【文档说明】安徽省安庆市外国语学校2020-2021学年高二下学期期中复习试卷数学试题1 含答案.docx，共(26)页，1.419 MB，由小赞的店铺上传

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安庆市外国语学校2020-2021学年度高中数学期中考试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．已知函数()fx是定义在R上的偶函数，当0x时，()()'0fxxfx+，

若()20f=，则不等式()0xfx的解集为（）A．()()2,00,2−B．()(),22,−−+C．()()2,02,−+D．()(),20,2−−2．已知0x=是函数()(tan)fxxaxx=−的极大值点，则a的取值范围是（）A．(,1)−

−B．(,1]−C．[0,)+D．[1,)+3．已知na为等差数列，且213ln2aaa=+，则（）A．12aa且34aaB．12aa且34aaC．12aa且34aaD．12aa且34aa4．动直线y＝x+n与椭圆224+=xy1有两个不同的交

点A，B，在椭圆上找一点C使△ABC的面积S最大，则S的最大值是（）A．1B．2C．33D．3325．如图所示，等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是AC，AB上的点，满足//DEBC，将ADE沿直线DE折到FDEV，则在翻折过程中，下列说法正确的个数是（）①239FBCDEV−；②GFE

，使得//BG平面FCD；③若存在平面FBC⊥平面FDE，则ADDCA．0B．1C．2D．36．若函数()fx在定义域R上可导，且()cosfxx，则关于x的不等式()3sin36fxfxx

−+−的解集为（）A．,3−B．,6−C．,3+D．,6+7．设x表示不超过x的最大整数，若()1ln3xfxex=−的最小值为M，则M=（）A．1−B

．0C．1D．28．已知函数()()xfxxkek=−+，kZ，()gxxlnxx=−，若1(0,)x+，2(0,)x+，不等式21()5()0fxgx−成立，则k的最大值为()A．4B．3C．2D．19．设函数()xefxx=，若关于x的不等式2[()

]()0()fxafxaR−有且仅有两个整数解1x，2x，则12xx+=（）A．3B．4C．5D．610．若函数222,0()ln,0xxxfxmxxxx+−=+恰有三个极值点，则m的取值范围是（）A．11,3−−

B．11,2−−C．11,23−−D．1,02−11．已知a，bR，xeaxb+对任意的xR恒成立，则ab的最大值为（）A．1eB．1C．2D．2e12．若函数()21ln2fx

xaxbx=−+在区间()1,2上有两个极值点，则b的可能取值为（）A．3B．4C．5D．6第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．已知函数()3222,1,1xxfxxaxax+−−=−+−，若函数()1yfxa=−+恰有2个零点，则实数

a的取值范围是______.14．已知2034mxdx=，且xy、满足021xyxyx+，则22xyzmxy+=+的取值范围是_____.15．函数()fx满足()()11fxfx+=−，当1x时，()lnxf

xx=，若()()2240fxmfxm−+=有8个不同的实数解，则实数m的取值范围是______.16．已知正三棱柱111ABCABC−的外接球表面积为40，则正三棱柱111ABCABC−的所有棱长之和的最大值为______．三、解答题17．设函数()()21xfxxea

x=−+，aR.（1）当1a=时，求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；（2）设函数()ln1xgxxxe=+−+，当0a=时，证明()()0fxgx−.18．已知函数()()2=ln20.fxaxax+−（1）若曲线()=yfx

在点()()11Pf，处的切线与直线2yx=+垂直，求函数()=yfx的单调区间；（2）若对于()0,x+都有()()21fxa−成立，试求a的取值范围；（3）记()()()gxfxxbbR=+−，当1a=时，函数(

)gx在区间1,ee−上有两个零点，求实数b的取值范围．19．已知()2lnaefxxx+−=+（其中0a，e是自然对数的底数）.（1）当2a=时，求函数()fx的单调区间；（2）若不等式()fxa对

于0x恒成立，求实数a的取值范围.20．已知函数f（x）＝x+2﹣2cosx（1）求函数f（x）在[2−，2]上的最值：（2）若存在x∈（0，2）使不等式f（x）≤ax成立，求实数a的取值范围21．已知函数()1xfxe−=，()lngxx=.（1）若曲线()yfx=在1x=处的切

线方程为ykxb=+，且存在实数t使得()ykxtb=++与曲线()ygx=相切，求t的值；（2）设函数()()()()111xafxgxga=+−++−.①若()0x恒成立，求a的取值范围；②若函数()x仅有两个不同的零点，求a的取值范围.22．已知

函数121()22xfxaexx−=−+，aR.（1）若()fx在1x=处的切线与直线3y=−平行，求a的值及()fx的单调区间；（2）当210ae−时，求证：()fx在定义域内有且只有两个极值点.参考答案1．D【解析】设()()gxxfx=，则()()()()gxxf

xxfxgx−=−−=−=−，∴()gx是奇函数，又0x时，'()()'()0gxfxxfx=+，因此此时()gx是减函数，于是在0x时，()gx也是减函数，由(2)0f=，得(2)0f−=，∴()0gx的解集为(,2)(0,2)−−，故选D．点睛：构造新函数是导数的一个典型应用

，难点是构造的新函数的形式，在解题中常常有这些构造法：()()gxxfx=，()()fxgxx=，()()xgxefx=，()()xfxgxe=等等，平常学习中要注意总结．2．B【详解】令()tangxaxx=−,则(())fxxgx=,21()cos

g'xax=−当1a,(,)22x−时,'()0gx,()gx单调递减.∴(,0)2x−时,()(0)0gxg=,()()0fxxgx=,且()()()>0fxxg'xgx=+∴()0f'x,即()fx在(,0)2−上单调递增.(0,)2x时()(0

)0gxg=,()()0fxxgx=,且()()+()<0f'x=xg'xgx∴()0f'x,即()fx在(0,)2上单调递减∴0x=是函数()fx的极大值点.∴1a满足题意;当1a时,存在(0,)2t使得1c

osta=,即'()0gt=.又21()cosg'xax=−在(0,)2上单调递减.∴,()0xt时,()(0)0gxg=所以()()0fxxgx=,这与0x=是函数()fx的极大值点矛盾.综上，1a.故选:B.【点睛】本题考查了极值点的涵义,考查了运用导数求极值点.

本题的难点在于,将()fx写成(())fxxgx=的形式,通过探究(),'()gxgx的增减性以及和零的大小关系,从而判断()fx在0左右两侧的增减性问题.对于极值点问题易错点有两个,一是极值点为0xx=的形式,不是一个点;二是,知关注到了导数为0,忽略了极值点除了导数为0以外,还得

满足极值点的左右两侧函数的增减性相反.3．C【详解】设公差为d，由213ln2aaa=+，得20a，且2123ln23aaaad=+=−.方程ln3xxd=−在()0,+有根，等价于函数lnyx=的图象与直线3yxd=−有公共点.当直线3yxd=−与lnyx=相切时，设切点为(

)00,lnxx.由lnyx=得'1yx=，0001113,,lnlnln333xxx====−，即切点为31,ln3−，代入直线3yxd=−，得13,1lnln333dd=−−+=.此时2121212,ln3,33aaadaa==−=−+.当直线3y

xd=−向右平移与函数lnyx=的图象相交时，1ln3d+.函数lnyx=的图象与直线3yxd=−有公共点时，1ln30d+.na为递增等差数列，432340,aaaaa.故选：C.【点睛

】本题考查数列的单调性，考查等价转化的数学思想，属于较难的题目.4．D【详解】设1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，联立2214yxnxy=++=，得2258440xnxn++−=，△2226420(44)80160nnn=−−=−，得55n−．

1285nxx+=−，212445nxx−=，22212644(44)42||2||252555nnABxxn−=−=−=−，当过C点直线与动直线平行且与椭圆只有一个交点时，C点到动直线距离取

到最值（最大或最小），不妨设过C点直线方程为yxb=+，联立2214yxbxy=++=，整理得2258440xbxb++−=，则根据△226420(44)0bb=−−=，可得5b=，不妨取5b=，则C到直线AB的距离|5|2nd−=，221142|5|2||55(5)22552ABCn

SdABnnn−==−=−−，令5nt−=，(0,25)t，则5nt=−．243225(5)2555ABCStttt=−−=−+．令43()25gttt=−+，则322()465(465)

gttttt=−+=−−．当35(0,)2t时，()0gt，当35(2t，25)时，()0gt，35675()()216maxgtg==．ABCS的最大值为2675335162=．故选：D．【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，利用导数求最值，考查计算能力，属难题．5．

C【详解】①可知当平面FDE⊥平面BCDE时，四棱锥FBCDE−的体积最大，设()02DExx=，则2DCx=−，则等腰梯形BCDE的高为()22232322xxx−−−=−，故梯形BCDE的面积为()2133233224BCDESxxx=+−=−，点F到平面BC

DE的距离即F到DE的距离为32x，四棱锥FBCDE−的体积2313311334282Vxxxx=−=−+，02x，则2313232382833Vxxx=−+=−+−，当2

30,3x时，0V，当23,23x时，0V，当233x=时，V取得最大值为239，故239FBCDEV−，故①正确；②如图，在EF上任取一点G，过G作//GHDE，交FD于H，连接,BGCH，//DEBC，且DEBC

，又//GHDE，且GHDE，//GHBC，且GHBC，故四边形BCHG为梯形，BG与CH相交，CHQ平面FCD，故BG与平面FCD相交，故②错误；③如图，取BC中点M，DE中点N，连接FM，FN，连接MN并延长至A，设平面FBC平面FDEl=，则由//DEBC可得//DE平面FB

C，则//DEl,即////GEBCl，FDFE=，FNDE⊥，FNl⊥，FCFB=，FMBC⊥，FMl⊥，则MFN即为平面FBC与平面FDE所成角，平面FBC⊥平面FDE，90MFN=，FNMN，ANFN=,ANMN

，ADANDCMN=，ADDC，故③正确.故选：C.【点睛】本题考查立体几何的综合问题，属于较难题.6．B【详解】令()()3sin36Fxfxfxx=−−−−，'''

()()3cos36Fxfxfxx=+−−−，()cosfxx，'33()coscos()3cos(coscos)(sinsin)03622Fxxxxxxxx+−−−=−+−=，()Fx在R上

单调递减，且()()3sin066666Fff=−−−=，,6x−时，()0Fx，故选：B.【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性、解抽象不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意函数的

构造是解题的关键.7．B【详解】由()1ln3xfxex=−得()113xfxex=−,()fx在()0,+上为增函数,且()11103fe=−,33223121202333fee=−=−.所以存在031,2x

,使得()00fx=,所以00113xex=,易得()fx在()00,x上是减函数,()0,x+上是增函数,所以()0000011lnln3xMfxexxx==−=−.设()1lngxxx

=−,则()gx在31,2上是减函数,且()11g=,323ln0232g=−.所以01M,0M=.故选：B【点睛】本题主要考查了函数新定义与求导分析函数的最值以及隐零点的问题,同时也考查了零点存在性定理的运用.属于

中档题.8．B【详解】解：若1(0,)x+，2(0,)x+，不等式21()5()0fxgx−成立，则()5()minminfxgx，()(0)gxxlnxxx=−，则()gxlnx=，令()0gx，解得：1x，令()0gx，解得：0

1x，故()gx在(0,1)递减，在(1,)+递增，故()()11mingxg==−，而()(1)xfxxke=−+，①10k−„即1k„时，10xk−+，()0fx，()fx在(0,)+递增，

()(0)0fxf=，()5()minminfxgx成立，②10k−，即1k时，令()0fx，解得：1xk−，令()0fx，解得：01xk−，故()fx在(0,1)k−递减，在(1,)k−+

递增，故1()(1)kminfxfkke−=−=−，故只需15kke−−−，即150kek−−−，令1()5(0)xhxexx−=−−，则1()1xhxe−=−，令()0hx，解得：1x，令()0

hx，解得：01x，故()hx在(0,1)递减，在(1,)+递增，()()15hxh=−…，()22570hee=−−=−，()2380he=−，()3490he=−，故满足150kek−−−的k的最大值是3，故选：B．【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查转化思想，属

于中档题．9．C【详解】由()()20fxafx−得：()()0fxfxa−，由题意得：()fx的定义域为0xx，()()22222222xxxxeeefxxxx−==−，当2x时，()0fx；当0x和02x时，()0fx

，()fx在()(),0,0,2−上单调递减，在()2,+上单调递增，当(),0x−时，()0fx，此时由()()0fxfxa−得：()fxa，若0a，则()fxa无解；若0a

，则()fxa不只有两个整数解，()0fx不合题意；当()0,x+时，()0fx，由()()0fxfxa−得：()0fxa，()fx在()0,2上单调递减，在()2,+上单调递增，()()min22efxf==，当0a时，则()fxa

无解，则0a，()2efxa，又()1fe=，()333ef=，()()13ff，不等式的两个整数解为12x=，23x=，125xx+=.故选：C.【点睛】本题考查与不等式整数解的求解问题，关键是能够利用导数

确定函数的单调性，由此得到函数的最值，通过整数解的个数确定最终的整数解，属于较难题.10．D【详解】解：由题意可知21,0()2ln+1,0xxfxmxxx+=+，可知当0x时函数有一个极值点，

故当0x时有两个极值点，由()0fx=得2ln10mxx++=，ln12xmx+−=，令ln1()xgxx+=，则()gx与直线2ym=−有两个公共点，2ln()xgxx−=，函数()gx在(0,1)单调递增，在(1,)+单调递减，()gx图像如图所

示，max()(1)1gxg==，故021m−，即102m−，故选：D.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明

常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．11．D【详解】若0a，则yaxb=+单调递减，xye=单调递增，不能满足且xeaxb+…对xR恒成立，故而0a…．若0a=，则0ab=．若0a，由xeaxb+…得xbeax−„，则2xabaeax−„．设函数2()xfxaeax=

−，2()()xxfxaeaaea=−=−，令()0fx=得0xea−=，解得xlna=，当xlna时，()0fx，函数()fx递减；当xlna时，()0fx，函数()fx递增；当xlna=时，函数()fx取最小值，()f

x的最小值为22()flnaaalna=−．设g()a22(0)aalnaa=−，g()a(12)(0)alnaa=−，由g()a0=得ae=，当0ae时，g()a0，当ae时，g()a0．当ae=时，()ge取得最大值1()22eg

eee=−=．ab的最大值为2e．故选：D．【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()afx恒成立(()maxafx即可)或()afx恒成立（()minafx即可）；②数形结合(()yfx=图象在()ygx=上方即可)；③讨论最值()min0

fx或()max0fx恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.12．A【详解】()2=bxaxbfxxaxx−+−+=,函数()21ln2fxxaxbx=−+在区间()1,2

上有两个极值点,即方程20xaxb−+=在()1,2内有两个不等实数根.所以2=4012210420abaabab−−+−+以为b纵坐标，a为横坐标画出不等式满足的平面区域.曲线214ba=与直线1ba=−相切于点

(2,1)，曲线214ba=与直线24ba=−相切于点(4,4).根据选项，则b的可能取值在选项中只能为3.故选：A.【点睛】本题考查极值存在的条件，考查线性规划解决问题，是导数的综合应用，属于难题.13．3321,2−【详解】

函数()1yfxa=−+恰有2个零点，可得()1fxa=−有两个不等实根，由32yxaxa=−+的导数为2'32yxax=−，当0a时，()23232xaxxxa−=−，当23ax或0x时，0y，当203ax时，0y，可得23ax=处取得极大值

，0x=取得极小值，且32yxaxa=−+过()1,1−−，()0,a，作出22yx=+−，1x−，32yxaxa=−+，1x−的图象，以及直线1ya=−，如图，此时()fx与1ya=−有两个交点,只需满足21a

a−−，即1a−，又0a，所以10a−，当0a时，32yxaxa=−+在23ax=处取得极小值3427aa−，0x=取得极大值a，如图，只需满足34127aaa−−，解得3322a，又0a，所

以33202a时，()fx与1ya=−有两个交点，当0a=时，显然()fx与1y=−有两个交点，满足题意，综上可得a的范围是3321,2−，故答案为：3321,2−.【点睛】本题考查分段函数的图象和

性质，考查导数的运用：求单调性和极值，考查图象变换，属于难题．14．21,2−【详解】2034mxdx=，233122220033212224432mxdxx=====，由约束条件021xyxyx+作出可行域如图

，设()()1,1,,APxy为可行域内的一动点，向量,OAOP→→的夹角为，22,2,OAOPxyOAOPxy→→→→=+==+，22cos2OAOPxyzxyOAOP→→→→+===+，当P点运动到线段OC时，有最小值4，当P点运动到线段OB时，有最大值，且线段OC为

实线，线段OB为虚线，421cos2−即212z−故答案为：21,2−【点睛】本题考查了线性规划的应用，已知约束条件求目标函数的范围，关键是目标函数转化为向量的数量积，属于较难题.15．()24,22ee−【详解】当1x时，()ln

xfxx=，()2ln1lnxfxx−=.当1xe时，()0fx，此时函数()yfx=单调递减；当xe时，()0fx，此时函数()yfx=单调递增.所以，函数()yfx=在xe=处取得极

小值()fee=，又()()11fxfx+=−，则函数()yfx=的图象关于直线1x=对称，令()tfx=，作出函数()tfx=的图象如下图所示：由于关于x的方程()()2240fxmfxm−+=有8个不同的实数解，则关于t的二次方程2240tmtm−+=有两个大于e的

实数根，由二次方程根的分布可得224160240mmmeemem=−−+，解得()2422eme−.综上所述，实数m的取值范围是()24,22ee−.故答案为：()24,22ee−.【点睛】本题考查利用方程根的个

数求参数，考查了导数的应用以及一元二次方程根的分布，考查数形结合思想的应用，属于较难题.16．1210【详解】设正三棱柱上下底面中心分别为1,HH，连1HH，取1HH中点O为正三棱柱外接球的球心，连OA为外

接球的半径，如图，2440OA=，10OA=设正三棱柱111ABCABC−的底面边长为x，233323AHxx==，在RtAOH中，2221103OHOAAHx=−=−，2112103HHx=−三棱柱111ABCABC−的所有棱长之和为216610(030)3l

xxx=+−.26(1),(030)13103xlxx=−−，令0l=，解得3102x=，当31002x时，0l，当310302x时，0l，所以3102x=是函数在定义域内有唯一极大值点

，故当3102x=时，216610(030)3lxxx=+−有最大值1210.故答案为:1210.【点睛】关键点点睛：本题考查多面体与球的“接”“切”问题，根据球的性质确定球心是解题的关键，写出棱长之和的函数关系式，求最值是难点，利用导数求最值是解题的关键，属于难题.17．【详解】（1）当1a

=时，函数()()21xfxxex=−+，则()2xfxxex=+，∴()12fe=+，又()11f=，则所求的切线方程为()()121yex−=+−，∴整理：()21yexe=+−−.（2）证明：

当0a=时，()()()1ln1ln1xxxfxgxxeexxxexx−=−+−−−=−−−.设()eln1xhxxxx=−−−，其定义域为()0,+?，则证明()0hx即可.∵()()11xxhxxex+=+−，有13(1)022

eh=−，()10h.又()()2120xhxxex=++，函数()hx在()0,+?上单调递增.∴()0hx=有唯一的实根01,12x，且001x

ex=.当00xx时，()0hx；当0xx时，()0hx，故函数()hx的最小值为()0hx.∴()()0000000ln1110xhxhxxexxxx=−−−=+−−=.故()()0fxgx−得证.【点睛】思

路点睛：1、构造函数：()()()ln1xhxfxgxxexx=−=−−−.2、问题转化：()()0fxgx−即()0hx在定义域内恒成立即可.3、讨论单调性：根据()hx与0的大小关系确定()hx区间单调性.4、求最值：由函数()hx单调性确定最值，并确认()m

in()0hxhx=是否成立即可.18．【详解】解析：（1）直线2yx=+的斜率为1．函数()fx的定义域为()0,+，因为22()afxxx=−+，所以22(1)111af=−+=−，所以1a=．所以2()ln2fxxx=+−．22()xfxx−=．由()0fx解得2x；

由()0fx解得02x．所以()fx的单调增区间是(2,)+，单调减区间是(0,2)．（2）2222()aaxfxxxx−=−+=，由()0fx解得2xa；由()0fx解得20xa．所以()fx在区间2,a+

上单调递增，在区间20,a上单调递减．所以当2xa=时，函数()fx取得最小值，min2yfa=．因为对于(0,)x+都有()2(1)fxa−成立，所以22(1)faa−即可．则22ln22(1)2aaaa+−−．由2lnaaa解得20a

e．所以a的取值范围是20,e．（3）依题得2()ln2gxxxbx=++−−，则222()xxgxx+−=．由()0gx解得1x；由()0gx解得01x．所以函数()gx在区间(0,1)为减函数，在区间(1,)+为增函数．又因为函数()

gx在区间1,ee−上有两个零点，所以()10.()0.(1)0.gegeg−……解得211bee+−„．所以b的取值范围是21,1ee+−．【点睛】关键点点睛：解本题关键是问题的转化，不等式恒成立恒成

立可转化为求函数的最值，然后解相应的不等式求得参数范围．而零点个数总是可通过导数研究的函数的单调性，然后利用零点存在定理确定不等关系得出参数范围．19．【详解】（1）当2a=时，()lnefxxx=+，所以()221exefxxxx−=−=，由()0f

x′得，()0,xe，()0fx′得，(),xe+，所以函数()fx的减区间为()0,e，增区间为(),e+.（2）由题意()2lnaefxxax+−=+对于0x恒成立，即ln20xxaeax++−−等价于对于0x恒成立，设()

ln2gxxxaeax=++−−，则由()ln10gxxa=+−=得，1axe−=，当0<x<1ae−时,g′(x)<0,g(x)单调递减，当1ae−<x时,g′(x)>0,g(x)单调递增，所以()()()111min12aaagxgeaeaeae−−−=

=−++−−12aaee−=+−−，令()12xtxxee−=+−−，则由()110xtxe−=−=得1x=，0<x<1时,t′(x)>0,t(x)单调递增，1<x时,t′(x)<0,t(x)单调递减，所以()tx在1x=时取得极大值

.所以，当()0,1a，()gx的最小值()()()021120eeeetate−−−−==；当)1,a+，()gx的最小值()()1202ataaeet−=+−−=，得1,2a；综上，(0,2a.【点睛】本

题考点有利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立问题，考查导数的应用，不等式恒成立问题通常将问题进行转化，构造新函数利用导数求最值建立不等式可解，属于较难题.20．【详解】（1）f'（x）＝1+2sinx,当x22−，时,由f'（x）＜0得,26x−−

＜,由f'（x）＞0得,62x−＜,∴函数f（x）在[2−,6−）上单调递减,在（6−,2]上单调递增,∴f（x）min＝f（6−）＝236−−,f（x）max＝f（2）＝22+；（2）存在x∈（0,2）使不等式f（x）≤

ax成立,即x+2﹣2cosx＜ax成立,设g（x）＝f（x）﹣ax＝x+2﹣2cosx﹣ax,则g（0）＝0,g'（x）＝1+2sinx﹣a,当x∈（0,2）时,1+2sinx∈（1,3）,所以g'（x）∈（1﹣a,3﹣a）,由于1﹣a≥0即a≤1时,g'（x）＞0,则g

（x）＞g（0）＝0,即f（x）＞ax恒成立,不满足题意,故1﹣a＜0,即a＞1,此时g'（0）＝1﹣a＜0,因为g'（x）＝1+2sinx﹣a在（0,2）上单调递增,所以存在区间（0,t）⊆（0,2）,使x∈（0,t）时,g'（x）＜0,所以g（x）在（0,t）上单调递增,则当x

∈（0,t）时,g（x）＜g（0）＝0,即f（x）＜ax,所以实数a的取值范围是（1,+∞）．【点睛】本题主要考查了利用导数求解区间上的最值问题以及分参数的讨论证明函数的不等式问题,属于难题.21．【详解】（1）由题意知()1xfxe−=，()11f=，()11f=，因而曲线()yfx=在1x

=处的切线方程为yx=，故1k=，0b=，则()ykxtbxt=++=+.曲线()ygx=在点()00,xy处的切线方程为()0001lnyxxxx−=−，即001ln1yxxx=+−.令011x=，0ln1xt−=，得01x=，1t=−.（

2）①由已知得()()ln1ln1xxaexa=−++−，()1,x−+，0a.()0x恒成立，即()()()lnln110xxaeaexx+−+−+恒成立，即()()()lnln11xxaeaexx

++++恒成立.设()lnhttt=+，则()110htt=+，()ht单调递增，因而()11xaexx+−恒成立，即()11xxaxe+−恒成立.令()()11xxsxxe+=−，则()xxsxe=−，当()1,0x−时，()0sx，()sx单调递增，当

()0,x+时，()0sx，()sx单调递减，所以()()01sxs=，从而1a.②函数()x仅有两个不同的零点，即()0x=有两个不同的解，即()()()lnln11xxaeaexx+=+++有两个不同的解，根据①可知即

()11xaexx=+−有两个不同的解，即()11xxaxe+=−有两个不同的解.因为当()1,0x−时，()sx单调递增，当()0,x+时，()sx单调递减，()10s−=，当0x时()0sx，(0)1s=，x→+时，()0sx→，所以01a.【点睛】关键点点睛：已知函数零

点个数求参数取值范围的关键是会转化，先把函数有零点转化为方程有解，然后分离参数，构造函数，把方程有解问题转化为函数的最值问题，最后利用导数的知识进行求解即可.22．【详解】（1）()12xfxaex−=−+，()1210fa=−+=，所以1a=，当1a=时，()12xfxex−−=+为增

函数，在区间(),1−，()0fx，()fx减区间为(),1−；在区间()1,+，()0fx，()fx，区间增区间为()1,+（2）当210ae−时，即证：()120xfxaex−−+==有两个不同的根，即证12xxae−−=有两个不同的解，即证12xxae−−=

有两个不同的解，令()12xxhxe−−=，()13xxhxe−−=，()0hx=，得3x=，减区间为(),3−，增区间为()3,+，()()2min13hxhe−==当(),2x−时，()0fx，当()2,x+时，()0fx，所以当21

0ae−时，方程12xxae−−=有两个不同的解，即()fx在定义域内有且只有两个极值点.【点睛】本题考查导数的几何意义、极值点、方程的根与函数图象的交点关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理

能力、运算求解能力.