【文档说明】内蒙古乌兰察布2021届高三下学期3月模拟调研（一模）数学（理科）试卷 含解析.doc，共(20)页，1.097 MB，由小赞的店铺上传

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2021年内蒙古乌兰察布高考数学调研试卷（理科）（一模）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x||x﹣1|＜3}，B＝{x|x（x﹣6）＜0}，则A∩B＝（）A．（﹣2，6）B．（0，4）C．（0，6）D．（﹣2，4）2．i是虚数单位，复数z满足：z（1+i）＝i+2i2+3i3

，则z＝（）A．2B．2iC．﹣2D．﹣2i3．某次大学生知识大赛，某校代表队3人参赛，答4道题，每人至少答1道题，每题仅1人作答，则不同的题目分配方案种数为（）A．24B．30C．36D．424．已知α∈（o，），sinα＝，则cos（）＝（）A．

B．C．﹣D．﹣5．函数f（x）＝|x2﹣2x|，x1、x2、x3、x4满足：f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）＝m，x1＜x2＜x3＜x4且x2﹣x1＝x3﹣x2＝x4﹣x3，则m＝（）A．B．C．1D．6．直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，O为△ABC的外心，＝（）A．

1B．﹣1C．D．﹣7．某四面体的三视图如图，则该多面体棱长的最大值为（）A．2B．2C．3D．8．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，点M在此抛物线上，且它的纵坐标为6，以M为圆心，|MF|为半径作圆，过Q（﹣1，﹣4）引圆M切线QA、QB，则

∠AQB＝（）A．60°B．90°C．120°D．150°9．f（x）＝2sin（2x+），x1、x2满足x1、x2∈（0，π），且f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）＝（）A．B．﹣C．或﹣D．1或﹣11

0．已知a＞b，c＞d，则以下命题：①2a•2c＞2b•2d；②2a+2c＞2b+2d；③（2a）c＞（2b）d．正确的个数是（）A．0B．1C．2D．311．数列{an}满足a1＝1且对任意k∈N*，a2k+1＝a2k+1，a2k＝2a2k﹣1，则a2020＝（）A

．21011B．21011﹣2C．21010D．21010﹣212．四棱锥P﹣ABCD中，PD＝DA＝AB＝CD，AB∥CD，∠ADC＝90°，PD⊥平面ABCD，M为PC中点，平面ADM交PB于Q，则CQ与PA所成角的余弦值为（）A．B．C．

D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知x、y满足，则z＝x+2y的最小值为．14．随机变量X服从正态分布N（10，22），P（X＜12）+P（X＜m）＝1，则m＝．15．双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为直径作圆O，与

双曲线交于x轴上方的两点为A、B，cos∠AOB＝，则双曲线的离心率为．16．等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝10，S10≤40，则满足Sn＞0的n的最大值为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤，第17-21题为必考

题.第22，23题为选考题。17．锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos（A﹣C）+cosB＝，．（1）求∠B；（2）若a+c＝4，求△ABC的面积．18．三棱台ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AA1＝

2A1B1＝2A1C1．（1）证明：AB1⊥BC1；（2）求AC1与平面A1C1B所成角的正弦值．19．大学生知识竞赛中，每个代表队有3个队员，编号为1、2、3，答编号为1号、2号、3号的3道题，答对两道可过关，答对3道为优秀，如表是星火代表队答对各题的概率分布，其中第m

行第n列的数字是第m号同学能答对第n号题的概率．0.70.60.40.70.70.50.80.80.6（1）按选手编号与题目编号相同的方式答题，求该队过关的概率；（2）调整选手的答题次序，求出该队优秀的最大概率．20．椭圆C：（a＞b＞0）的左

、右焦点分别为F1、F2，上顶点为B，△BF1F2为等边三角形，且椭圆C过点（1，）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在圆O：x2+y2＝r2的切线l交椭圆C于M、N，且∠MON＝90°，若存在，求出r；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）＝﹣（x+1

）ln（x+1）．（1）证明：（0，+∞）上，f（x）有唯一的极小值点x0，且2＜x0＜3；（2）讨论函数f（x）零点个数．选考题：共10分。请考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数

方程]22．已知曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：ρcos（）＝．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|．

[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x+2|．（图中的每个方格是边长1个单位的正方形）（1）画出函数f（x）的图象；（2）当a＞0时，若不等式f（x）＜f（x﹣a）的解集为{

x|x＜3}，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x||x﹣1|＜3}，B＝{x|x（x﹣6）＜0}，则A∩B＝（）A．（﹣2，6）B．（0，4）C．（0，6）D．（﹣2，4）解：∵A＝{x|﹣2＜x

＜4}，B＝{x|0＜x＜6}，∴A∩B＝（0，4）．故选：B．2．i是虚数单位，复数z满足：z（1+i）＝i+2i2+3i3，则z＝（）A．2B．2iC．﹣2D．﹣2i解：由z（1+i）＝i+2i2+3i3＝i﹣2﹣3i＝﹣2﹣2i，∴z＝．故选：C．3．某次大

学生知识大赛，某校代表队3人参赛，答4道题，每人至少答1道题，每题仅1人作答，则不同的题目分配方案种数为（）A．24B．30C．36D．42解：根据题意，分2步进行分析：①将4道题分为3组，有C42＝6种分组方法，②将三组题目安

排给3人作答，有A33＝6种情况，则有6×6＝36种分配方案，故选：C．4．已知α∈（o，），sinα＝，则cos（）＝（）A．B．C．﹣D．﹣解：∵α∈（o，），sinα＝，∴cosα＝＝，则cos（）＝coscosα﹣sinαsin＝×﹣×

＝，故选：A．5．函数f（x）＝|x2﹣2x|，x1、x2、x3、x4满足：f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）＝m，x1＜x2＜x3＜x4且x2﹣x1＝x3﹣x2＝x4﹣x3，则m＝（）A．B．C．1D．解：由函数的解析式可知函数的对称轴为x＝

1，不妨设x1＝1﹣3a，x2＝1﹣a，x3＝1+a，x4＝1+3a（a＞0），由f（x4）＝f（x3）可得：|（1+3a）（3a﹣1）|＝|（1+a）（a﹣1）|，解得：（a＝0舍去）．则．故选：B．6．直角△ABC中，∠C＝90°

，AB＝2，O为△ABC的外心，＝（）A．1B．﹣1C．D．﹣解：∵直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，O为△ABC的外心，∴+＝且＝||•||•cos180°＝﹣1，∴＝﹣1+•（）＝﹣1+0＝﹣1，故

选：B．7．某四面体的三视图如图，则该多面体棱长的最大值为（）A．2B．2C．3D．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由正方体切成的四面体ABCD；如图所示：所以AB＝，，AD＝CD＝AC＝，所以最长边

长为AB＝3．故选：C．8．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，点M在此抛物线上，且它的纵坐标为6，以M为圆心，|MF|为半径作圆，过Q（﹣1，﹣4）引圆M切线QA、QB，则∠AQB＝（）A．60°B．90°C．120°D．150°解：如图，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝

﹣1，由yM＝6，求得xM＝9，|MF|＝xM+1＝10，即圆的半径为10，又Q点在准线上，圆M与准线切于（﹣1，6），可知|QA|＝10＝r，故四边形AQBM为正方形，∠AQB＝90°．故选：B．9．f（x）＝2sin（2x+），x1、x2

满足x1、x2∈（0，π），且f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）＝（）A．B．﹣C．或﹣D．1或﹣1解：因为x1、x2∈（0，π），且f（x1）＝f（x2），所以＜2x1+＜，＜2x2+＜，所以＝，或＝，解得x1+x2＝或x1+x2＝，所以f（x1+x2）＝2si

n（2×+）＝或f（x1+x2）＝2sin（2×+）＝，所以f（x1+x2）＝．故选：A．10．已知a＞b，c＞d，则以下命题：①2a•2c＞2b•2d；②2a+2c＞2b+2d；③（2a）c＞（2b）d．正确的个数是（）A．0B．1C．

2D．3解：因为a＞b，c＞d，所以2a＞2b＞0，2c＞2d＞0，所以2a•2c＞2b•2d，故①正确；所以2a+2c＞2b+2d，故②正确；取a＝0，b＝﹣1，c＝1，d＝﹣2，则ac＜bd，则2ac＜2bd，即（2a）c＞（2b）d，故③错误，故命题正确的个数是2．故选：

C．11．数列{an}满足a1＝1且对任意k∈N*，a2k+1＝a2k+1，a2k＝2a2k﹣1，则a2020＝（）A．21011B．21011﹣2C．21010D．21010﹣2解：数列{an}满足a1＝1且对任意k∈N*，a2k+1＝a2k+1，a2k＝2a2k﹣1，则：a2k+

2＝2a2k+1＝2（a2k+1）＝2a2k+2，整理得a2k+2+2＝2a2k+4＝2（a2k+2），即（常数），所以：，则，当n＝1时，a2＝2，解得：，故，故选：B．12．四棱锥P﹣ABCD中，PD＝DA＝AB＝CD，AB∥CD，∠ADC＝90°，PD⊥平面ABCD，M为PC中点，平面ADM

交PB于Q，则CQ与PA所成角的余弦值为（）A．B．C．D．解：延长CB，DA相交于点N，连结MN与PB交于点Q，在△PNC中，B为CN的中点，M为PC的中点，故Q为△PNC的重心，所以PQ＝2QB，在AB上取S，使得AS＝2SB，则QS∥PA，所以∠SQC即为CQ与PA所成的角（或补角），作SH

⊥DC于点H，不妨设AB＝1，则，在Rt△HSC中，，连结BD，可得，又CD＝2，所以∠CBD＝90°，又CB⊥PD，且PD∩BD＝D，PD，BD⊂平面PBD，所以CB⊥平面PBD，又BP⊂平面PBD，所以CB⊥PB，故∠PBC＝90°

，则有，所以，由余弦定理可得，＝，所以CQ与PA所成角的余弦值为．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知x、y满足，则z＝x+2y的最小值为﹣．解：作出x，y满足表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（0，2），B（﹣，﹣1），C（3，﹣1），设z＝F

（x，y）＝x+2y，将直线l：z＝x+2y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最小值∴z最小值＝F（﹣，﹣1）＝﹣．故答案为：﹣．14．随机变量X服从正态分布N（10，22），P（X＜12）+P（X＜m）＝1，则m＝8．解：∵随机变量X服从正态分布

N（10，22），∴P（X≥12）＝P（X≤8），∵P（X＜12）+P（X＜m）＝1，∴P（X＜m）＝1﹣P（X＜12）＝P（X≥12）＝P（X≤8），∴m＝8．故答案为：8．15．双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为直径作圆O，与双曲

线交于x轴上方的两点为A、B，cos∠AOB＝，则双曲线的离心率为．解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），以线段F1F2为直径的圆O的方程为x2+y2＝c2，①又b2x2﹣a2y2＝a2b2，②由①②可得x＝±，由于A、B关于y轴对称，可得|AB|＝＝，在三角形ABO中，co

s∠AOB＝＝＝，化为9e4﹣50e2+25＝0，解得e2＝5（舍去），所以e＝．故答案为：．16．等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝10，S10≤40，则满足Sn＞0的n的最大值为14．解：设等差数列{an}的公差为d，∵a2＝10，S1

0≤40，∴a1＝10﹣d，10a1+d≤40，可得：d≤﹣．∴Sn＝n（10﹣d）+d，由Sn＞0，可得：20+（n﹣3）d＞0，∴n＜﹣+3，∵d≤﹣，∴﹣+3≤14+，则满足Sn＞0的n的最大值为14．故答案为：14．三、解答题：共70分，解

答应写出文字说明，证明过程和解题步骤，第17-21题为必考题.第22，23题为选考题。17．锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos（A﹣C）+cosB＝，．（1）求∠B；（2）若a+c＝4，求△ABC的面积．解：（1）因为cos（A﹣C）+cosB

＝，所以cos（A﹣C）+cos[π﹣（A+C）]＝cos（A﹣C）﹣cos（A+C）＝，可得cosAcosC+sinAsinC﹣cosAcosC+sinAsinC＝2sinAsinC＝，可得sinAsinC＝，又，所以+＝＝＝＝，解得sinB＝，又B为锐角，所以B＝．（2

）因为B＝，所以由cos（A﹣C）+cosB＝cos（A﹣C）+＝，所以cos（A﹣C）＝1，由A，C为锐角，可得A﹣C＝0，可得A＝C＝B＝，可得a＝b＝c，又a+c＝4，可得a＝c＝2，所以S△ABC＝acsinB＝＝．18．三棱台ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝

90°，AB＝AA1＝2A1B1＝2A1C1．（1）证明：AB1⊥BC1；（2）求AC1与平面A1C1B所成角的正弦值．【解答】（1）证明：因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AB、AA1⊥AC，又因为∠BAC＝90°，所以AB、AC、AA1两两垂直，建立如图

所示的空间直角坐标系，不妨设A1B1＝1，因为AB＝AA1＝2A1B1＝2A1C1，所以AB＝AC＝2，AA1＝，A1C1＝1，＝（1，0，），＝（﹣2，1，），所以•＝（1，0，）•（﹣2，1，）＝﹣2+2＝0，所以AB1⊥BC1；（2）解：由（1）知＝（﹣2，1，），＝（

0，1，0），＝（0，1，），设平面A1C1B的法向量为＝（x，y，z），，令x＝1，＝（1，0，），所以AC1与平面A1C1B所成角的正弦值为＝＝．19．大学生知识竞赛中，每个代表队有3个队员，编号为1、2、3，答编号为1号、2号、3号的3道题，答对两道可过关，答对3道为优秀，如表是星火代表

队答对各题的概率分布，其中第m行第n列的数字是第m号同学能答对第n号题的概率．0.70.60.40.70.70.50.80.80.6（1）按选手编号与题目编号相同的方式答题，求该队过关的概率；（2）调整选手的答

题次序，求出该队优秀的最大概率．解：（1）按选手编号与题目编号相同的方式答题，由相互独立事件概率乘法公式得该队过关的概率为：P＝0.7×0.7×0.6＝0.294．（2）调整选手的答题次序，第一号选手答第一道

题，第二号选手选第三道题，第三号选手答第二道题的概率为：P1＝0.7×0.5×0.8＝0.28，第一号选手答第一道题，第二号选手选第二道题，第三号选手答第三道题的概率为：P2＝0.7×0.7×0.6＝0.294．第一号选手答第三道题

，第二号选手选第一道题，第三号选手答第二道题的概率为：P3＝0.4×0.7×0.8＝0.224，第一号选手答第三道题，第二号选手选第二道题，第三号选手答第一道题的概率为：P4＝0.4×0.7×0.8＝0.224，第一号选手答第二道题，第二号选手选第一道题，第

三号选手答第三道题的概率为：P5＝0.6×0.7×0.6＝0.252，第一号选手答第二道题，第二号选手选第三道题，第三号选手答第一道题的概率为：P6＝0.6×0.5×0.8＝0.24．∴该队优秀的最大概率为0.294．20．椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为B，

△BF1F2为等边三角形，且椭圆C过点（1，）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在圆O：x2+y2＝r2的切线l交椭圆C于M、N，且∠MON＝90°，若存在，求出r；若不存在，说明理由．解：（1）由题意知，b＝c，a＝2c，所以椭圆的方程为+＝1，将

（1，）代入椭圆的方程，解得c2＝1，所以椭圆C的标准方程为+＝1．（2）直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝±r，代入椭圆C的方程得+＝1，所以y2＝3﹣，由对称性可得3﹣＝r2，解得r2＝，若直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+t，因为

直线l与圆O相切得＝r，（*）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12＝0，所以x1+x2＝﹣，x1x2＝，因为∠MON＝90°，所以x1x2+y1y2＝0，所以（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2＝0，所以（1+k2）•+kt•

（﹣）+t2＝0，化简得t2＝（k2+1），由（*）得r2＝与t2＝（k2+1），得r2＝，此时r2＜4，直线l与椭圆交于两点，所以r＝．21．已知函数f（x）＝﹣（x+1）ln（x+1）．（1）证明：（0，+∞

）上，f（x）有唯一的极小值点x0，且2＜x0＜3；（2）讨论函数f（x）零点个数．解：（1）证明：令h（x）＝f′（x）＝x﹣1﹣ln（x+1），则h′（x）＝1﹣＝，当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，h

（2）＝1﹣ln3＜0，h（3）＝2﹣ln4＞0，所以在（0，+∞）上，f（x）有唯一的极小值点x0，且2＜x0＜3．（2）在（﹣1，0）上，h′（x）＝＜0，f′（x）为减函数，且f′（﹣1）＝＞0，f′（0）＝﹣

1＜0，所以存在x1∈（﹣1，0），f′（x1）＝0，所以在（﹣1，x1）上，f′（x）＞0，在（x1，0）上，f′（x）＜0，在（0，+∞）上，h′（x）＞0，f′（x）为增函数，由（1）知，存在x2＝x0∈（0，+∞）上，f′（x2）＝0，所以在（0，x2）上，f′（x）＜0，在（x2，+∞

）上，f′（x）＞0，所以（﹣1，x1）上，f（x）＞0，f（x）无零点，在（x1，x2）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，又0∈（x1，x2）且f（0）＝0，所以f（x）只有一个零点为0，在（x2，+∞）上，f（x）为增函数，f（x2）＜f（0）＝0，所

以f（e2﹣1）＝﹣2e2＝＞0，所以在（x2，+∞）上，f（x）仅有一个零点，综上所述，f（x）零点个数为2．选考题：共10分。请考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x

轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：ρcos（）＝．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|．解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为x2+y2＝4．直线l的极坐标方程为：ρc

os（）＝，根据转换为直角坐标方程为，（2）利用圆心（0，0）到直线的距离d＝，所以：|AB|＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x+2|．（图中的每个方格是边长1个单位的正方形）（1）画出函数f（x）的图象；（2）当a＞0时，若不等式f（x）＜

f（x﹣a）的解集为{x|x＜3}，求a的取值范围．解：（1）函数f（x）＝|x﹣2|+|x+2|＝，则函数f（x）的图象如图所示：（2）y＝f（x）的图象向右平移a个单位后得到y＝f（x﹣a）的图象，因为不等式f（x）＜f（x﹣a）的解集为{x|x＜3}

，可得y＝f（x）与y＝f（x﹣a）的交点为（3，6），所以f（x﹣a）＝|x﹣a﹣2|+|x﹣a+2|过点（3，6），故|3﹣a﹣2|+|3﹣a+2|＝6，解得a＝6或a＝0（舍），当a＝6时，y＝f（x﹣a）＝f（x﹣6）的图象为f（

x）的图象向右平移6个单位，由前面的论证可知，交点A（3，6），故f（x）＜f（x﹣6）的解集为{x|x＜3}，综上可得，a＝6．