【文档说明】“超级全能生”2021届高三全国卷地区1月联考试题（丙卷）数学（理）含解析.doc，共(22)页，1.337 MB，由小赞的店铺上传

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-1-2021年“超级全能生”高考数学联考试卷（理科）（丙）（1月份）一、选择题（每小题5分）.1．设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，复数z在复平面内对应的点为（3，4），则下列等式错误的是（）A．z•i＝﹣4+3iB．（+1）i＝3+4iC．|z|＝5D．2．已知全

集为R，集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|log2（x+3）＜2}，则A∩（∁RB）＝（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|1＜x≤3}C．{x|1≤x≤2}D．{x|1≤x≤3}3．记（x+y）6＝a0x6+a1x5y+a2x4y2+a3x3y3+a4x2y4+a

5xy5+a6y6，则a0，a1，a2，a3，a4，a5，a6中最大的数为（）A．15B．20C．25D．304．已知锐角α，β满足sin（α﹣）＝，，则sin（α+β）＝（）A．B．C．D．5．已知2a＝3b＝6，c＝logab，则

a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜b＜aD．c＜a＜b6．已知正项等差数列{an}和正项等比数列{bn}，a1＝b1＝1，b3是a2，a6的等差中项，a8是b3，b5的等比中

项，则下列关系成立的是（）A．a100＞b100B．a1024＝b11C．a10＞b5D．a99＞b97．如图，二面角α﹣l﹣β为60°，A∈α，B∈β，C，D，E∈l，∠BCD＝45°，∠AED＝30°，AE＝2BC，l⊥平面ABD，则直线AB与β所成的角为（）A．

45°B．60°C．90°D．30°8．已知江大爷养了一些鸡和兔子，晚上关在同一间房子里，数了一下共有7个头，20只脚，清晨打开房门，鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的概率为（）-2-A．B．C

．D．9．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2048B．1024C．2046D．409410．已知三棱锥P﹣ABC中，△ABC是等腰直角三角形，AB⊥AC，AB＝，PA＝2，∠PAB＝∠PAC，三棱锥P﹣AB

C的体积为+1，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．36πB．32πC．24πD．16π11．已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2（如图），过F2的直线交E于P，Q两点，且PF1⊥x轴，|PF2|＝13|F2Q|，则E的离心率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝，若

∀x2≤0，∃x1＞0，使f（x1）+f（x2）＝0成立，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．[，+∞）C．（﹣∞，]D．（﹣∞，]二、填空题（每小题5分）.13．已知单位向量，满足|+2|＝2，则与2﹣夹角的余弦值为．14．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣2，且3Sn+an+1+

2＝0，设bn＝（﹣1）nan，数列{bn}-3-的前n项和为Tn，则Tn＝．15．已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x+m与C交于P，Q两点，当|PQ|最小时，四边形F1PF2Q的面积为．16．《九章算术》第五章“商功”主要是土石工程、体积计算，除给出了各种几何体体

积公式外，还有工程分配方法，其中题【十八】今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？其中“刍甍”（chúméng）是茅草屋顶形状的几何体，已知有一刍甍AB﹣CDEF如图所示，四边形CDEF为矩形，CD＝4

，DE＝2，AB∥CD，AB＜CD，若该刍甍高（AB到底面CDEF的距离）为1，体积为，则AB＝．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考

生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足sin（A﹣B）＝sinA﹣sinC．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若点D为BC上一点，DC＝2，C＝，DE平分∠AD

C交AC于点E，S△ADE＝，求BD．18．某电商平台准备今年的周年庆典活动，为了更精准地投放优惠券以提高销售额，对去年周年庆典活动中的优惠券使用情况和用户消费金额进行了统计分析，统计结果显示，去年老用户的消费金额满足正态分布，设消费金额为X（单位：元），X～N（600，16），如图所示

，经计算得P（600≤X＜720）＝0.3．（Ⅰ）求P（X＜480）；-4-（Ⅱ）根据去年的统计结果，该电商平台今年预备推出“消费金额每满300元减30元”和“消费金额每满800元减90元”两种优惠券，为了进一步了解用户的购买意向，

计划把去年的用户按消费金额分成四组（0，480），[480，600），[600，720），[720，+∞），用分层抽样抽取10位去年的老用户作为幸运用户，赠送礼品并进行问卷调查．（ⅰ）计算各组应抽的老用户数；（ⅱ）为了了解用户对今年的两种优惠券的意见，确定两种优惠券的投放比例

，从[480，600），[600，720）两组的幸运用户中随机抽取3人进行面对面访谈，记从[480，600）一组中抽取的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．已知三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝1，三棱锥Q﹣ABC中△QAB，△QBC，△QCA为全等的等边

三角形，QA＝．（Ⅰ）证明：PQ⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线QB与平面APQ所成角的正弦值．20．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，t﹣），B（﹣2，t+），若点P同时满足：①△PAB的面积为S1，②以P为圆心的圆过点F（2

，0），且圆P的面积为S2，若S1＝．（Ⅰ）求P的轨迹E的方程；（Ⅱ）若过F的直线l与E交于M，N两点，点Q（﹣2，0），求证：．21．已知函数f（x）＝lnx+mx2+（2m+1）x，其中m＜0．（Ⅰ）若f（

x）在区间（2，+∞）上单调递减，求m的取值范围；（Ⅱ）若不等式f（x）≤n对x＞0恒成立，证明：n﹣3m＞0．（二）选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂

黑。[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l经过定点（﹣1，1），倾斜角为．以坐标原点为极点，x-5-轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4＝0．（Ⅰ）求l

的参数方程和C的直角坐标方程；（Ⅱ）设l与C的交点为M，N，求△CMN的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝2sinx+|a﹣1|+|a﹣2|．（Ⅰ）若f（）＞7，求a的取值范围；（Ⅱ）若a＞0，在（Ⅰ）的

条件下，记a的最小正整数为m，且正实数b，c，d满足b+c+d＝m，证明：．-6-参考答案一、选择题（每小题5分）.1．设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，复数z在复平面内对应的点为（3，4），则下列等式错误的是（）A．z•i＝﹣4+3iB．（+1）i＝3+4iC．|z|＝5D

．解：由已知可得z＝3+4i，则＝3﹣4i，所以z•i＝（3+4i）•i＝﹣4+3i，故A正确，（+1）•i＝（3﹣4i+1）•i＝（4﹣4i）•i＝4+4i，故B错误，|z|＝，故C正确，，故D正确，故

选：B．2．已知全集为R，集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|log2（x+3）＜2}，则A∩（∁RB）＝（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|1＜x≤3}C．{x|1≤x≤2}D．{x|1≤x≤3}解：由log2（x+3）＜2可得

：0＜x+3＜4，∴﹣3＜x＜1，∴集合B＝{x|﹣3＜x＜1}，∴∁RB＝{x|x≤﹣3或x≥1}，又∵集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，∴A∩（∁RB）＝{x|1≤x≤3}，故选：D．3．记（x+y）6＝a0x6+a1x5y+a2x4y2+

a3x3y3+a4x2y4+a5xy5+a6y6，则a0，a1，a2，a3，a4，a5，a6中最大的数为（）A．15B．20C．25D．30解：由题设可知：ai＝（i＝0，1，2，…，6），由二项式系数的性质可知：（ai）max＝a3＝＝2

0，-7-故选：B．4．已知锐角α，β满足sin（α﹣）＝，，则sin（α+β）＝（）A．B．C．D．解：∵锐角α，β满足sin（α﹣）＝，，∴cos（α﹣）＝，sin（β+）＝，∴sin（α+β）＝sin[（α﹣）+（β+）]＝sin（α﹣）

cos（β+）+cos（α﹣）sin（β+）＝×+×＝．故选：B．5．已知2a＝3b＝6，c＝logab，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜b＜aD．c＜a＜b解：，∵0＜log62＜log

63＜1，∴，即a＞b＞1，∴c＝logab＜logaa＝1，∴c＜b＜a．故选：C．6．已知正项等差数列{an}和正项等比数列{bn}，a1＝b1＝1，b3是a2，a6的等差中项，a8是b3，b5的等比中项，则下列关系成立的是（）A．a100＞b100B．a1024＝b11C．a1

0＞b5D．a99＞b9解：设正项等差数列{an}的公差为d，d＞0，正项等比数列{bn}的公比为q，q＞0，由a1＝b1＝1，b3是a2，a6的等差中项，即为2b3＝a2+a6，a8是b3，b5的等比中项，即a82＝b3b5，-8-由，解得，则an＝n，bn＝

2n﹣1，由a100﹣b100＝100﹣299＜0，即a100＜b100，故A错误；由a1024＝1024，b11＝210＝1024，可得a1024＝b11，故B正确；由a10＝10，b5＝24＝16，a10＜b5，故

C错误；由a99＝99，b9＝28＝256，a99＜b9，故D错误．故选：B．7．如图，二面角α﹣l﹣β为60°，A∈α，B∈β，C，D，E∈l，∠BCD＝45°，∠AED＝30°，AE＝2BC，l⊥平面ABD，则直线AB与β所成的角为（）A．45°B

．60°C．90°D．30°解：∵l⊥平面ABD，AD、BD⊂平面ABD，∴l⊥AD，l⊥BD，又二面角α﹣l﹣β为60°，∴∠ADB＝60°，设BC＝，则AE＝4，在Rt△BCD中，∵∠BCD＝45°，∴BD＝1，

在Rt△ADE中，∵∠AED＝30°，∴AD＝2，在△ABD中，由余弦定理知，AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BDcos∠ADB＝4+1﹣2×2×1×＝3，∴AB＝，∴AB2+BD2＝AD2，即AB⊥BD，∵l⊥平面ABD，

AB⊂平面ABD，∴l⊥AB，又l∩BD＝D，l、BD⊂平面β，∴AB⊥平面β，即直线AB与β所成的角为90°．故选：C．8．已知江大爷养了一些鸡和兔子，晚上关在同一间房子里，数了一下共有7个头，20只脚，清晨打

开房门，鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的概率为（）-9-A．B．C．D．解：设有鸡x只，兔子y只，则有：，解得x＝4，y＝3，清晨打开房门，鸡和兔子随机逐一向外走，基本事件总数n＝＝5040，恰有2只兔子相邻走出房子包含的基本事件个数m＝＝2880，

则恰有2只兔子相邻走出房子的概率P＝＝＝．故选：D．9．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2048B．1024C．2046D．4094解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝2+4+8+16+32+6

4+128+256+512+1024的值，故S＝2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024＝2046，即输出的S的值为2046．故选：C．10．已知三棱锥P﹣ABC中，△ABC是等腰直角三角形，AB⊥AC，AB＝，PA＝2，∠PAB＝∠PAC，三棱锥P﹣ABC的体积为

+1，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．36πB．32πC．24πD．16π解：设P在底面上的投影为Q，过A作AD⊥BC，垂足为D，因为△ABC是等腰直角三角形，AB⊥AC，AB＝，-10-所以S△ABC＝＝3，因为三棱锥P﹣ABC的体积V＝＝+1，所以PQ＝1+，因为∠PAB＝∠PAC，

所以Q在AD上，且AD＝，因为AQ＝＝＝，DQ＝AD﹣AQ＝1，过D作DG⊥平面ABC，过P作PG⊥DG，垂足为G，则球心O在DG上，设OD＝x，则GG＝﹣x，所以R2＝OB2＝OD2+BD2＝OG2+GP2＝OP2，所

以，解得x＝1，R＝2，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S＝4πR2＝16π．故选：D．11．已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2（如图），过F2的直线交E于P，Q两点，且PF1⊥x轴，|PF2|＝13|F2Q|，则E的离心率为（）-1

1-A．B．C．D．解：过Q作QH垂直x轴，交x轴于H，由题意可得，P（﹣c，），，△PF1F2∽△QHF2，∴，∴|QH|＝，|HF2|＝，所以点Q（），又点Q在椭圆上，∴，即225c2+b2＝169a2，又b2＝a2﹣c2，∴2

24c2＝168a2，∴，故选：D．12．已知函数f（x）＝，若∀x2≤0，∃x1＞0，使f（x1）+f（x2）＝0成立，则a的取值范围为（）-12-A．（﹣∞，]B．[，+∞）C．（﹣∞，]D．（﹣∞，]

解：∵∀x2≤0，∃x1＞0，使得f（x1）+f（x2）＝0成立，∴函数y＝﹣f（x2）的值域是函数y＝f（x1）的值域的子集，当x≤0时，f（x）＝x2+x+＝+1，∴f（x）≥1，∴﹣f（x）≤﹣1，∴y＝﹣f（x）的值

域为（﹣∞，﹣1]，∴当x＞0时，2lnx﹣ax≥﹣1成立，即a≤，设g（x）＝，则g′（x）＝，当x∈（0，）时，g（x）单调递增，当x∈（，+∞）时，g（x）单调递减，∴g（x）max＝g（）＝，∴a≤，即a∈（﹣∞

，]，故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知单位向量，满足|+2|＝2，则与2﹣夹角的余弦值为．解：∵，∴＝，解得，∴，＝，∴与夹角的余弦值为：．故答案为：．14．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣2，且3Sn+an+1+2＝0，设

bn＝（﹣1）nan，数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝2n+1﹣2．解：依题意，由3Sn+an+1+2＝0，可得3Sn﹣1+an+2＝0，两式相减，可得3an+an+1﹣an＝0，化简整理，得an+

1＝﹣2an，∵a1＝﹣2，-13-∴数列{an}是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，故an＝﹣2•（﹣2）n﹣1＝（﹣2）n，则bn＝（﹣1）nan＝（﹣1）n•（﹣2）n＝2n＝2•2n﹣1，∴数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴Tn＝＝2n+1﹣2．故答案为：

2n+1﹣2．15．已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x+m与C交于P，Q两点，当|PQ|最小时，四边形F1PF2Q的面积为12．解：由，可得x2﹣8mx﹣（4m2+20）＝0，则△＝64m2+4（4m

2+20）＝80（m2+1）＞0，设P，Q的横坐标分别为x1，x2，可得x1+x2＝8m，x1x2＝﹣（4m2+20），则|PQ|＝•＝•＝•≥4，当且仅当m＝0时，|PQ|取得最小值4，当|PQ|最小时，四边

形F1PF2Q为平行四边形，由F2（3，0）到直线y＝x的距离为d＝＝，所以四边形F1PF2Q的面积为d|PQ|＝×4＝12．故答案为：12．16．《九章算术》第五章“商功”主要是土石工程、体积计算，除给出了各种几何体体积公式外，还有工程分配

方法，其中题【十八】今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？其中“刍甍”（chúméng）是茅草屋顶形状的几何体，已知有一刍甍AB﹣CDEF如图所示，四边形CDEF为矩形，CD＝4，DE＝2，AB∥CD，AB＜CD

，若该刍甍高（AB到底面CDEF的距离）为1，体积为，则AB＝2．-14-解：如图，平面AGH和平面BJI平行，都垂直于平面ABCD，且GH⊥CD，设AB＝x，CH＝m，ID＝n，x+m+n＝4，则几何体被分成两个四棱锥与一个三棱柱，三棱柱的体积为，两个四棱锥的体积和为＝，

∴，解得x＝2．故答案为：2．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．已知△A

BC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足sin（A﹣B）＝sinA﹣sinC．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若点D为BC上一点，DC＝2，C＝，DE平分∠ADC交AC于点E，S△ADE＝，求BD．解：（I）因为sin（A﹣B）＝sinA﹣sinC，所以sinAcosB﹣sinBcosA

＝sinA﹣sinAcosB﹣sinBcosA，所以2sinAcosB＝sinA，-15-因为sinA＞0，所以cosB＝，因为B为三角形的内角，所以B＝；（II）S△ADE＝，S△CDE＝，CD＝2，所以AD＝2，△ACD中，设AC＝x，由余弦定理得x2+4﹣4x×＝28，即，解得x＝4

（舍），△ABC中，sin∠BAC＝sin（）＝，由正弦定理得BC＝×AC＝6+2，所以BD＝4+2．18．某电商平台准备今年的周年庆典活动，为了更精准地投放优惠券以提高销售额，对去年周年庆典活动中的优惠券使用情况和用户消费金额进行了统计分析，统计结果显示，

去年老用户的消费金额满足正态分布，设消费金额为X（单位：元），X～N（600，16），如图所示，经计算得P（600≤X＜720）＝0.3．（Ⅰ）求P（X＜480）；（Ⅱ）根据去年的统计结果，该电商平台今年预备推出“消费金额每满30

0元减30元”和“消费金额每满800元减90元”两种优惠券，为了进一步了解用户的购买意向，计划把去年的用户按消费金额分成四组（0，480），[480，600），[600，720），[720，+∞），用分层抽样抽取10位去年的老用户作为幸运用户，赠送礼品并进行问卷调查．（ⅰ）计算各

组应抽的老用户数；（ⅱ）为了了解用户对今年的两种优惠券的意见，确定两种优惠券的投放比例，从[480，600），[600，720）两组的幸运用户中随机抽取3人进行面对面访谈，记从[480，600）一组中抽取的人数为ξ，求ξ

的分布列和数学期望．-16-解：（Ⅰ）根据正态分布的对称性可得，P（X＜480）＝＝0.2；（Ⅱ）（ⅰ）根据正态分布的对称性可得，P（480≤X＜600）＝0.3，P（X≥720）＝0.2，所以从（0，480）一组中抽10×0.2＝2人，从[480，600）一组中抽10×0.

3＝3人，从[600，720）一组中抽10×0.3＝3人，从[720，+∞）一组中抽10×0.2＝2人；（ⅱ）由（i）可知，两组各有幸运用户3人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，所以P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（

ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，所以ξ的分布列为：ξ0123P所以ξ的数学期望为E（ξ）＝＝．19．已知三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝1，三棱锥Q﹣ABC中△QAB，△QBC，△QCA为全等的等边三角形，QA＝．（Ⅰ）证明：PQ⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线QB

与平面APQ所成角的正弦值．解：（Ⅰ）证明：取AB的中点D，连接CD，在CD上取一点M，使得CM＝2MD，连接-17-PM，QM，∵PA＝PB＝PC＝1，AB＝BC＝CA＝，∴△PAB，△PBC，△PCA是全等的等腰直角三角形，∴PC⊥PA，PC⊥PB，∵PA∩PB＝P

，PA、PB⊂平面PAB，∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，∵△ABC为等边三角形，∴CD⊥AB，∵PC∩CD＝C，PC、CD⊂平面PCD，∴AB⊥平面PCD，∵PM⊂平面PCD，∴AB⊥PM，同

理可得，BC⊥PM，∵AB∩BC＝B，AB、BC⊂平面ABC，∴PM⊥平面ABC，∵QD⊥AB，CD⊥AB，QD∩CD＝D，QD、CD⊂平面QCD，∴AB⊥平面QCD，∵QM⊂平面QCD，∴AB⊥QM，同理可得，BC⊥QM，∵AB∩BC＝B，AB、BC⊂平面ABC，

∴QM⊥平面ABC，∴P，Q，M三点共线，∴PQ⊥平面ABC．-18-（Ⅱ）由（Ⅰ）知，PC⊥平面PAB，PA⊥PB，以P为原点，PA，PB，PC所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，1，0），P

（0，0，0），由（Ⅰ）知，AB⊥平面QCD，∴AB⊥CQ，∵AB⊥PD，且P，C，D，Q四点共面，∴CQ∥PD，又PC＝1，CQ＝QA＝，∴Q（1，1，1），∴＝（1，0，1），＝（1，0，0），＝（

1，1，1），设平面APQ的法向量为＝（x，y，z），则，即，令z＝1，则x＝0，y＝﹣1，∴＝（0，﹣1，1），设直线QB与平面APQ所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，故直线QB与平面APQ所成角

的正弦值为．20．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，t﹣），B（﹣2，t+），若点P同时满足：①△PAB的面积为S1，②以P为圆心的圆过点F（2，0），且圆P的面积为S2，若S1＝．（Ⅰ）求P的轨迹E的方程；（Ⅱ）若过F的直线l与E交于M，N两点，点Q（﹣2，0），求证：．【解答】（Ⅰ）

解：∵A（﹣2，t﹣），B（﹣2，t+），∴|AB|＝2，过点P作PP'垂直直线x＝﹣2于点P'，-19-则S1＝|AB|•|PP'|＝•|PP'|，S2＝π•|PF|2，∵S1＝，∴•|PP'|＝π•|PF|2，即|PP'|＝|PF|，∴点P到点F的距离等于到直线x＝﹣2的距离

，即点P的轨迹E是以F为焦点，直线x＝﹣2为准线的抛物线，故P的轨迹E的方程为y2＝8x．（Ⅱ）证明：①当直线l的斜率不存在时，由抛物线的对称性知，S△MFQ＝S△NFQ，|MQ|＝|NQ|，∴成立；②当直线l的斜率

存在时，设其方程为y＝k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0（k≠0），∴x1+x2＝4+，x1x2＝4，∴kQM+kQN＝＝＝＝0，∴kQM＝﹣kQN，即∠MQF＝∠NQ

F，过点F作FC⊥QM于C，FD⊥QN于D，则|FC|＝|FD|，∵S△MFQ＝|MQ|•|FC|，S△NFQ＝|NQ|•|FD|，∴．21．已知函数f（x）＝lnx+mx2+（2m+1）x，其中m＜0．（Ⅰ）若f（x）在区间（2，+∞）上单调递减，求m的取值范围；-20-（Ⅱ）若不等式f（x）≤

n对x＞0恒成立，证明：n﹣3m＞0．【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）＝lnx+mx2+（2m+1）x，其中m＜0，x＞0，f′（x）＝+2mx+2m+1＝，令f′（x）＜0，得x＞﹣，因为f（x）在区间（2，

+∞）上单调递减，所以﹣≤2，解得m≤﹣，即m的取值范围是（﹣∞，﹣]．（Ⅱ）证明：f′（x）＝+2mx+2m+1＝，令f′（x）＝0，得x＝﹣，当0＜x＜﹣时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；当x＞﹣时，f′（x）＜0

，f（x）是减函数，所以当x＝﹣时，f（x）取得极大值也是最大值，f（﹣）＝ln（﹣）+﹣＝ln（﹣）﹣﹣1．因为不等式f（x）≤n对x＞0恒成立，所以f（﹣）≤n，所以﹣≥﹣ln（﹣）+（﹣）2+成立，令t＝﹣＞0，g（t）＝tl

nt+t2﹣t，g′（t）＝lnt+t，当t＞0时，g′（t）是增函数，g′（）＝﹣1+＜0，g′（1）＝1＞0，所以存在t0∈（0，1），使g′（t0）＝lnt0+t0＝0，当0＜t＜t0时，g′（x）＜0，g（t）是减函数；当t＞t0时，g

′（x）＞0，g（t）是增函数；所以当t＝t0时，g（t）取得极小值也是最小值，g（t0）＝t0lnt0+t02﹣t0，又lnt0＝﹣t0，所以g（t0）＝﹣t02﹣t0，-21-则﹣≥g（t0）成立，当0＜t0＜

1时，g（t0）是减函数，所以g（t0）＞g（1）＝﹣，则﹣＞﹣，所以n﹣3m＞0．（二）选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。[选修4-4：

坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l经过定点（﹣1，1），倾斜角为．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4＝0．（Ⅰ）求l的参数方程和C的直角坐标方程；（Ⅱ）设l与C的交点为M，N，求△CMN的面积

．解：（Ⅰ）直线l经过定点（﹣1，1），倾斜角为，转换为参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4＝0，根据，转化为直角坐标法方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1．（Ⅱ）将直线的参数方程（t为参数），代

入到（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，得到，所以，t1t2＝4，故|MN|＝，圆心（1，2）到直线MN的距离d＝，所以．[选修4-5：不等式选讲]-22-23．设函数f（x）＝2sinx+|a﹣1|+|a﹣2|．（Ⅰ）若f（）＞7，求a的取

值范围；（Ⅱ）若a＞0，在（Ⅰ）的条件下，记a的最小正整数为m，且正实数b，c，d满足b+c+d＝m，证明：．解：（Ⅰ）因为f（）＝7，所以3+|a﹣1|+|a﹣2|＞7，即|a﹣1|+|a﹣2|＞4，等价为或或，解得a＜﹣或a∈∅或a＞，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（

，+∞）；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得m＝4，正实数d，b，c满足b+c+d＝4，所以（d+b）+（d+c）+（b+c）＝8，∴[（d+b）+（d+c）+（b+c）]•（++）＝3+（+）+（+）+（+）≥3+2+2+2＝9，所以++≥，当且仅当b＝c＝d＝时等号成

立．