【文档说明】安徽省县中联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题 Word版含解析.docx，共(21)页，1.438 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-be9058455f205564b4cac75a33b0be8a.html

以下为本文档部分文字说明：

2024~2025学年安徽省县中联盟高三9月联考数学试题考生注意：1.满分150分，芳试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域

内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：高考范围.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合3

|278,|23,AxxBxxx=−=−Z，则AB=（）A.1,0−B.0,1C.1,0,1−D.0,1,2【答案】C【解析】【分析】根据题意，求得集合{32}Axx=−∣，1,0,1,2,3,4,5B=−，结合集合交集的运算法

则，即可求解.【详解】由题意得，集合3|278{32}Axxxx=−=−∣，|23,1,0,1,2,3,4,5Bxxx=−=−Z，根据集合交集的运算法则，可得1,0,1AB=−.故选：C.2.若2i12zz−=+，则z=（）A.23i+B.23i−

C.32i+D.32i−【答案】D【解析】【分析】利用待定系数法，结合复数相等的充要条件可得2421abba−==+，即可求解.【详解】设复数()i,zabab=+R，则izab=−.因为2i12zz−=+，所以i2ii12a

bab+−=−+，故()242i1iabba−+=++，整理得2421abba−==+，所以3,2ab==，所以32iz=+所以32iz=−故选：D.3.已知向量()1,3a=，若()3aba−⊥，则b在a上的投影向量为（）A.13,33B.13,33−−

C.223,33−−D.223,33【答案】A【解析】【分析】由()3aba−⊥得到43ab=，再结合投影向量的定义，从而可求解.【详解】因为()3aba−⊥，所以230aa

b−=.又因为()1,3a=，所以43ab=，故b在a上的投影向量为13,333abaaaa==，故A正确.故选：A.4.若()()13coscoscos,tansinm+=+=，则cos2=（）A2321m−B.2161m−C.241m−D.221m−

【答案】A【解析】【分析】由()3costansin+=可得()tantan3+=，从而可得()3sinsinm+=，可求出4cosm=，再结合余弦二倍角公式即可求解..【详解】由()3costansin+=，得()tantan3+=，即()()s

insin3coscos+=+，所以()3sinsinm+=，所以()()()4coscoscoscossinsinm=+−=+++=，所以2232cos22cos11m

=−=−，故A正确.故选：A.5.已知圆柱和圆锥的底面半径均为2，且它们的表面积相等，圆柱和圆锥的体积之比为3:22，则圆锥的高为（）A.2B.22C.4D.42【答案】D【解析】【分析】根据题意分别设出圆柱

高1h，圆锥高2h，结合表面积相等SS=圆柱圆锥及体积比:3:22VV=圆柱圆锥列出相应等式，从而可求解.【详解】设圆柱高为1h，圆锥高为2h，圆锥母线长为l，底面半径均为2，则1124π4π,8π4π,3VhShVh==+=圆柱圆柱圆锥，224π2π

,4Sllh=+=+圆锥.因为SS=圆柱圆锥，所以212224hh+=+①；又因为:3:22VV=圆柱圆锥，所以2122hh=②.由①②得122,42hh==，故D正确.故选：D.6.已知函数()()2237,22log1,2xaxxaxfxxx−−−+=−−，在R上单调递减，则a

的取值范围是（）A.30,4B.3,4+C.30,4D.30,4+【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用二次函数，指数函数与对数函数的单调性，结合分段函数单调性的判定方法

，列出不等式组，即可求解.【详解】当2x时，函数()()22log1xfxx−=−−单调递减，因为()fx在R上单调递减，分情况讨论：当0a=时，()()237,22log1,2xxxfxxx−−+=−−，此时()223272log2

1−−+−−，符合题意；当0a时，需满足()223224672log21aaa−−−−−+−−，解得304a，综上，实数a的取值范围为3[0,]4.故选：C.7.已知函数()πsin2π6fxx=−，当0,20x时，把

()fx的图象与直线12y=的所有交点的横坐标依次记为123,,,,naaaa，记它们的和为nS，则nS=（）A.11803B.5803C.20D.5903【答案】A【解析】【分析】根据三角函数性质可得π1sin

2π62x−=时求得16xk=+或1,2kk+Z，从而再利用分组并项及等差数列求和公式从而可求解.【详解】由π1sin2π62x−=，则ππ2π2π66xk−=+或52ππ,6kk+Z，解得16xk=+或1,2kk+Z，所以123439401117131111,

,1,1,,1919,1919,6266226622aaaaaa===+==+==+==+=所以40111120192019171311351662219196666222222S++=+++++++++=+111801019102033=+=，故

A正确.故选：A.8.已知()fx的定义域为()()()(),3fxyfxyfxfy++−=R，且()113f=，则20251()kfk==（）A.13−B.23−C.13D.23【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用赋值法，求得()()6fxf

x+=，得到()fx的一个周期是6，再根据函数的周期性和奇偶性，求得()()()()()()1,2,3,4,5,6ffffff的值，进而得到答案.【详解】由题意知，函数()fx的定义域为()()()(),

3fxyfxyfxfy++−=R，且()113f=，令1,0xy==，得()()()()1010310ffff++−=，所以()203f=；令0x=，得()()()()0030fyfyffy++−=，所以()()fyfy−=，所以()fx是偶函数，令1y=，得()()()(

)()1131fxfxfxffx++−==①，所以()()()21fxfxfx++=+②，由①②知()()210fxfx++−=，所以()()()()30,3fxfxfxfx++=+=−，所以()()()63fxfxf

x+=−+=，所以()fx的一个周期是6，由②得()()()201fff+=，所以()123f=−，同理()()()312fff+=，所以()233f=−，又由周期性和偶函数可得：()()()()()()()()112422,511,60,333ffffffff=−==−=−===

=所以()()()()12360ffff++++=，所以20256112()337()(1)(2)(3)3kkfkfkfff===+++=−.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.为了解某品牌纯净水实际生产容量（单位：mL）情况，某中学研究小组抽取样本，得到该品牌纯净水的实际容量的样本均值为600x=，样本方差22.25s=，假设该品牌纯净水的实际容量X服从正态分布

()2,Nxs，则（）（若随机变量X服从正态分布()2,N，则()()0.683,220.955PXPX−+−+）A.()5970.02PXB.()6030.04PXC.()597598.50.13PXD.()598.56030

.83PX【答案】AD【解析】【分析】由正态分布的对称性和3原则进行求解相关概率，得到答案.【详解】AB选项，因为2600,2.25xs==，所以()2600,1.5XN，因为()60021.5

60021.50.955PX−+，故()()10.9555976030.02252PXPX−==，故A正确，B错误；C选项，()0.9555976000.47752PX=，又因为()6001.56001.50.683PX

−+，所以()0.683598.56000.34152PX，所以()597598.50.47750.34150.136PY−=，故C错误；D选项，()6006030.4775PX

，所以()598.56030.34150.47750.819PX+=，故D正确.故选：AD.10.“”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线C过坐标原点,OC上的点到两定点()()12,0,,0(0)FaFaa−的距离之积为定

值.则下列说法正确的是（）（参考数据：52.236）A.若1212FF=，则C的方程为()()2222272xyxy+=−B.若C上的点到两定点12FF､的距离之积为16，则点()4,0−在C上C.若3a=，点()03,y在C上，则2023yD.当3a=时，C上第一象限内的点P满足12PFF

的面积为92，则2212183PFPF−=【答案】ACD【解析】【分析】A选项，设(),xy为C上任意一点，根据212OFOFa=，得到方程，化简后，结合1212FF=，得到6a=，代入后得到A正确；B选项，计算出4a=，代入到A中所求

方程，得到轨迹方法，检验()4,0−不在此曲线上；C选项，由题意得到222200(33)(33)9yy−+++=，化简得到2095182.124y=−；D选项，根据三角形面积和3a=，得到1212sin1,90FPFFPF==，故点P是曲线()()22222:18Cx

yxy+=−和以12FF为直径的圆229xy+=在第一象限内的交点，求出333,22P，从而得到2212183PFPF−=.【详解】A选项，已知原点O在C上，则212OFOFa=，设(),Txy为C上任意一点，则有22222()()axayxay=

−+++，整理得()()2222222xyaxy+=−.若1212FF=，则6a=，C的方程为()()2222272xyxy+=−，故A正确；B选项，若1216OFOF=，则4a=，将4a=代入方程得()()2222232xyxy+=−，显然点（)4,0−不在此曲线上，故B错误

；C选项，若3a=，点()03,y在C上，有222200(33)(33)9yy−+++=，整理得()22018405y+=，所以2095182.124y=−，故C正确；D选项，因为12PFF的面积121219sin22PFPFFPF==，又3a=

，故129PFPF=，则1212sin1,90FPFFPF==，所以点P是曲线()()22222:18Cxyxy+=−和以12FF为直径的圆229xy+=在第一象限内的交点，联立方程组解得333,2

2xy==，故333,22P，又()()12,,,0330FF−，故2213393189324PF=++=+，2223393189324PF−+=−=，所以2212183PFPF−=，故D正确.故选：ACD.【点睛

】关键点点睛：由于原点O在C上，则212OFOFa=，设(),Txy为C上任意一点，则有212TFTFa=，从而得到轨迹方程，结合平面几何知识进行求解.11设函数()()33fxxmxm=−+R，则（）A.若()fx有三个不同零点123,,x

xx，则1230xxx++=B.存在,mn，使得xn=为曲线()yfx=的对称轴C.存在m，使得点()()2,2g−−为函数()()2323gxfxmxmx=++的对称中心D.若曲线()yfx=上有且仅有四点能构成一个正方形，则22m=【答案】ACD【解析】【分析】由3

1232()()()xaxxxxxxx−+=−−−，化简后即可求解A；由()()2fxfnx=−以及()()()422gxgxg+−−=−即可代入化简即可判断BC；对于D，由函数关系式可得()fx的图象关于点(0,3)对称，则正方形的

中心为(0,3)，不妨设正方形的4个顶点分别为A、B、C，D，设出AC的方程，与曲线联立结合弦长公式可求出||AC，同理可得||BD，则22||||ACBD=可得a与k的关系，表示出a，再构造函数可得答案．【详解】因为()fx有三个不同的零点123,,xxx，所以()()()31233xm

xxxxxxx−+=−−−，所以()()3321231223311233xmxxxxxxxxxxxxxxxx−+=−+++++−，所以1230xxx++=，所以A正确；.的对于B，假设存在这样的,mn，使得xn=为()fx的对称轴，即存在这样的,

mn使得()()2fxfnx=−，即()333(2)23xmxnxmnx−+=−−−+，根据二项式定理，等式右边3(2)nx−展开式含有3x的项为3x−，于是等式左右两边3x的系数不相等，原等式不可能成立，于是不存在这样的,mn，使得xn=为()fx的对称轴，B错误；对于C，假设存在m，使得

点()()2,2g−−为函数()()2323gxfxmxmx=++的对称中心，则()()()()3232329,434249gxxmxgxxmx=++−−=−−+−−+，故()()()()()323243293424922gxgxxmxxmxg+−−=+++

−−+−−+=−，化简可得()()()2949490mxmxm−+−+−=，故90m−=得9m=时，()()2,2g−−是()gx的对称中心，故C正确；对于D，由()()33fxxmxa=−+R，得()23fxxm=−，当0m时，𝑓′(𝑥)≥0，所以()fx在

𝑅上单调递增，所以曲线𝑦=𝑓(𝑥)上不存在4个点能构成正方形，所以0m，由于3yxmx=−为奇函数，故其图象关于()0,0对此，故()fx的图象关于点(0,3)对称，所以此正方形的中心为(0,3)，不妨设正方形的4个顶点分别为,,,ABCD，其中一条对角线AC的方程为3(0)ykx

k=+，则333xmxkx−+=+，解得xmk=+，所以221ACkmk=++，同理可得21121BDmkk=+−，由22||||ACBD=，得()()221111kmkmkk++=+−，化简得()23110,kmkk−++=根据

题意可知方程()23110kmkk−++=只有一个正解，因为1k=时上式不成立，所以1k，所以232221112121111kkkkkkmkkkkkkkkk−+++−====−+−−−−，因为0m，所

以10kk−，得01k，设1tkk=−，则0t，令()2gttt=+，由题意可知，只需要直线ym=−与函数()2gttt=+的图象只有唯一的公共点即可，结合对勾函数图象可知-22m=−，得22m=，所以D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：

由()fx的图象关于点(0,3)对称，判断正方形的中心为(0,3)，根据333xmxkx−+=+，求解221ACkmk=++，21121BDmkk=+−，由22||||ACBD=化简求解.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.某中学举行数学解题比赛，其中7人的比赛成绩分别为：70,97,85,90,98,73,95，则这7人成绩的上四分位数与极差之和是__________.【答案】125【解析】【分析】根据百分位数以及极差的计算公式即可求解.【详解】将7个数据从小到大

排列为70,73,85,90,95,97,98，因为775%5.25=，所以这7人成绩的上四分位数是97.极差为987028−=，故上四分位数与极差之和是9728125+=.故答案为：12513.若曲线()2e5xfxx−=+在点()2,7处的切线l与曲线()3lngxxax=

+在(),mb处相切，则m=__________.【答案】43e【解析】【分析】根据题意利用导数求出()23f=，可进一步求出切线:31lyx=+，再列出关于,mb方程组，从而可求解.【详解】由题得()22eexxfxx−−+=，所以()222222ee3f

−−=+=，所以切线():732lyx−=−，即31yx=+.因为()3lngxxax=+，所以()3gxax=+，所以()333ln31gmambmambm=+==+=+，解得43em=.故答案为：43e.14.设双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的

左､右焦点分别是12,FF.过右焦点2F作x轴的垂线l，过双曲线左支上一点M作l的垂线，垂足为N，若存在点M使得223MFMN=，则双曲线C的离心率e的取值范围为__________.【答案】3,2+【解析】【分析】设(),Mmn，且MNd=，根据题意，得到()2

23()2mcnmc−+=−+，整理得转化为()222222224510540bamacmacab−+−−=在(,ma−−上有解，结合二次函数的性质，求得22450ba−，进而求得其离心率e的取值范围.【详解】设(),Mmn，其中ma−

，则22221mnab−=，再设MNd=，由题意得()2,0Fc，可得222,()dmcMFmcn=−+=−+，的因为223MFMN=，可得则()223()2mcnmc−+=−+，两边平方得2229()()4mcnmc−+=−，整理得225()4nmc

=−，又由22221mnab−=，所以2222225()4abmmcab−−=，变形得到()222222224510540bamacmacab−+−−=在(,ma−−上有解，其中422222222222222100

4(45)(54)16(545)1440acbaacababcbaab=−−−−=+−=，令()()22222222451054fmbamacmacab=−+−−，则()22220540facab=−−，()()2223222243224

5105451050,fabaaacacabaacac−=−−−−=−−−当22450ba−时，显然在(,a−−上方程()0fm=有一个解，满足题意，可得2224()50caa−−，所以2249ca，可得2294ca，解得32ca，即32

e；当22045ba−时，此时对称轴的方程为22210045acmba−=−，此时函数()fm在(,a−−与x轴没有公共点，方程()0fm=在(,a−−没有实数解，不符合题意，（舍去）；当22045ba−=时，此时()0fm=，可得2222205410acabmac+

=，显然方程()0fm=在(,a−−没有实数解，不符合题意，（舍去）；综上，离心率e的取值范围是3,2+.故答案为：3,2+.【点睛】知识方法：求解圆锥曲线的离心率的常见方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a

c得值，根据离心率的定义求解离心率e；2、齐次式法：由已知条件得出关于,ac的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于e的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题

.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.记ABCV的内角ABC､､的对边分别为,,abc，已知243,sin2sin2sincaABC−=+=.（1）若46cosbB=，求a的值；（2）在（1）的条件下，求ABCV的面积.【

答案】（1）4（2）623+【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化得22abc+=，即可求解26b=，1cos2B=，由余弦定理即可求解，（2）由三角形面积公式即可代入求解.【小问1详解】由sin2sin2sinABC+=和正弦定理可得22abc+

=，又243ca−=，则26b=.又因为()46cos,0,πbBB=，所以1cos2B=，由余弦定理得，()222222232612cos,222232aaacbBaaca++−+−===+

整理得231204a−=，解得4a=.【小问2详解】由4a=及243ca−=，得223c=+.因为()1cos,0,π2BB=，所以3sin2B=，所以()113sin4223623222ABCSacB==+=+.16.已知椭圆2222:1(0)xyC

abab+=上有两点()0,4A和163,5B−.（1）求椭圆C的焦距；（2）试探究是否存在过点()0,5−，且与椭圆C交于不同的两点,MN，并满足AMAN=的直线l？若不存在，说明理由；若存在，求出直线l的方程.【答案】（1）6（2

）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）代入两点坐标，得到222516ab==，求出c，得到焦距；（2）假设存在该直线l，分情况讨论：直线l的斜率不存在时不成立，当直线l的斜率存在时，设直线():50lykxk=−，联立椭圆方程，得到两根之和，进而求MN中点2212

580,16251625kQkk−++，若AMAN=，则AQMN⊥，即1AQMNkk=−，但计算出219100k=−，k的值不存在，得到结论【小问1详解】由题意得2221619256125bab=+=

，解得222516ab==，所以223cab=−=，所以椭圆C的焦距为6.【小问2详解】假设存在该直线l，分情况讨论：当直线l的斜率不存在时，显然AMAN=不成立；当直线l的斜率存在时，设直线():50,lykxk=−联立22

125165xyykx+==−得()2216252502250,kxkx+−+=令()22Δ(250)422516250kk=−+，得2925k.所以()2222250250160,1010162516251625MNMNMNkkxxyykxxkkk+=+=+−=−

=−+++，取MN的中点Q，则2212580,16251625kQkk−++，若AMAN=，则AQMN⊥，即1AQMNkk=−，所以22804162511251625kkkk−−+=−+，解得219100k=−，k的值不存在.综上，不存在满足题意的直线.

17.如图，四棱锥PABCD−中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，60,2,,BADABPCMN===分别为,PDPB的中点.（1）证明：MN⊥平面PAC；（2）求二面角CPBD−−的正弦值.【答

案】（1）证明见解析（2）427【解析】【分析】（1）连接,BDAC交于点O，根据题意再结合线面垂直判定得到BD⊥平面PAC，再结合//MNBD，从而可求解；（2）建立空间直角坐标系，再利用空间向量法分别求

出平面PBC和平面PBD的一个法向量，再利用空间向量面面夹角求法，从而可求解.【小问1详解】证明：连接,BDAC交于点O，因为PC⊥平面ABCD，而BD平面ABCD，所以BDPC⊥.因为底面ABCD为菱形，所以BDAC⊥.因为,,

PCACCPCAC=平面PAC，所以BD⊥平面PAC.因为,MN分别为,PDPB的中点，所以//MNBD，所以MN⊥平面PAC.【小问2详解】取PA的中点E，连接OE，由题得//OEPC，所以OE⊥平面ABCD，以O为坐标

原点，,,OAOBOE所在直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系.因为底面ABCD为菱形，60,2BADABPC===，所以1,3,1OBOAOE===，则()()()()0,1,0,3,0,0,3,0,2,0,1,0BCPD−−−.所以()()()3,1,2,0,2,0,0,0,2BP

BDPC=−−=−=−.设平面PBD的一个法向量()111,,mxyz=，则111132020mBPxyzmBDy=−−+==−=，令12x=，得13z=，则()2,0,3m=.设平面PBC的一个法向量�

�⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则20320nPCznBPxyz=−==−−+=，令1x=，得3y=−，则()1,3,0n=−.设二面角CPBD−−的大小为，所以7coscos,7mnmnmn===.所以242sin1cos7=−=，所以二面角CPBD−−的正弦值

为427.18.已知函数()()()()1e1ln1,xfxxmxmxm=−−−+++R.（1）讨论()fx的单调性；（2）若0m且()fx有2个不同的极值点,pq，求证：()()()42ln3fpfqpq+

++.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，分别讨论1m−，10m−，0m=和𝑚>0四种情况讨论，结合()fx正负情况，从而可求解𝑓(𝑥)单调性；（2）把原不等式转化为()()()()()41ln1e212ln3mfpfqpqmmm+++=+

+−+−，然后构造函数()()()1ln1e21mhmmmm=++−+−，求出导函数，利用导函数求出单调性区间，然后利用函数单调性求出最值进行比较大小即可.【小问1详解】()fx的定义域为()1,−+，由题可得()()()1

1e1e11xxmfxxmxmxx+=−−+=−−++，的设()1e1xgxx=−+，则()gx在()1,−+上单调递增，且()00g=，若1m−，则()0,1,0xmx−−时，()()0,fxfx单调递减，𝑥∈(0,+∞)

时，()()0,fxfx单调递增；若10m−，则(),0xm时，()()0,fxfx单调递减，()1,xm−，𝑥∈(0,+∞)时，()()0,fxfx单调递增；若0m=，则()()0,fxfx

在()1,−+上单调递增；若0m，则()0,xm时，()()0,fxfx单调递减，()1,0x−，(),xm+时，()()0,fxfx单调递增.综上，当1m−时，()fx在()1,0−上单调递减，在(0,+∞)上单调递增；当10m−时，

()fx在(),0m上单调递减，在()()1,,0,m−+上单调递增；当0m=时，()fx在()1,−+上单调递增；当0m时，()fx在(0,𝑚)上单调递减，在()()1,0,,m−+上单调递增.【小问2详解】由（1）知0m时，()fx恒有2个极值点,pq

，令pq，则0,pqm==，所以()()()()()()()4041ln1e21mfpfqpqffmmmmm+++=++=++−+−，设()()()1ln1e21mhmmmm=++−+−，则()()ln1e3,mhmm=+−+设()()mhm

=，则()1e,1mmm=−+()m在(0,+∞)上单调递减，()()00m=，所以()hm在(0,+∞)上单调递减，又()()21ln2e30,2ln3e30hh=−+=−+，所以存在()01,2m，使得()()000ln1e30m

hmm=+−+=，即()00eln13mm=++，当()00,mm时，()()0,hmhm单调递增；当()0,mm+时，()()0,hmhm单调递减，所以()()()()()()()0000000001ln1e211

ln1ln1321mhmhmmmmmmmm=++−+−=++−+−+−()000ln124mmm=++−，易知函数()ln124yxxx=++−在()1,2上单调递增，所以()()000ln1242ln212242ln3mmm++−++−=，所以()()()42ln3f

pfqpq+++.【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最

)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.19.拿

破仑排兵布阵是十分厉害的，有一次他让士兵站成一排，解散以后马上再重新站成一排，并要求这些士兵不能站在自己原来的位置上.（1）如果只有3个士兵，那么重新站成一排有多少种站法？4个呢？（2）假设原来有n个士兵，解散以后不能站在自己原来位置上的站法为nD种，写出1

nD+和()1,2nnDDn−之间的递推关系，并证明：数列()12nnDnDn−−是等比数列；（3）假设让站好的一排n个士兵解散后立即随机站成一排，记这些士兵都没有站到原位的概率为nP，证明：当n无穷大

时，nP趋近于1e.（参考公式：23e12!3!!nxxxxxn=++++++….）.【答案】（1）2种；9种（2）()11,2nnnDnDDn+−=+，证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意第一个士兵再选位置的人第二个去选，依次类推

再结合乘法原理即可求解；（2）根据题意分别求出1n+个人排队时()11,2nnnDnDDn+−=+，从而可求证1,2nnDnDn−−为等比数列；（3）由（2）可求得()()11!1!!nnnDDnnn−−−

=−，从而可得()1111111!2!3!4!5!!nnnDPnn−==−+−+−++，从而可求解.【小问1详解】当有3个士兵时，重新站成一排有2种站法；当有4个士兵时，假设先安排甲，有3种站法，比如甲站到乙的位置，那就再安排乙，也有3种站法，剩下的两个人都只有1种站法，

由乘法原理可得有33119=种站法.【小问2详解】易知120,1DD==.如果有1n+个人，解散后都不站原来的位置可以分两个步骤：第一步：先让其中一个士兵甲去选位置，有n种选法；第二步：重排其余n个人，根据第一步，可以分为两类：第一类：

若甲站到乙的位置上，但乙没有站到甲的位置，这样的站法有nD种；第二类：若甲站到乙的位置上，乙同时站到甲的位置，这样的站法有1nD−种.所以()11,2nnnDnDDn+−=+，又2121DD−=，所以()()()111111111nnnnnnnnnnnnnDnDnD

DnDDnDDnDDnDDnD+−−−−−−++−+−+===−−−−.所以数列1,2nnDnDn−−是首项为1，公比为1−的等比数列.【小问3详解】证明：由题意可知!nnDPn=，由（2）可得：(

)()()1111!1!!nnnnnnDDDnDnnn−−−−=−−=−.所以()()()()()()()121122321(1)(1)(1)1,,,,!1!!1!2!1!2!3!2!2!1!2!nnnnnnnnnDDDDDDDDnnnnnnnnn−−−−−−−−−−−=−=−=−=−−−−−−

−以上各式相加，可得：11111(1),!1!2!3!4!5!!nnDDnn−−=−+−++所以1111(1)!2!3!4!5!!nnDnn−=−+−++.所以()()111111111111!2!3!4!5!!2!3!4!5!!nnnnDPnnn−−==−+−++=

−+−+−++，当n无穷大时，11111(1)111e2!3!4!5!!ennPn−−=−+−+−+++==.【点睛】关键点点睛：本题主要根据题意找到()11,2nnnDnDDn+−=+，通过构造得到1,2nnDnDn−−为等比数列，从而求出()()11!1!!nnnDDn

nn−−−=−，从而可求解.