【文档说明】【精准解析】湖北省宜昌市2020届高三下学期4月线上统一调研测试数学（文）试题.doc，共(24)页，1.867 MB，由小赞的店铺上传

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宜昌市2020届高三年级4月线上统一调研测试数学试题（文科）一、选择题1.已知集合223Axyxx==−−，21,xByyxR==+，则AB=（）A.1,3B.)1,+C.)1,3−D.)3,+【答案】D【解析】【分析】求函数定义域得集合A，求函数值域得集合B，然后由交集的

概念计算．【详解】由题意2{|230}{|1Axxxxx=−−=−或3}x，{|1}Byy=，∴{|3}xABx=．故选：D．【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握指数函数性质是解题关键．2.复数z满足()122izi−=+，则z=（）A.1i−B.1i+C.

22i−D.22i+【答案】D【解析】【分析】求出复数模22i+后由复数除法可求得z．【详解】∵22222222i+=+=，∴2222(1)221(1)(1)iziiii+===+−−+．故选：D．【点睛】本题考查复数的

除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题．3.已知tan2=−，3,22，则cos=（）A.55B.255C.55−D.55【答案】A【解析】【分析】由tan2=−可得sin2cos=−，然后结合22sincos1+=可解出答案.【详解

】因为sintan2cos==−，所以sin2cos=−因为22sincos1+=，所以可得21cos5=因为3,22，所以cos=55故选：A【点睛】本题考查的是三

角函数同角的基本关系，较简单.4.设1312x=，51log6y=，14log3z=，则（）A.xyzB.yzxC.zxyD.zyx【答案】B【解析】【分析】与中间值0，－1比较后可得．

【详解】1310()21，551loglog616=−−，144log3log3(1,0)=−−，∴xzy．故选：B．【点睛】本题考查幂、对数的比较大小，不同类型的数比较大小时可先与中间值

0，1，－1等比较后得出它们之间的大小关系．5.运行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A.0B.1C.3D.23【答案】C【解析】【分析】模拟程序运行，利用数列{tan}3n的周期性求和、【详解】模拟程序运行，此框图的功能是求数列的和：202022020tantant

an333S=+++，33T==，因此数列{tan}3n是周期数列，周期为3，易得23tantantan0333++=，∴20202020tantan333S===．故选：C．【点睛】本题考查程序框图，考查

循环结构，解题关键是确定程序功能，利用数列的周期性计算．6.某口罩厂一年中各月份的收入、支出情况如图所示（单位：万元，下列说法中错误的是（注：月结余=月收入一月支出）（）A.上半年的平均月收入为45万元B.月收入

的方差大于月支出的方差C.月收入的中位数为70D.月结余的众数为30【答案】C【解析】【分析】根据图中数据逐一判断即可【详解】由图可得，上半年的平均月收入为406030305060456+++++=万元，故A正确由图可得，月

收入的方差大于月支出的方差，故B正确由图可得，112−月的月收入（单位：万元）分别为：40、60、30、30、50、60、80、70、70、80、90、80所以月收入的中位数为：6070652+=，故C错误由图可得，112−月的月结余（单位：万元）

分别为：20、30、20、10、30、30、60、40、30、30、50、30所以月结余的众数为30，故D正确故选：C【点睛】本题考查的是对数据的处理与分析，较简单.7.已知圆22:(1)4Cxy−+=，过点

()2,0−的直线l与圆C相交，则直线l的斜率的取值范围为（）A.()2,2−B.25,5+C.2525,55−D.25323,5−【答案】C【解析】【分析】设直线l的方程为()2ykx=+，即20kxyk−+=，然后由圆

心到直线的距离小于半径建立不等式求解即可.【详解】设直线l的方程为()2ykx=+，即20kxyk−+=因为圆C的圆心为()1,0，半径为2，且圆C与直线l相交所以20221kkk−++，解得252555k−故选：C【点睛】

设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，当直线与圆相离时有dr>，当直线与圆相切时有dr=，当直线与圆相交时有dr.8.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一

头细.在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤.问依次每一尺各重多少斤？”假定该金杖被截成长度相等的若干段时，其重量从粗到细构成等差数列.若将该金杖截成长度相等的20段，则中间两段的重量和为（）A.65斤B.43斤C.32斤D.54斤【答案】C【解析】【分析】把每段重量依次用i

a（1,2,,20)i=表示，数列{}na是等差数列，根据等差数列性质可求解．【详解】把每段重量依次用ia（1,2,,20)i=表示，数列{}na是等差数列，由题意12341718192042aaaaaaaa+++=+++=，两式相加得12013(42)42aa+=+=，∴1011

12032aaaa+=+=．故选：C．【点睛】本题考查等差数列的应用，解题关键是从实际问题抽象出等差数列，然后应用等差数列性质解题即可．9.对于函数()21xfxe=+的图象，下列说法正确的是（）A.关

于直线1x=对称B.关于直线yx=对称C.关于点()1,0对称D.关于点()0,1对称【答案】D【解析】【分析】由()21111xxxefxee−==+++，设()()11xxegxxRe−=+,可得()gx为奇函数,由

图像平移可得答案.【详解】∵()2111111xxxefxee−=−+=+++，令()()11xxegxxRe−=+，则()()1111xxxxeegxgxee−−−−−===−++，∴()gx为奇函数，其图象关于原点对称，将()gx图象向上平移1个单位长度可得

()fx图象，所以()fx图象关于()0,1对称.故选：D【点睛】本题考查函数图像的平移和函数的奇函数的图像的对称性，属于基础题.10.ABC中，2AC=，3BC=uuur，3ACBC=，O为该三角形的外心，则BAAO=（）A.192B.192−C.2−D.2.【答案】C【解析】【分析】首

先求出60C=，然后以B点为坐标原点如图建立直角坐标系，然后分别求出线段AC和BC的中垂线方程，然后可得外心O的坐标，然后计算出答案.【详解】因为2AC=，3BC=uuur，3ACBC=，所以32cos3C

=，可得60C=以B点为坐标原点如图建立直角坐标系，则()()()0,0,3,0,2,3BCA因为AC的中点坐标为53,22，3ACk=−所以线段AC的中垂线方程为335232yx−=−，即3333yx=−线段BC的中垂线方程为32x=联立333332yxx

=−=可得外心O的坐标为33,26所以()132,3,,23BAAO==−−所以112BAAO=−−=−故选：C【点睛】几何图形比较特殊的时候，通过建立

直角坐标系来解决向量有关的问题是较好的方法.11.某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，1M为正视图一边的中点，且几何体表面上的点M、A、B在正视图上的对应点分别为1M、1A、1B，在此几何体中，平面过点M且与直线AB垂直.则平面截该几何体所得截面图形的面积为

（）A.62B.64C.32D.34【答案】A【解析】【分析】由三视图作出原几何体是一个正三棱柱，如图，利用线面垂直的判定定理确定的位置形状，从而计算出面积．【详解】如图，原几何体是一个正三棱柱ADEFBG−，M上AF中点，取AD中点N，

连接,,MNNEEM，连接DF，由三视图知ADBF是正方形，DFAB⊥，又,MN分别是,AFAD中点，∴//MNDF，∴ABMN⊥，正三棱柱中，BD⊥平面ADE，EN平面ADE，故ENBD⊥，又ENAD⊥，ADBDD=，则可得EN⊥平面A

DBF，AD平面ADBF，∴ENAB⊥，又MNENN=，∴AB⊥平面MNE，MNE即为截面，同理由EN⊥平面ADBF得ENMN⊥，由三视图得2MN=，3EN=，162322S==．故选：A．【

点睛】本题考查三视图，考查棱柱的截面，掌握线面垂直的判定定理与性质定理是解题关键．12.若函数2()1xfxexax=−+−在区间[1,2]内有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是A.25[,)2e−+B.(,2]e−−C.25(,2)2ee−−D.25[,2]2ee−−【答案】

D【解析】令()0fx=，即210xexax−+−=，分离参数可得1xeaxxx=+−，令1()xegxxxx=+−，则2(1)(1)'()xxexgxx+−−=，令()1xhxxe=+−，则'()1xhxe=−，当0x时'()0hx，所以当0x时()(0)0hxh=，所以当12x

时)'(0gx，所以函数()gx在(1,2)上单调递减，所以当[1,2]x时，(2)()(1)ggxg，即25()22egxe−−，又函数()fx在区间[1,2]内有且仅有一个零点，所以252

2eae−−，故实数a的取值范围是25[,2]2ee−−，故选D．点睛：本题主要考查了函数的导数与函数零点间的关系，具有一定的综合性，此题通过分离参数将函数零点问题转化为求函数值域问题，最大的难点在于

导函数与0的关系需要进一步对导函数再次进行求导.二、填空题13.已知函数()fx为R上的奇函数，0x时，()2fxxx=−+，则()2f−=________.【答案】2【解析】【分析】由条件可得()()22ff−=−，然后算出即可【详解】因为

函数()fx为R上的奇函数，0x时，()2fxxx=−+，所以()()()222222ff−=−=−−+=故答案为：2【点睛】本题考查的是函数的奇偶性，较简单.14.若实数x，y满足约束条件114xyxy+，则2xy+的最小值为__________.【答案】5【解析】【分析

】画出不等式组表示的可行域，然后令2xyz+=，即122zyx=−+，然后即可分析出答案【详解】约束条件114xyxy+表示的可行域为：令2xyz+=，即122zyx=−+，由图可得当直线122zyx=−+过点()3,1时，z最小，最小值为5故答案为：5【点睛】本题考查的是线

性规划的知识，较简单.15.各项均为正数的等比数列na的前n项和为nS，11a=，337Sa=，则使12764nS成立的n的最小值为_____________.【答案】8【解析】【分析】由条件解出12q=，然后求出nS，然后解出不等式即可【详解】设等比数列na的公比为q因为11a=，33

7Sa=，所以2217qqq++=解得12q=或13−（舍）所以11121211212nnnS−==−−所以由12764nS可得7n，所以使12764nS成立的n的最小值为8故答案为：8【点睛】本题考查的是等

比数列基本量的计算，较简单.16.已知双曲线22197xy−=的左焦点为1F，点P在双曲线的右支上，若线段1PF与圆2216xy+=相交于点M，且1FMMP=，则直线1PF的斜率为________________.【答案】157【解析】【分析】设双曲线的右焦点为2F，

连结2PF，MO，由1FMMP=可得M是线段1PF的中点，然后可得28PF=，然后由双曲线的定义可得114PF=，然后在1OMF△中用余弦定理算出1cosOFM，然后算出1tanOFM即可.【详解】设双曲线的右焦点为2F，连结2PF，MO由1FMMP=可得M是线

段1PF的中点所以228PFMO==由双曲线的定义得1226PFPFa−==所以114PF=，所以17MF=在1OMF△中由余弦定理得14916167cos2748OFM+−==所以可解得115tan7OFM=所以直线1PF的斜率为157故答案为：157【点睛】本题考查的是双曲线的定义

及焦点三角形，属于中档题.三、解答题17.在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且3(cos)sinabCcB−=.（1）求角B的大小；（2）若ABC的面积为23，26b=，求ABC的周长.【答案】（1）3B=；（2）2643+.【

解析】【分析】（1）应用正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式化简已知式后可求得B；（2）由三角形面积公式得ac，再利用余弦定理可求得ac+，从而得三角形周长．【详解】解：（1）由3(cos)sinabCcB−=，可得3sin

3sincossinsinABCBC−=，即3sin()sinsin3sincosBCBCBC+=+，展开化简得3cossinsinsinBCBC=，又在ABC中，sin0C，所以tan3B=，又0B

，所以3B=.（2）因为ABC的面积1sin232SacB==，所以8ac=，由余弦定理得222222cos()2()3bacacBacacacacac=+−=+−−=+−，因为26b=，可得2()48ac+=

，所以43ac+=，所以2643abc++=+，即ABC的周长为2643+.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查两角和的正弦公式，三角形面积公式，解题关键是由正弦定理化边为角，利用三角函数恒等变换求得B．18.已知菱形ABCD的边长为2，60ABC=，对角线AC、BD交于点O

，平面外一点P在平面ABCD内的射影为O，PB与平面ABCD所成角为30°.（1）求证：BDPA⊥；（2）点N在线段PB上，且312NPCDV−=，求PNPB的值.【答案】（1）证明见解析（2）14PNPB=【解析】【分析】（1）由PO

⊥面ABCD得POBD⊥，然后证明出BD⊥面PAC即可（2）由PO⊥面ABCD得PB与平面ABCD所成角为30PBO=，然后利用DPBCPDBCVV−−=算出点D到平面PCB的距离为2217，然后利用NPCDDPCNVV−−=即可算出答案.【

详解】（1）由题意PO⊥面ABCD，∴POBD⊥，菱形ABCD中，ACBD⊥，又POACO=，则BD⊥面PAC，所以BDPA⊥；（2）因为PO⊥面ABCD，所以PB与平面ABCD所成角为30PBO=，又菱形边长为2，60ABC=，所以3BO=，1PO=，2PB=，1C

O=，2PC=.所以4242cos4222BPC+−==，14sin4BPC=.设||||2PNPB==，点D到平面PCB的距离为d由DPBCPDBCVV−−=得1133BCDPBCSPOSd=△△，即11111422sin120

12232324d=，解得2217d=所以D到平面PNC的距离也为2217.所以111422131223247124NPCDDPCNVV−−====.所以14PNP

B=.【点睛】常用等体积法求点到平面的距离.19.目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整

理得到如下图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”.（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这50

0名患者中“长潜伏者”的人数；（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把

握认为潜伏期长短与患者年龄有关；短潜伏者长潜伏者合计60岁及以上9060岁以下140合计300（3）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，需要在抽取的300人中分层选取7位60岁以下的患者做Ⅰ期临床试验，再从选取的7人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验，求两人

中恰有1人为“长潜伏者”的概率.附表及公式：()20PKk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++【答案】（1）平均数

为6,“长潜伏者”的人数为250人（2）列联表见解析,有97.5%的把握认为潜伏期长短与年龄有关（3）47P=【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中的数据计算即可（2）首先将列联表补充完整，然后计算出2k的观测值即

可（3）由分层抽样知7人中，“短潜伏者”有3人，记为,,abc，“长潜伏者”有4人，记为D，E，F，G，然后列举出所有的情况，然后数出满足所求事件的基本事件的个数即可.【详解】（1）平均数()0.0210.0830.1550.1870.0390.03110.011326x=+++

+++=.“长潜伏者”即潜伏期时间不低于6天的频率为0.5所以500人中“长潜伏者”的人数为5000.5250=人（2）由题意补充后的列联表如图：短潜伏者长潜伏者合计60岁及以上907016060岁以下6080140合计1

50150300所以2k的观测值为2300(90806070)755.3575.02415015016014014k−==，经查表，得()25.0240.025Pk，所以有97.5%的把握认为潜伏期长短与年

龄有关.（3）由分层抽样知7人中，“短潜伏者”有3人，记为,,abc，“长潜伏者”有4人，记为D，E，F，G，从中抽取2人，共有(),ab，(),ac，(),aD，(),aE，(),aF，(),aG，(),bc，(),bD

，(),bE，(),bF，(),bG，(),cD，(),cE，(),cF，(),cG，(),DE，(),DF，(),GD，(),EF，(),EG，(),FG，共有21种不同的结果，两人中恰好有1人为“长潜伏者”包含了12种结果.所以所求概率124217P==.【点睛】本题考查的知识点有：由频率分布

直方图估计平均数、分层抽样、独立性检验和古典概型，属于基础题.20.已知抛物线2:8Cxy=和直线:2lykx=+，直线l恒过圆P的圆心，且圆P上的点到直线l的最大距离为2.（1）求圆P的方程；（2）直线l与抛物线C和圆

P都相交，且四个交点自左向右顺次记为A、B、C、D.如果16CDAB=，求直线l的方程.【答案】（1）22(2)4xy+−=（2）3480xy−+=【解析】【分析】（1）根据条件直接得出圆心和半径即可（2）设()11,Axy，()22,Dxy，联立直线

与抛物线的方程消元，然后韦达定理可得21284yyk+=+，124yy=，由抛物线的定义可得22CDDPy=−=，12ABAPy=−=，然后利用16CDAB=可得出112y=，28y=，然后即可算出答案.【详解】（1）直线2ykx=+过定点(

)0,2，∵圆心()0,2P.因为圆P上的点到直线的最大距离为2，所以2r=，所以圆P的方程为22(2)4xy+−=.（2）由28xy=知()0,2P为抛物线焦点由图和16CDAB=，知0k.()222884402xyykyykx=−++==+，设()11,Axy，

()22,Dxy，则21284yyk+=+，124yy=.由拋物线的定义得22CDDPy=−=，12ABAPy=−=所以211616CDAByy==，所以112y=，28y=，从而有218482k+=+所以293164kk==.所以直线l的方程为3480xy−+=.【点睛】涉及抛物线的弦长

、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.21.已知函数()2sinfxxx=−.（1）当0,2x时，求()fx的最小值；（2）若0,x时，()()1c

osfxaxxx−−，求实数a的取值范围.【答案】（1）33−（2）1a【解析】【分析】（1）利用导数求出()fx在[]0,2π上的单调性即可（2）由()(1)cosfxaxxx−−得2sincos0xxx

ax−−，令()2sincoshxxxxax=−−，然后分2a、12a、11a−、1a−四种情况求出()hx的单调性即可.【详解】（1）()12cosfxx=−，[0,2]xÎ令()10cos2fxx，得5,33x；()0fx¢<，得

0,3x和5,23所以()fx在0,3上单调递减，在5,33骣琪琪桫pp上单调递增，在5,23上单调递减因为333f=−，(2)2f=，(2)3ff，所以[0,2]xÎ时，min(

)333fxf==−.（2）()(1)cosfxaxxx−−，即2sincos0xxxax−−..设()2sincoshxxxxax=−−，[0,]x()2coscossincossinhxxxxxaxxxa=−+−=+−()coshxxx=，∴0,2x

，()0hx，,2x，()0hx.∴()22hxha=−，又(0)1ha=−，()1ha=−−.①02a−即2a时，()0hx，()hx在0,上递减，则(

)0≤hx，不满足.②02a−即2a时，当10a−−，10a−即12a时，00,2x，使得()00hx=且00xx，()00hx，()hx在()00,x内递减，()(0

)0hxh=，不满足当10a−−，10a−即11a−时，0,2x，使得()00hx=，且00xx，()00hx，0xx，()00hx，∴()hx在()00,x上递增，在()0,x上递减，又

(0)0h=，()(1)0ha=−，所以()0hx成立.当10a−−，10a−即1a−时，()0hx，()hx在0,上递增，则()(0)0hxh=.满足题意.综上，1a【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性，最

值和利用导数解决恒成立问题，属于较难题.22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为222242xtyt=−+=−+（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，取相同的单

位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin2cos=.（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）已知定点()2,4M−−，直线l与曲线C分别交于P、Q两点，求||||||||MQMPMPMQ+的值.【答案

】（1）l的普通方程为20xy−−=,曲线C的直角坐标方程为22yx=（2）3【解析】【分析】（1）由cossinxy==可化极坐标方程为直角坐标方程，用消元法可化参数方程为普通方程；（2）直线l的参数方程为222242xtyt=−+=−+正好是标

准参数方程，参数t表示直线上的点到M点距离的绝对值，直接把直线参数方程代入曲线C的直角坐标方程应用韦达定理易求得结论．【详解】解：（1）由222242xtyt=−+=−+消去参数t得直线l的

普通方程为20xy−−=.由2sin2cos=得曲线C的直角坐标方程为22yx=.（2）将222242xtyt=−+=−+代入22yx=得2522002tt−+=.设方程的两根为1t，2t，则，12102tt+=，1240tt=，

故()222212121212122||||(102)2403||||40ttttttMQMPMPMQtttt+−+−+====.【点睛】本题考查参数方程与变通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程的应用，属于中档题．23.已知正实数a、b、c满足9ab

c++=，且222abc++的最小值为t.（1）求t的值；（2）设()23fxxtx=−−+，若存在实数x，使得不等式()223fxmm−−成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）2t=（2）24m−【解析】【分析】（1）利用2221222()9abcabcabc++=+++

+可求得222abc++的最小值t.（2）用分类讨论去掉()fx中的绝对值符号，求得其最大值max()fx，然后解不等式2max()23fxmm−−可得．【详解】解：（1）因为9abc++=，所以22212221222222()699bacacbabcabcabcabacb

c++=++++=++++++1222222622229bacacbabacbc+++=，即2222abc++，所以222abc++的最小值2t=.（2）当2t=时，()8(3)22334(32)8(2)xxfxxxxxxx+−=−−

+=−−−−−，可得()5fx，存在实数x，使不等式()223fxmm−−有解，则()2max23fxmm−−，从而2523mm−−，即2280mm−−，解得24m−.所以实数m的取值范围是24m−.【点睛】本题考查用基本不等式求最值，考查含绝对值函数的最值问题，

考查不等式能成立问题，解题时要注意不等式有解与恒成立的区别．分离参数后不等式有解与恒成立的区别在于一个是求函数的最小值一个是求最大值．