【文档说明】浙江省杭州第二中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷 含解析.docx，共(19)页，1.379 MB，由管理员店铺上传

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杭州二中2023学年第二学期高三年级开学考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2}A=，{2,3}B=，则集合,,CzzxyxAyB==+的真子集个

数为（）A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】【分析】先根据集合C的定义和集合中元素的互异性写出集合，然后根据真子集的性质求解.【详解】依题意{3,4,5}C=，集合C中有3个元素，则其真子集的个数有3217−=个.故

选：C2.已知等比数列na满足()13541,41aaaa==−，则7a的值为A.2B.4C.92D.6【答案】B【解析】【分析】根据题意和等比数列的性质求出4a，结合2174aaa=计算即可.【详解】根据等比数列的性质可得2354aaa=，∴()244

41aa=−，即()2420a−=，解得42a=，又∵11a=，21744aaa==，故可得74a=，故选：B3.函数coslnyxx=−的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的定义域、奇偶性、函数值分析运算判断即可得解.【详解

】解：设()coslnfxxx=−，定义域为0,Rxxx，则有()()()coslncoslnfxxxxxfx−=−−−=−=，所以函数()fx是偶函数，图象关于y轴对称，故选项A、C错误；因为()πcosπlnπlnπ>0f=−=，所

以选项B错误；综上知，选项D正确.故选：D.4.已知,abR，则1ba是1|1|ab−−的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要

条件的定义，结合不等式的性质即可得到结论.【详解】因为211111ababababa+−−−−−，所以当1ba时，1|1|ab−−成立，当1|1|ab−−成立时，如取1,22ba=

=，此时1ba不成立，所以1ba是1|1|ab−−的充分不必要条件.故选：B.【点睛】本题考查充分不必要条件的定义，考查不等式的性质，属于基础题.5.已知0.75a=，52log2=b，πsin5c=，则,

,abc的大小关系是（）A.cbaB.b<c<aC.c<a<bD.acb【答案】C【解析】【分析】将,ab化为同底的对数形式，根据对数函数单调性可知ab；利用ππ3sinsin544可得ca，由此可得结论.【详解】3445530.7

5log5log1254a====，45552log2log4log256b===，又44125256，ab；ππ222sinsin5424c===，30.754a==，又223，ca；综上所述：c<a<b.故选：C.6.621xy+−的展开式中，42xy的系数为（）A.

60B.60−C.120D.120−【答案】A【解析】【分析】设621xy+−的通项为6162C()rrrTxy−+=−，设62()rxy−−的通项为()6162CkkrkkkrSxy−−−+−=−即得解.【详解】解：设621xy+−的通项为616

2C()rrrTxy−+=−，设62()rxy−−的通项为()661662C2CkkkrkkrkkkrrSxxyy−−−−−+−−=−=−，令2,64,2,0.krkkr=−−===所以42xy的系数为02266C(2)C60−=.故

选：A7.已知椭圆22221(0)xyCabab+=：的左、右焦点分别为12,FF，P为椭圆上一点，且123FPF=，若1F关于12FPF平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为（）A.22B.33C.12D.13【答案】B【解析】【分析】设1F关于12FPF平分线的对

称点为M，根据题意可得2,,PFM三点共线，设1PFm=，则1PMMFm==，在12PFF△中，分别求得12,PFPF，再利用余弦定理可得,ac的齐次式，即可得出答案.【详解】解：设1F关于12FPF平

分线的对称点为M，则2,,PFM三点共线，设1PFm=，则PMm=，又123FPF=，所以1PFM为等边三角形，所以1MFm=，又1143PFMFPMam++==，所以1242,33PFaPFa==，在12PFF△中，由余弦定理

可得：222121211122cosFFPFPFPFPFFPF=+−，即222216484999caaa=+−，所以223ac=，所以33cea==.故选：B.8.已知π5π3sincos4124++=−

，则πcos26+=（）A.312−B.312+C.1322+D.1322−【答案】D【解析】【分析】应用诱导公式及已知有π5π3coscos4124−+=−，再由5ππ2π124

3+−−=及差角余弦公式得5ππ31sinsin12442+−=−，最后由和角正弦公式有π5ππcos2cos6124+=++−，即可求结果.【详解】因为πππsincos424

+=−+=coscos44−=−，结合题设，所以π5π3coscos4124−+=−，而5ππ2π1243+−−=

，所以2π5ππ5ππ5πcoscoscoscossin312412412=+−−=+−++πsin4−，即135ππ

sinsin24124−=−++−，所以5ππ31sinsin12442+−=−，所以π5ππ5πcos2coscos612412+=++−=+π5ππ3cossinsin4

1244−−+−=−−31134222−=−.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设,,

为互不重合的平面，,mn为互不重合的直线，则下列命题为真命题的是（）A.若,∥∥，则∥B.若,mm=⊥，则,⊥⊥C.若,,mnmn∥∥∥，则∥D.若,⊥⊥，则∥【答案】AB【解析】【分析

】把几何语言转化问文字语言，想象空间模型，得出结论.【详解】对A：平行于同一个平面两个平面互相平行，正确；对B：两个平面的交线垂直于第三个平面，则这两个平面都垂直于第三个平面.根据面面垂直的判定定理，该结论正确；对C：和两条平行直线分别平行的两

个平面相交或平行，故C错误；对D：垂直于同一个平面的两个平面平行或相交.故D错误.故选：AB10.有一组互不相等的样本数据126,,,xxx，平均数为x.若随机剔除其中一个数据，得到一组新数据，记为125,,,yyy，平均数为y，则（）A.新数据的极差可能等于原数据

的极差B.新数据的中位数不可能等于原数据的中位数C.若xy=，则新数据的方差一定大于原数据方差D.若xy=，则新数据的40%分位数一定大于原数据的40%分位数【答案】ABC【解析】【分析】根据极差、中位数、方差、百分位数的性质逐一判断即可.【详解】不

妨设原数据126xxx，新数据125yyyL，A：例如原数据为1,2,3,4,5,6，新数据为1,3,4,5,6，此时极差均为615−=，故A正确；B：原数据中位数为342xx+，新数据中位数为3y，可知33yx=或34yx=，若33yx=，可得34332xxx

y+=；若34yx=，可得34432xxxy+=；综上所述：新数据的中位数不可能等于原数据的中位数，故B正确；C：若xy=，可知去掉的数据为x，则()()112265iixxyy==−=−，可得()()1122651165iixxyy==−

−，所以新数据的方差一定大于原数据方差，故C正确；D：若xy=，可知去掉的数据为x，因为640%2.4=，可知原数据的40%分位数为第3位数，540%2=，可知新数据的40%分位数为第2位数与第3位数的平均数，例如原数

据为2,2,3,4,5,6−，新数据为2,2,4,5,6−，的此时新数据40%分位数、原数据的40%分位数均为3，故D错误；故选：ABC.11.记函数()()()2cos0,0πfxx=+的最小正周期为T，若()3fT=，且()fx在ππ,33−上的最大值与最小值的

差为3，则（）A.()01f=B.ππ39ff−=C.()fx在区间π2π,93−上单调递减D.直线332yx=−是曲线()yfx=的切线【答案】BD【解析】【分析】根据题意，先由函数周期以及()3fT=可得π6=，再由条件可得的值，即可得到()3π2

cos26fxx=+，然后对选项逐一判断，即可得到结果.详解】由2π2πTT==，又()()2cos3fTT=+=，可得3cos2=，又0π，则π6=，即()π2cos6fxx=+

，若()fxππ,33−上单调，则1ππ2π2333T−−=，即π23π32，令π6tx=+，则ππ2ππππ36363t−++，即2cosyt=在πππ,π3636−++上单调递减，即π1π0

362−+，即πππππ36663++=，此时minπ31tyy==，此时maxmin211yy−−=，不符合题意，所以()fx在ππ,33−上不单调，即2cosyt=在πππ,π3636−

++上不单调，的【在又maxmin3yy−=，即22ππ33T=，即03，即π7ππ366+，π5πππ,3666−+−，若minππππ232cos1π363632y=+=−+==，此时πππ363−

+=−，符合题意；若minππ252cosπ1ππ363632y=−+=−−+=−=，此时πππ36+=，不符合题意；综上可得，3π,26==，即()3π2cos26fxx=+，对于A，()02cos36

πf==，故错误；对于B，πππ32cos2cosπ132363f−=−+=−=，π32cos1929ππ6f=+=，故B正确；对于C，当π2π,93x−，则3π70,π266x

+，且2cosyx=在70,π6上先递减后递增，故C错误；对于D，因为()3π3sin26fxx=−+，所以()302f=−，()03f=，可得332yx=−是()yfx=在()()0

,0f处的切线，故D正确；故选：BD【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据最值之差求出的值，需要对该区间内函数的单调性进行分类讨论，从而确定函数解析式，再一一分析选项即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5

分，共15分.12.已知函数e,1()ln,1xxfxxx=．则()1f=______；若()1fm=，则实数m的值为______．【答案】①.e②.0或e【解析】【分析】第一空，直接代入即可求解；第二空，对参数m的取值范围进行分类讨论，

结合函数解析式和函数值，即可求得结果.【详解】因为e,1()ln,1xxfxxx=，所以()1ef=，当1m£时，()e1mfm==，解得0m=，满足题意；当1m时，()ln1fmm==，解得em=，满足题意；综上：m的值为0或e.故答案为：e；0或e.13.设12,zz

是复数，已知11z=，23z=，125zz−=，则12zz+=__________．【答案】15【解析】【分析】设()1i,zabab=+R，()2i,zcdcd=+R，根据复数模长运算，利用2125zz−=可求得acbd+，进而可得212zz+，由此可求得

结果.【详解】设()1i,zabab=+R，()2i,zcdcd=+R，22211zab=+=，22229zcd=+=，()()()()22222221221025zzacbdabcdacbdac

bd−=−+−=+++−+=−+=，52acbd+=，()()()222222212215zzacbdabcdacbd+=+++=+++++=，1215zz+=.故答案为：15.14.如图，已知3BC=，D，E为ABC边BC上的两点，且满足BAD

CAE=，14BDBECDCE=，则当ACB取最大值时，ABC的面积等于______.【答案】332##332【解析】【分析】由题设足BADCAE=，14BDBECDCE=考虑三角形的面积之

比，将其化简得2ACAB=，借助于余弦定理和基本不等式求得ACB的最大值和此时的三角形边长，由面积公式即可求得.【详解】如图，不妨设,BADCAEDAE===分别记,,,ABDACEABEACD的面积为,,,ABDACEABEACDSS

SS则1sin21sin2ABDACEABADSBDABADSCEAEACAEAC===①1sin()21sin()2ABEACDABAESBEABAESCDADACADAC+===+②由①，②两式左右分别相乘，可得：2214BDB

EABADABAEABCDCEAEACADACAC===故得：2ACAB=.设ABx=，在ABC中，由余弦定理，229413cos()2324xxACBxxx+−==+，因0x，则323xx+≥，当且仅当3x=时，等号成立，此时3cos2ACB，因0

πACB，故π06ACB，ACB取得最大值π6，此时ABC的面积等于1π33323sin262=.故答案为：332.【点睛】思路点睛：对条件等式的转化，本题中，注意到有角的相等和边长乘积的比，结合图形容易看出几

个等高的三角形，故考虑从面积的比入手探究，即得关键性结论2ACAB=，之后易于想到余弦定理和基本不等式求出边长和角即得.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为2的菱形，60ABC=，PA

PB⊥，2PC=．（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（2）若PAPB=，求二面角APCD−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）277.【解析】【分析】（1）取AB中点O，连接,,ACCOPO，利用线面

垂直的判定定理证得CO⊥平面PAB，结合面面垂直的判定定理即可证明；（2）由(1)建立如图空间直角坐标系Oxyz−，利用向量法分别求出平面APC、平面PCD的法向量，结合空间向量的数量积定义计算即可.【小问1详解】取AB中点O，连接,,ACCOPO，因为四边形ABCD是边长

为2的菱形，所以2ABBC==，因为60ABC=所以ABC是等边三角形，所以3COABOC⊥=，因为PAAB⊥，所以112POAB==，因为2PC=，所以222OPOCPC+=，所以COPO⊥.因为ABPOO=，ABPO、平面PAB，所以CO⊥平面PAB，因为

CO平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD；【小问2详解】因为()222222112OPOAPA+=+==，所以POAO⊥，由（1）知，平面PAB⊥平面ABCD，而平面PAB平面ABCDAB=，PO平面PAB，

所以PO⊥平面ABCD，所以直线,,OCOBOP两两垂直，以O为原点建立如图空间直角坐标系Oxyz−，则()()()()()()0,0,0,0,1,0,0,1,0,3,0,0,3,2,0,0,0,1OABCDP−−，所以()()()0,1,1,3,0,1,0,2,0

APPCDC==−=，设平面APC的法向量为(),,mxyz=，由00030yzmAPmPCxz+===−=，取1x=，得()1,3,3m=−，设平面PCD的法向量为(),,nxyz=，由0

30020nPCxznDCy=−===，取1x=，得()1,0,3n=，所以27cos<,7mnnmmn==，由图可知二面角APCD−−为锐二面角，所以二面角APCD−−的余弦值为277.16.设函数()()()12fxxxx=−−的图像为曲线C，过原

点O且斜率为t的直线为l.设C与l除点O外，还有另外两个交点P，Q（可以重合），记()gtOPOQ=.（1）求()gt的解析式；（2）求()gt的单调区间.【答案】（1）()()212gttt=+−（2）()gt在11,43−，(

)1,2单调递减，在1,13，()2,+单调递增.【解析】【分析】（1）根据题意，将直线l与函数()fx联立，可得方程()()12xxt−−=有2个不同的实根12,xx，结合向量的模长公式，代入计算，即可得到结

果；（2）根据题意，分2t与2t讨论，然后分别求导得()gt，即可得到结果【小问1详解】设直线:lytx=，联立()()12ytxyxxx==−−，可得0x=或()()12xxt−−=，即方程()()12xxt−−=有2个不同的实根12,xx，且()()2342

140tt=−−−=+，即14t−，化简可得2320xxt−+−=，由韦达定理可得122xxt=−，设()()1122,,,PxyQxy，则()()22222222112212112OPOQxtxxtxtxxtt=++=+=+−

，所以()()212gttt=+−，1,4t−+【小问2详解】当2t时，()()()2321222gtttttt=+−=−+−，则()()()23413110gttttt=−+=−−，所以()gt在)2,+单调递增；当124t−时，()()()()2321

222gtttttt=+−=−−+−，()()()()2341311gttttt=−−+=−−−，当113t时，()0gt，当1143t−或12t时，()0gt.所以()gt在11,43−，()1,2单调递减，在区间1,13

单调递增；.综上所述，()gt在11,43−，()1,2单调递减，在1,13，()2,+单调递增.17.“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校

在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.（1）若数学组的7名学员中恰有3人来自A中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自A中学的人数，求的分布列和数学期望；（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行

了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为1p，2p.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不

影响.当1243pp+=时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值.【答案】（1）分布列见解析，97（2）1627【解析】【分析】（1）利用超几何分布，求出分布列和期望，即可得出结果；（2）根据甲、乙答对题数为二项分布及独立事件的概率求出每轮答

题中取得胜利的概率，再由二次函数的性质求出结果.【小问1详解】由题意知，的可能取值有0，1，2，3，()3437C40C35P===，()214337CC181C35P===，()124337CC122C35P===，()3337C13C35P===，所以的分布

列为：0123P43518351235135()41812190123353535357E=+++=.【小问2详解】因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则()12,BP，设

乙答对题数为，则()22,BP，设“A=甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”则()()()()()()()122122PAPPPPPP===+==+==()()122221222221122212222122=C1CCC1CCPPPPPPPP−+−+()()222211222112

2121PPPPPPPP=−+−+221212833PPPP=−+由1201,01PP，又1243pp+=，所以1113P，则21211114433PPPPPP=−=−，又1113P，所以1214,39PP，设12tPP=

，所以()28143,,339PAttt=−+，由二次函数可知当49t=时取最大值1627，所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为1627.18.已知抛物线21:4Cxy=的焦点为F.设()00,Mx

y（其中00x，00y）为拋物线()22:41Cxy=+上一点.过M作抛物线1C的两条切线MA，MB，A，B为切点.射线MF交抛物线2C于另一点D.（1）若02x=，求直线AB的方程；（2）求四边形MADB面积的最小值.【答案】18.yx=19.16【解析】【分析】（1）

利用导数求切线方程，由点坐标同时满足切线方程得直线AB的方程；（2）设直线MF的方程，表示出弦长MD，再求A、B到直线MF的距离，表示出四边形MADB面积，利用韦达定理化简，由基本不等式求最小值.【小问1详解】设()11,Axy，()22,Bxy

，由题得()2,0M，抛物线21:4Cxy=，即214yx=，则12yx=，所以抛物线在点()11,Axy处切线的斜率为112x，则切线MA的方程为()1112xyyxx−=−，整理得()112xxyy=

+，同理，MB的方程为()222xxyy=+，又M在,MAMB上，有1122xyxy==，所以直线AB方程为yx=.【小问2详解】设:1MFykx=+，()33,Dxy，()00,Mxy，联立()2141ykxxy=+=+，消去y整理得2480xkx−

−=，030348xxkxx+==−，2222203111632412MDkxxkkkk=+−=++=++，设点,AB到直线MF的距离为12,dd，则()()121211221222211111kxxyykxykxyddkkk−−−−+−++=+=+++()()22121212

122244141xxkxxxxkxxkk−−−−==−+++，联立()20042xyxxyy==+，得200240xxxy−+=，1202xxx+=，1204xxy=（其中()2000

0416441162xyyy−=+−=），()0222120222121242221MADBkxSMDddkkkkxk−=+=++=+−+，又()()2000004101xyyykx=+−=，20084xkx−=代入上式得，2220000000008181884232

1622MADBxSxxxxxxxx−=+−−=−++()2200181=281622xx+=，当且仅当022x=，即()22,1M时，MADBS取最小值，所以四边形MADB面积的最小值为16.【点睛】方法点睛：求解直线与抛物线的问题时

，通常把两个方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．19.设整数,

nk满足1kn，集合201,mAmnm=−Z.从A中选取k个不同的元素并取它们的乘积，这样的乘积有Ckn个，设它们的和为,nka.例如0102123,222222214a=++=.（1）若2n，求,2na；（2）记()2,1,2,1nnnnnnfxaxaxax=++++.求(

)()1nnfxfx+和()()12nnfxfx+的整式表达式；（3）用含n，k的式子来表示1,1,nknkaa++.【答案】（1）42233nn−+（2）()()112nnnfxxfx+=+，()()112nnfxxfx+=+（3）11,11,2221nkknkknkaa++

+++−=−【解析】【分析】（1）根据题意，直接代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得()()()()()012112121212nnfxxxxx−=++++，从而表示出()1nfx+与()2nfx，然后相除，即可得到结果；（3）根据题意，可得,01na=，1,01na+=，再由（

2）可得()()1,,102nnknnknkkfxaax+−==+，然后化简即可得到11,1,1,22kknknknkaaa++++=+，即可得到结果.【小问1详解】()()221122,2001121411414222212

2221412333nnnnnnkknnnkka−−==−−−=−=−=−−=−+−−【小问2详解】因为()()()()()012112121212nnfxxxxx−=++++，()()()()

()()012111212121212nnnfxxxxxx−+=+++++，两式相除，()()112nnnfxxfx+=+，()()()()()01212122122122122nnfxxxxx−=+

+++()()()()12112121212nnxxxx−=++++，两式相除，()()112nnfxxfx+=+【小问3详解】因为(),0nknnkkfxax==①，所以,01na=，因为()111,0nknnkkfxax+++==②，所以1,01na+=，由（

2）和①可得，()()()()11,,,,10001222nnnnknknknnnknknknkkkkfxxfxaxaxaax++−====+=+=+③，由②和③，比较1kx+的系数，可得1,1,1,2nnknk

nkaaa+++=+④，因为()()()()()1,001222nnkknnnkkkfxxfxxxax+===+=+()11,,,,1000222nnnkkkkkknknknknkkkkaxaxaax+−−====+=+，由②比较1kx+

的系数可得11,1,1,22kknknknkaaa++++=+⑤，由④⑤消去,1nka+可得()()111,1,2122knkknknkaa+++++−=−，所以11,11,2221nkknkknkaa+++++−=−.【点

睛】关键点睛：本题主要考查了新定义问题，意在考查学生的计算能力转化能力和总和应用能力，其中将定义中的知识转化为已有的知识点是考查的重点，需熟练掌握.