【文档说明】新人教版高中数学教材例题课后习题 选择性必修一 2-1 直线的倾斜角与斜率 Word版含解析.docx，共(13)页，641.170 KB，由小赞的店铺上传

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第二章直线和圆的方程2.1直线的倾斜角与斜率2.1.1倾斜角与斜率例1如图2.1-6，已知(3,2)A，(4,1)B−，(0,1)C−，求直线AB，BC，CA斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．图2.1-6解：直线AB的斜率121

437ABk−==−−；直线BC的斜率11210(4)42BCk−−−===−−−；直线CA的斜率2(1)31303CAk−−===−．由0ABk及0CAk可知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；由0BCk可知，直

线BC的倾斜角为钝角．练习1.已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率：（1）30=；（2）45a=o；（3）23=；（4）34=．【答案】（1）33（2）1（3）3−的（4）1−【解析】【分析】

（1）利用直线斜率与倾斜角的关系可求得直线的斜率；（2）利用直线斜率与倾斜角的关系可求得直线的斜率；（3）利用直线斜率与倾斜角的关系可求得直线的斜率；（4）利用直线斜率与倾斜角的关系可求得直线的斜率.【小

问1详解】解：直线的斜率为3tan303=.【小问2详解】解：直线的斜率为tan451=.【小问3详解】解：直线的斜率为2tan33=−.【小问4详解】解：直线的斜率为3tan14=−.2.已知下列直线的斜率，求直线的倾斜角.（1）0k=；（2）3k=；（3）3k=−；（4）33k=−

．【答案】（1）0；（2）60；（3）120；（4）150.【解析】【分析】根据斜率与倾斜角的关系先计算出倾斜角的正切值，然后根据倾斜角的范围求解出倾斜角.【详解】设倾斜角为，)0,180，（1）因为tan0k==，所以0=；（2）因为tan3k

==，所以60=；（3）因为tan3k==−，所以120=；（4）因为3tan3k==−，所以150=.3.求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.（1）(18,8)C，(4,4)D−；（2）(0,0)P，(1,3)Q−．【答案】（1）67k=，锐角

；（2）3k=−，钝角.【解析】【分析】先根据斜率的计算公式求解出直线的斜率，然后根据斜率的正负判断出倾斜角是锐角还是钝角.【详解】设倾斜角为，（1）因为()841260184147CDk−−===−，所以tan

0，所以为锐角；（2）因为303010PQk−==−−−，所以tan0，所以为钝角.4.已知a，b，c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的倾斜角.（1）(,)Aac，(,)Bbc（2）(,)Cab，(,)Dac（3）(,)Pbbc+，(,)Qaca+．【答案

】（1）0；（2）90；（3）45.【解析】【分析】（1）先计算出斜率值，再根据倾斜角的正切值等于斜率求解出倾斜角；（2）根据,CD横坐标相等判断出直线CD⊥x轴，由此分析得到直线CD的倾斜角；（3）先计算出斜率值，再根据倾斜角的正切值等于斜率求解出倾斜角.【详解】（1）因为0

ABcckab−==−，所以tan0=，所以0=，所以直线AB的倾斜角为0；（2）因为,CD的横坐标相等，所以直线CD⊥x轴，所以直线CD的倾斜角为90；（3）因为()()1PQacbcabkabab

+−+−===−−，所以tan1=，所以45=，所以直线PQ的倾斜角为45.5.经过()0,2A，()1,0B−两点的直线的方向向量为()1,k，求k的值．【答案】2.【解析】【分析】根据直线的方向向量

得到k的含义，结合斜率的计算公式求解出k的值.【详解】因为直线的方向向量为()1,k，则k为直线的斜率，所以02210k−==−−，所以k的值为2.2.1.2两条直线平行和垂直的判定例2已知(2,3)A，(4,0)B−，(3,1)P−，(1,2)Q−，试判断直线AB与PQ的位置关系，并

证明你的结论．解：如图2.1-8，由已知可得直线BA的斜率3012(4)2BAk−−=−−；直线PQ的斜率2111(3)2PQk−==−−−；因为BAPQkk=，所以直线//ABPQ．图2.1-8例3已知四边形

ABCD的四个顶点分别为(0,0)A，(2,1)B−，(4,2)C，(2,3)D，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．解：如图21-9，由已知可得AB边所在直线的斜率12ABk=−，CD边所在直线的斜率

12CDk=−，BC边所在直线的斜率32BCk=，DA边所在直线的斜率32DAk=．因为ABCDkk=，BCDAkk=，所以//ABCD，//BCDA．因此四边形ABCD是平行四边形．图2.1-9例4已知(

6,0)A−，(3,6)B，(0,3)P，(6,6)Q−，试判断直线AB与PQ的位置关系．解：直线AB的斜率23ABk=，直线PQ的斜率为32PQk=−．因为23132ABPQkk=−=−，所以直线ABPQ⊥．例5已知(5,1)A−，(1,1)B，(2,3)C三点，试判断A

BC的形状．分析：如图2.1-10，猜想ABBC⊥，ABC是直角三角形．解：边AB所在直线的斜率12ABk=−，边BC在直线的斜率2BCk=．由1ABBCkk=−，得ABBC⊥，即90ABC=．所以ABC是直角三角形．.图2.1-10练习6.判断下列各

对直线平行还是垂直：（1）经过两点A（2，3），B（﹣1，0）的直线l1，与经过点P（1，0）且斜率为1的直线l2；（2）经过两点C（3，1），D（﹣2，0）的直线l3，与经过点M（1，﹣4）且斜率为﹣5的直线l4.【答案

】（1）平行（2）垂直【解析】【分析】(1)由题意可得直线l1的斜率，根据直线l1，l2的斜率关系，判断它们的位置关系，(2).由题意可得直线l3的斜率，根据直线l3，l4的斜率关系，判断它们的位置关系，【小问1详解】由题意和斜率公式可得l

1的斜率k13021−==+1，l2斜率k2＝1，k1＝k2，又直线l1，l2不重合，所以两直线平行；【小问2详解】由题意和斜率公式可得l1的斜率k1()101325−==−−，l2斜率k2＝﹣5，k1•k2＝﹣1，故两直线垂直.7.试确定m的值，使过(),1

Am，()1,Bm−两点的直线与过()1,2P，()5,0Q−两点的直线.（1）平行；（2）垂直．【答案】（1）12m=；（2）2m=−【解析】【分析】（1）利用直线平行斜率相等即可求解.（2）利用直线垂直斜率乘积等于1−即可求解.【

详解】过()1,2P，()5,0Q−两点的直线斜率()1201153k−==−−，当1m=−时，直线AB的斜率不存在，此时直线AB与直线PQ即不平行也不垂直；当1m−时，过(),1Am，()1,Bm−两点的直线斜率21111mmkmm−−==−−+，（1）当两直线平行时，则

1113mm−=+，解得12m=.（2）当两直线垂直时，则1211131mkkm−==−+，解得2m=−.习题2.1复习巩固8.已知直线斜率的绝对值等于1，求直线的倾斜角．【答案】45或135.【解析】【分析】分别考虑斜率1k=的情况，然后根据斜率等于倾斜角的正

切值求解出倾斜角.【详解】设倾斜角为),0,180，当1k=−时，tan1=−，135=；当1k=时，tan1=，45=；所以直线的倾斜角为45或135.9.已知四边形ABCD的四个顶点是()2,3A，(

)1,1B−，()1,2C−−，()2,2D−，求四边形ABCD的四条边所在直线的斜率．【答案】4ABk=，12BCk=，4CDk=−，14ADk=.【解析】【分析】根据斜率的计算公式分别求解出四条边的斜率即可.【详解】解：()31421ABk−−==−

，()()121112BCk−−−==−−，()22412CDk−−==−−−−，()321224ADk−==−−.10.m为何值时，（1）经过(),6Am-，()1,3Bm两点的直线的斜率是12？（2）(),2Am，(),21Bmm

−−−两点的直线的倾斜角是60？【答案】（1）2m=−；（2）3334m+=.【解析】【分析】（1）根据斜率的计算公式列出关于m的方程，由此求解出m的值；（2）先根据倾斜角计算出斜率，然后根据斜率的计算公式列出关于m的方程，由此求解出m的值.【详解】（1）因为()36121AB

mkm−==−−，所以2m=−，（2）因为倾斜角为60，所以直线的斜率为tan603=，所以()()2213mmm−−−=−−，所以3334m+=.11.已知()1,2A，()1,0B−，()3,4C三点，这三点是否在同

一条直线上？为什么？【答案】在一条直线上，理由见解析.【解析】【分析】根据点的坐标计算,ABACkk，若,ABACkk相等则说明在同一条直线上，反之则不在同一条直线上.【详解】因为02421,11131ABACkk−−====−−−

，所以ABACkk=，且直线,ABAC有公共点A，所以,,ABC三点在一条直线上.12.判断下列不同的直线1l与2l是否平行.（1）1l的斜率为2，2l经过()1,2A，()4,8B两点；（2）1l经过()3,3P，()5,3Q−两点，2l

平行于x轴，但不经过P，Q两点；（3）1l经过()1,0M−，()5,2N−−两点，2l经过()4,3R−，()0,5S两点．【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行.【解析】【分析】（1）利用两直线的斜率是否相等进

行判断即可.（2）根据直线PQ的斜率即可判断.（3）求出两直线的斜率即可求解.【详解】（1）2l经过()1,2A，()4,8B两点，则282241lk−==−，则12llkk=，可得两直线平行.（2）1l经

过()3,3P，()5,3Q−两点，可得1l平行于x轴，2l平行于x轴，但不经过P，Q两点，所以12ll//；（3）1l经过()1,0M−，()5,2N−−两点，1021152lk+==−+，2l经过()4,3R−，()0,5S两点，则2351402lk−==

−−，所以12ll//.13.判断下列直线1l与2l是否垂直.（1）1l的斜率为23−，2l经过点()1,1A，10,2B−；（2）1l的倾斜角为45，2l经过()2,1P−−，()3,6Q−两点；（3）1l经过()1,0M，

()4,5N−两点，2l经过()6,0R−，()1,3S−两点．【答案】（1）垂直；（2）垂直；（3）垂直.【解析】【分析】（1）先计算2l的斜率，然后根据斜率乘积是否为1−进行判断即可；（2）先计算1l，2l的斜率，然后根据斜率乘积是否为1−进行判断即可；（3）先计算1l，2

l的斜率，然后根据斜率乘积是否为1−进行判断即可.【详解】（1）因为21132102lk−−==−，又123lk=−，所以1223=132llkk−=−，所以12ll⊥；（2）

因为1l的倾斜角为45，所以1tan451lk==，又因为()()216121lk−−−==−−−−，所以()12=111llkk−=−，所以12ll⊥；（3）因为()1055143lk−−==−−，()203361

5lk−==−−−，所以1253=135llkk−=−，所以12ll⊥.综合运用14.过()222,3Amm+−，()23,2Bmmm−−两点的直线l的倾斜角为45，求m的值．【答案】2−.【解析】【分析】根据倾斜角计算出直线的斜率，再根据坐标形式下斜率的计算公式求解出m的值.

【详解】因为直线的倾斜角为45，所以直线的斜率tan451k==，又()()()22232123mmkmmm−−==+−−−，整理得2320mm++=，解得1m=−或2m=−，当1m=−时，()()22230m

mm+−−−=，不符合，当2m=−时，()()222350mmm+−−−=，符合，综上：2m=−.15.经过点()0,1P−作直线l，若直线l与连接()1,2A−，()2,1B两点的线段总有公共点，求直线l的倾斜角与斜率k的

取值范围，并说明理由．【答案】[][)0,45135,180伟鞍?，1,1k−，理由见解析.【解析】【分析】根据题意作出图示，根据图示结合临界位置分析直线l与线段AB有交点时倾斜角和斜率k的取值范围.【详解】如下图所示，当

直线l经过点A时，斜率为()12101−−−=−−，此时倾斜角为135；当直线l经过点B时，斜率为11102−−=−，此时倾斜角为45，由题意可知，当直线l从过点A的位置开始，逆时针旋转至过点B的位置，经过图中阴影部分时都能满足题意，旋转过程中，倾斜角先从135变化到0，再从0变

化到45，所以倾斜角的取值范围是：)0,45135,180；旋转过程中，斜率先从1−变化到0，再从0变化到1，所以斜率k的取值范围是：1,1−.16.已知点()2,2M和()5,2N−，点P在x轴上，且MPN为直角，求

点P的坐标.【答案】()1,0或()6,0.【解析】【分析】设(),0Px，因为90APB=，所以由勾股定理可得()()()()()()2222222025025222xx−+−+−++=−+−−,将表达式化简求解即可.【详解】设(),0Px，因为90APB=，所以由勾股定

理可得()()()()()()2222222025025222xx−+−+−++=−+−−，即2760xx−+=，解得1x=或6x=，所以点P的坐标是()1,0或()6,0.故答案为：()1,0或()6,0.拓广探索17.已知四边形ABCD的四个顶点是()2,

222A+，()2,2B−，()0,222C−，()4,2D，求证：四边形ABCD为矩形．【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据点的坐标计算出四边形ABCD四条边所在直线的斜率，然后根据斜率的值判断垂直关系，由此证明为矩形.【详解】因为四个点的横坐标各不相等，所以四边形四条边所在直线的

斜率都存在，所以()22222222ABk+−==−−，()2222220BCk−−==−−−，22222042CDk−−==−，2222224ADk+−==−−，所以()2212ABBCkk=−=−，()2212BCCDkk=−=−，()2212

CDADkk=−=−，所以四边形ABCD四条边两两垂直，所以四边形ABCD四个内角都为90，所以四边形ABCD是矩形.