【文档说明】【精准解析】甘肃省静宁县第一中学2020届高三第四次模拟考试数学（文）试题.doc，共(22)页，1.672 MB，由小赞的店铺上传

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静宁一中2020届高三级模拟训练卷（四）文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2|1,|31xAxxBx„，则RABð=（）A.

{|0}xxB.{|01}xx剟C.{|10}xx„D.{|1}xx…【答案】D【解析】【分析】先求出集合A，B，再求集合B的补集，然后求RABð【详解】{|11},{|0}AxxBxx剟，所以{|1}RABxx…ð.故选：D【点睛】此题考查的是集合的并集、补集

运算，属于基础题.2.若复数z与其共轭复数z满足213zzi，则||z（）A2B.3C.2D.5【答案】A【解析】【分析】设,,zabiaRbR，则2313zzabii,求得

z，再求模，得到答案.【详解】设,,zabiaRbR，则222313zzabiabiabii，故1a，1b，1zi，2z.故选：A.【点睛】本题考查了共轭复数

的概念，两复数相等的条件，复数的模，还考查了学生的计算能力，属于容易题.3.已知双曲线222210,0xyabab的离心率为53，则其渐近线为()A.2x+y=0B.20xyC.340xyD.430xy【答案】D【解析】本题由双曲线的标

准方程，离心率出发来求解其渐近线，主要考察学生对双曲线概念，基本关系的理解与应用，属于简单题型．请在此填写本题解析!解因为5e3ca,23c5a,9c即=252a,因为22ca+2b,所以，29a+29b=252a即化简得ba=43,所

以答案为D.4.在区间0,4内随机取两个数ab、，则使得“命题‘xR，不等式220xaxb成立’为真命题”的概率为（）A.14B.12C.13D.34【答案】A【解析】【分析】由该命题为真命题得出20ab，画出不等式组040420abab

表示的平面区域，根据几何概型的计算公式求解即可.【详解】xR，不等式220xaxb成立，即22min0xaxb则2202022aaabab作出040420abab的可行域，如下图所示则使得该命题

为真命题的概率14212444P故选：A【点睛】本题主要考查了线性规划的简单应用，面积型几何概型求概率问题，属于中档题.5.若向量(1,2)ax与(1,1)b平行，则|2+|=ab（）A.2B.322C.32D.22【答案】C【解析】【分析】根据向量平行得到3x，故

|2+|=3,3ab，计算得到答案.【详解】向量(1,2)ax与(1,1)b平行，则12x，故3x，|2+|=4,41,13,332ab.故选：C.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，向量的模，意在考查学生的计算能力.

6.F是抛物线22yx的焦点，AB、是抛物线上的两点，8AFBF，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A.4B.92C.3D.72【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的

点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求出A,B的中点横坐标的和,求出线段AB的中点到y轴的距离【详解】F是抛物线22yx的焦点,1,02F,准线方程12x,设1122,,AxyBxy,1

211||||822AFBFxx,127xx,线段AB的中点横坐标为72,线段AB的中点到y轴的距离为72所以D选项是正确的【点睛】抛物线的弦长问题一般根据第一定义可简化运算．7.已知,m

n是两条不重合的直线，,是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（）A.若,mnm，则//nB.若//,//,mnmn，则//nC.若,,mnmn，则D.若//,//m，则//m或m【答案】A【解析】【分析

】根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】对于A：若,mnm，则//n或n，故A错误；BCD正确.故选：A.【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生

的空间想象能力和推断能力.8.已知函数()yfx的部分图像如图，则()fx的解析式可能是（）A.()tanfxxxB.()2sinfxxxC.()sinfxxxD.1()cos2fxxx【答案】C【解析】【分析】根据定义域排除

A，根据奇偶性排除D，根据单调性排除B，即可得出答案.【详解】由图象可知，函数()fx在R上单调递增，且为奇函数对A项，由于定义域不是R，则A错误；对B项，当(0,)x时，()12cosfx2()003f

xx；2()03fxx则函数()fx在(0,)不是单调递增，则B错误；对C项，()1cos0fxx，则函数()fx在R上单调递增又()2sin()2sin()fxxxxxfx，则函数()fx为奇函数，则C正确；对D项，11()cos()cos

()22fxxxxxfx，则函数()fx不是奇函数，则D错误；故选：C【点睛】本题主要考查了根据图象判断解析式，属于中档题.9.已知函数41()2xxfx，0.32af，0.30.2bf，0.3log2c

f，则a，b，c的大小关系为（）A.cbaB.bacC.bcaD.cab【答案】A【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据指数函数、对数函数的性质得到0.321，0.300.21，0.3log20，即可得解；【详解】

解：因为41()222xxxxfx，定义域为R，()22xxfxfx故函数是奇函数，又2xy在定义域上单调递增，2xy在定义域上单调递减，所以()22xxfx在定义域上单调递增，由0.321，0.300.21，0.3log20所以0

.30.30.320.2log2fff即abc故选：A【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.10.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这

个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(..MRPogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度

来描述.两颗星的星等与亮度满足12212.5lglgmmEE.其中星等为im的星的亮度为1,2iEi.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四”的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍

，则与r最接近的是(当x较小时，21012.32.7xxx)A.1.24B.1.25C.1.26D.1.27【答案】C【解析】【分析】根据题意，代值计算，即可得r，再结合参考公式，即可估算出结果.【详解】根据题意可得：2111.252.5lgE

lgE可得12110ElgE，解得1110210ErE，根据参考公式可得1112.32.71.25710100r，故与r最接近的是1.26.故选：C.【点睛】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.11.已知数列na的通项公式

是6nnaf，其中sin()0||2fxx，的部分图像如图所示，nS为数列na的前n项和，则2020S的值为（）A.1B.0C.12D.32【答案】D【解析】【分析】根据图像得到s

in(2)3fxx，sin33nna，6nnaa，计算每个周期和为0，故20201234Saaaa，计算得到答案.【详解】741234T，故T，故2，sin(2)fxx，2sin()033f

，故2,3kkZ，故2,3kkZ，当1k时满足条件，故3，sin(2)3fxx，sin633nnnaf，66sin33nnana，132a，20a，332a，432

a，50a，632a，每个周期和为0，故2020123432Saaaa.故选：D.【点睛】本题考查了数列和三角函数的综合应用，意在考查学生计算能力和综合应用能力.12.已知函数2(1)1,2()1(2),22xxfxfxx

，若函数()()Fxfxmx有4个零点，则实数m的取值范围是()A.516,26B.56,3222C.1,32220D.11,206【答案】B【解析】

【分析】根据函数零点定义可知()fxmx有四个不同交点，画出函数图像可先求得斜率的大致范围.根据函数在24x和46x的解析式，可求得ymx与两段函数相切时的斜率，即可求得m的取值范围.【详解】函数

2(1)1,2()1(2),22xxfxfxx，函数()()Fxfxmx有4个零点，即()fxmx有四个不同交点.画出函数()fx图像如下图所示：由图可知，当24x时，设对应二次函数顶点为A，则13,2A，11236OAk，当46x

时，设对应二次函数的顶点为B，则15,4B，114520OBk.所以11206m.当直线ymx与24x时的函数图像相切时与函数()fx图像有三个交点，此时211322ymxyx，化简可得22680xmx.

226480m，解得322,m322m（舍）；当直线ymx与46x时的函数图像相切时与函数()fx图像有五个交点，此时211544ymxyx，化简可得2410240xmx.24104240m

，解得56,2m562m（舍）；故当()fxmx有四个不同交点时56,3222m.故选：B.【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法，函数零点与函数交点的关系，直线与二次函数相切时的切线斜率求法，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，

共20分．13.我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本.若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三

年级的学生人数为_____.【答案】700【解析】【分析】设从高三年级抽取的学生人数为2x人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x的值，可得高三年级的学生人数.【详解】设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x﹣2，2x﹣4.由题意可得2222436xxx

，∴7x.设我校高三年级的学生人数为N，再根据36271800N，求得N＝700故答案为：700.【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题.14.已知实数,xy满足24020xyyxy，则3zxy的最大值为__

_____.【答案】22【解析】【分析】3yxz，作出可行域，利用直线的截距与b的关系即可解决.【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由3zxy可得3yxz，观察可知，当直

线3yxz过点B时，z取得最大值，由2402xyy，解得82xy，即(8,2)B，所以max38222z.故答案为：22.【点睛】本题考查线性规划中线性目标函数的最值问题，要做好此类题，前提是正确画出可行域，本题是一道基

础题.15.（2017新课标全国II理科）等差数列na的前n项和为nS，33a，410S，则11nkkS____________．【答案】21nn【解析】设等差数列的首项为1a，公差为d，由题意有1123434102adad

，解得111ad，数列的前n项和111111222nnnnnnnSnadn，裂项可得12112()(1)1kSkkkk，所以1111111122[(1)(

)()]2(1)223111nkknSnnnn．点睛:等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a

1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法．使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．16.在三棱锥PABC中，2,1,90PAPCBA

BCABC，点P到底面ABC的距离是3；则三棱锥PABC的外接球的表面积是_________.【答案】5【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理以及勾股定理得出3PB，PB平面ABC，将三

棱锥PABC放入长方体中，得出长方体的外接球的半径，即为三棱锥PABC的外接球的半径，再由球的表面积公式得出答案.【详解】取AC中点为D，连接,PDBD，过点P作BD的垂线，垂足为E2,1PAPCBABC,ACBDACPD,PDBD平面PBD，PDB

DDAC平面PBDPEQ平面PBD，PEACPEBD，,BDAC平面ABC，BDACDPE平面ABC，即3PE在RtPED中，2227222PD222227322EDPDPE

22BD，E与B重合，即3PB，PB平面ABC将三棱锥PABC放入如下图所示的长方体中则该三棱锥的外接球的半径22211(3)522R所以三棱锥PABC的外接球的表面积25452S故答案为：5【点睛】

本题主要考查了多面体的外接球的问题，涉及了线面垂直的证明，属于中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：（共60分）17.某年级教师年龄数据如下表：

年龄(岁)人数(人)221282293305314323402合计20(1)求这20名教师年龄的众数与极差；(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图；(3)现在要在年龄为29岁和31岁的教师中选2位教师参加学校有关会

议，求所选的2位教师年龄不全相同的概率．【答案】（1）30,18；（2）见解析；（3）47【解析】试题分析：(1)由所给的年龄数据可得这20名教师年龄的众数为30，极差为18.(2)结合所给的数据绘制茎叶图即可；(3)由题意可知，其中任选2名教师共有21种选法，所选的2位教师年龄不全相同的选法

共有12种，结合古典概型计算公式可得所求概率值为47.试题解析：(1)年龄为30岁的教师人数为5，频率最高，故这20名教师年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差，即40－22＝18.(2)(3)设事件“所选的2位教师年龄不全相同”为事件A

.年龄为29，31岁的教师共有7名，从其中任选2名教师共有＝21种选法，3名年龄为29岁的教师中任选2名有3种选法，4名年龄为31岁的教师中任选2名有6种选法，所以所选的2位教师年龄不全相同的选法共有21－9＝12种，所以P(A)＝＝.18.在锐角△ABC中，23a，(2)coscosbcAaC

，（1）求角A；（2）求△ABC的周长l的范围.【答案】（1）3.（2）(623,63]【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角以及两角和的正弦公式，可得1cos2A，可得3A；（2）利用正弦定理将l表示为B的函数，根据锐角三角形得B的范围，再根据正弦函数的图象可得结果.【

详解】（1）∵(2)coscosbcAaC，2coscoscosbAaCcA，所以2sincossincossincosBAACCA，所以2sincossin()BAAC，所以2sincossinBAB，因为sin0B

，所以1cos2A，0,2A，所以3A.（2）234sin32aA，所以4sinsinbcBC,所以4sinbB，24sin4sin()3cCB，所以2234sin4sin()3labcBB236

sin23cosBB2343sin()6B因为△ABC是锐角三角形，且3A，所以022032BB，解得62B，所以2(,)633B，所以3sin()(,1]62B，所以(623,63]l.【点睛】本题考查了正弦定理、

两角和的正弦公式、锐角三角形的概念和正弦函数的图象的应用，属于中档题.19.如图所示的多面体中，四边形ABCD是正方形，平面AED平面ABCD，//EFDC，112EDEFCD，30EAD∠°.（1

）求证：AEFC；（2）求点D到平面BCF的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）2217【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理以及性质，即可证明；（2）利用等体积法求解即可.【详解】（1）四边形ABCD是正方

形，CDAD又平面ADE平面ABCD，平面ADE平面ABCDAD，CD平面ABCDCD\^平面ADE又AE平面ADECDAE在ADE中，2,1,30ADDEEAD由余弦定理得，3AE，∴222

AEDEAD，∴AEED.又CDEDD，,CDED平面EFCD∴AE⊥平面EFCD.又FC平面EFCD∴AEFC.（2）连结DF，由（1）可知，AE⊥平面CDEF四边形ABCD是正方形，∴//ABDC又DC面CDEF，AB面CD

EF∴//AB面CDEFA到CDEF的距离等于B到CDEF的距离.即B到面DFC的距离为AE.在直角梯形EFCD中，1,1,2EFDEDC∴2FC∴112CDFSDCDE△，1333BCDFCDFVSAE△在直角梯形EFBA中，1,3,2EFAEAB可得2BF在

等腰BFC△中，2BCBF，2FC∴11472222BFCS△，设点D到平面BFC的距离为d，DBCFBCDFVV，即1333DBCFBFCVSd△，3221=7BFCdS点D到平面BCF

的距离为2217.【点睛】本题主要考查了证明线线垂直以及求点到平面的距离，属于中档题.20.已知椭圆22221(0)xyabab的长轴长是短轴长的2倍，且过点(01)B，.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线:(2)lykx交椭圆于,PQ两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数

k的取值范围.【答案】（1）2214xy；（2）31,102.【解析】【分析】（1）题设条件为1,2bab易得椭圆方程；（2）设1122(,),(,)PxyQxy，直线方程与椭圆方程联立，消元得一元二次方程，由韦达定理可得12

xx，注意到直线(2)ykx恒过定点(2,0)，此为椭圆的左顶点，因此有12x，10y，这样可得出Q点坐标，点B始终在以PQ为直径的圆内，则0BPBQ，由此可得k的范围．【详解】（1）由题意知，213abc，椭圆的标准方程为：2214xy.（2）设1

122(,),(,)PxyQxy联立22(2)14ykxxy，消去y，得：2222(14)16(164)0(*)kxkxk，依题意：直线:(2)lykx恒过点(2,0)，此点为椭圆的左顶点，所以112,0xy①，由（*）式，21221614kxxk

②，得1212()4yykxxk③，由①②③，22222284,1414kkxykk，由点B在以PQ为直径圆内，得PBQ为钝角或平角，即0BPBQ.22(2,1),(,1)BPBQxy22210BPBQxy.即22241641014

14kkkk整理得220430kk，解得31,102k.【点睛】本题考查椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交中的范围问题．由于直线过定点(2,0)是椭圆左顶点，即其中一个交点已知了，因此可求出另一交点坐标，利用0BPBQ求得结论．本题

属于中档题．考查学生的运算求解能力．21.已知函数lnfxxaxaR.（1）若曲线yfx与直线1ln20xy相切，求实数a的值；（2）若不等式1lnxxfxxe在定义域内恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）1；（2）1,e

.【解析】分析：（1）求导，利用导数的几何意义进行求解；（2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再求导，通过导数的符号变化确定函数的单调性，进而求出极值和最值.详解：（1）1'fxax，设

切点的横坐标为0x，由题意得00001112axxlnlnxax，解得012x，1a，所以实数a的值为1.（2）由题意，1lnlnxxxaxxe在定义域内恒成立，得ln111xaxex在定义域内恒成立，令ln10

11xgxxxex，则2111ln'1xexgxx，再令111lnhxxex，则211'0hxxx，即yhx在0,上单调递减，又0he，所以当0,ex时，0hx

，从而'0gx，ygx在0,e上单调递增；当e,x时，0hx，从而'0gx，ygx在,e上单调递减；所以gx在xe处取得最大值1gee，所以实数a的取值范围是1,e.点睛：1.在处理曲线的切线时，要注意

区分“在某点的切线”和“过某点的切线”，前者的点一定为切点，但后者的点不一定在曲线上，且也不一定为切点；2.在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用“()fxM恒成立min

()fxM”进行处理.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos42，曲线C的极坐标方

程为6cos0.（1）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）已知点(1,0)A，若直线l与曲线C交于,PQ两点，,PQ中点为M，求||||||APAQAM的值.【答案】（1）10xy.22(3)9xy

.（2）522【解析】【分析】（1）直接利用极坐标和参数方程公式计算得到答案.（2）设直线l的参数方程为21,222xtyt，代入方程得到125tt，1222tt，代入计算得到答案.【详解】（1）直线2:cos42l，故cossin10

，即直线l的直角坐标方程为10xy.因为曲线:6cos0C，则曲线C的直角坐标方程为2260xyx，即22(3)9xy.（2）设直线l的参数方程为21,222xtyt（t为参数），将其代入曲线C的直角坐标系方程得22250tt.设P

，Q对应的参数分别为1t，2t，则125tt，1222tt，所以M对应的参数12022ttt，故120|t||t|||||552=||||22APAQAMt.【点睛】本题考查了参数方程和极坐

标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.23.已知函数()|2|fxx.（1）求不等式()(2)4fxfxx的解集；（2）若xR，使得()()(2)fxafxfa…恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)22xx.(2)22,3

.【解析】【分析】（1）先由题意得24xxx，再分别讨论2x≤，20x，0x三种情况，即可得出结果；（2）先由含绝对值不等式的性质，得到22fxafxxaxa，再由题意，可得22aa，求解，即可得出结果.【详解】（

1）不等式24fxfxx可化为24xxx，当2x≤时，224xx，2x，所以无解；当20x时，24x所以20x；当0x时，224xx，2x，所以02x，综上，不等式24fxfxx的解集是|22xx.（2）

因为22fxafxxaxa又xR，使得2fxafxfa恒成立，则22aa，2222aa，解得223a.所以a的取值范围为22,3.【

点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的思想，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.