【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第7讲 函数的奇偶性与周期性 Word版含解析.docx，共(12)页，892.905 KB，由小赞的店铺上传

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第7讲函数的奇偶性与周期性思维导图知识梳理1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称

2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．核心素养分析能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。重点提升数学抽象、逻辑推理素养.题型归纳题型1函数奇偶性

的判定【例1-1】（2019•全国）下列函数中，为偶函数的是()A．2(1)yx=+B．2xy−=C．|sin|yx=D．(1)(1)ylgxlgx=++−【分析】根据函数奇偶性的定义分别进行判断即可．【解答】解：A．函数关于

1x=−对称，函数为非奇非偶函数，B．函数的减函数，不具备对称性，不是偶函数，C，()|sin()||sin||sin|()fxxxxfx−=−=−==，则函数()fx是偶函数，满足条件．D．由1010xx+−得11xx−得1x，函数的定义为(1,)+，定义域关于原点不对

称，为非奇非偶函数，故选：C．【例1-2】（2019·肥西质检）判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝36－x2|x＋3|－3；(2)f(x)＝1－x2＋x2－1；(3)f(x)＝log2（1－x2）|x－2|－2；(4)f(x)＝x2＋x，x<

0，x2－x，x>0.【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可.【解答】(1)由f(x)＝36－x2|x＋3|－3，可知36－x2≥0，|x＋3|－3≠0⇒－6≤x≤6，x≠0且x≠－6，故函数f

(x)的定义域为(－6，0)∪(0，6]，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．(2)由1－x2≥0，x2－1≥0⇒x2＝1⇒x＝±1，故函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f

(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)＝－f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)由1－x2>0，|x－2|－2≠0⇒－1<x<0或0<x<1，定义域关于原点对称．此时f(x)＝log2（1－x2）|x－2|－2＝log2（1－x2）2－x－2＝－log2（1－x2）x

，故有f(－x)＝－log2[1－（－x）2]－x＝log2（1－x2）x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．(4)法一：图象法画出函数f(x)＝x2＋x，x<0，x2－x，x>0的图象如图所示，图象关于y轴

对称，故f(x)为偶函数．法二：定义法易知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2＋x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2－x＝f(

x)，故原函数是偶函数．法三：f(x)还可以写成f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故f(x)为偶函数．【跟踪训练1-1】（2020春•龙华区校级月考）已知函数21(),()221xxfxgxx+==−，则下列结论正确的是()A．()()fxgx为奇函数B．()()

fxgx为偶函数C．()()fxgx+为奇函数D．()()fxgx+为非奇非偶函数【分析】判断可知函数()fx，()gx均为奇函数，利用奇函数的性质即可得解．【解答】解：2112()()2112xxxx

fxfx−−++−===−−−，故函数()fx为奇函数，显然函数()gx也为奇函数，()()fxgx为偶函数，()()fxgx+为奇函数，故选：BC．【跟踪训练1-2】（2019秋•桥西区校级月考）判断下列函数的奇偶性，并求函数的值域（1）2()1xxfxx

−=−（2）()3||gxx=−【分析】（1）可以得出()fxx=，从而可看出()fx是奇函数，值域为R；（2）可看出()gx是偶函数，并容易求出()gx的值域为(−，3]．【解答】解：（1）2()1xxfxx

x−==−，()fx是奇函数，且()fx的值域为R；（2）()3||gxx=−为偶函数，||0x…，3||3x−„，()gx的值域为(−，3]．【名师指导】判断函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证

f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．(2)图象法：(3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．题型2函数奇偶性的应用【例2-1】(1)(2019·高考全国

卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln2)＝8，则a＝________．(2)函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝_______

_．(3)(2020·湖南永州质检)已知函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)＝________．【分析】根据函数奇偶性的性质求解.【解答】(1)当x>0时，－x<0，f(－x)＝－e－ax.因为函

数f(x)为奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，所以f(ln2)＝e－aln2＝12a＝8，所以a＝－3.(2)因为f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x＋1，所以当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，即x<0时，f(x)

＝－(－x＋1)＝x－1.(3)设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sinx，显然F(x)为奇函数．又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.【跟踪训练2-1】（2019•新课标Ⅱ）设()fx为奇函数，且当0x…时，()1xfxe=−，则当0x

时，()(fx=)A．1xe−−B．1xe−+C．1xe−−−D．1xe−−+【分析】设0x，则0x−，代入已知函数解析式，结合函数奇偶性可得0x时的()fx．【解答】解：设0x，则0x−，()1xfxe−−=−，设()fx为奇函数，()1xfxe−−=−，即()1xf

xe−=−+．故选：D．【跟踪训练2-2】（2020•上海）若函数133xxya=+为偶函数，则a=．【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得()()113333xxxxaa−−+=+，变形分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数133xxya=+为偶函数，则()()fx

fx−=，即()()113333xxxxaa−−+=+，变形可得：(33)(33)xxxxa−−−=−，必有1a=；故答案为：1．【跟踪训练2-3】（2020•迎泽区校级模拟）已知()fx为奇函数，当0x时，()3fxlnxx=−，则(1)f−的值为．【分析】结合已知函数解析式及奇函数

的定义代入即可求解．【解答】解：因为()fx为奇函数，当0x时，()3fxlnxx=−，则(1)ff−=−（1）(13)3ln=−−=．故答案为：3【跟踪训练2-4】（2019秋•丰台区期末）函数()yfx=是定义在R上的偶函数，且图象过(1,1)−点．已知0x…时，()1

(0xfxaa=−且1)a．（Ⅰ）求f（1）的值和a的值；（Ⅱ）若()[0fm，3]，求m的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据题意，由偶函数的性质可得f（1）(1)1f=−=，进而结合函数的解析式可得f（1）11a=−=，解可得a的值，即可得答案；（Ⅱ）根据题意，

由函数的解析式分析可得0m…时，()3fm„的解集，结合函数的奇偶性分析可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，()yfx=图象过(1,1)−点，即(1)1f−=，又由()yfx=是定义在R上的偶函数，则f（1）(1)1f=−=，又由0x…时，()1xfxa=

−，则f（1）11a=−=，解可得2a=；（Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ）的结论，0x…时，()21xfx=−，此时若()3fm„，即213m−„且0m…，解可得：02m剟，又由()fx为偶函数，则()322fmm−剟?，即m的取值范围为[2−，2]．【名师指导】与函数奇偶性有关的问题及解题策略(1

)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解．(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．(3)求解析式中的参数值：在定义

域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)，f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求

解．题型3函数的周期性【例3-1】（2019•上海）已知函数()fx周期为1，且当01x„时，2()logfxx=，则3()2f=．【分析】由题意知函数()fx周期为1，所以化简3()2f再代入即可．【解答】解：因

为函数()fx周期为1，所以31()()22ff=，因为当01x„时，2()logfxx=，所以1()12f=−，故答案为：1−．【例3-2】（2020•安阳二模）已知()yfx=是定义在R上的函数，且(4)()fxfx−=−，

如果当[4x−，0)时，()(2)xfx−=，则(266)f=．【分析】推导出(8)(4)()fxfxfx+=−+=，再由当[4x−，0)时，()3xfx−=，得到(266)(3382)fff=+=（2）(2)f=−−，由此能求出结果．【解答】解：()yfx=是定义在R上的函数，

且(4)()fxfx+=−，(8)(4)()fxfxfx+=−+=，当[4x−，0)时，()(2)xfx−=，(266)(3382)fff=+=（2）2(2)(2)2f=−−=−=−．故答案为：2−

．【跟踪训练3-1】（2020春•红旗区校级月考）已知()fx是定义在R上周期为2的函数，当[1x−，1]时，()||fxx=，那么当[7x−，5]−时，()(fx=)A．|3|x+B．|3|x−C．|6|x+D．|6|x−【分析】当[7x−，5]−时，

6[1x+−，1]．再利用周期性即可得出．【解答】解：当[7x−，5]−时，6[1x+−，1]．()(6)|6|fxfxx=+=+，故选：C．【跟踪训练3-2】(2019·山西八校联考)已知f(x)

是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝－1f（x），当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f－112＝________．【分析】先求出函数的周期，再根据周期函数的性质计算即可.【解答】∵f(x＋2)

＝－1f（x），∴f(x＋4)＝f(x)，∴f－112＝f52，又2≤x≤3时，f(x)＝x，∴f52＝52，∴f－112＝52.【名师指导】函数周期性有关问题的求解策略(1)求

解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．(2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性．题

型4函数性质的综合应用【例4-1】（2020•山东）若定义在R的奇函数()fx在(,0)−单调递减，且f（2）0=，则满足(1)0xfx−…的x的取值范围是()A．[1−，1][3，)+B．[3−，1][0−，1]

C．[1−，0][1，)+D．[1−，0][1，3]【分析】根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可．【解答】解：定义在R的奇函数()fx在(,0)−单调递减，且f（2）0=，()fx的大致图象如图：()fx在(0,)+上单调递减，且(2

)0f−=；故(1)0f−；当0x=时，不等式(1)0xfx−…成立，当1x=时，不等式(1)0xfx−…成立，当12x−=或12x−=−时，即3x=或1x=−时，不等式(1)0xfx−…成立，当0x时，不等式(1)0xfx−…等价为(1)0fx−…，此时0012xx−„，此时13x

„，当0x时，不等式(1)0xfx−…等价为(1)0fx−„，即0210xx−−„，得10x−„，综上10x−剟或13x剟，即实数x的取值范围是[1−，0][1，3]，故选：D．【例4-2】（2020•安庆模拟）已知奇函数()fx的定义域为R，若(1)

fx+为偶函数，且f（1）2=，则(2019)(2020)(ff+=)A．2−B．1−C．0D．1【分析】根据题意，由(1)fx+为偶函数，分析可得()(2)fxfx−−=+且f（1）2=，结合函数周期即可得答案【解答】解：根据题意，函数()fx为奇函数，则()()fxfx−=−，又由(1)fx

+为偶函数，则函数()fx的图象关于1x=对称，则有()(2)()()fxfxfxfx−=+=−=−，所以(4)()fxfx+=即函数的周期为4，且f（1）2=，则(2019)(12020)(1)ffff=−+=−=−

（1）2=−，(2020)(0)0ff==，则(2019)(2020)2ff+=−故选：A．【例4-3】（多选）（2020•烟台模拟）已知()fx是定义域为(,)−+的奇函数，(1)fx+是偶函数，且当(0x，1]时，()(2)fxxx=−−

，则()A．()fx是周期为2的函数B．(2019)(2020)1ff+=−C．()fx的值域为[1−，1]D．()fx的图象与曲线cosyx=在(0,2)上有4个交点【分析】A，根据题意得()(4)fxfx=−，()fx是周期为4的周期函数，A错误；B，因为()f

x是周期为4的周期函数，则(2020)(0)0ff==；当(0x，1]时，()(2)fxxx=−−，则f（1）1(12)1=−−=，则(2019)(12020)(1)ffff=−+=−=−（1）1=−，进而得出B正确．C，当(0x，1]时，()(2)fxxx=−−，此时有0(

)1fx„，又由()fx为R上的奇函数，则[1x−，0)时，1()0fx−„，进而得出C正确．D，由函数图象可知，D正确．【解答】解：根据题意，对于A，()fx为R上的奇函数，(1)fx+为偶函数，则()(11)(2)(2)(4)fxfxfxfxfx=−+=−+=−−=−；则(

)fx是周期为4的周期函数，A错误；对于B，()fx为定义域为R的奇函数，则(0)0f=，()fx是周期为4的周期函数，则(2020)(0)0ff==；当(0x，1]时，()(2)fxxx=−−，则f（1）1(12)1=−−=，则(2019)(12020)(1)ffff=−+=−=−（

1）1=−，则(2019)(2020)1ff+=−；故B正确．对于C，当(0x，1]时，()(2)fxxx=−−，此时有0()1fx„，又由()fx为R上的奇函数，则[1x−，0)时，1()0fx−„

，所以函数()fx的值域[1−，1]．故C正确．对于D，由函数图象可知，D正确．故选：BCD．【跟踪训练4-1】（2020•新课标Ⅱ）设函数331()fxxx=−，则()(fx)A．是奇函数，且在(0,)+单调递增B．是奇函数，且在(0,)+单

调递减C．是偶函数，且在(0,)+单调递增D．是偶函数，且在(0,)+单调递减【分析】先检验()fx−与()fx的关系即可判断奇偶性，然后结合幂函数的性质可判断单调性．【解答】解：因为331()fxxx=−，则331()()fxxfxx−=−+=−，即()fx为奇函数，根据幂

函数的性质可知，3yx=在(0,)+为增函数，故131yx=在(0,)+为减函数，231yx=−在(0,)+为增函数，所以当0x时，331()fxxx=−单调递增，故选：A．【跟踪训练4-2】（2020•和平区二模）已知()fx是定义在R上的

偶函数，且在区间(−，0]上单调递增，若实数a满足3log(2)(2)aff−，则a的取值范围是．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】解：因为()fx是定义在R上的偶函数，且在区间(−，0]上单调递增，根据偶函数的对称性可知，()fx在(0

,)+上单调递减，因为3log(2)(2)aff−，所以322loga，即31log2a，解可得，03a故答案为：(0,3)【跟踪训练4-3】（2020•江苏模拟）已知()fx是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒有(2)()fxfx+=−，当[0x

，2]时，2()2fxxx=−．（1）求证：函数()fx的周期是4；（2）求(2017)(2018)(2019)(2020)ffff+++的值；（3）当[2x，4]时，求()fx的解析式．【分析】（1）结

合已知及周期的定义即可求解；（2）结合已知周期性及已知区间上的函数解析式进行转化，代入可求；（3）先把所求区间上的变量进行转化到已知区间上，然后结合奇函数的性质可求．【解答】解：（1）证明：因为(4)[)2)2](2)()fxfxf

xfx+=++=−+=，故函数的周期4T=；（2）(2017)(2018)(2019)(2020)fffff+++=（1）f+（2）f+（3）f+（4）f=（1）f+（2）(1)(0)fff+−+=（1）f+（2）f−（1）(0)ff+=（2）0=，（3）当[2x，4]时，[4x−−，2

]−，所以042x−剟，所以22(4)(4)2(4)68()()fxxxxxfxfx−=−−−=−+=−=−，所以2()68fxxx=−+−，[2x，4]．【名师指导】函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单

调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)单调性、奇偶性与周

期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．