高中数学新教材人教A版必修第一册 1.1 集合的概念 教案 (1) 含答案【高考】

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以下为本文档部分文字说明:

-1-【新教材】1.1集合的概念教学设计由于空间时间维度的不同,同一个事物会有不同的解释,如:在平面内,所有到定点的距离等于定长的点组成一个圆;而在空间中,所有到定点的距离等于定长的点组成一个球面。因此明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础。为了简洁、准确地表

达数学对象及研究范围,我们需要使用集合的语言和工具。作为高中数学的第一节,本节主要通过实例研究研究集合的含义,表示方法及表示方法,比较简单。课程目标1.了解集合的含义;理解元素与集合的“属于”与“不属于”关系;熟记常用数集专用符号.2.深刻理解集合元素

的确定性、互异性、无序性;能够用其解决有关问题.3.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合。感受集合语言的意义和作用。数学学科素养1.数学抽象:集合概念的理解,描述法表示集合的方法;2.逻辑推理:集合的互异性的辨析与应用;3.数学运算:集合相等时的参数计算,集合的描述

法转化为列举法时的运算;4.数据分析:元素在集合中对应的参数满足的条件;5.数学建模:用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。重点:集合的基本概念,集合中元素的三个特性,元素与集合的关系,集合的表示方法.难点:元素与集

合的关系,选择适当的方法表示具体问题中的集合.教学方法:以学生为主体,采用诱思探究式教学,精讲多练。教学工具:多媒体。一、预习课本,引入新课阅读课本2-5页,思考并完成以下问题1.集合和元素的含义是什么?各用什么字母表示?-2-2.集合有什么特性?3.元素和集合之间有哪

两种关系?有什么符号表示?4.常见的数集有哪些?用什么字母表示?5.集合有哪两种表示方法?它们如何定义?6.它们各自有什么特点?7.它们使用什么符号表示?要求:学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问题。二、知识归纳、梳理1.元素

与集合的概念(1)元素:一般地,把研究对象统称为元素.元素常用小写的拉丁字母a,b,c,…表示.(2)集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).集合通常用大写的拉丁字母A,B,C,…表示.(3)集合相等:只要构成两个集合的元素是一样的,就称这

两个集合是相等的.(4)元素的特性:确定性、无序性、互异性.2.元素与集合的关系关系语言描述记法读法属于a是集合A中的元素a∈Aa属于集合A不属于a不是集合A中的元素a∉Aa不属于集合A3.常用的数集

及其记法常用的数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N𝑁∗ZQR4.列举法把集合的元素一一列举出来出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.5.描述法(1)定义:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法

.(2)具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.三、典例分析、举一反三题型一集合的含义例1考查下列每组对象,能构成一个集合的是()①某校高一年级成绩优秀的学生;-3-②直角坐标系中横

、纵坐标相等的点;③不小于3的自然数;④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者.A.③④B.②③④C.②③D.②④【答案】B解题技巧:(判断一组对象能否组成集合的标准)判断一组对象能否组成集合,关键看该组对象是否满足确定性,如果此组对

象满足确定性,就可以组成集合;否则,不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.跟踪训练一1.给出下列说法:①中国的所有直辖市可以构成一个集合;②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合;③正偶数的全体可以构成一个集合;④大于

2013且小于2018的所有整数不能构成集合.其中正确的有________.(填序号)【答案】①③题型二元素与集合的关系例2(1)下列关系中,正确的有()①12∈R;②2∉Q;③|-3|∈N;④|-3|∈Q.A.1个B.2个C.3个D.

4个(2)集合A中的元素x满足63-x∈N,x∈N,则集合A中的元素为________.【答案】(1)C(2)0,1,2解题技巧:判断元素与集合关系的两种方法(1)直接法:如果集合中的元素是直接给出,只要判断该元素在已知集合中是否出现即可。(2)推理法:对于一些没有直接表示的集合,只要判断该元素

是否满足集合中元素所具有的特征即可,此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征。跟踪训练二2.已知集合A中有四个元素0,1,2,3,集合B中有三个元素0,1,2,且元素a∈A,a∉B,则a的值为()A.0B.1C

.2D.3【答案】D【解析】∵a∈A,a∉B,∴由元素与集合之间的关系知,a=3.-4-3.用适当的符号填空:已知A={x|x=3k+2,k∈Z},B={x|x=6m-1,m∈Z},则有:17________A;-5________A.【答案】∈∉【

解析】令3k+2=17得,k=5∈Z.所以17∈A.令3k+2=-5得,k=-73∉Z.所以-5∉A.题型三集合中元素的特性及应用例3已知集合A含有两个元素a和a2,若1∈A,则实数a的值为________.【答

案】-1【解析】若1∈A,则a=1或a2=1,即a=±1.当a=1时,集合A有重复元素,不符合元素的互异性,∴a≠1;当a=-1时,集合A含有两个元素1,-1,符合元素的互异性.∴a=-1.变式1.[变

条件]本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”,其他条件不变,求实数a的值.【答案】a=2,或a=2,或a=-2【解析】若2∈A,则a=2或a2=2,即a=2,或a=2,或a=-2.变式2.[变条件]本例若去掉条件“1∈A”,其

他条件不变,则实数a的取值范围是什么?【答案】a≠0且a≠1【解析】若A中有两个元素a和a2,则由a≠a2解得a≠0且a≠1.变式3.[变条件]已知集合A含有两个元素1和a2,若“a∈A”,求实数a的值.【答案】a=0【解析】由a∈A可知

,当a=1时,此时a2=1,与集合元素的互异性矛盾,所以a≠1.当a=a2时,a=0或1(舍去).综上可知,a=0.解题技巧:(根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤)题型四用列举法表示集合例4用列举法表示下列集合.(1)不大于10的非

负偶数组成的集合;-5-(2)方程x3=x的所有实数解组成的集合;(3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合.【答案】见解析【解析】(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,

8,10}.(2)方程x3=x的解是x=0或x=1或x=-1,所以方程的解组成的集合为{0,1,-1}.(3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即交点是(0,1),故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}.解题技巧(用列举法表示集合的三个步骤)1.求出集

合的元素;2.把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次;3.用花括号括起来。跟踪训练四4.若集合A={(1,2),(3,4)},则集合A中元素的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】集合A={(1,2),(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4).5.用列举法表示下列给

定的集合:(1)大于1且小于6的整数组成的集合A.(2)方程x2-9=0的实数根组成的集合B方.(3)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合D.【答案】见解析【解析】(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5,所以A={

2,3,4,5}.(2)方程x2-9=0的实数根为-3,3,所以B={-3,3}.(3)由y=x+3,y=-2x+6得x=1,y=4,所以一次函数y=x+3与y=-2x+6的交点为(1,4),所以D={(1,4)}.题型五用描述法表示集合例5用

描述法表示下列集合:(1)被3除余1的正整数的集合;(2)坐标平面内第一象限的点的集合;(3)大于4的所有偶数.【答案】见解析-6-【解析】(1)根据被除数=商×除数+余数,可知此集合表示为{x|x=3n+

1,n∈N}.(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零,故此集合可表示为{(x,y)|x>0,y>0}.(3)偶数可表示为2n,n∈Z,又因为大于4,故n≥3,从而用描述法表示此集合为{x|x=2n,n∈Z且n≥3}.解题技巧(描述

法表示集合的2个步骤)跟踪训练五6.用符号“∈”或“∉”填空:(1)A={x|x2-x=0},则1________A,-1________A;(2)(1,2)________{(x,y)|y=x+1}.【答案】(1)∈∉(2)∈【

解析】(1)易知A={0,1},故1∈A,-1∉A;(2)将x=1,y=2代入y=x+1,等式成立.7.用适当的方法表示下列集合:(1)已知集合P={x|x=2n,0≤n≤2且n∈N};(2)抛物线y=x2-2x与x轴的公共点的集合;(3)直线y=x上

去掉原点的点的集合.【答案】见解析【解析】(1)列举法:P={0,2,4}.(2)描述法:x,yy=x2-2xy=0.或列举法:{(0,0),(2,0)}.(3)描述法:{(x,y)|y=x,x≠0}.题型六集合表示法的综合应用例6(1)若集

合A={x∈R|ax2+2x+1=0,a∈R}中只有一个元素,则a=()A.1B.2C.0D.0或1(2)设12∈xx2-ax-52=0,则集合xx2-192x-a=0中所有元素之积

为________.【答案】(1)D(2)92-7-【解析】(1)当a=0时,原方程变为2x+1=0,此时x=-12,符合题意;当a≠0时,方程ax2+2x+1=0为一元二次方程,Δ=4-4a=0,即a=

1,原方程的解为x=-1,符合题意.故当a=0或a=1时,原方程只有一个解,此时A中只有一个元素.(2)因为12∈xx2-ax-52=0,所以122-12a-52=0,解得:a=-92,当a=-92时,方程x2-192

x+92=0的判别式Δ=-1922-4×92=2894>0,所以集合xx2-192x+92=0的所有元素的积为方程的两根之积等于92.解题技巧:(集合表示法中元素与集合的关系)1.若已知集合是用描述法表示的,理解集合的代表元素和集合属性

是关键;2.若已知集合是用列举法表示的,把握元素的共同特征是关键;跟踪训练六8.已知集合A={x|x2-ax+b=0},若A={2,3},求a,b的值.【答案】见解析【解析】由A={2,3}知,方程x2-ax+b=0的两根为2,3,由根与系数的关系得,2

+3=a,2×3=b,因此a=5,b=6.9.设集合B=x∈N62+x∈N.试判断元素1,2与集合B的关系;用列举法表示集合B.【答案】见解析【解析】(1)当x=1时,62+1=2∈N.当x=2时,62+2=32

∉N.所以1∈B,2∉B.(2)∵62+x∈N,x∈N,∴2+x只能取2,3,6.∴x只能取0,1,4.∴B={0,1,4}.题型七集合含义的拓展例7用描述法表示抛物线y=x2+1上的点构成的集合.【答案】见解析【解析】抛物线y=x2+1上的点构成的集合可表示

为:{(x,y)|y=x2+1}.变式1.[变条件,变设问]本题中点的集合若改为“{x|y=x2+1}”,则集合中的元素是什么?【答案】见解析-8-【解析】集合{x|y=x2+1}的代表元素是x,且x∈R,所以{x|y=x2+1}中的元素是全体实数.变式2.[变

条件,变设问]本题中点的集合若改为“{y|y=x2+1}”,则集合中的元素是什么?【答案】见解析【解析】集合{y|y=x2+1}的代表元素是y,满足条件y=x2+1的y的取值范围是y≥1,所以{y|y=x2+1}={y|y≥1},所以集合中的元素是大于等于1的全体实数.解题技巧(认识

集合含义的2个步骤)一看代表元素,是数集还是点集,二看元素满足什么条件即有什么公共特性。四、课堂小结培学生总结本节课所学主要知识及解题技巧五、板书设计本节内容为集合的概念,主要通过研究集合中的元素来确定集合的三个特性,由于元素的种类不同引入数集,点集等等,又由于元素的个

数不同,所以元素分为有限集合无限集,从而引入了集合的表示方法:列举法和描述法。1.1集合的概念1.集合与元素的关系例题例题2.几何特性3.集合表示方法例题例题

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