【文档说明】内蒙古乌兰察布2021届高三下学期3月模拟调研（一模）数学（文科）试卷 含解析.doc，共(19)页，1.152 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-524401f993b0738e95e5849f8c88fbbc.html

以下为本文档部分文字说明：

2021年内蒙古乌兰察布高考数学调研试卷（文科）（一模）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x||x﹣1|＜3}，B＝{x|x（x﹣6）＜0}，则A∩B＝（）A．（﹣2，6）B．（0，4）C．（0

，6）D．（﹣2，4）2．i是虚数单位，复数z满足：z（1+i）＝i+2i2+3i3，则z＝（）A．2B．2iC．﹣2D．﹣2i3．某小区人数约30000人，创城期间，需对小区居民进行分层抽样调查，样本中有幼龄1

20人，青壮龄330人，老龄150人，则该小区老龄人数的估计值为（）A．3300B．4500C．6000D．75004．已知α∈（o，），sinα＝，则cos（）＝（）A．B．C．﹣D．﹣5．函数f（x）＝|x2﹣2x

|，x1、x2、x3、x4满足：f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）＝m，x1＜x2＜x3＜x4且x2﹣x1＝x3﹣x2＝x4﹣x3，则m＝（）A．B．C．1D．6．直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，O为△ABC的外心，＝（）A．1B．﹣1C．D．﹣7．某四面体的三视图如图，则该

多面体棱长的最大值为（）A．2B．2C．3D．8．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，点M在此抛物线上，且它的纵坐标为6，以M为圆心，|MF|为半径作圆，过Q（﹣1，﹣4）引圆M切线QA、QB，则∠AQB＝（）A．60°B．90°C．120°D．15

0°9．f（x）＝2sin（2x+），x1、x2满足x1、x2∈（0，π），且f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）＝（）A．B．﹣C．或﹣D．1或﹣110．已知a＞b，c＞d，则以下命题：①2a•2c＞2b•2d；②2a+2c＞2b+2d；③（2a）c＞（2b）d．正确的个数是（）A．0B．

1C．2D．311．数列{an}满足a1＝1且对任意k∈N*，a2k+1＝a2k+1，a2k＝a2k﹣1+2，则a2020＝（）A．3027B．3030C．2018D．202012．四棱锥P﹣ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，M为PC中点，平面ADM交PB于Q，则＝（）A．

1B．C．2D．二、填空题（共4小题）.13．已知x、y满足，则z＝x+2y的最小值为．14．高二11班共有男生30人，女生20人，按男女性别分层抽取一个容量为10人的样本，参加一个与兄弟班级的知识竞赛，抽取到的女生的数量是．15．双曲线（a＞0，b＞0）的左、

右焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为直径作圆O，与双曲线交于x轴上方的两点为A、B，cos∠AOB＝，则双曲线的离心率为．16．等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝10，S10≤40，则满足Sn＞0的n的最大值为．三、

解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤，第17-21题为必考题,第22，23题为选考题。17．锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos（A﹣C）+cosB＝，．（1）求∠B；（2）若a+c＝4，求△ABC的面积．18．三棱台ABC﹣A1B1C1中，AA

1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AA1＝2A1B1＝2A1C1．（1）证明：AB1⊥BC1；（2）求AC1与平面A1C1B所成角的正弦值．19．如表是S市某中学高二三班2020年第一学期期中考试16名学生的数学名次和年级总分名次数学年级名次x

262667101247411192121总分年级名次y2103152567879119数学年级名次x147101155231393294192192总分年级名次y122133138152163174188206（1）用线性回归方程拟

合y与x的关系，计算相关系数r，说出相关性的强弱（|r|＞0.75叫做强相关，|r|＜0.75叫做弱相关）（2）根据以上数据填充以下表格，并计算有没有85%的把握认为数学成绩与总成绩相关数学前120名数学120名以后合计总分前120名总分120名以后合计参考公式与数据：r＝，＝308243

，＝237454.62．K2＝．P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.63520．椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，上

顶点为B，△BF1F2为等边三角形，且椭圆C过点（1，）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在圆O：x2+y2＝r2的切线l交椭圆C于M、N，且∠MON＝90°，若存在，求出r；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）＝﹣（x+1）ln（x+1）．

（1）证明：（0，+∞）上，f（x）有唯一的极小值点x0，且2＜x0＜3；（2）讨论函数f（x）零点个数．选考题：共10分。请考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程

]22．已知曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：ρcos（）＝．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A、B两点，求

|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x+2|．（图中的每个方格是边长1个单位的正方形）（1）画出函数f（x）的图象；（2）当a＞0时，若不等式f（x）＜f（x﹣a）的解集为{x|x＜3}，求a的取值范围．参考答案一、选择题

（共12小题）.1．已知集合A＝{x||x﹣1|＜3}，B＝{x|x（x﹣6）＜0}，则A∩B＝（）A．（﹣2，6）B．（0，4）C．（0，6）D．（﹣2，4）解：∵A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|0＜x＜6}，∴A∩B＝（0，4）．故选：B．2．i是虚数单位，复数z满足：z（1+i）

＝i+2i2+3i3，则z＝（）A．2B．2iC．﹣2D．﹣2i解：由z（1+i）＝i+2i2+3i3＝i﹣2﹣3i＝﹣2﹣2i，∴z＝．故选：C．3．某小区人数约30000人，创城期间，需对小区居民进行分层抽样调查，样本中有幼龄120人，青壮龄330人，老龄150人，则该

小区老龄人数的估计值为（）A．3300B．4500C．6000D．7500解：根据分层抽样的定义可得抽取的老龄人数为：30000×＝7500，故选：D．4．已知α∈（o，），sinα＝，则cos（）＝（）A．B．C．﹣D．﹣解：∵α∈（o，），sinα＝，∴cosα＝＝，则cos（）＝co

scosα﹣sinαsin＝×﹣×＝，故选：A．5．函数f（x）＝|x2﹣2x|，x1、x2、x3、x4满足：f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）＝m，x1＜x2＜x3＜x4且x2﹣x1＝x3﹣x2＝x4﹣x3，则m＝（）A．B．C．1D．解

：由函数的解析式可知函数的对称轴为x＝1，不妨设x1＝1﹣3a，x2＝1﹣a，x3＝1+a，x4＝1+3a（a＞0），由f（x4）＝f（x3）可得：|（1+3a）（3a﹣1）|＝|（1+a）（a﹣1）|，解得：（a＝0舍去）．则．

故选：B．6．直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，O为△ABC的外心，＝（）A．1B．﹣1C．D．﹣解：∵直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，O为△ABC的外心，∴+＝且＝||•||•cos180°＝﹣1，∴＝﹣1+•（）＝﹣1+0＝﹣1，故选：B．7．某四面体的三视图如图

，则该多面体棱长的最大值为（）A．2B．2C．3D．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由正方体切成的四面体ABCD；如图所示：所以AB＝，，AD＝CD＝AC＝，所以最长边长为AB＝3．故选：C．8．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，点M在此抛物

线上，且它的纵坐标为6，以M为圆心，|MF|为半径作圆，过Q（﹣1，﹣4）引圆M切线QA、QB，则∠AQB＝（）A．60°B．90°C．120°D．150°解：如图，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，由yM＝6，求得xM＝9，|MF|＝xM+1＝

10，即圆的半径为10，又Q点在准线上，圆M与准线切于（﹣1，6），可知|QA|＝10＝r，故四边形AQBM为正方形，∠AQB＝90°．故选：B．9．f（x）＝2sin（2x+），x1、x2满足x1、x2∈（0，π），且f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）＝

（）A．B．﹣C．或﹣D．1或﹣1解：因为x1、x2∈（0，π），且f（x1）＝f（x2），所以＜2x1+＜，＜2x2+＜，所以＝，或＝，解得x1+x2＝或x1+x2＝，所以f（x1+x2）＝2sin（2×+）＝或

f（x1+x2）＝2sin（2×+）＝，所以f（x1+x2）＝．故选：A．10．已知a＞b，c＞d，则以下命题：①2a•2c＞2b•2d；②2a+2c＞2b+2d；③（2a）c＞（2b）d．正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3解：因为a＞b，c

＞d，所以2a＞2b＞0，2c＞2d＞0，所以2a•2c＞2b•2d，故①正确；所以2a+2c＞2b+2d，故②正确；取a＝0，b＝﹣1，c＝1，d＝﹣2，则ac＜bd，则2ac＜2bd，即（2a）c＞（2b）d，

故③错误，故命题正确的个数是2．故选：C．11．数列{an}满足a1＝1且对任意k∈N*，a2k+1＝a2k+1，a2k＝a2k﹣1+2，则a2020＝（）A．3027B．3030C．2018D．2020解：数列{an}满足a1＝1且对任意k∈N*，a2k+1＝a2k+1，a2k＝a

2k﹣1+2，当n＝1时，a2k＝a2k﹣1+2，解得a2＝3，则：a2k+2＝a2k+1+2＝a2k+3，所以a2020＝（a2020﹣a2018）+（a2018﹣a2016）+…+（a4﹣a2）+a2＝1009×3+3＝3030．故选：B．12

．四棱锥P﹣ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，M为PC中点，平面ADM交PB于Q，则＝（）A．1B．C．2D．解：延长CB、DA交于S，连SM与PB交点为Q，AB∥CD⇒，故B为SC中点，又M为PC中点，故Q为△PSC的重心，故PQ

：QB＝2：1．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知x、y满足，则z＝x+2y的最小值为﹣．解：作出x，y满足表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（0，2），B（﹣，﹣1），C（3，﹣1），设z＝F（x，

y）＝x+2y，将直线l：z＝x+2y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最小值∴z最小值＝F（﹣，﹣1）＝﹣．故答案为：﹣．14．高二11班共有男生30人，女生20人，按男女性别分层抽取一个容量为10人的样本

，参加一个与兄弟班级的知识竞赛，抽取到的女生的数量是4．解：∵11班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，抽出一个容量为10的样本，∴抽出的女生有×20＝4人，故答案为：4．15．双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为直径作圆O，与双曲线交于x轴上方的

两点为A、B，cos∠AOB＝，则双曲线的离心率为．解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），以线段F1F2为直径的圆O的方程为x2+y2＝c2，①又b2x2﹣a2y2＝a2b2，②由①②可得x＝±，由于A、B关于y轴对称，可得

|AB|＝＝，在三角形ABO中，cos∠AOB＝＝＝，化为9e4﹣50e2+25＝0，解得e2＝5（舍去），所以e＝．故答案为：．16．等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝10，S10≤40，则满足Sn＞0的n的最大值为14．解：设等差数列{an

}的公差为d，∵a2＝10，S10≤40，∴a1＝10﹣d，10a1+d≤40，可得：d≤﹣．∴Sn＝n（10﹣d）+d，由Sn＞0，可得：20+（n﹣3）d＞0，∴n＜﹣+3，∵d≤﹣，∴﹣+3≤14+，则满足Sn＞0的n的最大值为14．故答案为：14．三、解答题：共70分，

解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤，第17-21题为必考题,第22，23题为选考题。17．锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos（A﹣C）+cosB＝，．（1）求∠B；（2）若a+c＝4，求

△ABC的面积．解：（1）因为cos（A﹣C）+cosB＝，所以cos（A﹣C）+cos[π﹣（A+C）]＝cos（A﹣C）﹣cos（A+C）＝，可得cosAcosC+sinAsinC﹣cosAcosC+sinAsinC＝2sinAsinC＝，可得sinAsinC＝，又，所以+＝＝＝＝

，解得sinB＝，又B为锐角，所以B＝．（2）因为B＝，所以由cos（A﹣C）+cosB＝cos（A﹣C）+＝，所以cos（A﹣C）＝1，由A，C为锐角，可得A﹣C＝0，可得A＝C＝B＝，可得a＝b＝c，又a+c

＝4，可得a＝c＝2，所以S△ABC＝acsinB＝＝．18．三棱台ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AA1＝2A1B1＝2A1C1．（1）证明：AB1⊥BC1；（2）求AC1与平面A1C1B所成角的正弦值．【解答】（1）证明：因为

AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AB、AA1⊥AC，又因为∠BAC＝90°，所以AB、AC、AA1两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设A1B1＝1，因为AB＝AA1＝2A1B1＝2A1C1，所以AB＝AC＝2，AA1＝，A

1C1＝1，＝（1，0，），＝（﹣2，1，），所以•＝（1，0，）•（﹣2，1，）＝﹣2+2＝0，所以AB1⊥BC1；（2）解：由（1）知＝（﹣2，1，），＝（0，1，0），＝（0，1，），设平面A1C1B的法向量为＝（x，y，z），，令x＝1，＝（1，0，），所以AC

1与平面A1C1B所成角的正弦值为＝＝．19．如表是S市某中学高二三班2020年第一学期期中考试16名学生的数学名次和年级总分名次数学年级名次x262667101247411192121总分年级名次y2103152567879119数学年级名次x1471

01155231393294192192总分年级名次y122133138152163174188206（1）用线性回归方程拟合y与x的关系，计算相关系数r，说出相关性的强弱（|r|＞0.75叫做强相关，|r|＜0.75叫做弱相关）（2）根据以上数据填充以下表格，并计算有没有85%的把握认

为数学成绩与总成绩相关数学前120名数学120名以后合计总分前120名总分120名以后合计参考公式与数据：r＝，＝308243，＝237454.62．K2＝．P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635解：（1）

r＝＝≈0.23＜0.75，故用线性回归方程拟合y与x的关系，相关性弱；（2）表格填充如下：数学前120名数学120名以后合计总分前120名448总分120名以后178合计51116≈2.618＞2.072．故有85%的把握认为数学成绩

与总成绩相关．20．椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为B，△BF1F2为等边三角形，且椭圆C过点（1，）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在圆O：x2+y2＝r2的切线l交椭

圆C于M、N，且∠MON＝90°，若存在，求出r；若不存在，说明理由．解：（1）由题意知，b＝c，a＝2c，所以椭圆的方程为+＝1，将（1，）代入椭圆的方程，解得c2＝1，所以椭圆C的标准方程为+＝1．（2）直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝±

r，代入椭圆C的方程得+＝1，所以y2＝3﹣，由对称性可得3﹣＝r2，解得r2＝，若直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+t，因为直线l与圆O相切得＝r，（*）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得（3

+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12＝0，所以x1+x2＝﹣，x1x2＝，因为∠MON＝90°，所以x1x2+y1y2＝0，所以（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2＝0，所以（1+k2）•+kt•（﹣）+t2＝0，化简得t2＝（k2+1），由（*）得r2＝与t2＝（k2+1），得r

2＝，此时r2＜4，直线l与椭圆交于两点，所以r＝．21．已知函数f（x）＝﹣（x+1）ln（x+1）．（1）证明：（0，+∞）上，f（x）有唯一的极小值点x0，且2＜x0＜3；（2）讨论函数f（x）零点个数．解：（1）证明：令h（x）＝f′（

x）＝x﹣1﹣ln（x+1），则h′（x）＝1﹣＝，当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，h（2）＝1﹣ln3＜0，h（3）＝2﹣ln4＞0，所以在（0，+∞）上，f（x）有唯一的极小值点x0，且2＜x0＜3．（2）在（﹣1，0）上，h′（x）＝＜0，f

′（x）为减函数，且f′（﹣1）＝＞0，f′（0）＝﹣1＜0，所以存在x1∈（﹣1，0），f′（x1）＝0，所以在（﹣1，x1）上，f′（x）＞0，在（x1，0）上，f′（x）＜0，在（0，+∞）上，h′（x）＞0，f′（x）为增函数，由（1）知，存在

x2＝x0∈（0，+∞）上，f′（x2）＝0，所以在（0，x2）上，f′（x）＜0，在（x2，+∞）上，f′（x）＞0，所以（﹣1，x1）上，f（x）＞0，f（x）无零点，在（x1，x2）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，又0∈（x1，x2）且f（0）＝0，所以f（x）只有一个零点为0

，在（x2，+∞）上，f（x）为增函数，f（x2）＜f（0）＝0，所以f（e2﹣1）＝﹣2e2＝＞0，所以在（x2，+∞）上，f（x）仅有一个零点，综上所述，f（x）零点个数为2．选考题：共10分。请考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系

与参数方程]22．已知曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：ρcos（）＝．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A、

B两点，求|AB|．解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为x2+y2＝4．直线l的极坐标方程为：ρcos（）＝，根据转换为直角坐标方程为，（2）利用圆心（0，0）到直线的距离d＝，所以：

|AB|＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x+2|．（图中的每个方格是边长1个单位的正方形）（1）画出函数f（x）的图象；（2）当a＞0时，若不等式f（x）＜f（x﹣a）的解集为

{x|x＜3}，求a的取值范围．解：（1）函数f（x）＝|x﹣2|+|x+2|＝，则函数f（x）的图象如图所示：（2）y＝f（x）的图象向右平移a个单位后得到y＝f（x﹣a）的图象，因为不等式f（x）＜f（x﹣a）的解集为{x|x＜3}，

可得y＝f（x）与y＝f（x﹣a）的交点为（3，6），所以f（x﹣a）＝|x﹣a﹣2|+|x﹣a+2|过点（3，6），故|3﹣a﹣2|+|3﹣a+2|＝6，解得a＝6或a＝0（舍），当a＝6时，y＝f（x﹣a）＝f（x﹣6）的图象为f（x）的图象向右平移6个单位，由前面的论证可知，交点A（3，6

），故f（x）＜f（x﹣6）的解集为{x|x＜3}，综上可得，a＝6．