADBCCPkkk−+====−−.所以BC边所在直线的方程为()526yx+=−−，即270xy+−=；AD边所在

直线的方程为()724yx−=−+，即210xy++=.【小问2详解】线段AC的中点为()7561,1,465ACEk+==−−−，由菱形的几何性质可知，BDAC⊥且E为BD的中点，则156BDACkk=−=，所以对角线BD所在直线的方程为()5116yx−=−，即5610xy

−+=.17.如图正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，E是棱11BC的中点，过1ADE的平面与棱1BB相交于点F.（1）求证：F是1BB的中点；（2）求点D到平面1ADE的距离.【答案】（1）证明过程见解

析（2）43【解析】【分析】（1）作出辅助线，由面面平行的性质得到线线平行，进而得到1//EFBC，结合E是棱11BC的中点，得到结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面1ADE的法向量，根据空间向量求解出点到平面的距离.【小问1详解】连接1BC，因为平面11//ADDA平

面11BCCB，平面1ADEF平面111ADDAAD=，平面1ADEF平面11BCCBEF=，所以1//ADEF，又1111,//ABCDABCD=，所以四边形11ABCD为平行四边形，故11//ADBC，

故1//EFBC，又E是棱11BC的中点，所以F是1BB的中点.【小问2详解】以D为坐标原点，1,,DADCDD所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,1,2,2DADE，设平面1ADE的法向量

为(),,mxyz=，则()()()()1,,2,0,2220,,1,2,2220mADxyzxzmAExyzxyz=−=−+==−=−++=，令1x=，得11,2zy==−，故11,,12m=

−，点D到平面1ADE的距离为()12,0,01,,12242331114DAmdm−====++.18.已知抛物线2:2(0)Cypxp=，其准线方程为=1x−.（1）求抛物

线C的方程；（2）直线:1lyx=−与抛物线C交于不同的两点,AB，求以线段AB为直径的圆的方程.【答案】（1）24yx=（2）22(3)(2)16xy−+−=【解析】【分析】（1）根据准线方程，确定p，即可求抛物线

方程；（2）首先直线与抛物线方程联立，利用韦达定理求中点坐标以及弦长，即可求解圆的方程.【小问1详解】由题意知12p−=−，所以2p=.所以抛物线C的方程为24yx=.【小问2详解】联立24,1yxyx==

−，得2440yy−−=，其中320=，设()()1122,,,AxyBxy，线段AB的中点为()00,Dxy.则12124,4yyyy+==−，所以120002,132yyyxy+===+=.()()()22212121212248ABxxyyyyyy=−+−=+−=，所以以线

段AB为直径的圆的圆心为()3,2，半径为4，所以以线段AB为直径的圆的方程为22(3)(2)16xy−+−=.19.如图，在四棱锥PABCD−中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，,EF分别为,ABPD的中点.（1）求证：EF平面PBC；（2

）若23,4ADPD==，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知．求二面角EFCD−−的大小.条件①：PBPC=；条件②：DEPC⊥注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）取PC中点M，证得//

,BEMFBEMF=，得到四边形BEMF为平行四边形，证得//EFBM，结合线面平行的判定定理，即可证得//EF平面PBC.（2）选择条件①：根据题意，证得DEDC⊥，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平

面FCD和平面EFC的法向量()11,0,0n=和()22,3,3n=，结合向量的夹角公式，即可求解；选择条件②：以D为原点，连接BD，求得3DE=，分别求得平面FCD和平面EFC的法向量()11,0,0n=和()22,3,3n=，结合向量的夹

角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取PC中点M，连接,FMBM，在PCD中，,MF分别为,PCPD的中点，所以//MFDC且12MFDC=，在菱形ABCD中，因//ABDC且12BEDC=，所以//,BEMFBEM

F=,所以四边形BEMF为平行四边形，所以//EFBM，又因EF平面PBC，且BM平面PBC，所以//EF平面PBC.【小问2详解】解：选择条件①：因为PD⊥平面ABCD，,,DBDCDE平面ABCD，所以,,PD

DBPDDCPDDE⊥⊥⊥连接BD，因为222222,PBPDBDPCPDDC=+=+，且PBPC=，所以BDDC=，在菱形ABCD中，ABBDAD==，即ADB为正三角形，又因为E为AB中点，所以DEDC⊥，.为为.以D为原点，,,DEDCDP

所在的直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系Dxyz−，如图所示，因为//ABDC且DEAB⊥.又因为ADB为正三角形且23AD=，所以3DE=，则()()()0,0,2,3,0,0,0,23,0FEC，则()()3,0,2,3,23,0EFEC=−=−，由DE⊥平面F

CD，可得平面FCD的法向量为()11,0,0n=，设平面EFC的法向量为()2,,nxyz=，则223203230nEFxznECxy=−+==−+=，取2x=，可得3,3yz==，所以()22,3,3n=，所

以12121221cos,216nnnnnn===，所以二面角EFCD−−的大小为60.选择条件②：因为PD⊥平面ABCD，且,DEDC平面ABCD，所以,PDDEPDDC⊥⊥.又因为,DEPCPDPCP⊥=，且,PDPC平面PCD，所以DE⊥平面PCD，因

为DC平面PCD，所以DEDC⊥，以D为原点，,,DEDCDP所在的直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系Dxyz−，连接BD，因为//ABDC且DEAB⊥，又因为又E为AB中点，所以ADDB=，所

以ADB为正三角形且23AD=，所以3DE=，则()()()0,0,2,3,0,0,0,23,0FEC，则()()3,0,2,3,23,0EFEC=−=−，由DE⊥平面FCD，可得平面FCD的法向量为()11,0,0n

=，设平面EFC的法向量为()2,,nxyz=，则223203230nEFxznECxy=−+==−+=，取2x=，可得3,3yz==，所以()22,3,3n=，所以12121221cos,216nnnnnn===，所以二面角EFC

D−−的大小为60.20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=过点()6,0A，且离心率63e=.（1）求椭圆C的方程；（2）F为椭圆C的右焦点，P为直线3x=上一点，过点F作PF的垂线l交椭圆C于,MN两点，连接OP与MN交于点H（

O为坐标原点）.求MHHN的值.【答案】（1）22162xy+=（2）1【解析】【分析】（1）首先将条件转化为关于,,abc的方程，即可求解；（2）首先讨论0m=时的特殊情况，再讨论当0m时，再求直线l的方程，与椭圆方程联立，

写出韦达定理，再让直线OP与直线l联立方程，求点H的坐标，即可判断点H与点,MN的关系，即可求解.【小问1详解】由题意可得222663aceaabc====+，解得226cba===，椭圆C的方程为22162xy+=.【小问2详解】设()()3,,2

,0PmF则直线PF的斜率为032PFmkm−==−，（i）当0m=时，则直线l与x轴垂直，点H即为点F，则1MHHN=；（ii）当0m时，则直线l的斜率为1lkm=−，则直线l的方程()12yxm=−−，联立方程()2212162yxmxy=−−+

=，消去y得：()2223121260mxxm+−+−=，显然Δ0，设()()1122,,,MxyNxy，则212122212126,33mxxxxmm−+==++.直线OP的方程为3myx=，联立方程()123yxmmyx=−−=，解得263Hxm

=+，因为122Hxxx+=，所以点H为线段MN的中点，则1MHHN=；综上所述：1MHHN=.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,xyxy；（2）联立直线与圆锥

曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、12xx（或12yy+、12yy）的形式；（5）代入韦达定理求解.